精品解析：重庆市巴蜀中学教育集团2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题

重庆市巴蜀中学教育集团高2026届高二（下）期末考试 数学试题 命题人：周欣孟、徐小平 审题人：李仁江 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试卷上作答无效. 3.考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存.满分150分，考试用时120分钟. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知函数，则（ ） A. 1 B. C. 0 D. 2 4. 某电商平台的客户中，使用货到付款的比例为0.6，使用在线支付的比例为0.5，使用货到付款或在线支付的比例为0.7.从所有客户中随机抽取一名，则在他使用货到付款的条件下，使用在线支付的概率是（ ） A. 0.3 B. C. D. 0.4 5. 下列函数在定义域内是减函数的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知双曲线两条渐近线的夹角为60°，则（ ） A. B. C. D. 或 7. 在西安高新第一中学与重庆市巴蜀中学校联合举办“巴山渭水”学术文化交流周中，来自两校的“山城”、“火锅”、“秦俑”三位同学报名参加“麻辣算法社”、“雾都桥梁社”、“秦汉数字考古社”、“羊肉泡馍化学社”，已知每人参加两个社团，每个社团至少一人参加，三人不能同时参加一个社团，则符合条件的不同报名方式有（ ） A. 162种 B. 90种 C. 81种 D. 45种 8. 已知，，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. “杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数阵中的一种几何排列规律，在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，如图所示.下列关于“杨辉三角”的说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 第10行中从左往右第5个数与第6个数之比为 10. 已知抛物线，过其焦点的直线与抛物线交于，两点，在第一象限，抛物线的准线与轴交于点，则（ ） A. B. 时， C. 以为直径的圆与准线相切 D. 11. 定义在上的函数满足：，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C D. 记是不大于的最大整数，则函数满足题设条件 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设随机变量服从正态分布，且，若，则_______. 13. 不等式的解集是______. 14. 已知函数（且），存在三个极值点，，（），若是极小值点，则实数的取值范围是___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 某种传染性疾病的检测通过采集血样利用相关检测试剂盒进行检测，若呈阳性，则诊断为患病，若呈阴性，则诊断为不患病.某企业开发了一种新型检测试剂盒，现采用卡方检验的方法检验该试剂盒的检测效果，为此随机抽取了100份患病的血样和100份不患病的血样进行检验，试验结果显示，100份患病的血样中，检测出阳性血样90份，阴性血样10份；100份不患病的血样中，检测出5份阳性血样，95份阴性血样. （1）填写下面列联表，记检测结果为阳性者患该疾病的概率为，求的估计值； 检测结果 患病情况 合计 患病 不患病 阳性 阴性 合计 （2）根据小概率值独立性检验，判断某人血样经该检测试剂盒检测的诊断结果与其患病是否有关. 附：，其中. 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 16. 已知数列的前项和为，满足，且. （1）求的通项公式； （2）若数列满足，.求的前13项和. 17. 已知函数. （1）若，求的单调区间和极值. （2）若，关于的不等式恒成立，求的取值范围. 18. 在平面直角坐标系中，从上任取一点向轴作垂线段，为垂足.当点在上运动时，线段的中点的轨迹为曲线.（当为轴上的点时，规定与重合） （1）求的方程； （2）若在第四象限，点，，直线交轴于点，若与的面积相等，求点的坐标； （3）已知，两点在曲线上，，，三点不共线，且直线，均与以为圆心、为半径的圆相切.若在轴上的射影为，关于直线的对称点在轴上的射影为，求证：线段的中点在定圆上. 19. 设为正整数，，，…为枚质地不均匀的硬币.投掷硬币，设正面朝上的概率为，反面朝上的概率为.同时投出枚硬币，当正面朝上的硬币数为奇数时，即为游戏成功. （1）当，时，求游戏成功的概率； （2）当时，设游戏成功的概率为，求当时，与的递推关系，并证明是等比数列； （3）设，对于，取值如下：，设此时游戏成功的概率为，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重庆市巴蜀中学教育集团高2026届高二（下）期末考试 数学试题 命题人：周欣孟、徐小平 审题人：李仁江 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试卷上作答无效. 3.考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存.满分150分，考试用时120分钟. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由集合的补集运算得到答案. 【详解】，，所以， 故选：C. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂函数的单调性得到答案. 【详解】在R上单调递增，故，， “”是“”的充要条件. 故选：C. 3. 已知函数，则（ ） A. 1 B. C. 0 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数法则求出导函数，令得，求解即可. 【详解】由得，则，解得. 故选：A. 4. 某电商平台的客户中，使用货到付款的比例为0.6，使用在线支付的比例为0.5，使用货到付款或在线支付的比例为0.7.从所有客户中随机抽取一名，则在他使用货到付款的条件下，使用在线支付的概率是（ ） A. 0.3 B. C. D. 0.4 【答案】B 【解析】 【分析】设事件：使用货到付款，设事件：使用在线支付，再根据概率的加法公式求出，最后利用条件概率的概率公式. 【详解】设事件：使用货到付款，设事件：使用在线支付， 则，，， 故， 则， 故从所有客户中随机抽取一名，则在他使用货到付款的条件下，使用在线支付的概率是. 故选：B. 5. 下列函数在定义域内是减函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数性质判断的单调性，根据反比例函数的性质判断B，根据二次函数性质判断D，根据复合函数单调性判断法则判断C. 【详解】在上单调递增； 在单调递减，单调递减， 但，，所以函数不在定义域内单调递减； 在单调递减，单调递增，不在定义域内单调递减； 函数在内为减函数，，函数在内为增函数， 所以函数在定义域内为减函数， 故选：C. 6. 已知双曲线两条渐近线的夹角为60°，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】利用两直线夹角定义可得渐近线倾斜角的取值，从而可求参数. 【详解】双曲线渐近线方程为， 由两条渐近线的夹角为60°，则渐近线的倾斜角为或 所以斜率或，解得或， 故选：D. 7. 在西安高新第一中学与重庆市巴蜀中学校联合举办的“巴山渭水”学术文化交流周中，来自两校的“山城”、“火锅”、“秦俑”三位同学报名参加“麻辣算法社”、“雾都桥梁社”、“秦汉数字考古社”、“羊肉泡馍化学社”，已知每人参加两个社团，每个社团至少一人参加，三人不能同时参加一个社团，则符合条件的不同报名方式有（ ） A. 162种 B. 90种 C. 81种 D. 45种 【答案】B 【解析】 【分析】根据要求，确定四个兴趣小组必有两个2人选、两个1人选，而对于2人选的小组可以分成“同样的2个人”和“3个人构成”两类情况分别计数即得. 【详解】由题意，四个兴趣小组必有两个2人选、两个1人选，根据2人选的小组是同样的2个人还是3个人分两种情况： 当2人选的小组是同样的2个人时，有种； 当2人选的小组是由3个人构成时，有种； 所以不同的报名方式有种. 故选：B. 8. 已知，，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据基本不等式可得，再次利用基本不等式即可求解. 【详解】由于，故， ，当且仅当时，取等号， ，当且仅当时，原式取得最小值， 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. “杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数阵中的一种几何排列规律，在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，如图所示.下列关于“杨辉三角”的说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 第10行中从左往右第5个数与第6个数之比为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据杨辉三角的性质以及组合数的相关知识，对选项进行分析. 【详解】根据组合数性质，A正确； ，故B错误； 根据A的等式，，故C错误； 第10行中从左往右第5个数与第6个数分别为和，比值为，故D正确， 故选：AD. 10. 已知抛物线，过其焦点的直线与抛物线交于，两点，在第一象限，抛物线的准线与轴交于点，则（ ） A. B. 时， C. 以为直径的圆与准线相切 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，过焦点的直线方程为，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，计算出；B选项，由焦点弦长公式得到方程，得到，不妨设，解得，，求出，，；C选项，求出的中点坐标为，计算出到准线的距离为，C正确；D选项，计算出，得到D正确. 【详解】A选项，设过焦点的直线方程为， 联立，可得，， ，，则，故A正确； B选项，，故， 当时，，解得， 由对称性，不妨设，则，， 解得，，此时， ，显然，故B错误； C选项，，，的中点坐标为， 到准线的距离为， 所以，以为直径的圆与准线相切，C正确； D选项，， ， ，故D正确 故选：ACD. 11. 定义在上函数满足：，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 记是不大于的最大整数，则函数满足题设条件 【答案】ABD 【解析】 【分析】两式做差，得，赋值法即可判断ABC；设，当时符合题意，即可判断D． 【详解】两式做差，即得，令，则，故A正确； ，则， 由于，则， 所以，故，所以B正确； ，故C错误； 若满足，那么当时，，满足条件， 注意到：，使得成立，则D正确， 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设随机变量服从正态分布，且，若，则_______. 【答案】0.5## 【解析】 【分析】利用正态分布密度曲线的对称性，列方程即可求出参数. 【详解】易知正态分布曲线关于对称，且， 则，所以. 故答案为：0.5 13. 不等式的解集是______. 【答案】 【解析】 【分析】移项得，然后转化为且，利用一元二次不等式求解即可. 【详解】由移项通分得：，则且， 从而解得：或，即不等式的解集为. 故答案为： 14. 已知函数（且），存在三个极值点，，（），若是极小值点，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】由函数解析式求导，根据极值点的定义，将问题转化为函数求求交点，利用指数函数图象以及切线的概念，可得答案. 【详解】易得， 设，令，得或， 由，得， 则在同一坐标系中函数的图象和直线有两个不同的公共点. （1）当时，注意到，当时，直线是曲线的一条切线， 故，此时，如图（1），由图可知，且附近左正右负， 左正右负，是极大值点，不符合题意； （2）当时，注意到，当时，直线是曲线的一条切线，故， 此时，，从而在0附近，左正右负，0是极大值点；如图（2）， 由图可知，，且在附近左负右正，左正右负，是极大值点； ，且在附近左正右负，左负右正，是极小值点；符合题意. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 某种传染性疾病的检测通过采集血样利用相关检测试剂盒进行检测，若呈阳性，则诊断为患病，若呈阴性，则诊断为不患病.某企业开发了一种新型检测试剂盒，现采用卡方检验的方法检验该试剂盒的检测效果，为此随机抽取了100份患病的血样和100份不患病的血样进行检验，试验结果显示，100份患病的血样中，检测出阳性血样90份，阴性血样10份；100份不患病的血样中，检测出5份阳性血样，95份阴性血样. （1）填写下面列联表，记检测结果为阳性者患该疾病的概率为，求的估计值； 检测结果 患病情况 合计 患病 不患病 阳性 阴性 合计 （2）根据小概率值的独立性检验，判断某人血样经该检测试剂盒检测的诊断结果与其患病是否有关. 附：，其中. 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）列联表见解析， （2）有关，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意可直接填出列联表并计算出概率； （2）提出零假设，代入公式计算出的值，与参考值进行比较推断原假设是否成立，即可得出结论. 【小问1详解】 根据试验结果得列联表： 检测结果 患病情况 合计 患病 不患病 阳性 90 5 95 阴性 10 95 105 合计 100 100 200 检测结果为阳性的共95人，其中患病的为90人，所以的估计值为. 【小问2详解】 零假设为：某人血样经该检测试剂盒检测诊断结果是否为阳性与其是否患病无关， 根据列联表数据计算得 . 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为某人血样经该检测试剂盒检测诊断结果是否为阳性与其是否患病有关， 此推断犯错误的概率不超过0.001. 16. 已知数列的前项和为，满足，且. （1）求的通项公式； （2）若数列满足，.求的前13项和. 【答案】（1） （2）7 【解析】 【分析】（1）由等差中项法可判断数列是等差数列，再结合可求公差，最后利用等差数列的通项公式即可； （2）解法一：先求出，再利用累加法求出，最后结合即可求出； 解法二：构造数列，其为各项是的常数列，求出，其余同法一. 【小问1详解】 因，则， 所以数列是首项为的等差数列， 由于，得，则公差为，所以， 则的通项公式为. 【小问2详解】 解法一：由（1）知，，故， 所以，当时，， 又因为，代入化简可得（，）. 因为也符合上式，所以， 注意到， 所以的前13项和为. 解法二： 由（1）知，，故， 即， 又因为，所以数列是各项为的常数列，即， 所以， 注意到， 所以的前13项和为. 17. 已知函数. （1）若，求的单调区间和极值. （2）若，关于的不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）在单调递减，在单调递增，极小值为，无极大值 （2） 【解析】 【分析】（1）求导，即可根据导数的正负确定函数单调性，进而可得单调性和极值， （2）对讨论，结合函数的单调性，即可求解. 【小问1详解】 函数的定义域为， 因为，所以，. 令，得，令，得； 所以在单调递减，在单调递增. 因此在处取得极小值. 综上，在单调递减，在单调递增，极小值为，无极大值. 【小问2详解】 . 因为，令，得，令，得； 所以在单调递减，在单调递增. 所以，所以，即. ①当时，，恒成立，不符合题意； ②当时，设，则，所以在单调递减， 又因为，所以等价于，所以； 综上，的取值范围是. 18. 在平面直角坐标系中，从上任取一点向轴作垂线段，为垂足.当点在上运动时，线段的中点的轨迹为曲线.（当为轴上的点时，规定与重合） （1）求的方程； （2）若在第四象限，点，，直线交轴于点，若与的面积相等，求点的坐标； （3）已知，两点在曲线上，，，三点不共线，且直线，均与以为圆心、为半径的圆相切.若在轴上的射影为，关于直线的对称点在轴上的射影为，求证：线段的中点在定圆上. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用相关点法求解动点轨迹方程即得； （2）解法一：根据与的面积相等结合图形推出，写出直线的方程并与椭圆方程联立，即可求出点坐标；解法二：设，列出直线的方程，令求得，分别表示出和的面积，利用面积相等推得，将其代入椭圆方程即可求得点坐标. （3）设，，，当或斜率不存在时，易推出，当或斜率存在时，设，，利用直线与圆相切可推得，将直线与椭圆方程联立，求得，同法，即得，由条件求出和，可得，设线段的中点为，由，即得线段的中点在定圆上. 【小问1详解】 依题意，设，则， 因为在上，则有，即， 所以曲线的方程为. 【小问2详解】 解法一： 设，则，， 因为与的面积相等，则与的面积相等，则有， 又，，所以，故直线的方程为. 由解得，即，， 则点的坐标为. 解法二：设，则，，则直线的方程为， 令，得，即， 则的面积为， 的面积为， 所以， 即，即，即， 由，解得，所以，， 则点的坐标为. 【小问3详解】 如图，设，，， 则当或斜率不存在时，的半径. 又因为，所以， 从而与轴相切，故，必分别为的长轴和短轴的一个端点，所以. 当且斜率存在时，设，， 则，即. 同理，. 所以. 由得. 同理，.又，所以. 设关于直线的对称点为，则所以，， 所以，又易知，所以. 设线段的中点为，则因为，所以， 所以线段的中点在定圆上. 19. 设为正整数，，，…为枚质地不均匀的硬币.投掷硬币，设正面朝上的概率为，反面朝上的概率为.同时投出枚硬币，当正面朝上的硬币数为奇数时，即为游戏成功. （1）当，时，求游戏成功的概率； （2）当时，设游戏成功的概率为，求当时，与的递推关系，并证明是等比数列； （3）设，对于，的取值如下：，设此时游戏成功的概率为，求证：. 【答案】（1） （2）（且），证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由条件可知，要使游戏成功，需满足正面朝上的数量为1或3，转化为独立重复概率类型，列式求解； （2）根据硬币正面朝上硬币数为奇数和偶数，结合全概率公式，即可得到递推关系式，再利用数列的构造法，即可证明； （3）方法一：根据（2）的结果，结合等比数列通项公式的求法，求得，，以及的通项公式，以及递推关系式，并代入求解的通项公式，讨论的取值，即可证明；方法二：首先设个硬币出现奇数的概率为，根据全概率公式，得到的递推关系式，以及通项公式，再求前3项，并表示，即可证明. 【小问1详解】 当时，要使游戏成功，需满足正面朝上的数量为1或3， 此时，游戏成功的概率为：； 【小问2详解】 设游戏成功的概率为，当时，，接下来用表示， 当时，投掷枚硬币，，…，正面朝上的硬币为奇数有两种情况： 第一：硬币，，…，中正面朝上的硬币数为奇数时，反面朝上； 第二：硬币，，…，中正面朝上的硬币数为偶数时，正面朝上. 此时，，所以（且）， 则，且，则是以为首项，为公比等比数列. 【小问3详解】 方法一：当时，此时游戏成功的概率记为，. 由（2）知：，则，（） 所以，（）① 当时，， 则， 注意到：，则， 故：② 当时，， 则：③. 结合①②③： 由于，当时，，，，则； 当时，，则； 当时，，，，则. 综上：对任意的，成立. 方法二：对于个硬币出现奇数的概率为， ∴ ∴ ∴ ∴等比，∴ ∴前个硬币出现奇数的概率 中间个： 后面个： 当时，. 当时，. 当时，. ∴成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$