江苏省南京师范大学附中宿迁分校2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷

2024-2025学年江苏省南京师范大学附中宿迁分校八年级（下）期末数学试卷 一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分．每个小题只有一个选项是正确的，请把正确选项的字母涂在答题卡相应的位置） 1．（3分）下列数学符号中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A．≌ B．∴ C．≥ D．∞ 2．（3分）方程①；②2x2﹣5xy+y2＝0；③7x2+1＝0；④中，一元二次方程个数是（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 3．（3分）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 4．（3分）一次数学测试后，某班50名学生的数学成绩分为5组，第1～4组的频数为12、9、11、8，则第5组的频率为（　　） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 5．（3分）若 的运算结果为整式，则“〇”中的式子可能为（　　） A．a﹣b B．a+b C．ab D．a2﹣b2 6．（3分）对于反比例函数y，下列说法不正确的是（　　） A．图象分布在第二、四象限 B．当x＞0时，y随x的增大而增大 C．图象经过点（1，﹣2） D．若点A（x1，y1），B（x2，y2）都在图象上，且x1＜x2，则y1＜y2 7．（3分）若点A（a，﹣1）、B（b，2）、C（c，3）在反比例函数y（m是常数）的图象上，则a、b、c的大小关系是（　　） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞b＞a 8．（3分）如图，四边形ABCD，对角线BD⊥AB，且平分∠ADC，O为BD的中点．在AD上取一点G，使CG⊥BD，E为垂足，取AC中点F，连结BF．下列五句判断：①AO＝2BO；②EF∥AD；③AG＝2BF；④连结DF，则四边形BCDF是平行四边形；⑤FB＝2GE．其中判断正确的是（　　） A．①③④ B．③④⑤ C．②④⑤ D．②③④ 二、填空题（本大题有10小题，每小题3分，共30分．） 9．（3分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 　 　 ． 10．（3分）计算的结果是 　 　 ． 11．（3分）在一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在25%附近，则口袋中白球可能有 　 　 个． 12．（3分）如果，则 　 　 ． 13．（3分）如图，反比例函数与一次函数y2＝﹣x+b的图象相交于A、B两点，若A、B的横坐标分别为1、2，则不等式的解集为 　 　 ． 14．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，若BE＝EO，则AD的长是 　 　 ． 15．（3分）若α、β是方程x2+3x﹣1＝0的两个实数根，则α2+2α﹣β＝　 　 ． 16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，M为斜边AB上一动点，过M作MD⊥AC，过M作ME⊥CB于点E，则线段DE的最小值为　 　 ． 17．（3分）关于x的方程的解是正数，则a的取值范围是 　 　 ． 18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，C，A分别为x轴、y轴正半轴上的点，以OA，OC为边，在第一象限内作矩形OABC，且，将矩形OABC翻折，使点B与原点重合，折痕为MN，点C的对应点落在第四象限，过M点的反比例函数（k≠0），其图象恰好过MN的中点，则点C′的坐标为 　 　 ． 三、解答题（本大题有10小题，共96分．解答时应写出文字说明或演算步骤．） 19．（8分）计算： （1）； （2）． 20．（8分）（1）； （2）x（x+4）＝12+3x． 21．（8分）先化简，再求值：，其中a3． 22．（8分）如图，点A、B、C、D在同一条直线上，点E、F分别在直线AD的两侧，且AE＝DF，∠A＝∠D，AB＝DC． （1）求证：△ACE≌△DBF； （2）求证：四边形BFCE是平行四边形． 23．（10分）《哪吒2》上映后，某影院随机调查了某天部分观众最喜欢的一个角色（每人只选一项）．把调查结果绘制成下列不完整的条形统计图和扇形统计图，请根据图中信息解决以下问题： （1）本次调查共抽取了　 　 名观众，其中喜欢哪吒的人数有　 　 名观众； （2）在扇形统计图中，求喜欢李靖角色对应的圆心角度数； （3）该电影院当天观看《哪吒2》的观众有2600人，根据调查结果，请你估计喜欢哪吒和敖丙的观众共有多少？ 24．（10分）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长． （1）如果x＝1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 25．（10分）如图，直线y＝kx+2与双曲线都经过点A（2，4），直线y＝kx+2与x轴、y轴分别交于点B、C两点． （1）求直线与双曲线的函数关系式； （2）求△AOB的面积； （3）P点是x轴上的一动点，是否存在这样的P点，使得PA+PC的值最小．若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由． 26．（10分）2023年6月4日，神舟十五号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，为中国载人航天史册写下新的一页．航天技术的应用对我们高质量的生活贡献极大，依托航天技术，2016年我国就已成功研制出直径2.7米的阴极辊，助力新能源汽车快速发展，降低成本、提高产量．某4S店某品牌A款新能源汽车今年5月份的售价比去年同期每辆降价2万元，如果卖出相同数量的A款新能源汽车，去年销售额为360万元，今年销售额为300万元． （1）今年5月份A款新能源汽车每辆售价多少万元？ （2）为了增加收入，门店决定再经销同品牌的B款新能源汽车，已知A款每辆进价为8万元，B款每辆进价为6万元，公司预计用不多于144万元的资金购进这两款新能源汽车共20辆，且A款的数量不少于10辆，有哪几种进货方案？ （3）按照（2）中两种新能源汽车的进价不变，同时A款新能源汽车保持今年5月份的售价不变，如果B款每辆售价为8.8万元，为打开B款新能源汽车的销路，公司决定每售出一辆B款新能源汽车，返还顾客现金m万元，要使（2）中所有的方案获利相同，m值应是 　 　 万元． 27．（12分）【问题发现】 如图1所示，将△ABC 绕点A逆时针旋转 90° 得△ADE，连接CE、DB根据条件填空： ①∠ACE的度数为 　 　 ； ②若CE＝2，则CA的值为 　 　 ； 【类比探究】 如图2所示，在正方形ABCD中，点E在边BC上，点F在边CD上，且满足∠EAF＝45°，BE＝1，DF＝2，求正方形ABCD的边长； 【拓展延伸】 如图3，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC 于D点，已知BD＝3，CD＝2，求高AD的长． 28．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A（4，0），B（4，3），C（0，3），P为矩形ABCO内一点（不包括边界），过点P分别作x轴和y轴的平行线，这两条平行线把矩形ABCO分为四个小矩形，若这四个小矩形中有一个矩形的面积的值等于OA的长度，则称点P为矩形ABCO的“常积点”． （1）在点D（，），E（2，2），F（1，），G（3，）中，是矩形ABCO“常积点”的为 　 　 ；（填写所有正确的字母代号） （2）若点H（3m﹣1，2m）是矩形ABCO的“常积点”，且对应的小矩形的一条边在x轴上，求m的值； （3）若点M是矩形ABCO的“常积点”，且对应的小矩形的一条边在x轴上，一次函数y＝k（x﹣3）+5（k为常数，且k＞0）的图象上“常积点”M的个数随着k的值变化而变化，请直接写出该图象上“常积点”M的个数及对应的k的取值范围． 2024-2025学年江苏省南京师范大学附中宿迁分校八年级（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B D B C D B D 一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分．每个小题只有一个选项是正确的，请把正确选项的字母涂在答题卡相应的位置） 1．（3分）下列数学符号中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A．≌ B．∴ C．≥ D．∞ 【答案】D 【解答】解：根据轴对称图形和中心对称图形的概念进行判断如下： A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，本选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，不是中心对称图形，本选项不符合题意； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，本选项符合题意； 故选：D． 2．（3分）方程①；②2x2﹣5xy+y2＝0；③7x2+1＝0；④中，一元二次方程个数是（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【解答】解：在方程①；②2x2﹣5xy+y2＝0；③7x2+1＝0；④中，一元二次方程为7x2+1＝0；，共2个． 故选：B． 3．（3分）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：A、2，不是最简二次根式，不符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、|y|，不是最简二次根式，不符合题意； D、是最简二次根式，符合题意； 故选：D． 4．（3分）一次数学测试后，某班50名学生的数学成绩分为5组，第1～4组的频数为12、9、11、8，则第5组的频率为（　　） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【答案】B 【解答】解：∵50﹣（12+9+11+8）＝50﹣40＝10， ∴第5组的频数为10， ∴第5组的频率为10÷50＝0.2， 故选：B． 5．（3分）若 的运算结果为整式，则“〇”中的式子可能为（　　） A．a﹣b B．a+b C．ab D．a2﹣b2 【答案】C 【解答】解：A．（）•，是分式，不是整式，故本选项不符合题意； B．（）•，是分式，不是整式，故本选项不符合题意； C．（）•，是整式，故本选项符合题意； D．（）•，是分式，不是整式，故本选项不符合题意； 故选：C． 6．（3分）对于反比例函数y，下列说法不正确的是（　　） A．图象分布在第二、四象限 B．当x＞0时，y随x的增大而增大 C．图象经过点（1，﹣2） D．若点A（x1，y1），B（x2，y2）都在图象上，且x1＜x2，则y1＜y2 【答案】D 【解答】解：A、k＝﹣2＜0，∴它的图象在第二、四象限，故本选项不符合题意； B、k＝﹣2＜0，当x＞0时，y随x的增大而增大，故本选项不符合题意； C、∵2，∴点（1，﹣2）在它的图象上，故本选项不符合题意； D、点A（x1，y1）、B（x2、y2）都在反比例函数y的图象上，若x1＜0＜x2，则y1＞y2，故本选项符合题意． 故选：D． 7．（3分）若点A（a，﹣1）、B（b，2）、C（c，3）在反比例函数y（m是常数）的图象上，则a、b、c的大小关系是（　　） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞b＞a 【答案】B 【解答】解：∵反比例函数y（m是常数）中，k＝﹣m2﹣2＜0， ∴此函数图象在二、四象限， ∵﹣1＜0＜2＜3， ∴点A（a，﹣1）在第四象限，B（b，2）、C（c，3）在第二象限，且在每个象限内y随x的增大而增大， ∴a＞0＞c＞b， ∴a、b、c的大小关系是a＞c＞b， 故选：B． 8．（3分）如图，四边形ABCD，对角线BD⊥AB，且平分∠ADC，O为BD的中点．在AD上取一点G，使CG⊥BD，E为垂足，取AC中点F，连结BF．下列五句判断：①AO＝2BO；②EF∥AD；③AG＝2BF；④连结DF，则四边形BCDF是平行四边形；⑤FB＝2GE．其中判断正确的是（　　） A．①③④ B．③④⑤ C．②④⑤ D．②③④ 【答案】D 【解答】解：∵BD⊥AB，但∠BAO≠30°， ∴AO≠2BO，故①错误； ∵CG⊥BD， ∴∠GED＝∠CED， ∵BD平分∠ADC， ∴∠GDE＝∠CDE， 又∵DE＝DE， ∴△GED≌△CED（ASA）， ∴GE＝CE， ∵AC中点为F， ∴EF∥AD，故②正确； 如图所示，延长AB，DC交于点H ∵BD⊥AB， ∴∠ABD＝∠HBD＝90°， ∵∠GDE＝∠CDE，BD＝BD， ∴△ABD≌△HBD（ASA）， ∴AB＝HB， ∵点F为AC的中点， ∴BF是△AHC的中位线， ∴BF∥DH， ∴∠FBD＝∠HDE， ∵∠GDE＝∠CDE， ∴∠FBD＝∠GDE， ∵EF∥AD， ∴∠FEB＝∠GDE＝∠FBD， ∴FB＝FE， ∵EF是△AGC的中位线， ∴AG＝2FE， ∴AG＝2BF，故③正确； 如图所示，连接FD， ∵∠FBO＝∠CDO，OB＝OD，∠FOB＝∠COD， ∴△FOB≌△COD（ASA）， ∴FB＝CD， 又∵FB∥CD， ∴四边形BCDF是平行四边形，故④正确； ∵GC＝2GE，FB＝CD，而GC≠CD， ∴FB≠2GE，故⑤错误， 综上所述，其中判断正确的是②③④． 故选：D． 二、填空题（本大题有10小题，每小题3分，共30分．） 9．（3分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 　x≥2　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由题意得：x﹣2≥0， 解得：x≥2， 故答案为：x≥2． 10．（3分）计算的结果是 　　 ． 【答案】． 【解答】解：， 故答案为：． 11．（3分）在一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在25%附近，则口袋中白球可能有 　12　 个． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设白球个数为：x个， ∵摸到红色球的频率稳定在25%左右， ∴口袋中得到红色球的概率为25%， ∴， 解得：x＝12， 故白球的个数为12个． 故答案为：12． 12．（3分）如果，则 　　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵1， ∴1， ∴1． 故答案为． 13．（3分）如图，反比例函数与一次函数y2＝﹣x+b的图象相交于A、B两点，若A、B的横坐标分别为1、2，则不等式的解集为 　0＜x＜1或x＞2　 ． 【答案】0＜x＜1或x＞2． 【解答】解：根据函数图象和两个函数交点横坐标可知：不等式的解集为 0＜x＜1或x＞2． 故答案为：0＜x＜1或x＞2． 14．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，若BE＝EO，则AD的长是 　4　 ． 【答案】4． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝90°，OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD， ∴OA＝OB， ∵BE＝EO，AE⊥BD， ∴AB＝AO， ∴OA＝AB＝OB＝4， ∴BD＝8， ∴AD4， 故答案为：4． 15．（3分）若α、β是方程x2+3x﹣1＝0的两个实数根，则α2+2α﹣β＝　4　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵α方程x2+3x﹣1＝0的实数根， ∴α2+3α﹣1＝0， ∴α2＝﹣3α+1， ∴α2+2α﹣β＝﹣3α+1+2α﹣β ＝﹣（α+β）+1， ∵α、β是方程x2+3x﹣1＝0的两个实数根， ∴α+β＝﹣3， ∴α2+2α﹣β＝3+1＝4． 故答案为4． 16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，M为斜边AB上一动点，过M作MD⊥AC，过M作ME⊥CB于点E，则线段DE的最小值为　　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：连接CM，如图所示： ∵MD⊥AC，ME⊥CB， ∴∠MDC＝∠MEC＝90°， ∵∠C＝90°， ∴四边形CDME是矩形， ∴DE＝CM， ∵∠C＝90°，BC＝3，AC＝4， ∴AB5， 当CM⊥AB时，CM最短，此时△ABC的面积AB•CMBC•AC， ∴CM的最小值， ∴线段DE的最小值为； 故答案为：． 17．（3分）关于x的方程的解是正数，则a的取值范围是 　a＜﹣1且a≠﹣2　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：去分母得2x+a＝x﹣1， 解得x＝﹣a﹣1， ∵关于x的方程的解是正数， ∴x＞0且x≠1， ∴﹣a﹣1＞0且﹣a﹣1≠1，解得a＜﹣1且a≠﹣2， ∴a的取值范围是a＜﹣1且a≠﹣2． 故答案为：a＜﹣1且a≠﹣2． 18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，C，A分别为x轴、y轴正半轴上的点，以OA，OC为边，在第一象限内作矩形OABC，且，将矩形OABC翻折，使点B与原点重合，折痕为MN，点C的对应点落在第四象限，过M点的反比例函数（k≠0），其图象恰好过MN的中点，则点C′的坐标为 　　 ． 【答案】． 【解答】解：连接OB，与MN的交点为点Q， ∵矩形OABC， ∴MB∥ON， ∴∠BMQ＝∠ONQ，∠MBQ＝∠NOQ， ∵， ∴△MBQ≌△NOQ（AAS）， ∴MQ＝NQ， ∴Q也是MN的中点， 根据折叠性质，得到BO⊥MN于点Q，且MQ＝NQ ∴直线BO是MN的垂直平分线， ∴OM＝ON＝BM， 过点Q作QH⊥OC，C′G⊥OC，垂足分别为H，G， 由条件可知， ∴OH＝HC， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设AM＝a，则BM＝3a＝OM， ∴， ∴， 解得（舍去）， ∴，， 连接OM，根据折叠的性质，得△BNC≌△ONC′， ∵， ∴△OAM≌△BCN（SAS）， ∴， ∴， 解得， ∴， 故点C′的坐标为． 故答案为：． 三、解答题（本大题有10小题，共96分．解答时应写出文字说明或演算步骤．） 19．（8分）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）﹣3； （2）22． 【解答】解：（1）原式＝324 ＝﹣3； （2）原式＝2﹣1﹣（2﹣21） ＝2﹣1﹣3+2 ＝22． 20．（8分）（1）； （2）x（x+4）＝12+3x． 【答案】（1）；（2）x1＝3，x2＝﹣4． 【解答】解：（1）两边都乘以2（x﹣1）得：3﹣4（x﹣1）＝2x， 解得x， 经检验：x是分式方程的解， ∴x； （2）∵x（x+4）＝12+3x， ∴x（x+4）﹣3（x+4）＝0， 则（x+4）（x﹣3）＝0， ∴x+4＝0或x﹣3＝0， 解得x1＝﹣4，x2＝3． 21．（8分）先化简，再求值：，其中a3． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：原式（） ， 当a3时， 原式 ． 22．（8分）如图，点A、B、C、D在同一条直线上，点E、F分别在直线AD的两侧，且AE＝DF，∠A＝∠D，AB＝DC． （1）求证：△ACE≌△DBF； （2）求证：四边形BFCE是平行四边形． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵AB＝CD， ∴AB+BC＝CD+BC，即AC＝BD， 在△ACE和△DBF中，， ∴△ACE≌△DBF（SAS））． （2）证明：∵△ACE≌△DBF， ∴CE＝BF，∠ACE＝∠DBF， ∴CE∥BF， ∴四边形BFCE是平行四边形． 23．（10分）《哪吒2》上映后，某影院随机调查了某天部分观众最喜欢的一个角色（每人只选一项）．把调查结果绘制成下列不完整的条形统计图和扇形统计图，请根据图中信息解决以下问题： （1）本次调查共抽取了　150　 名观众，其中喜欢哪吒的人数有　60　 名观众； （2）在扇形统计图中，求喜欢李靖角色对应的圆心角度数； （3）该电影院当天观看《哪吒2》的观众有2600人，根据调查结果，请你估计喜欢哪吒和敖丙的观众共有多少？ 【答案】（1）150，60； （2）72°； （3）1820人． 【解答】解：（1）本次调查的观众共有45÷30%＝150（人）， 喜欢哪吒的人数为150×40%＝60（人）， 故答案为：150，60； （2）∵360°72°； ∴喜欢李靖角色对应的圆心角度数为72°； （3）∵26001820（人）， ∴估计喜欢哪吒和敖丙的观众共有1820人． 24．（10分）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长． （1）如果x＝1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 【答案】（1）等腰三角形； （2）x1＝0，x2＝1． 【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形， 理由是：∵把x＝1代入方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0得：a+c﹣2b+a﹣c＝0， ∴2a＝2b， ∴a＝b， ∴△ABC的形状是等腰三角形； （2）∵△ABC是等边三角形， ∴a＝b＝c， ∵（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0， ∴（a+a）x2﹣2ax+a﹣a＝0， 即x2﹣x＝0， 解得：x1＝0，x2＝1， 即这个一元二次方程的根是x1＝0，x2＝1． 25．（10分）如图，直线y＝kx+2与双曲线都经过点A（2，4），直线y＝kx+2与x轴、y轴分别交于点B、C两点． （1）求直线与双曲线的函数关系式； （2）求△AOB的面积； （3）P点是x轴上的一动点，是否存在这样的P点，使得PA+PC的值最小．若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）∵线y＝kx+2与双曲线y都经过点A（2，4）， ∴4＝2k+2，4， ∴k＝1，m＝8， ∴直线的解析式为y＝x+2，双曲线的函数关系式为y； （2）当y＝0时，则0＝x+2， ∴x＝﹣2， ∴B（﹣2，0）， ∴OB＝2， 如图1，作AE⊥x轴于点E， ∵A（2，4）， ∴AE＝4． ∴△AOB的面积为：2×4＝4； （3）存在这样的点P使得PA+PB最短， 理由：如图2，作A点关于x轴的对称点A'，连接A'C，与x轴的交点为所求点P， ∵A（2，4）， ∴A'（2，﹣4）， 令x＝0，得y＝2， ∴C（0，2）， 设A'C的解析式为y＝mx+n， 将A'（2，﹣4）与C（0，2）代入y＝mx+n， 得， ∴， ∴A'C的解析式为y＝﹣3x+2， 令y＝0，得， ∴P（，0）． 26．（10分）2023年6月4日，神舟十五号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，为中国载人航天史册写下新的一页．航天技术的应用对我们高质量的生活贡献极大，依托航天技术，2016年我国就已成功研制出直径2.7米的阴极辊，助力新能源汽车快速发展，降低成本、提高产量．某4S店某品牌A款新能源汽车今年5月份的售价比去年同期每辆降价2万元，如果卖出相同数量的A款新能源汽车，去年销售额为360万元，今年销售额为300万元． （1）今年5月份A款新能源汽车每辆售价多少万元？ （2）为了增加收入，门店决定再经销同品牌的B款新能源汽车，已知A款每辆进价为8万元，B款每辆进价为6万元，公司预计用不多于144万元的资金购进这两款新能源汽车共20辆，且A款的数量不少于10辆，有哪几种进货方案？ （3）按照（2）中两种新能源汽车的进价不变，同时A款新能源汽车保持今年5月份的售价不变，如果B款每辆售价为8.8万元，为打开B款新能源汽车的销路，公司决定每售出一辆B款新能源汽车，返还顾客现金m万元，要使（2）中所有的方案获利相同，m值应是 　0.8　 万元． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设今年5月份A款汽车每辆售价m万元， 则， 解得：m＝10； 经检验，m＝10是原方程的根且符合题意， 答：今年5月份A款汽车每辆售价10万元； （2）设购进A款汽车x辆， 则：， 解得：10≤x＜≤12， ∵x的正整数解为10，11，12； ∴共有3种进货方案： A款汽车10辆，B款汽车10辆； A款汽车11辆，B款汽车9辆： A款汽车12辆，B款汽车8辆； （3）设总获利为W元，购进A款汽车a辆， 则W＝（8.8﹣6﹣m）×（20﹣a）+（10﹣8）a， 即W＝（m﹣0.8）a+56﹣20m， ∵要使（2）中所有的方案获利相同， ∴m﹣0.8＝0， ∴m＝0.8， 故答案为：0.8． 27．（12分）【问题发现】 如图1所示，将△ABC 绕点A逆时针旋转 90° 得△ADE，连接CE、DB根据条件填空： ①∠ACE的度数为 　45°　 ； ②若CE＝2，则CA的值为 　　 ； 【类比探究】 如图2所示，在正方形ABCD中，点E在边BC上，点F在边CD上，且满足∠EAF＝45°，BE＝1，DF＝2，求正方形ABCD的边长； 【拓展延伸】 如图3，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC 于D点，已知BD＝3，CD＝2，求高AD的长． 【答案】【问题发现】①∠ACE＝45°； ②； 【类比探究】； 【拓展延伸】6． 【解答】解：【问题发现】∵△ABC绕点A逆时针旋转90°得△ADE， ∴∠CAE＝90°，CA＝EA， ∴∠ACE＝45°， 故答案为：45°； ②∵△ABC绕点A逆时针旋转90°得△ADE， ∴∠CAE＝90°，CA＝EA， ∴∠ACE＝45°， ∵CE＝2， ∴， 故答案为：； 【类比探究】四边形ABCD是正方形，如图2，延长CB到点M，使得BM＝DF， ∴AB＝AD，∠ADF＝∠ABM＝∠BAD＝90°， 在△ABM和△ADF中， ， ∴△ABM≌△ADF（SAS）， ∴AM＝AF，∠BAM＝∠DAF， ∵∠EAF＝45°， ∴∠DAF+∠EAB＝45°， ∴∠BAM+∠EAB＝45°， ∴∠MAE＝45°， ∴∠MAE＝∠FAE， 在△AME和△AEF中， ， ∴△AME≌△AEF（SAS）， ∴EF＝ME， ∵BE+MB＝ME， ∴BE+DF＝EF． 设正方形的边长为x， ∵BE＝1，DF＝2， ∴EF＝3，CE＝x﹣1，CF＝x﹣2， 由勾股定理，得（x﹣1）2+（x﹣2）2＝32， 解得（不合题意，舍去）， 故正方形的边长为； 【拓展延伸】设△ABC的外接圆圆心为点F，连接FA，FB，FC， 则FA＝FB＝FC． ∵∠BAC＝45°， ∴∠BFC＝90°， ∵BD＝3，CD＝2， ∴BC＝3+2＝5， ∴， 过点F作FE⊥BC，垂足为点E， 则， ∴； 过点F作FG⊥AD，垂足为点G， ∵AD⊥BC， ∴四边形FEDG是矩形， ∴， ∴， ∴． 28．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A（4，0），B（4，3），C（0，3），P为矩形ABCO内一点（不包括边界），过点P分别作x轴和y轴的平行线，这两条平行线把矩形ABCO分为四个小矩形，若这四个小矩形中有一个矩形的面积的值等于OA的长度，则称点P为矩形ABCO的“常积点”． （1）在点D（，），E（2，2），F（1，），G（3，）中，是矩形ABCO“常积点”的为 　E、F、G　 ；（填写所有正确的字母代号） （2）若点H（3m﹣1，2m）是矩形ABCO的“常积点”，且对应的小矩形的一条边在x轴上，求m的值； （3）若点M是矩形ABCO的“常积点”，且对应的小矩形的一条边在x轴上，一次函数y＝k（x﹣3）+5（k为常数，且k＞0）的图象上“常积点”M的个数随着k的值变化而变化，请直接写出该图象上“常积点”M的个数及对应的k的取值范围． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）方法一：如图，设P（a，b），且0＜a＜4，0＜b＜3， ∵A（4，0），B（4，3），C（0，3）， ∴OA＝4，S①＝a（3﹣b），S②＝（4﹣a）（3﹣b），S③＝ab，S④＝（4﹣a）b， ∵D（，）， ∴a，b， ∴S①（3）4，S②＝（4）×（3）4，S③4，S④＝（4）4， 根据“常积点”的定义，点D不是矩形ABCO的“常积点”； ∵E（2，2）， ∴a＝2，b＝2， ∴S①＝2×（3﹣2）＝2≠4，S②＝（4﹣2）×（3﹣2）＝2≠4，S③＝2×2＝4，S④＝（4﹣2）×2＝4， 根据“常积点”的定义，点E是矩形ABCO的“常积点”； ∵F（1，）， ∴a＝1，b， ∴S①＝1×（3）4，S②＝（4﹣1）×（3）＝4，S③＝14，S④＝（4﹣1）5≠4， 根据“常积点”的定义，点F是矩形ABCO的“常积点”； ∵G（3，）， ∴a＝3，b， ∴S①＝3×（3）＝4，S②＝（4﹣3）×（3）4，S③＝35≠4，S④＝（4﹣3）4， 根据“常积点”的定义，点G是矩形ABCO的“常积点”； 综上所述，点E、F、G是矩形ABCO的“常积点”， 故答案为：E、F、G； 方法二：∵2×2＝4， ∴点E是常积点． ∵（3）×（4﹣1）＝4， ∴点F是常积点． ∵3×（3）＝4， ∴点G是常积点． 故“常积点”为点E、F、G； （2）如图1， 当矩形OFHD的面积＝4时，2m（3m﹣1）＝4， 解得m1＝1，m2， 经检验：当m，点H不在矩形ABCO内部，故舍去． 当矩形FAEH的面积＝OA＝4时，2m[4﹣（3m﹣1）]＝4， 解得m3＝1，m4，经检验都符合要求． 综上可知，m的值是1或； （3）设点M（x，y），由（2）可得符合要求的小矩形有两类： 若是左侧小矩形，则可得xy＝4，则点M在y1上； 若是右侧小矩形，则可得（4﹣x）y＝4，则点M在y2上， 由题意，得一次函数y＝k（3﹣x）+5的图象一定过点K（3，5）， ∴点M即为一次函数与y1与y2图象在矩形内部的交点； 如图2，图中交点坐标分别为N（0，1），S（，3），G（，3），Q（2，2）， 当一次函数经过点K、G时，k； 当一次函数经过点K、N时，k； 当一次函数经过点K、Q时，k＝3； 当一次函数经过点K、S时，k＝6． 如图3，当0＜k时，点M有0个； 如图4，当k时，点M有1个； 如图5，当k≤3时，点M有2个； 如图6，当k＝3时，点M有1个； 如图7，当3＜k＜6时，点M有2个； 如图8，当k≥6时，点M有1个． 综上可知，当0＜k时，0个； 当k或k＝3或k≥6时，1个； 当k＜3或3＜k＜6时，2个． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$