精品解析：重庆市第八中学校2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题

重庆八中2024—2025学年度（下）期末考试高二年级 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知集合，，若，则所有满足条件的实数m组成的集合为（ ） A. B. C. D. 3. 某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：°C）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据得到下面的散点图： 由此散点图，在10°C至40°C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 等差数列的公差为d，前n项和为，若，，则当取得最大值时，（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 6. 已知正数x，y满足，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 7. 某医院拟组成4医生3护士共7人的工作队，派驻到3个地区A、B、C进行工作．若每一个地区至少派驻1医生1护士两位工作人员，且医生甲必须派驻到A地区，则不同的派驻方式有（ ） A. 36种 B. 72种 C. 98种 D. 108种 8. 已知函数（，e为自然对数的底数）的图像上存在2个点、分别与的图像上2个点、关于x轴对称，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在的二项展开式中，下列说法中正确的有（ ） A. 所有奇数项的二项式系数和为 B. 所有项的系数和为 C. 二项式系数最大的项为第5项或第6项 D. 展开式中的常数项是第9项 10. 某校为了解高二段学生每天数学学习时长的分布情况，随机抽取了100名高二学生进行调查，得到了这100名学生的日平均数学学习时长（单位：分钟）的频率分布直方图如图所示，则下列选项正确的为（ ） A. 每天学习数学的时长在60到70分钟的频率为0.04 B. 中位数估计为65 C. 平均数估计为67 D. 众数估计为65 11. 已知函数，的定义域均为，且，．若的图象关于点对称，，则（ ） A. 函数为偶函数 B. 函数关于点对称 C. 函数周期为4 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 随机变量X服从正态分布，，______． 13. 若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则______． 14. 现有12道四选一的单选题，其中9道题学生甲会做，3道题学生甲不会做．会做的题做对的概率为1，不会做的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为．现从这12道题中随机选择1题让学生甲回答，已知学生甲答对了该题，则学生甲猜对的概率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在直三棱柱中，，，D，E分别为，的中点． （1）求证：∥平面ABC； （2）求直线AC与平面所成角的正弦值． 16. 重庆八中渝北校区有俭园、味园两个食堂． （1）随机询问110名学生在就餐时的选择偏好，得到如表所示的抽样数据，依据小概率值的独立性检验，能否认为在不同食堂就餐与学生性别有关联？ 性别 就餐地点 俭园 味园 男 40 20 女 20 30 （2）现从选择在俭园就餐的学生中，采用按比例分配的分层随机抽样的方法随机抽取12名学生，再从这12名学生中随机抽取3人，设抽取的3人中男生的人数为X，求X的分布列和数学期望． 附：． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 17. 抛物线C：与直线：相切． （1）求抛物线C的方程． （2）设抛物线C的焦点为F，过F的直线交C于A，B，点满足，求直线的方程． 18. 重庆八中举办拔河比赛，经过预选赛最终确定由甲乙丙丁4支队伍角逐冠军．先进行半决赛：将4支队伍采用抽签的方式随机分成2队一组共两组进行比赛，每组的胜者再进行最后的决赛．已知在任何一场比赛中甲队的获胜概率均为，乙队的获胜概率均为，丙队胜过丁队的概率为． （1）求甲队的夺冠概率． （2）半决赛怎样分组可以使丙队的夺冠概率最大？ （3）求甲队能与丁队相遇的概率． 19. 已知函数． （1）讨论函数的单调性． （2）当时，，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆八中2024—2025学年度（下）期末考试高二年级 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用全称量词命题的否定直接判断即可. 【详解】命题“，”是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以所求否定是：，. 故选：B 2. 已知集合，，若，则所有满足条件的实数m组成的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解方程先确定集合的元素，由，，逐一验证所有可能符合情况即可. 【详解】方程的两根为或 ，. 可能为 (1) 时，，符合 (2) 时，，符合 (3) 时，，符合 综上，实数m组成的集合为 故选：D 3. 某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：°C）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据得到下面的散点图： 由此散点图，在10°C至40°C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据散点图的分布可选择合适的函数模型. 【详解】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近， 因此，最适合作为发芽率和温度的回归方程类型的是. 故选：D. 【点睛】本题考查函数模型的选择，主要观察散点图的分布，属于基础题. 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数的单调性可判断，利用幂函数的单调性可判断，得解. 【详解】因为是R上的减函数，又，所以，即， 因为函数在上单调递增，，所以，即， . 故选：D. 5. 等差数列的公差为d，前n项和为，若，，则当取得最大值时，（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】先求出数列的通项公式，由，，知当取得最大值时有，然后求解即可. 【详解】， 解得，，所以， 所以当取得最大值时，，即，解得， 又，所以. 故选：C 6. 已知正数x，y满足，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】化简得到，再结合基本不等式即可求出. 【详解】因，则， 因x，y为正数，则，得，等号成立时， 则的最小值为. 故选：C 7. 某医院拟组成4医生3护士共7人的工作队，派驻到3个地区A、B、C进行工作．若每一个地区至少派驻1医生1护士两位工作人员，且医生甲必须派驻到A地区，则不同的派驻方式有（ ） A. 36种 B. 72种 C. 98种 D. 108种 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知某地区派驻有两名医生，分类讨论，分地区有两名医生和或区有两名医生，然后分配3名护士，即可求解. 【详解】若地区派驻两名医生，则有种不同方式； 若或区有两名医生，则有种不同方式. 所以不同的派驻方式有种. 故选：B. 8. 已知函数（，e为自然对数的底数）的图像上存在2个点、分别与的图像上2个点、关于x轴对称，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设上一点关于轴对称点坐标为，则在上，得到方程有解，即函数与在上有交点，利用导数判断出函数的单调性和最值，可得实数的取值范围． 【详解】设是上一点，则， 且关于轴对称点坐标为在上， 由题意得，有两个不同的实数解， 即有两个不同的实数解. 令，则，， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以 有两个不同的实数解等价于与有两个交点， 所以,所以 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在的二项展开式中，下列说法中正确的有（ ） A. 所有奇数项的二项式系数和为 B. 所有项的系数和为 C. 二项式系数最大的项为第5项或第6项 D. 展开式中的常数项是第9项 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，根据的奇数项二项式系数和为计算即可；对于B，赋值法令计算即可；对于C，由当为偶数时，二项式系数最大的项为第项计算即可；对于D，根据二项式通项公式，令的指数为0，求得即可判断. 【详解】对于A，奇数项的二项式系数和为，故A不正确； 对于B，令有各项系数之和为，故B正确； 对于C，二项式展开式共有11项，则二项式系数最大的项为第项，故C不正确； 对于D，的展开式中常数项为，， 令，解得，所以常数项是第9项，故D正确. 故选：BD. 10. 某校为了解高二段学生每天数学学习时长的分布情况，随机抽取了100名高二学生进行调查，得到了这100名学生的日平均数学学习时长（单位：分钟）的频率分布直方图如图所示，则下列选项正确的为（ ） A. 每天学习数学的时长在60到70分钟的频率为0.04 B. 中位数估计为65 C. 平均数估计为67 D. 众数估计为65 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用中位数、众数、平均数的计算方法，结合频率分布直方图，逐一判断即可. 【详解】对于A，样本中学习数学的时长在60到70分钟的频率为，故A不正确； 对于B，因为，所以样本的中位数在内，设中位数为，则，解得，故B正确； 对于C，若每组以区间的中点值作代表，则估计样本的平均数为：，故C正确； 对于D，由频率分布直方图知，人学习数学的时长的众数在区间，约为分，所以D正确. 故选：BCD. 11. 已知函数，的定义域均为，且，．若的图象关于点对称，，则（ ） A. 函数为偶函数 B. 函数关于点对称 C. 函数周期为4 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据的图象关于点对称，得到，结合，，通过赋值法逐项判断即可. 【详解】因为的图像关于点对称，则，因为，所以， 因为，所以，所以，所以函数为偶函数，所以A正确； 由得，因为，所以， 因为，则，所以函数关于点对称，所以B正确； 由，所以，所以， 所以，所以函数周期为4，所以C正确； 因为，所以，因为，所以， 由，可得，所以， 由知当时，，所以， 由知当时，，所以， 所以，又，，所以， 所以，所以D错误. 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 随机变量X服从正态分布，，______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正态曲线的性质计算可得. 【详解】因为随机变量服从正态分布且， 则， 所以. 故答案为：. 13. 若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用导数来求函数在点处的切线，再利用直线与二次曲线相切，则判别式等于0，即可求出参数的取值. 【详解】求导得：，当时， ， 所以在点处的切线方程为：， 又由切线也是曲线的切线， 则消得，， 由， 故答案为：. 14. 现有12道四选一的单选题，其中9道题学生甲会做，3道题学生甲不会做．会做的题做对的概率为1，不会做的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为．现从这12道题中随机选择1题让学生甲回答，已知学生甲答对了该题，则学生甲猜对的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】设事件为“学生甲答对该题”，事件表示“学生甲猜对该题”，事件表示“甲选到会做的题”，利用全概率公式求出，再由条件概率公式求解. 【详解】设事件为“学生甲答对该题”，事件表示“学生甲猜对该题”，事件表示“甲选到会做的题” 则表示学生甲选到不会做的题且答对，所以， ，，，， 由全概率公式， . 所以已知学生甲答对了该题，则学生甲猜对的概率为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在直三棱柱中，，，D，E分别为，的中点． （1）求证：∥平面ABC； （2）求直线AC与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，可证∥，即可得线面平行； （2）根据平行关系可得直线AC与平面所成角即为直线与平面所成角，利用等体积法求点到平面的距离，进而可得线面夹角. 【小问1详解】 取的中点，连接， 因为分别为的中点，则∥，且， 又因为为的中点，且为平行四边形，则∥，且， 可得∥，且，可知为平行四边形，则∥， 且平面ABC，平面ABC， 所以∥平面ABC. 【小问2详解】 因为∥，可知直线AC与平面所成角即为直线与平面所成角， 因为平面，平面，则， 且，，平面， 可得平面， 设直线与平面所成角为，点到平面的距离为， 因为，且为的中点， 则，， 又因为，即，解得， 可得， 所以直线AC与平面所成角的正弦值为. 16. 重庆八中渝北校区有俭园、味园两个食堂． （1）随机询问110名学生在就餐时的选择偏好，得到如表所示的抽样数据，依据小概率值的独立性检验，能否认为在不同食堂就餐与学生性别有关联？ 性别 就餐地点 俭园 味园 男 40 20 女 20 30 （2）现从选择在俭园就餐的学生中，采用按比例分配的分层随机抽样的方法随机抽取12名学生，再从这12名学生中随机抽取3人，设抽取的3人中男生的人数为X，求X的分布列和数学期望． 附：． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）能认为在不同食堂就餐与学生性别有关联 （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据题目数据完成列联表，然后计算卡方，与临界值比较即可得出结论； （2）根据分层抽样得到抽取人中，男生有人，女生有人，然后利用超几何分布列概率公式求解分布列进而求期望即可. 【小问1详解】 列联表如下： 性别 就餐地点 合计 俭园 味园 男 女 合计 零假设为：在不同食堂就餐与学生性别无关联． 计算得． 根据小概率值的独立性检验，推断零假设不成立， 在犯错误的概率不超过的前提下认为在不同食堂就餐与学生性别有关联． 【小问2详解】 在抽样的人中，男生有人，女生有人，比例是， 从而分层抽样抽取人中，男生有人，女生有人， 则的可能取值为，，，， 从而， ， 则的分布列为 所以． 17. 抛物线C：与直线：相切． （1）求抛物线C的方程． （2）设抛物线C的焦点为F，过F的直线交C于A，B，点满足，求直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）联立直线的方程与抛物线C的方程，利用判别式为0，求出p的值，从而可得答案； （2）设， 联立可得，利用韦达定理建立方程以及平面向量的数量积列式求解m的值即可. 【小问1详解】 联立，可得， 因为直线与相切， 所以， 抛物线C的方程为. 【小问2详解】 由（1）可知， 设， 联立可得， 设，可得 ∵，∴ 因为,，所以， 则， 所以 即 所以，即， 解得， ， 即. 18. 重庆八中举办拔河比赛，经过预选赛最终确定由甲乙丙丁4支队伍角逐冠军．先进行半决赛：将4支队伍采用抽签的方式随机分成2队一组共两组进行比赛，每组的胜者再进行最后的决赛．已知在任何一场比赛中甲队的获胜概率均为，乙队的获胜概率均为，丙队胜过丁队的概率为． （1）求甲队的夺冠概率． （2）半决赛怎样分组可以使丙队的夺冠概率最大？ （3）求甲队能与丁队相遇的概率． 【答案】（1） （2）甲丁、乙丙 （3） 【解析】 【分析】（1）先分组，再分别计算每种情况下甲获胜的概率即可； （2）先分组，再分别计算每种情况下丙获胜的概率，再比较大小即可； （3）先分组，再分别计算每种情况下甲队能与丁队相遇的概率，再利用全概率公式即可. 【小问1详解】 2队一组共有甲乙、丙丁；甲丙、乙丁；甲丁、乙丙，种分组， 由于在第一场中，不含甲的那组无论谁赢都可以， 则每种分组下甲获胜的概率均为， 则甲队的夺冠的概率为. 【小问2详解】 若甲乙、丙丁，则丙队夺冠的概率为； 若甲丙、乙丁，则丙队夺冠的概率为； 若甲丁、乙丙，则丙队夺冠的概率为； 则半决赛按照甲丁、乙丙分组可以使丙队的夺冠概率最大. 【小问3详解】 若甲乙、丙丁，则甲队与丁队相遇的概率为； 若甲丙、乙丁，则甲队与丁队相遇的概率为； 若甲丁、乙丙，则甲队与丁队相遇的概率为， 则甲队与丁队相遇的概率为. 19. 已知函数． （1）讨论函数的单调性． （2）当时，，求a的取值范围． 【答案】（1）答案见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）求导，分和讨论导数的正负得解； （2）由题，问题转化为，当时，上式对恒成立，当时，上式转化为恒成立，令，易判断是偶函数，只需对恒成立即可，构造函数利用导数证明，即可得解. 【小问1详解】 由，则，， 令， 当时，有，即，所以在R上单调递减； 当时，，， 方程的两根为，，且， 当和时，，即， 当时，，即， 所以在和上单调递增，在上单调递减； 综上，当时，在R上单调递减； 当时，在和上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 当时，，， 所以不等式，即， 两边取对数可得， 当时，上式对恒成立， 当时，上式转化为恒成立， 令，由，知是偶函数， 所以只需对恒成立即可， 令，， 则， 令，则， ，则，故，则， 所以在上单调递减，故，即， 所以在上单调递减， 所以，则，对， 所以， 即可. 所以的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $