精品解析：湖南省长沙市望城区第二中学2024-2025学年高二下学期7月期末考试数学试题

高二期末数学试卷 一、单选题 1. 已知集合，集合，其中．若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 函数在点处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为（ ） A. B. C. D. 1 3. “”是“直线与直线垂直”（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知集合A，B满足，，则A，B可能是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 已知是奇函数，则在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 8. 实数，满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A B. C. D. 10. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 曲线恒过定点 B. 若，则的极小值为0 C. 若，则 D. 若，则的最大值大于 三、填空题 12. 化简：________. 13. 已知正边长为，内切圆圆心为，点满足，则_________. 14. 已知函数，且满足，则实数的值为__________. 四、解答题 15. 在△ABC中，a=3，b−c=2，cosB=． （Ⅰ）求b，c的值； （Ⅱ）求sin（B–C）的值． 16. 已知某校初二年级有1200名学生，在一次数学测试中，该年级所有学生的数学成绩全部在内.现从该校初二年级的学生中随机抽取100名学生的数学成绩，按，，，，分成5组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求的值； （2）估计该校初二年级学生这次数学测试的平均分（各组数据以该组数据的中点值作代表）； （3）记这次测试数学成绩不低于85分为“优秀”，估计该校初二年级这次测试数学成绩为“优秀”的学生人数. 17. 已知函数. （1）若为奇函数，求实数a的值； （2）在（1）的条件下，试判断在上的单调性并用定义法给出证明，写出此时的值域. 18. 单位圆O与x轴正半轴的交点为A，点B，C在圆O上，且点B在第一象限，点C在第二象限． （1）如图，当长为时，求线段BC与所围成的弓形（阴影部分）面积； （2）记，，当，点B的横坐标为时，求的值． 19. 已知函数部分图象如图所示. （1）求的解析式 （2）设若关于的不等式恒成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二期末数学试卷 一、单选题 1. 已知集合，集合，其中．若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】首先求出集合，依题意可得，即可求出的值. 【详解】由，则，解得，所以， 又，，即，所以. 故选：D 2. 函数在点处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】求导，根据导数的几何意义求切线方程，进而可得交点坐标和面积. 【详解】因为，则，可得， 即切点坐标，切线斜率为2， 则切线方程为，其与x轴交点为， 所以切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为. 故选：B. 3. “”是“直线与直线垂直”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由命题“直线与直线垂直”求出的范围，再根据充要关系判断即可 【详解】解：因为直线与直线垂直, 所以，所以或. 又因为“”可推得“或”,而“或”不能推得“”， 所以“”是“或”的充分不必要条件； 即“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件. 故选：A 4. 已知集合A，B满足，，则A，B可能是（ ） A. ， B ， C. ， D. ， 【答案】AC 【解析】 【分析】应用已知分别求交集及并集判断A，B，C选项，结合指数函数及对数函数值域判断D. 【详解】对于A，，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，由得所以，，C正确； 对于D，因为，，所以，D错误. 故选：AC. 5. 已知是奇函数，则在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据得，根据奇函数的以及对数的运算即可求解，求导得切线斜率，即可根据点斜式求解方程. 【详解】为奇函数，所以，解得， 所以，， 故，故，故， 解得， 由于，所以，所以，定义域为，关于原点对称，符合题意， 故，则，切点为， 故，故切线方程为. 故选：A 6. 已知，则（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用换元法结合诱导公式、倍角公式即可求解. 【详解】令，则， 所以， 故选：A. 7. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复合函数定义域之间的关系进行求解即可. 【详解】∵函数的定义域为，即，可得， ∴函数的定义域为， 令，解得， 故函数的定义域为. 故选：B. 8. 实数，满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】判断出点的轨迹，根据斜率、直线与圆的位置关系等知识求得正确答案. 【分析】方程，即， 所以是以，半径为的圆上的点， 表示点与点连线的斜率， 设直线与圆相切， 到直线的距离， 解得或， 所以的取值范围是. 故选：C 二、多选题 9. 已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据图可知阴影部分所表示的集合为，再利用交集补集定义可求出. 【详解】由图可知阴影部分所表示的集合为，故C正确； 因为， 所以，所以，故A正确. 故选：AC. 10. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据偶函数的定义和基本函数的性质逐个分析判断即可. 【详解】对于A，定义域为，令，因为， 所以此函数为偶函数，由幂函数性质可知函数在区间上单调递减， 所以A正确； 对于B，定义域为，令，因为， 所以此函数为偶函数，因为在上单调递减，所以B正确； 对于C，定义域为，为定义域递减的函数，不具有奇偶性，所以C错误； 对于D，定义域为，令，因为， 所以此函数为偶函数，当时，，因为在上单调递减， 所以D正确. 故选：ABD 11. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 曲线恒过定点 B. 若，则的极小值为0 C. 若，则 D. 若，则的最大值大于 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，求出即可；对于B，结合导数求出的极值即可；对于C，利用导数求出的单调性，结合单调性比较和的大小即可；对于D，结合导数求出的最大值为，令，利用导数的最值即可. 【详解】对于A，令，可得，所以曲线恒过，故A正确； 对于B，当时，，则， 令，解得：，当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减，所以的极大值为， 故B不正确； 对于C，，当，则，所以在上单调递增， 又，即，则，故C正确； 对于D，当时，由，解得：， 当时，，则在上单调递增，当，， 则在上单调递减， 所以， 令，则， 所以当时，，则在上单调递增， 所以，即的最大值大于， 而，故，即，所以D正确； 故选:ACD 三、填空题 12. 化简：________. 【答案】 【解析】 【分析】利用诱导公式和半角公式化简为，结合二倍角公式即可化简. 【详解】 . 故答案为： 【点睛】此题考查根据诱导公式和二倍角公式的关系进行三角恒等变换化简，关键在于熟练掌握相关公式. 13. 已知正的边长为，内切圆圆心为，点满足，则_________. 【答案】57 【解析】 【分析】根据向量加法运算有，，，根据等边三角形的性质有，，代入计算即可得出结果. 【详解】 ， 同理可得， ， 又有，， 所以，原式. 故答案为：57 14. 已知函数，且满足，则实数的值为__________. 【答案】1 【解析】 【分析】构造函数，证明其为奇函数且单调递增，再对不等式变形为，即，则得到，再利用导数即可得到值. 【详解】令，其定义域为为， 则，则为奇函数， 且， 因为和在上均单调递增，且恒成立， 则在上单调递增， 由得， 即，则 令，则，当时，单调递减，当时，单调递增， 故时取最小值0， 故不等式的解为. 故答案为：1. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造，再利用其单调性和奇偶性得到不等式，最后利用导数即可. 四、解答题 15. 在△ABC中，a=3，b−c=2，cosB=． （Ⅰ）求b，c的值； （Ⅱ）求sin（B–C）的值． 【答案】(Ⅰ) ； (Ⅱ) . 【解析】 【分析】(Ⅰ)由题意列出关于a,b,c的方程组，求解方程组即可确定b,c的值； (Ⅱ)由题意结合正弦定理和两角和差正余弦公式可得的值. 【详解】(Ⅰ)由题意可得：，解得：. (Ⅱ)由同角三角函数基本关系可得：， 结合正弦定理可得：， 很明显角C为锐角，故， 故. 【点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理的应用，两角和差正余弦公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 16. 已知某校初二年级有1200名学生，在一次数学测试中，该年级所有学生的数学成绩全部在内.现从该校初二年级的学生中随机抽取100名学生的数学成绩，按，，，，分成5组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求的值； （2）估计该校初二年级学生这次数学测试平均分（各组数据以该组数据的中点值作代表）； （3）记这次测试数学成绩不低于85分为“优秀”，估计该校初二年级这次测试数学成绩为“优秀”的学生人数. 【答案】（1） （2）73 （3）180 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中，频率之和为1即可求解， （2）根据频率分布直方图中平均数的计算公式即可求解， （3）根据频率估计概率，即可求解人数. 【小问1详解】 由频率分布直方图可得，解得． 【小问2详解】 由题意，估计平均分分. 【小问3详解】 由频率分布直方图可知这次测试数学成绩为“优秀”的频率为， 则该校初二年级这次测试数学成绩为“优秀”的频率为0.15， 故估计该校初二年级这次测试数学成绩为“优秀”的学生人数为． 17. 已知函数. （1）若为奇函数，求实数a的值； （2）在（1）的条件下，试判断在上的单调性并用定义法给出证明，写出此时的值域. 【答案】（1）1 （2）单调递增，证明见解析， 【解析】 【分析】（1）利用函数为奇函数的性质求解即可； （2）根据函数单调性的定义证明并利用单调性求值域. 【小问1详解】 因为，定义域为，且为奇函数， 所以， 所以， 即，解得. 【小问2详解】 由（1）知，，在上单调递增， 证明如下： 设，且， 则， 因为，所以，，， 所以，即， 所以在上单调递增. 由的单调性可知，，即， 所以的值域为. 18. 单位圆O与x轴正半轴的交点为A，点B，C在圆O上，且点B在第一象限，点C在第二象限． （1）如图，当的长为时，求线段BC与所围成的弓形（阴影部分）面积； （2）记，，当，点B的横坐标为时，求的值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）设弧长及圆心角，应用扇形面积公式计算求解即可； （2）先由已知得进而得出，，最后应用诱导公式计算求解即可. 【小问1详解】 设所对的圆心角为，弧长为l，弓形的面积为S． 因为，圆O的半径为，所以， ，，． 【小问2详解】 设，由题知， 于是，， ．即． 19. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求的解析式 （2）设若关于的不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）由图求出、、和的值，即可写出的解析式； （2）由（1）可得的解析式，设，问题等价于在，上恒成立，列出不等式组求出的取值范围． 【详解】解：（1）由图可知，， 解得，所以，所以； 因为的图象过点，，所以，解得，； 因为，所以， 所以； （2）由（1）可得 ； 设，因为，所以； 又因为不等式恒成立， 即在，上恒成立， 则，即， 解得， 所以的取值范围是． 【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了不等式恒成立问题，已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法： (1)由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ. (2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$