天津市第一中学2024-2025学年高一下学期7月期末数学试题

天津一中 2024—2025—2高一年级 数学学科期末质量调查试卷 本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)、第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共100分，考试用时90分钟。第Ⅰ卷为第1页，第Ⅱ卷为第2-3页。考生务必将答案涂写规定的位置上，答在试卷上的无效。 祝各位考生考试顺利！ 参考公式：圆台表面积公式 其中l为母线长 第Ⅰ卷 一.选择题：(每小题3分，共30分)在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数z满足(1+i)z=5i-z, 则|z|= ( ) A. B. C. 3 D. 5 2.某同学统计了自2000年以来，中国代表队在历届奥运会获得金牌数如下(不含中国香港、中国台湾): 28, 32, 48, 38, 26, 38, 40, 则这组数据的70%分位数为( ) A. 26 B. 32 C. 35 D. 38 3.设m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面.下列命题中正确的命题是 () A. 若α⊥γ, β⊥γ, 则α∥β B. 若m∥α, α∥β, 则m∥β C 若α∥β, m⊥α, n⊥β, 则m∥n. D. 若m⊥n, n∥α, 则m⊥α 4. “k<3”是“向量 与向量 的夹角为钝角”的() A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 5.亭是我国古典园林中最具特色的建筑形式，它是逗留赏景的场所，也是园林风景的重要点缀.重檐圆亭(图1)是常见的一类亭，其顶层部分可以看作是--个圆锥以及--个圆台(图2)的组合体.已知某重檐凉亭的圆台部分的轴截面如图3所示，则该圆台部分的侧面积为() A. 3.8πm² 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 6.已知向量 且向量在向量上的投影向量为 则 A. 1 B. 2 7.2025年春节期间国产动漫电影《哪吒之魔童闹海》的爆火，引起人们对中国动漫产业的关注.某传媒公司为了了解中国动漫市场受众群体的年龄(单位：岁)占比情况，调查了某电影院某天观看动漫系列电影的观众的年龄情况, 并按照[8,18), [18,28), [28,38), [38,48), [48,58), [58,68]分组，得到如下频率分布表： 年龄分组 [8,18) [18,28) [28,38) [38,48) [48,58) [58,68] 频率 0.03 0.25 023 0.50 0.18 0.03 0.01 根据该表，估计中国动漫市场受众群体年龄的中位数为() A.36.6 B. 34.2 C.30.2 D. 32.4 8.连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次的点数，设事件A=“第一次出现2点”，B=“第二次的点数小于5点”，C=“两次点数之和为9”，D=“两次点数之和为奇数”，则下列说法不正确的是( ) A. B与A 不互斥且B与A 相互独立 B. B与C不互斥且B与C相互独立 C. C与A互斥且C与A 不相互独立 D. D与A不互斥且D与A相互独立 9.冰雹猜想又称考拉兹猜想、角谷猜想、3x+1猜想等，其描述为：任一正整数x，如果是奇数就乘以3再加1，如果是偶数就除以2，反复计算，最终都将会得到数字1.例如：给出正整数5，则进行这种反复运算的过程为5→16→8→4→2→1，即按照这种运算规律进行5次运算后得到1.若从正整数6，7，8，9，10中任取2个数按照上述运算规律进行运算，则运算次数均为偶数的概率为( ) 10. 在棱长为1的正方体. 中， ，E是线段B₁C (含端点)上的 一动点，①OE⊥BD₁ ②OE∥平面A₁C₁D ③三棱锥 的体积为定值；， ④OE与 所成的最大角为 上述命题中正确的个数是( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 第 2 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 第Ⅱ卷 二.填空题：(每小题4分，共24分) 11.已知向量 的夹角为 则 12.在复平面内，向量 对应的复数 绕点O逆时针旋转90°后对应的复数 为，则 = . 13.有一组样本数据：6，x₁，x₂，…，x₅，已知它的平均数为6，方差为10，则新数据 x₅的方差为 . 14. 《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案，河图的排列结构如图所示，一与六共宗居下，二与七为朋居上，三与八同道居左，四与九为友居右，五与十相守居中，其中白圈为阳数，黑点为阴数，若从阳数和阴数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为 . 15.如图所示，六氟化硫分子结构是六个氟原子处于顶点位置，而硫原子处于中心位置的正八面体，也可将其六个顶点看作正方体各个面的中心点.若正八面体的表面积为 则正八面体外接球的体积为 . 16.在边长为1的正方形ABCD中，E为线段 CD 的三等分点， 则λ+μ= ; F为线段BE上的动点, G为AF 中点, 则 的最小值为 . 三.解答题：(本大题共4小题共46分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。) 17. 在面积为S的△ABC中, 内角A,B,C, 所对的边分别为a,b,c, 且 (1)求角C; (2)若 求△ABC的周长; ()若△ABC为锐角三角形，且AB边上的高h为2，求 面积的取值范围. 第 3 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 18. “数学好玩”是国际著名数学家陈省身赠送给少年数学爱好者们的一句话.某校为了更好地培养学生创新精神和实践能力，激发学生钻研数学的兴趣和热情；特举办数学节活动.在活动中，共有20道数学问题，满分100分，在所有的答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩分成六段：[40,50)., [50;60), ……, [90,100], 得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中a的值，并估计该校全体学生这次数学成绩的中位数； (2)活动中，甲、乙、丙三位同学独立参加竞赛，已知甲同学答对了12道，乙同学答对了8道，丙同学答对了n道，假设每道数学问题难度相当，被答对的可能性都相同. (i)任选一道数学问题，求甲、乙两位同学恰有一人答对的概率； (ii)任选一道数学问题，若甲、乙、丙三个人中至少有一个人答对的概率为 求n的值. 19.如图，在四棱锥 中, AB //CD,AB⊥AD,O为棱AD的中点,PO⊥平面ABCD, (1)求证: (2)求C到平面POB 的距离; (3)求平面PAB与平面POB 夹角的余弦值. 19. 如图，三棱锥 中， 是边长为2的等边三角形， 平面ABD⊥平面BCD, P,M 分别为AD,C D的中点. (1)证明: (2)求MP与平面BPC所成角的余弦值； (3)求二面角的正弦值. 第 4 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $$