精品解析：江苏省常州市2024--2025学年下学期七年级数学期末试卷

常州市2024－2025学年第二学期七年级期末质量调研 数学 2025年6月 注意事项： 1．本试卷共6页．全卷满分100分．考试时间为90分钟．考生应将答案全部填写在答题卡相应的位置上，写在本试卷上无效．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．考试时不允许使用计算器． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、考试证号填写在试卷上，并填涂答题卡上的相关信息． 3．作图题用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1. 下列与消防相关的图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，左、右托盘中黑球质量分别为a，b，白球的质量为c，图中体现的数学原理可表示为（ ） A. 若，则 B. 若，则 C 若，则 D. 若，则 3. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，记钟面上数字12，3，5，6，9对应的点分别为点A，B，C，D，E，则点A关于钟面中心O的对称点为（ ） A. 点B B. 点C C. 点D D. 点E 5. 在《九章算术》中记载了这样一道题，大意是：“五头牛和两只羊，价值十两金；两头牛和五只羊，价值八两金．一头牛、一只羊分别价值几两金？”若设一头牛价值两金，一只羊价值两金，则根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 6. 若要说明命题“如果，那么”是假命题，则可以举反例为( ) A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 将三角形纸片与量角器按如图所示方式放置，，，是的外角，则计算的结果为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，其中，，，是正整数，则下列说法中正确的是（ ） A. 是偶数 B. 是偶数 C. 偶数 D. 是奇数，是偶数 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 9. 根据图示，写出关于的不等式的解集为_________． 10. 若，则□中的代数式为_________． 11. 命题“如果或，那么”的逆命题是_________． 12. 水痘是冬春季常见的传染病，传播途径主要是呼吸道飞沫或直接接触传染，接触污染的用物也会间接传染．水痘－带状疱疹病毒，直径为．数据用科学记数法表示为_________． 13. 在中，，，则_________． 14. 如图，分别以线段的端点，为圆心，取大于长为半径，作两条相交的弧，交点记为，，点在射线上．若，，则_________°． 15. 据研究，初中生每天蛋白质推荐摄入量男生约为，女生约为．下表为部分食物每百克的蛋白质质量． 食物 大米 牛乳 牛肉 蛋白质/ 若某天小强食用牛乳，大米与牛肉共，实现了蛋白质的摄入量，则这天他食用大米______． 16. 自然数15所有因数为1，3，5，15，这些因数具有关系；自然数8的所有因数为1，2，4，8，这些因数具有关系．像15，8这样的数叫作亏数．若亏数的所有因数为1，，5，（按从小到大排列），则的值为_________． 三、解答题（本大题共9小题，共68分．第17，19，22，23，24题每题8分，第18，20，21题每题6分，第25题10分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 解方程组和不等式组： （1）； （2）． 20. 已知：如图，在五边形中，．求证：． 21. 证明：连续五个自然数的平方和是5的倍数． 22. 如图为由等边三角形组成的网格纸． （1）先画出关于直线m对称的，再画出关于直线n对称的； （2）在（1）的条件下，可以看做由绕 顺时针旋转（）得到，则的值为 ． 23. 如图为常州奥林匹克体育中心停车场收费标准（收费期间，不满15分钟部分按15分钟计算），本题中涉及的车辆均为非新能源车辆和非公（任）务车辆，且不享受图中的“收费优惠”．例如，一辆小型车和一辆大型车均连续停车3小时23分钟，则停车费分别为4元和8元． （1）一辆小型车连续停车5小时，则停车费为 元；一辆大型车连续停车5小时，则停车费为 元； （2）现一团队有小型车与大型车共6辆，同时连续停车5小时后共收费70元，求小型车与大型车各有多少辆？ （3）若一天中一辆小型车连续停车时间为小时，且停车费为12元，则的取值范围是 ． 24. 定义：若关于，的二元一次方程的一个解为，当时，则称为二元一次方程的“系相关解”．例如：是二元一次方程的“2系相关解”． （1）二元一次方程的“1系相关解”为 ； （2）下列二元一次方程存在“2系相关解”的是 （填序号）； ①；②；③． （3）为二元一次方程的“系相关解”，且，求的取值范围． 25. 综合与实践 【问题情境】 如图1，在长方形中，，点E在边上，且． 初步探究】 （1）如图2，连接，将长方形沿方向平移，得到长方形，连接，则四边形的面积是 ，与的数量关系是 ； 【拓展延伸】 （2）如图3，将长方形绕点E顺时针旋转，得到长方形． ①若旋转过程中，长方形与长方形重叠部分的图形为轴对称图形，请利用直尺与圆规在图4和图5中分别作出点C'（不写作法，保留作图痕迹，作出其中的2种情况），并写出对应的旋转角； ②若旋转过程中，边与边相交于点P，且，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 常州市2024－2025学年第二学期七年级期末质量调研 数学 2025年6月 注意事项： 1．本试卷共6页．全卷满分100分．考试时间为90分钟．考生应将答案全部填写在答题卡相应的位置上，写在本试卷上无效．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．考试时不允许使用计算器． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、考试证号填写在试卷上，并填涂答题卡上的相关信息． 3．作图题用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1. 下列与消防相关的图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，B，D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：C． 2. 如图，左、右托盘中黑球的质量分别为a，b，白球的质量为c，图中体现的数学原理可表示为（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查不等式的性质，熟记不等式性质是解决问题的关键．根据不等式的性质即可解答． 【详解】解：由作图可知：，由右图可知：，即A选项符合题意． 故选：A． 3. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查整式的乘法运算、乘法公式，根据运算法则和乘法公式逐一验证各选项的正确性即可． 【详解】解：A：，故错误． B：，正确． C：，故错误． D：，故错误． 故选B． 4. 如图，记钟面上数字12，3，5，6，9对应的点分别为点A，B，C，D，E，则点A关于钟面中心O的对称点为（ ） A. 点B B. 点C C. 点D D. 点E 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了中心对称图形．点A绕点O旋转即可与点D重合，根据中心对称图形的定义进行解答即可． 【详解】解：记钟面上数字12，3，5，6，9对应的点分别为点A，B，C，D，E，则点A关于钟面中心O的对称点为D， 故选：C 5. 在《九章算术》中记载了这样一道题，大意是：“五头牛和两只羊，价值十两金；两头牛和五只羊，价值八两金．一头牛、一只羊分别价值几两金？”若设一头牛价值两金，一只羊价值两金，则根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设一头牛价值两金，一只羊价值两金．第一个条件“五头牛和两只羊价值十两金”对应方程；第二个条件“两头牛和五只羊价值八两金”对应方程．结合选项即可确定答案． 【详解】解：设一头牛价值两金，一只羊价值两金， 由题意得，， 故选：A． 6. 若要说明命题“如果，那么”是假命题，则可以举反例为( ) A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了举反例说明命题是假命题，要说明命题“如果|，那么”是假命题，找到满足但的例子． 【详解】解：A：，．此时，且，符合原命题，不能作为反例． B：，．计算得，，满足，但，符合反例要求． C：，．此时，且，符合原命题，不能作为反例． D：，．计算得，，不满足，不符合条件． 故选：B． 7. 将三角形纸片与量角器按如图所示方式放置，，，是的外角，则计算的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了三角形内角和定理和邻补角的应用．先求出，根据三角形内角和得到，再根据邻补角即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 8. 已知，其中，，，是正整数，则下列说法中正确的是（ ） A. 是偶数 B. 是偶数 C. 是偶数 D. 是奇数，是偶数 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂乘法．熟练掌握同底数幂乘法的法则，奇数偶数性质，是解题的关键． 将等式右边统一为3的幂，结合完全平方数的性质确定指数为偶数，进而分析各选项的奇偶性，即得． 【详解】∵，且左边为完全平方数， ∴必为偶数． ∵，且为偶数， ∴也需为偶数． 若为偶数，为偶数，则需为偶数； 若为奇数，为奇数，则需为奇数． ∴与奇偶性相同， ∴必为偶数． A：如为奇数时，可能为奇数，错误； B：是偶数，正确； C：的奇偶性由决定，不一定为偶数； D：的奇偶性不确定，错误． 故选：B． 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 9. 根据图示，写出关于的不等式的解集为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了图示不等式的解集．熟练掌握数轴表示不等式解集，是解题的关键． 根据图示表示小于2，不包括2，写出解集即可． 【详解】解：图示的不等式的解集为． 故答案为： 10. 若，则□中的代数式为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查同底数幂运算的逆用，由题意，将问题转化为同底数幂的除法运算，由同底数幂的除法运算法则求解即可得到答案．熟记同底数幂的除法运算法则，将同底数幂的乘法运算转化为除法运算是解决问题的关键． 【详解】解：由可得，， 故答案为：． 11. 命题“如果或，那么”的逆命题是_________． 【答案】如果，那么或 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大．交换命题的题设和结论之后即可写出原命题的逆命题． 【详解】解：命题“如果或，那么”的逆命题是：如果，那么或． 故答案为：如果，那么或． 12. 水痘是冬春季常见的传染病，传播途径主要是呼吸道飞沫或直接接触传染，接触污染的用物也会间接传染．水痘－带状疱疹病毒，直径为．数据用科学记数法表示为_________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 【详解】解∶ ． 故答案为∶ 13. 在中，，，则_________． 【答案】55 【解析】 【分析】本题考查直角三角形中求角度问题，涉及直角三角形两锐角互余等知识，根据题意得到，再由消去即可得到答案．熟记直角三角形两锐角互余是解决问题的关键． 【详解】解：在中，，则， ， ，即， 解得， 故答案为：． 14. 如图，分别以线段的端点，为圆心，取大于长为半径，作两条相交的弧，交点记为，，点在射线上．若，，则_________°． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图，线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，根据题意可知，垂直平分线段，再根据垂直平分线的性质得出，再根据等腰三角形的性质可得，然后利用三角形外角的性质即可求出答案． 【详解】解：根据题意可知，垂直平分线段， ， ， ， ， 故答案为：20． 15. 据研究，初中生每天蛋白质推荐摄入量男生约为，女生约为．下表为部分食物每百克的蛋白质质量． 食物 大米 牛乳 牛肉 蛋白质/ 若某天小强食用牛乳，大米与牛肉共，实现了蛋白质的摄入量，则这天他食用大米______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设这天他食用大米，则食用牛肉， 由题意得，， 解得， ∴这天他食用大米， 故答案为：． 16. 自然数15的所有因数为1，3，5，15，这些因数具有关系；自然数8的所有因数为1，2，4，8，这些因数具有关系．像15，8这样的数叫作亏数．若亏数的所有因数为1，，5，（按从小到大排列），则的值为_________． 【答案】10或15 【解析】 【分析】本题考查新定义，读懂题意，理解亏数概念，按题意要求，先确定，分类讨论求解即可得到答案．理解亏数概念是解决问题的关键． 【详解】解：亏数的所有因数为1，，5，（按从小到大排列）， ，即可取， 当时，； 当时，； 当时，，此时所有因数为，不符合题意，舍去； 综上所述，的值为10或15， 故答案为：10或15． 三、解答题（本大题共9小题，共68分．第17，19，22，23，24题每题8分，第18，20，21题每题6分，第25题10分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了指数幂与负整指数幂的运算、多项式乘以多项式． 根据指数幂与负整指数幂的运算法则，可得：原式，再根据有理数的加法法则进行计算即可； 根据多项式乘以多项式的法则可得：原式，再根据合并同类项的法则合并同类项即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简求值，解题关键是掌握完全平方公式和平方差公式，本题直接利用公式求解即可． 【详解】解：， ； 时， 原式  ． 19. 解方程组和不等式组： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组、解一元一次不等式组，熟练掌握代入消元法解二元一次方程组、解一元一次不等式组的方法步骤是解决问题的关键． （1）由代入消元法解二元一次方程组即可得到答案； （2）先解出不等式组中的每一个不等式，再由“同大取大、同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”求不等式组的解集即可得到答案． 【小问1详解】 解： 由①得③， 将③代入②得， 解得； 将代入③得； 原方程组的解是； 【小问2详解】 解：， 解不等式①得； 解不等式②得； 不等式组解集为． 20. 已知：如图，在五边形中，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的内角和定理，同旁内角互补两直线平行， 先根据多边形内角和定理求出内角和，进而求出，然后根据同旁内角互补两直线平行可得答案． 【详解】证明：∵五边形的内角和等于， ∴． ∵， ∴． ∴． 21. 证明：连续五个自然数的平方和是5的倍数． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了整式混合运算，设其中一个自然数为n，然后表示出其他的自然数，根据条件列出整式，化简即可得出答案． 【详解】证明：设五个自然数为，，，，（）， 则 ＝ ＝． ∵是整数， ∴是5的倍数． ∴连续五个自然数的平方和是5的倍数． 22. 如图为由等边三角形组成的网格纸． （1）先画出关于直线m对称的，再画出关于直线n对称的； （2）在（1）的条件下，可以看做由绕 顺时针旋转（）得到，则的值为 ． 【答案】（1）见解析 （2）点，120 【解析】 【分析】本题考查的是等边三角形的性质，画轴对称图形，旋转的性质； （1）分别根据对称轴确定图形中的对称点的位置，再顺次连接即可； （2）根据等边三角形的性质，结合旋转的性质可得答案． 【小问1详解】 解：画图如下． ； 【小问2详解】 解：由等边三角形的性质可得：， 在（1）的条件下，可以看做由绕点顺时针旋转（）得到，则的值为. 23. 如图为常州奥林匹克体育中心停车场收费标准（收费期间，不满15分钟部分按15分钟计算），本题中涉及的车辆均为非新能源车辆和非公（任）务车辆，且不享受图中的“收费优惠”．例如，一辆小型车和一辆大型车均连续停车3小时23分钟，则停车费分别为4元和8元． （1）一辆小型车连续停车5小时，则停车费为 元；一辆大型车连续停车5小时，则停车费为 元； （2）现一团队有小型车与大型车共6辆，同时连续停车5小时后共收费70元，求小型车与大型车各有多少辆？ （3）若一天中一辆小型车连续停车时间为小时，且停车费为12元，则的取值范围是 ． 【答案】（1）7，14 （2）小型车2辆，大型车4辆 （3） 【解析】 【分析】（1）根据停车收费标准，免费2小时，后面第1小时3元，以后每15分钟元（不满15分钟部分按15分钟计算，大型车双倍）计算即可； （2）设小型车辆，大型车辆，列方程组求解即可； （3）计算按元每15分钟的收费标准收费的时间，再加上免费停车时间和首次收费的1小时，根据24小时连续停放只收12元，即可求解． 【小问1详解】 解：由表可知，小型车首1小时是3元，超过则每15分钟元（大型车双倍）， ∵一辆小型车连续停车5小时，由于前120分钟免费，因此实际收费是后面2个小时， ∴费用为（元）， ∵大型车是小型车的双倍， ∴大型车费用为14元； 故答案为：7；14． 【小问2详解】 设小型车辆，大型车辆，则 解这个方程组，得， 答：小型车2辆，大型车4辆． 【小问3详解】 ，，且每个小时有4个15分钟， ∴1小时收费以外的时间为小时（收费期间，不满15分钟部分按15分钟计算）， ∵， ∴，24小时连续停放只收12元， ∴． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，不等式的应用，解题关键是理解题意，正确列出算式或方程求解． 24. 定义：若关于，的二元一次方程的一个解为，当时，则称为二元一次方程的“系相关解”．例如：是二元一次方程的“2系相关解”． （1）二元一次方程的“1系相关解”为 ； （2）下列二元一次方程存在“2系相关解”的是 （填序号）； ①；②；③． （3）为二元一次方程的“系相关解”，且，求的取值范围． 【答案】（1） （2）①，③ （3） 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程解，解二元一次方程组，解一元一次不等式，新定义等知识，理解新定义是解题的关键； （1）设是二元一次方程的“1系相关解”，则可得二元一次方程组，解方程组即可； （2）设是二元一次方程的“2系相关解”，即，与每个方程组成二元一次方程组，求解即可判断； （3）由题意得，则；由，可求得m的取值范围；再由即可求得k的取值范围． 【小问1详解】 解：设是二元一次方程的“1系相关解”，则得， 解得：，故； 故答案为：； 【小问2详解】 解：设是二元一次方程的“2系相关解”，即 ； 当时，，解得； 当时，方程组无解； 当时，，解得； 综上，二元一次方程存在“2系相关解”的是①，③； 故答案为：①，③； 【小问3详解】 解：由题意得，则． ∵， ∴． 解得． ∴． ∴，即． 25. 综合与实践 【问题情境】 如图1，在长方形中，，点E在边上，且． 【初步探究】 （1）如图2，连接，将长方形沿方向平移，得到长方形，连接，则四边形的面积是 ，与的数量关系是 ； 【拓展延伸】 （2）如图3，将长方形绕点E顺时针旋转，得到长方形． ①若旋转过程中，长方形与长方形重叠部分的图形为轴对称图形，请利用直尺与圆规在图4和图5中分别作出点C'（不写作法，保留作图痕迹，作出其中的2种情况），并写出对应的旋转角； ②若旋转过程中，边与边相交于点P，且，求的值． 【答案】（1）28，（2）①见解析②或310 【解析】 【分析】本题主要考查了平移的性质，全等三角形的性质和判定，平行线的性质， 对于（1），根据旋转的性质可知四边形的相关的量，再根据面积公式计算；然后证明，根据全等三角形的对应角相等得出答案； 对于（2）①，以点E为圆心，为半径画弧，使点C落在上，旋转角为，此时重叠部分是轴对称图形；以点E为圆心，为半径画弧，使点C落在上，旋转角为，此时重叠部分是轴对称图形； 对于②，（Ⅰ）根据长方形的性质得，即可求出答案； （Ⅱ）根据，可得，再根据长方形性质得，即可得出答案． 【详解】解：（1）根据平移的性质可得，且，四边形的高为4， ∴四边形的面积是； 连接， 根据平移的性质得， ∴， ∴． ∵， ∴； 故答案为：28，； （2）①①点C'位置正确，答案不唯一； ②（Ⅰ）∵长方形中，， ∴． ∴． ∵在长方形中，， ∴，即． （Ⅱ）∵， ∴． ∵在长方形中，， ∴． ∵在长方形中，， ∴． ∴． ∴或310． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$