专题02：集合的表示方法（4大知识点+7大题型+真题检验）讲义-2025年初升高衔接沪教版（2020）数学

2025年上海高一数学暑假班预修提升课程 专题01 集合的表示方法 知识点1、列举法： 把集合中的元素不重复地一一列举出来，并用一对大括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法；【注：相邻元素之间用逗号分隔】，这种表示集合的方法叫做列举法； 【注意】（1）应用列举法表示集合时应关注以下四点： ①元素与元素之间必须用“，”隔开； ②集合中的元素必须是明确的； ③集合中的元素不能重复； ④集合中的元素可以是任何事物； （2）a与{a}是完全不同的，{a}表示一个集合，这个集合由一个元素a构成，a是集合{a}的元素； 知识点2、描述法： （1）集合的特征性质：如果在集合I中，属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有性质p(x)，则性质p(x)叫做集合A的一个特征性质； （2）描述法：一般地，设A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为A={x|x满足性质p}，这种表示集合的方法称为描述法； 【注意】（1）应用描述法表示集合时应关注以下三点： ①写清楚集合中元素的符号，如：数或点等； ②说明该集合中元素的共同特征，如：方程、不等式、函数式或几何图形等； ③不能出现未被说明的字母； （2） 注意区分以下四个集合： ①A＝{x|y＝x2＋1}表示使函数y＝x2＋1有意义的自变量x的取值范围，且x的取值范围是R，因此A＝R； ②B＝{y|y＝x2＋1}表示使函数y＝x2＋1有意义的函数值y的取值范围，而y的取值范围是y＝x2＋1≥1，因此B＝{y|y≥1}； ③C＝{(x，y)|y＝x2＋1}表示满足y＝x2＋1的点(x，y)组成的集合，因此C表示函数y＝x2＋1的图像上的点组成的集合； ④P＝{y＝x2＋1}是用列举法表示的集合，该集合中只有一个元素，且此元素是一个式子y＝x2＋1。 知识点3、区间的概念及表示 （1）区间的定义及表示：设a，b是两个实数，而且a<b. 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 半开半闭区间 [a，b) {x|a<x≤b} 半开半闭区间 (a，b] （2）无穷的概念及无穷区间的表示 定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a} 符号 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a) 【注意】关于无穷大的两点说明：（1）“∞”是一个符号，而不是一个数；（2）以“－∞”或“＋∞”为端点时，区间这一端必须是小括号； 知识点4、集合表示方法的选择 (1)根据要表示的集合元素的特点，选择适当方法表示集合，一般要符合最简原则. (2)一般情况下，元素个数无限的集合不宜用列举法表示，描述法既可以表示元素个数无限的集合，也可以表示元素个数有限的集合. 题型一、用列举法表示集合 【名师点拨】（1）花括号“{ }”表示“所有”“整体”的含义，如：实数集R可以写为{实数}，但如果写成：{实数集}、{全体实数}、{R}都是不确切的；（2）用列举法表示集合时，要求元素不重复、不遗漏；（3）二元方程组的解集，函数图象上的点构成的集合都是点的集合，一定要写成实数对的形式，元素与元素之间用“，”隔开．如{(2,3)，(5，－1)}． 【例1】方程组的解集是（　　） A．{（1，﹣1），（﹣1，1）} B．{（1，1），（﹣2，2）} C．{（1，﹣1），（﹣2，2）} D．{（2，﹣2），（﹣2，2）} 【例2】用列举法表示下列集合． (1)不大于10的非负偶数组成的集合A； (2)小于8的质数组成的集合B； (3)方程的实数根组成的集合C； (4)一次函数与的图象的交点组成的集合D． 【跟踪训练】 1.二元一次方程组 的解集是（    ） A． B． C． D． 2.若A＝{1，2，3}，B＝{3，5}，用列举法表示A*B＝{2a﹣b|a∈A，b∈B}＝　 　． 3.用列举法表示下列集合： (1)方程的解组成的集合； (2)“Welcome”中的所有字母构成的集合； (3)函数的图象与坐标轴的交点组成的集合． 题型二、用描述法表示集合 【名师点拨】 （1）写清楚该集合代表元素的符号．例如，集合{x∈R|x<1}不能写成{x<1}； （2）所有描述的内容都要写在大括号内．例如，{x∈Z|x＝2k}，k∈Z，这种表达方式就不符合要求，需将k∈Z也写进大括号内，即{x∈Z|x＝2k，k∈Z}； （3）不能出现未被说明的字母； （4）在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写；例如，方程x2－2x＋1＝0的实数解集可表示为{x∈R|x2－2x＋1＝0}，也可写成{x|x2－2x＋1＝0}； 【例3】用描述法表示下列集合： (1)平面直角坐标系中的x轴上的点组成的集合； (2)抛物线上的点组成的集合； (3)使函数有意义的实数x组成的集合． 【跟踪训练】 1.用描述法表示下列集合： (1)被7除余1的正整数组成的集合； (2)平面直角坐标系中第一象限和第三象限的点组成的集合； (3)函数的图像上所有的点组成的集合． 2.试用描述法表示下列集合. (1)方程的所有实数根组成的集合； (2)由大于10且小于20的所有整数组成的集合； (3)二次函数图象上的所有点组成的集合. 3.用描述法表示下列集合． (1)所有不在第一、三象限的点组成的集合； (2)所有被3除余1的整数组成的集合； (3)使有意义的实数x组成的集合． (4)方程的解集． 4.直角坐标平面中除去两点、可用集合表示为　　 A．，，， B．或 C．， D．， 题型三、区间及其表示 【名师点拨】解决区间问题应注意的五点：（1）区间的左端点必须小于右端点，有时我们将b－a称为区间长度，对于只有一个元素的集合我们仍然用集合来表示，如{a}；（2）注意开区间(a，b)与点(a，b)在具体情景中的区别；（3）用数轴来表示区间时，要特别注意实心点与空心圆的区别；（4）对于一个不等式的解集，我们既可以用集合形式来表示，也可以用区间形式来表示；（5）要注意区间表示实数集的几条原则，数集是连续的，左小，右大，开或闭不能混淆，用“∞”作为区间端点时，要用开区间符号。 【例4】把下列数集用区间表示： （1）、；（2）、{x|x＜0}；（3）、{x|－2＜x≤3}；（4）、{x|－3≤x＜2}；（5）、{x|－1＜x＜6}。 　 【例5】（1）{x|－1≤x≤2}可用区间表示为 ； （2）{x|1<x≤3}可用区间表示为 ； （3）{x|x>2}可用区间表示为 ； （4）{x|x≤－2}可用区间表示为 ； 【跟踪训练】 1．已知区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.用区间表示下列数集. (1)；(2)；(3)；(4)； 题型四、集合表示方法的选择 【名师点拨】(1)根据要表示的集合元素的特点，选择适当方法表示集合，一般要符合最简原则. (2)一般情况下，元素个数无限的集合不宜用列举法表示，描述法既可以表示元素个数无限的集合，也可以表示元素个数有限的集合. 【例6】已知集合，则用列举法表示（    ） A． B． C． D． 【例7】集合用列举法表示为（    ） A． B． C． D． 【例8】用适当的方法表示下列集合： （1）由1，2，3三个数字中的两个数字（没有重复数字）所组成的自然数的集合； （2）方程的解集． 【跟踪训练】 1.选择适当的方法表示下列集合： (1)不小于1且不大于17的质数组成的集合A； (2)所有正奇数组成的集合B； (3)绝对值不大于3的所有整数组成的集合C； (4)直角坐标平面上，抛物线上的点组成的集合D． 2．用适当的方法表示下列集合： (1)一年中有31天的月份的全体； (2)大于小于12.8的整数的全体； (3)梯形的全体构成的集合； (4)所有能被3整除的数的集合； 3.把下列集合用另一种方法表示出来： （1）； （2）由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数； （3）； （4）中国古代四大发明 题型五、集合表示方法的综合应用（表示同一集合） 【例9】下列表示同一集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【跟踪训练】 1.下列与集合表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 2.下列四组中表示同一集合的为（    ） A．， B．， C．， D．， 3.下面说法中，正确的为（    ） A．且或 B． C． D．集合不满足元素的互异性 题型六、集合表示方法的综合应用（元素个数问题） 【例10】设集合，若且，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【例11】集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}， （1）若集合A中只有一个元素，求实数k的值组成的集合； （2）若集合A中“有两个元素”，求实数k的值组成的集合； （2）若集合A中“至少有一个元素”，求实数k的值组成的集合； 【跟踪训练】 1.已知集合A＝{x|ax2+3x+1＝0}中有且只有一个元素，求由实数a组成的集合． 2.已知集合. (1)若A中只有一个元素，求的值； (2)若A中至少有一个元素，求的取值范围. 3.已知，集合. (1)若A是空集，求实数a的取值范围； (2)若集合A中只有一个元素，求集合A； (3)若集合A中至少有一个元素，求实数a的取值范围. 题型七、集合新定义问题 【例12】定义集合的一种运算：，若，则中的元素个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例13】定义集合运算，若，，则既有元素之和为（） A．48 B．54 C．42 D．36 【例14】对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或都为正奇数时，；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，，则在此定义下，集合中的元素个数是（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 一、填空题 1．（2024松江区高一期中）10的所有正因数组成的集合用列举法表示为__________. 2．（2023上海·高一专题练习）用描述法表示图中的阴影部分（包括边界）___________． 3.（2024徐汇区高一期中）若为一确定区间，则的取值范围为 . 4．（2023上海·高一专题练习）集合表示的区间是________． 5．（2023上海·高一专题练习）集合且用区间表示为__________________． 6．（2023上海·格致中学高一阶段练习）已知集合A＝{1，2，3，4，5，6}，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，x﹣y∈A}，则B中所含元素的个数为_________． 7．（2020·上海·高一单元测试）若集合，则集合中的元素个数为____________． 8．（2024黄浦区高一期中）已知集合，若，则实数 . 9．（2024奉贤区高一期中）已知集合中至多有一个元素，则a的取值范围是 ． 10.（2024华师大二附中高一期中）下列说法中正确的序号是 ①0与{0}表示同一个集合； ②由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}； ③方程(x－1)2(x－2)＝0的所有解组成的集合可表示为{1，1，2}； ④集合{x|4<x<5}可以用列举法表示． 12．（2024青浦区高一期中）定义集合运算，设集合，则集合 . 二、选择题 13．（2024延安中学高一期中）方程组的解集是（    ） A．，或 B． C． D． 14．（2023上海·高一专题练习）用描述法表示函数y＝3x＋1图象上的所有点的是(　　) A．{x|y＝3x＋1} B．{y|y＝3x＋1} C．{(x，y)|y＝3x＋1} D．{y＝3x＋1} 15.（2024松江区高一期中）若集合A＝{x|kx2＋4x＋4＝0，x∈R}只有一个元素，则实数k的值为(　　) A．0 B．1 C．0或1 D．2 16.（2024普陀区高一期中）设P、Q为两个实数集，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P＝{0，2，5}，Q＝{1，2，6}，则P＋Q中元素的个数是(　　) A．9 B．8 C．7 D．6 3、 解答题 17．（2024金山区高一期中）下面三个集合：请说说它们各自代表的含义． 18．（2023上海·高一专题练习）用列举法表示下列集合： （1）方程x2＝2x的所有实数解组成的集合； （2）直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合； （3）由所有正整数构成的集合． 19．（2023上海·高一专题练习）用描述法表示下列集合： （1）比1大又比10小的实数组成的集合； （2）不等式的所有解； （3）到两坐标轴距离相等的点的集合． 20.（2024上海课时练习）用区间表示下列集合： (1)； (2)不等式的所有解组成的集合． 21.用区间表示下列集合： (1)； (2)． 22．用适当的方法表示下列集合． (1)方程组 的解集； (2)由所有小于13的既是奇数又是质数的自然数组成的集合； (3)方程的实数根组成的集合； (4)二次函数的图象上所有的点组成的集合； (5)二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合． 23．已知集合. (1)若是空集，求的取值范围； (2)若中只有一个元素，求的值，并求集合； (3)若中至多有一个元素，求的取值范围 24．（2024松江区高一期中）已知集合，a为实数. (1)若集合A是空集，求实数a的取值范围； (2)若集合A是单元素集，求实数a的值； (3)若集合A中元素个数为偶数，求实数a的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年上海高一数学暑假班预修提升课程 专题01 集合的表示方法 知识点1、列举法： 把集合中的元素不重复地一一列举出来，并用一对大括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法；【注：相邻元素之间用逗号分隔】，这种表示集合的方法叫做列举法； 【注意】（1）应用列举法表示集合时应关注以下四点： ①元素与元素之间必须用“，”隔开； ②集合中的元素必须是明确的； ③集合中的元素不能重复； ④集合中的元素可以是任何事物； （2）a与{a}是完全不同的，{a}表示一个集合，这个集合由一个元素a构成，a是集合{a}的元素； 知识点2、描述法： （1）集合的特征性质：如果在集合I中，属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有性质p(x)，则性质p(x)叫做集合A的一个特征性质； （2）描述法：一般地，设A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为A={x|x满足性质p}，这种表示集合的方法称为描述法； 【注意】（1）应用描述法表示集合时应关注以下三点： ①写清楚集合中元素的符号，如：数或点等； ②说明该集合中元素的共同特征，如：方程、不等式、函数式或几何图形等； ③不能出现未被说明的字母； （2） 注意区分以下四个集合： ①A＝{x|y＝x2＋1}表示使函数y＝x2＋1有意义的自变量x的取值范围，且x的取值范围是R，因此A＝R； ②B＝{y|y＝x2＋1}表示使函数y＝x2＋1有意义的函数值y的取值范围，而y的取值范围是y＝x2＋1≥1，因此B＝{y|y≥1}； ③C＝{(x，y)|y＝x2＋1}表示满足y＝x2＋1的点(x，y)组成的集合，因此C表示函数y＝x2＋1的图像上的点组成的集合； ④P＝{y＝x2＋1}是用列举法表示的集合，该集合中只有一个元素，且此元素是一个式子y＝x2＋1。 知识点3、区间的概念及表示 （1）区间的定义及表示：设a，b是两个实数，而且a<b. 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 半开半闭区间 [a，b) {x|a<x≤b} 半开半闭区间 (a，b] （2）无穷的概念及无穷区间的表示 定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a} 符号 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a) 【注意】关于无穷大的两点说明：（1）“∞”是一个符号，而不是一个数；（2）以“－∞”或“＋∞”为端点时，区间这一端必须是小括号； 知识点4、集合表示方法的选择 (1)根据要表示的集合元素的特点，选择适当方法表示集合，一般要符合最简原则. (2)一般情况下，元素个数无限的集合不宜用列举法表示，描述法既可以表示元素个数无限的集合，也可以表示元素个数有限的集合. 题型一、用列举法表示集合 【名师点拨】（1）花括号“{ }”表示“所有”“整体”的含义，如：实数集R可以写为{实数}，但如果写成：{实数集}、{全体实数}、{R}都是不确切的；（2）用列举法表示集合时，要求元素不重复、不遗漏；（3）二元方程组的解集，函数图象上的点构成的集合都是点的集合，一定要写成实数对的形式，元素与元素之间用“，”隔开．如{(2,3)，(5，－1)}． 【例1】方程组的解集是（　　） A．{（1，﹣1），（﹣1，1）} B．{（1，1），（﹣2，2）} C．{（1，﹣1），（﹣2，2）} D．{（2，﹣2），（﹣2，2）} 【分析】解原方程组得出x，y的值，然后写出原方程组的解集即可． 【解答】解：解得，或， ∴原方程组的解集为：{（1，﹣1），（﹣2，2）}． 故选：C． 【点评】本题考查了列举法的定义，考查了计算能力，属于基础题． 【例2】用列举法表示下列集合． (1)不大于10的非负偶数组成的集合A； (2)小于8的质数组成的集合B； (3)方程的实数根组成的集合C； (4)一次函数与的图象的交点组成的集合D． 【解题思路】由题意，依次求出（1）、（2）、（3）、（4）集合中的元素，再用列举法写出即可． 【解答过程】（1）不大于10的非负偶数有， 所以； （2）小于8的质数有，所以； （3）方程的实数根为， 所以． （4）由，得， 所以一次函数与图象的交点为， 所以． 【跟踪训练】 1.二元一次方程组 的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用代入消元法解二元二次方程组，用集合表示解集即可. 【详解】由，所以二元一次方程组 的解集是， 故选：B 2.若A＝{1，2，3}，B＝{3，5}，用列举法表示A*B＝{2a﹣b|a∈A，b∈B}＝　 　． 【分析】由即时定义，结合集合的表示法得：A*B＝{﹣3，﹣1，1，3}，得解 【解答】解：因为A＝{1，2，3}，B＝{3，5}，又A*B＝{2a﹣b|a∈A，b∈B}， 所以A*B＝{﹣3，﹣1，1，3}， 故答案为：{﹣3，﹣1，1，3} 【点评】本题考查了集合的表示法，属简单题 3.用列举法表示下列集合： (1)方程的解组成的集合； (2)“Welcome”中的所有字母构成的集合； (3)函数的图象与坐标轴的交点组成的集合． 【解题思路】（1）根据一元二次方程的根，由列举法即可求解； （2）分析“Welcome”中包含的字母，即可由列举法求解； （3）求解函数与坐标轴的交点坐标，即可由列举法求解. 【解答过程】（1）方程的解为1或2，因此可以用列举法表示为. （2）由于“Welcome”中包含的字母有W，e，l，c，o，m共6个元素， 因此可以用列举法表示为． （3）函数y的图象与x轴的交点为，与y轴的交点为，因 此可以用列举法表示为． 题型二、用描述法表示集合 【名师点拨】 （1）写清楚该集合代表元素的符号．例如，集合{x∈R|x<1}不能写成{x<1}； （2）所有描述的内容都要写在大括号内．例如，{x∈Z|x＝2k}，k∈Z，这种表达方式就不符合要求，需将k∈Z也写进大括号内，即{x∈Z|x＝2k，k∈Z}； （3）不能出现未被说明的字母； （4）在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写；例如，方程x2－2x＋1＝0的实数解集可表示为{x∈R|x2－2x＋1＝0}，也可写成{x|x2－2x＋1＝0}； 【例3】用描述法表示下列集合： (1)平面直角坐标系中的x轴上的点组成的集合； (2)抛物线上的点组成的集合； (3)使函数有意义的实数x组成的集合． 【解题思路】（1）（2）（3）根据各项文字描述写出集合的描述形式即可. 【解答过程】（1）由x轴上的点的特征为，故集合为； （2）由点在抛物线上，故集合为； （3）由，则，故集合为. 【跟踪训练】 1.用描述法表示下列集合： (1)被7除余1的正整数组成的集合； (2)平面直角坐标系中第一象限和第三象限的点组成的集合； (3)函数的图像上所有的点组成的集合． 【解题思路】用集合的描述法来表示即可. 【解答过程】（1）被7除余1的正整数组成的集合是； （2）平面直角坐标系中第一象限和第三象限的点组成的集合是； （3）函数的图像上所有的点组成的集合是. 2.试用描述法表示下列集合. (1)方程的所有实数根组成的集合； (2)由大于10且小于20的所有整数组成的集合； (3)二次函数图象上的所有点组成的集合. 【解题思路】直接用描述法得到答案. 【解答过程】（1）设方程的实数根为，并且满足条件， 用描述法表示为. （2）设大于10且小于20的整数为x，它满足条件，且， 故用描述法表示为. （3）二次函数图象上的所有的点用描述法表示为. 3.用描述法表示下列集合． (1)所有不在第一、三象限的点组成的集合； (2)所有被3除余1的整数组成的集合； (3)使有意义的实数x组成的集合． (4)方程的解集． 【解题思路】（1）根据点的特点得出解集； （2）根据被3除余1的整数可表示为得出解集； （3）解不等式即可； （4）解方程得出解集. 【解答过程】（1）∵不在第一、三象限的点分布在第二、四象限或坐标轴上， ∴所有不在第一、三象限的点组成的集合为． （2）∵被3除余1的整数可表示为，∴所有被3除余1的整数组成的集合为 ． （3）要使有意义．则．解得且． ∴使有意义的实数x组成的集合为且． （3） 由，解得．∴方程的解集为 4.直角坐标平面中除去两点、可用集合表示为　　 A．，，， B．或 C．， D．， 【分析】直角坐标平面中除去两点、，其余的点全部在集合中，逐一排除法． 【解答】解：直角坐标平面中除去两点、，其余的点全部在集合中， 选项中除去的是四条线； 选项中是一个或字，没有同时排除两点； 选项符合题意； 选项不能同时排除，两点． 故选：． 【点评】本题考查了集合的基本概念，属于基础题． 题型三、区间及其表示 【名师点拨】解决区间问题应注意的五点：（1）区间的左端点必须小于右端点，有时我们将b－a称为区间长度，对于只有一个元素的集合我们仍然用集合来表示，如{a}；（2）注意开区间(a，b)与点(a，b)在具体情景中的区别；（3）用数轴来表示区间时，要特别注意实心点与空心圆的区别；（4）对于一个不等式的解集，我们既可以用集合形式来表示，也可以用区间形式来表示；（5）要注意区间表示实数集的几条原则，数集是连续的，左小，右大，开或闭不能混淆，用“∞”作为区间端点时，要用开区间符号。 【例4】把下列数集用区间表示： （1）、；（2）、{x|x＜0}；（3）、{x|－2＜x≤3}；（4）、{x|－3≤x＜2}；（5）、{x|－1＜x＜6}。 【解析】：（1）；（2）(－∞，0)；（3）(－2，3]；（4）[－3，2)；（5）(－1，6)； 　 【例5】（1）{x|－1≤x≤2}可用区间表示为 ； （2）{x|1<x≤3}可用区间表示为 ； （3）{x|x>2}可用区间表示为 ； （4）{x|x≤－2}可用区间表示为 ； 答案：（1）[－1，2]；　（2）(1，3]；（3）(2，＋∞)；（4）(－∞，－2] 【跟踪训练】 1．已知区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据区间的定义，即可列式求解. 【详解】根据区间的定义，可知，得. 故选：A 2.用区间表示下列数集. (1)；(2)；(3)；(4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据集合与区间的关系求得正确答案. 【详解】（1）集合为，对应区间为. （2）集合为，对应区间为. （3）集合为，对应区间为. （4）集合为，对应区间为. 题型四、集合表示方法的选择 【名师点拨】(1)根据要表示的集合元素的特点，选择适当方法表示集合，一般要符合最简原则. (2)一般情况下，元素个数无限的集合不宜用列举法表示，描述法既可以表示元素个数无限的集合，也可以表示元素个数有限的集合. 【例6】已知集合，则用列举法表示（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由，结合得的值即可求解. 【解答过程】由得，，即， 又，∴ 故 . 故选：C. 【例7】集合用列举法表示为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意整理可得集合，结合常用数集分析判断即可. 【解答过程】由题意可得：集合. 故选：B． 【例8】用适当的方法表示下列集合： （1）由1，2，3三个数字中的两个数字（没有重复数字）所组成的自然数的集合； （2）方程的解集． 【分析】（1）直接用列举法即可； （2）由多个非负数的和为零，可得每个非负数均为零，则由即可解得方程的解，利用点的集合的表示方法写出； 【解答】解：（1）由1，2，3三个数字中的两个数字（没有重复数字）组成的自然数有12，21，13，31，23，32， 用列举法可表示为{12，21，13，31，23，32}． （2）由，得，即，所以原方程解集为{（）}． 故答案为：（1）{12，21，13，31，23，32}； （2）{（）}． 【点评】本题考查了集合列举法，以及点的集合表示方法，还考查了非负数和为的解，属于简单题． 【跟踪训练】 1.选择适当的方法表示下列集合： (1)不小于1且不大于17的质数组成的集合A； (2)所有正奇数组成的集合B； (3)绝对值不大于3的所有整数组成的集合C； (4)直角坐标平面上，抛物线上的点组成的集合D． 【答案】(1)(2)(3) (4) 【解析】(1)不小于1且不大于17的质数有，用列举法表示：； (2)所有正奇数有无数个，用描述法表示：； (3)绝对值不大于3的所有整数只有，用列举法表示：； (4)直角坐标平面上，抛物线上的点，用描述法表示：． 2．用适当的方法表示下列集合： (1)一年中有31天的月份的全体； (2)大于小于12.8的整数的全体； (3)梯形的全体构成的集合； (4)所有能被3整除的数的集合； 【答案】(1){1月,3月,5月,7月,8月,10月,12月}． (2)． (3){a|a是梯形}或{梯形}． (4)． 【分析】（1）（2）利用列举法表示集合. （3）利用描述法或列举法表示集合. （4）利用描述法表示集合. 【详解】（1）一年中有31天的月份的全体为：{1月,3月,5月,7月,8月,10月,12月}. （2）大于小于12.8的整数的全体为：. （3）梯形的全体构成的集合为：{a|a是梯形}或{梯形}. （4）所有能被3整除的数的集合为：. 3.把下列集合用另一种方法表示出来： （1）； （2）由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数； （3）； （4）中国古代四大发明 【答案】（1）{且} （2） （3） （4）{造纸术，印刷术，指南针，火药} 【解析】（1）{且}. （2）由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数： . （3）. （4）中国古代四大发明：{造纸术，印刷术，指南针，火药} 题型五、集合表示方法的综合应用（表示同一集合） 【例9】下列表示同一集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据集合的概念及相同集合的性质判断各选项集合是否相同即可. 【详解】A：集合中的元素不为同一个点，不是同一集合，故A错误； B、D：集合的元素不同，一个是数，一个是实数对，不是同一集合，故BD错误； C：根据集合元素的无序性，可知集合，即为同一集合，故C正确； 故选：C 【跟踪训练】 1.下列与集合表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的定义及表示方法求解即可. 【详解】由解得或， 所以，C正确； 选项A不是集合，选项D是两条直线构成的集合，选项B表示点集， 故选：C 2.下列四组中表示同一集合的为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据集合元素的性质逐一判断即可. 【详解】选项A：两个集合中元素对应的坐标不同，A错误； 选项B：集合中的元素具有无序性，两个集合是同一集合，B正确； 选项C：两个集合研究的对象不同，一个是点集，一个是数集，C错误； 选项D：是以0为元素的集合，是数字0，D错误. 故选：B 3.下面说法中，正确的为（    ） A．且或 B． C． D．集合不满足元素的互异性 【答案】C 【分析】根据集合的定义以及集合相等的定义逐项分析判断. 【详解】对于选项A：例如且，但或， 所以且或，故A错误； 对于选项B：集合是点集，集合是数集， 两个集合的元素不相同，所以，故B错误； 对于选项C：因为集合元素相同， 所以，故C正确； 对于选项D：集合只有一个元素，符合集合的互异性，故D错误； 故选：C. 题型六、集合表示方法的综合应用（元素个数问题） 【例10】设集合，若且，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为集合，而且， 且，解得．故选：C． 【例11】集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}， （1）若集合A中只有一个元素，求实数k的值组成的集合； （2）若集合A中“有两个元素”，求实数k的值组成的集合； （2）若集合A中“至少有一个元素”，求实数k的值组成的集合； 解：（1）①当k＝0时，方程kx2－8x＋16＝0变为－8x＋16＝0，解得x＝2，满足题意； ②当k≠0时，要使集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}中只有一个元素，则方程kx2－8x＋16＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝64－64k＝0，解得k＝1，此时集合A＝{4}，满足题意． 综上所述，k＝0或k＝1，故实数k的值组成的集合为{0,1}． （2）解　由题意可知，方程kx2－8x＋16＝0有两个不等实根， 故k≠0，且Δ＝64－64k>0，即k<1，且k≠0，所以实数k组成的集合为{k|k<1，且k≠0}； （3）由题意可知，方程kx2－8x＋16＝0至少有一个实数根． ①当k＝0时，由－8x＋16＝0得x＝2，符合题意； ②当k≠0时，要使方程kx2－8x＋16＝0至少有一个实数根，则Δ＝64－64k≥0，即k≤1，且k≠0. 综合①②可知，实数k的取值范围为{k|k≤1}． 反思感悟：（1）若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键；(2)在学习过程中要注意数学素养的培养，用到了等价转化思想和分类讨论的思想． 【跟踪训练】 1.已知集合A＝{x|ax2+3x+1＝0}中有且只有一个元素，求由实数a组成的集合． 【答案】 【分析】分a＝0和 a≠0两种情况讨论得解. 【详解】∵集合A＝{x|ax2+3x+1＝0}中有且只有一个元素， 当a＝0时，，符合题意； 当a≠0时，要使A只有一个元素，需要满足Δ＝9﹣4a＝0，即； 综上所述，由实数a组成的集合为． 2.已知集合. (1)若A中只有一个元素，求的值； (2)若A中至少有一个元素，求的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】(1)针对和两种情况分类讨论，再转化为一元一次方程和一元二次方程分别得出的值即可 (2)确定A中有两个元素，可转化为一元二次方程两个不相等实数根进行求解，再结合第一问一个元素 的情况即可得出的取值范围 【详解】（1）由题意，当时，，得，集合A只有一个元素，满足条件；当时， 为一元二次方程，，得，集合A只有一个元素， A中只有一个元素时或. （2）由A中至少有一个元素包含两种情况，一个元素和两个元素，A中有两个元素时，并且 ，得且，再结合A中一个元素的情况，的取值范围为. 3.已知，集合. (1)若A是空集，求实数a的取值范围； (2)若集合A中只有一个元素，求集合A； (3)若集合A中至少有一个元素，求实数a的取值范围. 【答案】(1)； (2)当时，；当时，； (3). 【分析】（1）根据空集，结合一元二次方程的判别式求参数范围； （2）（3）讨论、，结合集合元素个数及一元二次方程判别式求集合或参数范围. 【详解】（1）若A是空集，则关于x的方程无解， 此时，且， 所以，即实数a的取值范围是. （2）当时，，符合题意； 当时，关于x的方程应有两个相等的实数根， 则，得，此时，符合题意. 综上，当时；当时. （3）当时，，符合题意； 当时，要使关于x的方程有实数根，则，得. 综上，若集合A中至少有一个元素，则实数a的取值范围为. 题型七、集合新定义问题 【例12】定义集合的一种运算：，若，则中的元素个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】计算可求得，可得结论. 【解答过程】因为， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 所以， 故中的元素个数为3. 故选：C. 【例13】定义集合运算，若，，则既有元素之和为（） A．48 B．54 C．42 D．36 【解题思路】首先根据集合和中的元素，按照新定义求出的所有元素，然后再求这些元素之和. 【解答过程】当时，. 当时，. 当时，. 当时，. 当时，. 当时，. 所以. 再求元素之和： 故选：D. 【例14】对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或都为正奇数时，；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，，则在此定义下，集合中的元素个数是（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 【解题思路】根据定义结合已知条件，对分都是正偶数，都是正奇数，一个为正偶数，另一个为正奇数三种情况讨论即可求解 【解答过程】（1）m，n都是正偶数时： m从2，4，6任取一个有3种取法，而对应的n有一种取法； ∴有3种取法，即这种情况下集合M有3个元素； （2）m，n都为正奇数时： m从1，3，5，7任取一个有4种取法，而对应的n有一种取法； ∴有4种取法，即这种情况下集合M有4个元素； （3）当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时： 当m=8，n=1，和m=1，n=8，即这种情况下集合M有两个元素； ∴集合M的元素个数是3+4+2=9． 故选：B． 一、填空题 1．（2024松江区高一期中）10的所有正因数组成的集合用列举法表示为__________. 【答案】 【分析】由因数分解知：正因数的分解形式有，列举法写出正因数集合即可. 【详解】∵对于正因数分解，有， ∴其正因数组成的集合为. 故答案为： 2．（2023上海·高一专题练习）用描述法表示图中的阴影部分（包括边界）___________． 【答案】且 【分析】根据阴影部分所在象限，确定的范围，再结合图像，判断出的取值范围，由此求得可以表示出阴影部分的集合. 【详解】由于阴影部分所在象限为第一、三象限，且在轴上都有点，故；根据图像可知，所以描述法表示图中的阴影部分（包括边界）为且. 故填：且. 【点睛】本小题主要考查用集合表示区域，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题. 3.（2024徐汇区高一期中）若为一确定区间，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】由区间的含义列出限制条件可得答案. 【详解】由题意，，解得. 故答案为： 4．（2023上海·高一专题练习）集合表示的区间是________． 【答案】． 【分析】根据区间的定义可得答案. 【详解】根据区间的定义集合表示的区间是． 故答案为：． 5．（2023上海·高一专题练习）集合且用区间表示为__________________． 【答案】 【分析】由区间的定义可得答案. 【详解】集合且用区间表示为． 故答案为：． 6．（2023上海·格致中学高一阶段练习）已知集合A＝{1，2，3，4，5，6}，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，x﹣y∈A}，则B中所含元素的个数为_________． 【答案】15 【分析】列举法表示出集合B，进而可以求出结果. 【详解】因为，, 所以 ， 因此B中所含元素的个数为15， 故答案为：15. 7．（2020·上海·高一单元测试）若集合，则集合中的元素个数为____________． 【答案】3 【解析】根据集合的元素关系确定集合即可． 【详解】解：A＝{﹣1，1}，B＝{0，2}， ∵x∈A，y∈B， ∴x＝1或x＝﹣1，y＝0或y＝2， 则z＝x+y＝﹣1，1，3， 即为{﹣1，1，3}． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查集合元素个数的确定，利用条件确定集合的元素即可，比较基础． 8．（2024黄浦区高一期中）已知集合，若，则实数 . 【答案】1 【详解】由，可得， 故答案为：1 9．（2024奉贤区高一期中）已知集合中至多有一个元素，则a的取值范围是 ． 【答案】或 【详解】对a分类讨论，利用一元二次方程的解与判别式的关系即可得出． 【分析】集合中至多有一个元素，则 当时，， 当时，，解得， 综上所述，a的取值范围是：或， 故答案为：或． 10.（2024华师大二附中高一期中）下列说法中正确的序号是 ①0与{0}表示同一个集合； ②由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}； ③方程(x－1)2(x－2)＝0的所有解组成的集合可表示为{1，1，2}； ④集合{x|4<x<5}可以用列举法表示． 答案：②；解析：①中“0”不能表示集合，而“{0}”可以表示集合，故①错误．根据集合中元素的无序性可知②正确；根据集合中元素的互异性可知③错误；④不能用列举法表示，原因是集合中有无数个元素，不能一一列举． 12．（2024青浦区高一期中）定义集合运算，设集合，则集合 . 【答案】 【详解】由题意可知， ①当时，则； ②当，时，； ③当，时，. 综上所述，. 故答案为：. 二、选择题 13．（2024延安中学高一期中）方程组的解集是（    ） A．，或 B． C． D． 【答案】D 【分析】解方程组，用集合表示即可判断. 【详解】由方程组，解得，所以该方程组的解集为， 而. 故选：D. 14．（2023上海·高一专题练习）用描述法表示函数y＝3x＋1图象上的所有点的是(　　) A．{x|y＝3x＋1} B．{y|y＝3x＋1} C．{(x，y)|y＝3x＋1} D．{y＝3x＋1} 【答案】C 【分析】根据集合是点集，代表元素是判断结果. 【详解】因为集合是点集，所以代表元素是，所以用描述法表示为. 故选C. 【点睛】本题考查了点集的表示方法，属于简单题型. 15.（2024松江区高一期中）若集合A＝{x|kx2＋4x＋4＝0，x∈R}只有一个元素，则实数k的值为(　　) A．0 B．1 C．0或1 D．2 答案：C；解析：集合A中只有一个元素，即方程kx2＋4x＋4＝0只有一个根．当k＝0时，方程为一元一次方程，只有一个根；当k≠0时，方程为一元二次方程，若只有一根，则Δ＝16－16k＝0，即k＝1.所以实数k的值为0或1. 16.（2024普陀区高一期中）设P、Q为两个实数集，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P＝{0，2，5}，Q＝{1，2，6}，则P＋Q中元素的个数是(　　) A．9 B．8 C．7 D．6 7、答案：B；解析：因为0＋1＝1，0＋2＝2，0＋6＝6，2＋1＝3，2＋2＝4，2＋6＝8，5＋1＝6，5＋2＝7，5＋6＝11，所以P＋Q＝{1，2，3，4，6，7，8，11}．故选B. 3、 解答题 17．（2024金山区高一期中）下面三个集合：请说说它们各自代表的含义． 【答案】答案见解析 【详解】是数集，是以函数的定义域构成集合，且； 是数集，是由函数的值域构成，且； 为点集，是由抛物线上的点构成． 18．（2023上海·高一专题练习）用列举法表示下列集合： （1）方程x2＝2x的所有实数解组成的集合； （2）直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合； （3）由所有正整数构成的集合． 【答案】（1）{0，2}；（2）{(0，1)}；（3）{1，2，3，…}. 【分析】（1）解方程x2＝2x，用列举法表示集合即可； （2）将x＝0代入y＝2x＋1，即可得出交点，根据点集的定义得出结果； （3）用列举法依次写出即可. 【详解】（1）方程x2＝2x的解是x＝0或x＝2，所以方程的解组成的集合为{0，2}． （2）将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是(0，1)，故交点组成的集合是{(0，1)}． （3）正整数有1，2，3，…，所求集合为{1，2，3，…}． 19．（2023上海·高一专题练习）用描述法表示下列集合： （1）比1大又比10小的实数组成的集合； （2）不等式的所有解； （3）到两坐标轴距离相等的点的集合． 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】用描述方法逐项表示可得答案. 【详解】（1）根据描述用不等式表示出即可，可以表示成． （2）先表示成，解不等式即． （3）到两坐标轴距离相等的点在坐标轴的角平分线上，即，或，可以表示成． 20.（2024上海课时练习）用区间表示下列集合： (1)； (2)不等式的所有解组成的集合． 【答案】(1) (2) 【分析】由区间的书写形式即可求解． 【详解】（1）写成区间即为． （2）不等式解得，写成区间即为． 21.用区间表示下列集合： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）根据区间的定义直接求解即可. 【详解】（1）由题意可知：. （2）因为对任意恒成立， 所以. 22．用适当的方法表示下列集合． (1)方程组 的解集； (2)由所有小于13的既是奇数又是质数的自然数组成的集合； (3)方程的实数根组成的集合； (4)二次函数的图象上所有的点组成的集合； (5)二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合． 【答案】(1) (2) (3)或 (4) (5) 【详解】（1）解方程组得，故解集可用描述法表示为，也可用列举法表示为． （2）小于13的既是奇数又是质数的自然数有4个，分别为3，5，7，11，故可用列举法表示为． （3）方程的实数根为2，因此可用列举法表示为，也可用描述法表示为. （4）二次函数的图象上所有的点组成的集合中，代表元素为有序实数对，其中x，y满足， 由于点有无数个，则用描述法表示为． （5）二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合中，代表元素为y，是实数，故可用描述法表示为． 23．已知集合. (1)若是空集，求的取值范围； (2)若中只有一个元素，求的值，并求集合； (3)若中至多有一个元素，求的取值范围 【答案】(1) (2)的值为或，当时，当时 (3) 【详解】（1）A是空集，且，，解得， 的取值范围为：； （2）当时，集合， 当时，，，解得，此时集合， 综上所求，的值为或，当时，集合，当时，集合； （3）由可知，当中至多有一个元素时，或， 的取值范围为：. 24．（2024松江区高一期中）已知集合，a为实数. (1)若集合A是空集，求实数a的取值范围； (2)若集合A是单元素集，求实数a的值； (3)若集合A中元素个数为偶数，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2)或. (3)且 【分析】（1）若集合是空集，要满足二次方程无解； （2）若集合A是单元素集，则方程为一次方程或二次方程； （3）若集合中元素个数为偶数，则中有0个或2个元素，二次方程无解或两不相同的解. 【详解】（1）若集合是空集，则， 解得.故实数的取值范围为. （2）若集合是单元素集，则 ①当时，即时，，满足题意； ②当，即时，，解得， 此时. 综上所述，或. （3）若集合中元素个数为偶数，则中有0个或2个元素. 当中有0个元素时，由(1)知； 当中有2个元素时，解得且. 综上所述，实数的取值范围为且. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$