重难专攻（十六）外接球与内切球问题（九类重难点题型精练）-2026年高考数学一轮复习【重点•难点题型】精练（新教材新高考）

重难专攻（十六）外接球与内切球问题 目录●重难点题型分布 序号 题型 重难点题型1 长方体（或能补成长方体）的外接球 重难点题型2 直棱柱的外接球 重难点题型3 棱锥（垂直）的外接球 重难点题型4 棱锥(切瓜模型)的外接球 重难点题型5 二面角模型的外接球 重难点题型6 棱锥的内切球问题 重难点题型7 圆柱与圆锥的内切球问题 重难点题型8 棱台与圆台的外接球与内切球问题 重难点题型9 多球问题 重难点题型1 长方体（或能补成长方体）的外接球 1、墙角模型 找三条两两垂直的线段，直接用公式，即，求出 【补充】图1为阳马，图2和图4为鳖臑 2、 对棱相等：对棱相等指四面体的三组对棱分别对应相等，这三组对棱构成长方体的三组对面的对角线 【解题方法】1.若三棱锥的对棱两两相等，则每条对棱为长方体的面对角线，如图，则外接球直径公式为（其中为三组对棱的长度） 1．（24-25高三上·广东汕头·开学考试）已知三棱锥中，，，则其外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 三棱锥的特征把三棱锥的顶点放在长方体的顶点处,三棱锥的外接球就是长方体的外接球 设长方体的长宽高分别是,则,所以, 设长方体的外接球半径为，则， 所以外接球表面积为.故选：D. 2．（2023·河南·开封高中校考模拟预测）已知四面体ABCD中，，，，则四面体ABCD外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设四面体的外接球的半径为, 则四面体在一个长宽高为的长方体中，如图， 则故， 故四面体ABCD外接球的体积为， 故选：C 3．（24-25高一下·贵州毕节·周测）如图，四棱锥中，平面，四边形为正方形，与平面所成角的大小为，且，则四棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、求线面角 【分析】依题意可将四棱锥补成长方体，则四棱锥的外接球也是长方体的外接球，由可求出的长，进而可求，即为外接球的直径，从而可得外接球的表面积. 【详解】如图，因为平面，四边形为正方形， 所以可将四棱锥补成长方体， 则四棱锥的外接球也是长方体的外接球. 由平面，所以就是与平面所成的角， 则，所以， 设四棱锥的外接球的半径为， 因为长方体的对角线的长即为其外接球的直径， 所以，所以， 所以四棱锥的外接球的表面积为. 故选：C 4．（2023·吉林·高一校联考期末）已知正方体的顶点都在球面上，若正方体棱长为，则球的表面积为 ． 【答案】 【解析】该球为正方体外接球，其半径与正方体棱长之间的关系为， 由，可得，所以球的表面积. 答案： 5．（2023·天津静海·高一校考期中）在长方体中，，，，则长方体外接球的表面积为 ． 【答案】 【解析】由题意，根据长方体外接球的性质，可得， ，该长方体的外接球的表面积. 故答案为：. 6．（2023·浙江·高二校联考期中）正四面体的所有顶点都在同一个表面积是36π的球面上，则该正四面体的棱长是 ． 【答案】 【解析】如图所示： 因为正四面体内接于球，则相应的一个正方体内接球，设正方体为， 则正四面体为， 设球的半径为R，则， 解得， 所以则正方体的棱长为， 所以正四面体的棱长为， 故答案为： 重难点题型2 直棱柱的外接球 直棱柱的外接球： 1、补形：补成长方体，若各个顶点在长方体的顶点上，则外接球与长方体相同 2、作图：构造直角三角形，利用勾股定理 勾股定理：，则 1．（24-25高三上·宁夏石嘴山·月考）已知正三棱柱的底面边长为，高为，则该正三棱柱的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解法1：如图，设正三棱柱外接球的球心为，半径为. 记和外接圆的圆心分别为和，其半径为， 由正弦定理得：.而为的中点， 所以则故选:A. 解法2：设正三棱柱外接球的半径为 因正三棱柱的高为，由对称性知其外接球球心必在高线的中点， 故此时.故选:A. 2．（2023·陕西安康·统考三模）已知矩形ABCD的周长为36，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为 ． 【答案】52π 【解析】设正六棱柱的底面边长为x，高为y，则， 正六棱柱的体积， 当且仅当，即时，等号成立，此时正六棱柱的外接球的球心在其上下底面中心的连线的中点， 其半径为，∴外接球的表面积为． 故答案为：． 3．设直三棱柱的所有顶点都在一个表面积是的球面上，且，则此直三棱柱的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，因为，所以. 于是（是外接圆的半径），. 又球心到平面的距离等于侧棱长的一半， 所以球的半径为. 所以球的表面积为，解得. 因此. 于是直三棱柱的表面积是 . 故选：D. 4．（24-25高三上·海南省直辖县级单位·周测）已知直三棱柱中，，，点到直线的距离为，则三棱柱的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】多面体与球体内切外接问题、线面垂直证明线线垂直、球的表面积的有关计算 【分析】根据点到直线的距离可得三棱柱的高，确定外接球球心，结合勾股定理可得外接球半径与外接球表面积. 【详解】 过点作于点，连接， 因为三棱柱为直三棱柱， 平面， 又平面， ， ，，平面，且， 平面， 平面， ， 易知，， ，， ， 则， 设外接圆圆心为，外接圆圆心为， 则，即， 且三棱柱外接球球心为中点， 则外接球半径， 表面积为， 故选：. 5．（23-24高三上·天津东丽·周测）在直三棱柱中，，，，，该直三棱柱的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、正弦定理求外接圆半径 【分析】先求出底面三角形的外接球半径，再根据直三棱柱求出外接球半径，最后计算圆的面积. 【详解】在中，由余弦定理可得， 设外接圆半径为r，再由正弦定理， 因为三棱柱是直三棱柱，设外接球半径为R， 所以， 所以外接球表面积为， 故选：C 6．如图，在直三棱柱的侧面展开图中，B，C是线段AD的三等分点，且．若该三棱柱的外接球O的表面积为12π，则 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】多面体与球体内切外接问题、线面垂直证明线线垂直、球的表面积的有关计算 【分析】根据正三棱柱得性质，确定外接球的球心，利用球的表面积公式以及勾股定理，可得答案. 【详解】由该三棱柱的外接球O的表面积为12π，设外接球得半径为，则，解得， 由题意，取上下底面三角形得中心，分别为，得中点即为外接圆圆心，作图如下： 则，平面，， 平面，， 在等边中，， 在中，， . 故答案为：. 重难点题型3 棱锥（垂直）的外接球 1、侧棱垂直地面的棱锥的外接球 如图，平面，求外接球半径． 第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心； 第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径(三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得)，； 第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①； ②． 2、正棱锥的外接球 第一步：取底面的外心，则三点共线； 第二步：先算出圆的半径（利用正弦定理），再算出锥体的高； 第三步：在利用勾股定理：，解出. 1．（24-25高三上·重庆·模拟预测）已知三棱锥中，平面，，，则此三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在中，，， 则的外接圆的半径， 因为平面，，设此三棱锥外接球的半径为， 则， 则三棱锥的外接球的表面积为．故选：B． 2．如图，三棱锥中，底面，则该三棱锥的内切球和外接球的半径之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】锥体体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】利用三条互相垂直且共顶点的棱，可以看成正方体中共顶点的长､宽､高，求出该三棱锥外接球的半径，设该三棱锥的内切球的半径为，由三棱锥的体积公式可得，可得答案. 【详解】因为底面底面，所以. 又因为，所以，而， 所以三条互相垂直且共顶点的棱，可以看成正方体中共顶点的长､宽､高， 因此该三棱锥外接球的半径， 设该三棱锥的内切球的半径为， 因为， 所以. 因为， 所以， 由三棱锥的体积公式可得 ， 所以. 故选：C. 3．已知三棱锥，其中平面，则三棱锥外接球的表面积为 . 【答案】 【解析】根据题意设底面的外心为G，O为球心，所以平面ABC， 因为平面ABC，所以， 设是PA中点，因为，所以， 因为平面平面ABC，所以，因此， 因此四边形ODAG是平行四边形，故， ∵，∴， 又外接圆的半径，由正弦定理得， 所以该外接球的半径满足， 所以外接球的表面积为. 故答案为：． 4．（2024·全国·模拟预测）在正三棱锥中，，，则三棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】根据正三棱锥的结构特征可求解高的长度，进而根据勾股定理即可求解半径，即可由表面积公式求解，或者利用空间直角坐标系求解半径. 【详解】方法一：如图，取正三角形的中心为，连接， 则三棱锥的外接球球心在上，连接. 在正三角形中，，所以. 在中，，所以. 设外接球的半径为， 由，，解得， 所以三棱锥的外接球表面积. 故选:C.    方法二：在正三棱锥中，过点作底面于点， 则为底面正三角形的中心， 因为正三角形的边长为2，所以. 因为，所以. 如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，    则，. 设三棱锥的外接球球心为，半径为. 由，得，解得， 所以， 则三棱锥的外接球表面积. 故选：C. 5．已知正六棱锥的侧棱长为，其各顶点都在同一球面上，若该球的表面积为，则该正六棱锥的体积为 ． 【答案】/ 【分析】作图，分外接球的球心在棱锥内部和外部两种情况，运用勾股定理列式分别计算. 【详解】设正六棱锥，底面中心为，外接球半径为，底面正六边形的边长为，棱锥的高， 则，，， 当外接球的球心在棱锥内部时，，在中，，即，在中，，即，联立，解得，， 所以正六棱锥的体积为.    当外接球的球心在棱锥外部时，，在中，，即，在中，，即，联立，解得，，这与矛盾，不合题意舍去.    综上，该正六棱锥的体积为. 故答案为：. 6．已知圆锥的轴截面为正三角形，球与圆锥的底面和侧面都相切.设圆锥的体积､表面积分别为，球的体积､表面积分别为，则 . 【答案】1 【分析】设正的边长为2，求出圆锥底面圆半径、高、母线及球的半径，再利用体积、表面积公式计算即得. 【详解】依题意，设正的边长为2，则圆锥的底面圆半径为1，高为，母线长为2， 因此，， 球半径即为正的边心距，因此，， 所以. 故答案为：1 重难点题型4 棱锥（切瓜模型）的外接球 对于平面⊥平面，（为小圆直径）、 第一步：由图知球心必为的外心，即在大圆面上，先求小圆面直径的长； 第二步：在中，可根据正弦定理，解出 1．（24-25高三上·安徽蚌埠·期末）已知三棱锥中，是边长为3的正三角形，，平面平面，则该三棱锥的外接球体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】取等边三角形的中心为，连接并延长交于， 则且， 因为平面平面，平面，平面平面， 所以平面，而平面，故， 故，同理， ，， 故，故为外接球的球心， 且，故外接球的体积为，故选：C . 2．（24-25高三上·广东广州·月考）已知三棱锥P-ABC中，是边长为2的等边三角形，，，，则三棱锥P-ABC的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知，所以，取中点，则是的外心， 又，所以点在底面上的射影是的外心，即为， 所以平面， 因此外接球球心在上，的外接圆就是球的大圆， ，所以， ，，这就是外接球的半径， 外接球表面积为，故选：C． 3．在三棱锥中，侧面是等边三角形，平面平面，且，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得出三棱锥外接球的球心一定在过三角形中心（外接圆圆心）的垂线上，也一定在过三角形的外接圆圆心（为直角三角形斜边中点）的垂线上，由此可得外接球圆心、半径，进一步即可求解. 【详解】   因为侧面是等边三角形，所以三棱锥外接球的球心一定在过三角形中心（外接圆圆心）的垂线上， 因为平面平面，作平面，其中为三棱锥外接球的球心， 又因为， 所以三棱锥外接球的球心一定在过三角形的外接圆圆心（为直角三角形斜边中点）的垂线上， 作平面，交于， 由题意知， 所以三棱锥外接球的半径为， 所以三棱锥外接球的表面积为. 故选：C. 4．已知三棱锥，是以为斜边的直角三角形，为边长是2的等边三角形，且平面平面，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 由条件知，外接球的球心在过的中点且垂直于平面的直线上，又平面平面，所以可得等边三角形的中心即为外接球的球心，求出外接圆的半径即得三棱锥外接球的半径． 【详解】 直角三角形外接圆的圆心是斜边的中点，过该点作一条垂直于平面的直线． 因为平面平面， 所以所作直线在平面内，且经过等边三角形的中心， 所以等边三角形的中心就是三棱锥外接球的球心， 所以外接圆的半径也是三棱锥外接球的半径． 由正弦定理知，(是的外接圆的半径)，即， 所以， 于是三棱锥外接球的半径为， 故三棱锥外接球的表面积为． 故选：A． 重难点题型5 二面角模型的外接球 两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠 第一步：先画出如图所示的图形，将画在小圆上，找出和的外心和； 第二步：过和分别作平面和平面的垂线，两垂线的交点即为球心，连接； 第三步：解，算出，在中，勾股定理：． 注：易知四点共面且四点共圆，证略． 1．（24-25高三上·山西吕梁·开学考试）已知在三棱锥中，除外其他各棱长均为2，且二面角的大小为.若三棱锥的各顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】方法1：如图，设分别为的中点，连接， 则是边长为的等边三角形， 则球心必在线段上，其中， 设球的半径为，在中，, 又,, 所以在中，, 因为，所以.解得， 故球的表面积为. 方法2：如图，设分别为的中点， 连，则球心必在线段上，且. 设在直线上的射影为，则为正的重心，且底面. 所以，所以，， 故球的表面积为.故选：A 2．（2023·广东阳江·高三统考开学考试）在三棱锥中，，，二面角的平面角为，则三棱锥外接球表面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当D在△ACD的外接圆上动的时候，该三棱锥的外接球不变， 故可使D点动到一个使得DA=DC的位置，取AC的中点M，连接， 因为，DA=DC，所以，，故即为二面角的平面角， △ACB的外心为O1，过O1作平面ABC的垂线，过△ACD的外心M作平面ACD的垂线，两条垂线均在平面BMD内，它们的交点就是球心O，画出平面BMD，如图所示； 在平面ABC内，设，则，， 因为，所以，所以， 所以 令，则， 所以，当且仅当时取等， 故选:B 3．（2023·广东·校联考模拟预测）已知四棱锥平面，二面角的大小为.若点均在球的表面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以， 因为点均在球的表面上， 所以四边形内接于圆，所以，所以， 因为平面，平面，所以， 又平面，所以平面， 平面，所以，又， 所以二面角的平面角为，所以， 在中，因为，所以， 由余弦定理可得：， 即，即或（舍去）， 所以，所以外接圆的直径为：， 即四边形外接圆的直径为， 因为平面，所以，四棱锥外接球的半径为： 所以四面体外接球的表面积为. 故选：B. 4．在三棱锥中，，，，二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，取的中点D，连接和，则为二面角的平面角，即，过点D作平面的垂线，过点作平面的垂线，则交点为球心，连接，，然后在、中分别运用勾股定理、余弦定理可得，从而可求得球的表面积. 【详解】 如图，因为，，所以， 因为，所以为等边三角形，所以. 取的中点D，连接和，则为二面角的平面角，即. 因为为直角三角形，所以D为的外心.设的外心为， 过点D作平面的垂线，过点作平面的垂线，则交点为球心，连接，.设三棱锥外接球的半径为R. 在中，， 由已知得，在中，由余弦定理得， 即，解得， 故三棱锥外接球的表面积为. 故选：C. 【点睛】关键点睛：本题的关键是准确画出图形然后根据找到外接球心的位置，最终根据解三角形知识确定球的半径即可顺利求解. 5．已知菱形中，对角线，将沿着折叠，使得二面角为， ，则三棱锥的外接球的表面积为 .    【答案】 【分析】将沿折起后，取中点为，连接，，得到，在中由余弦定理求出的长，进一步求出的长,分别记三角形与的重心为、，记该几何体的外接球球心为，连接，，证明与全等，求出，再推出，连接，由勾股定理求出，即可得出外接球的表面积. 【详解】将沿折起后，取中点为，连接，， 则，， 可知即为二面角的平面角，即； 设，则， 在中，由余弦定理可得：， 即 解得， 即，可得， 所以与是边长为的等边三角形， 分别记三角形与的重心为、， 则，；； 因为与都是边长为2的等边三角形， 所以点是的外心，点是的外心； 记该几何体的外接球球心为，连接，，    根据球的性质，可得平面，平面， 所以与都是直角三角形，且为公共边， 所以与全等，因此， 所以； 因为，，，平面， 所以平面； 又平面，所以， 连接，则外接球半径为， 所以外接球表面积为. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：求解几何体外接球体积或表面积问题时，一般需要结合几何体结构特征，确定球心位置，求出球的半径，即可求解；在确定球心位置时，通常需要先确定底面外接圆的圆心，根据球心和截面外接圆的圆心连线垂直于截面，即可确定球心位置；有时也可将几何体补型成特殊的几何体（如长方体），根据特殊几何体的外接球，求出球的半径. 重难点题型6 棱锥的内切球问题 三棱锥是任意三棱锥，求其的内切球半径（最优法） 方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等 1．（24-25高三下·广东·开学考试）已知正四棱锥的底面边长为，若半径为1的球与该正四棱锥的各面均相切，则正四棱锥的体积为（    ） A． B．12 C． D．36 【答案】B 【解析】因为球与该正四棱锥的各面均相切， 所以该球的球心在的高线上， 过点作于点，连接，过点作于点. 因平面，平面，则， 又平面，则平面， 因平面，故， 又平面，故平面. 依题意，，因为底面边长为，所以， 在中，，则， 因，则，则， 故，则.故选：B. 2．已知正四面体的棱长为，则其内切球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设正四面体内切球球心为，内切球半径为，取中点，作平面于，则为中心， 则，. ，， ， 又，， 内切球表面积. 故选：. 3．（2023·湖北武汉·高二校联考）如图，在三棱锥中，，，若三棱锥的内切球的表面积为，则此三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】连接，并延长交底面于点，连接，并延长交于， 在三棱锥中，，， 三棱锥是正四面体，是的中心，平面， 三棱锥的内切球的表面积为， ，解得球的半径， 设，则，， ， ，，， 解得，， 此三棱锥的体积为. 故选：D. 4．（2024·江西新余·模拟预测）“长太息掩涕兮，哀民生之多艰”，端阳初夏，粽叶飘香，端午是一大中华传统节日.小玮同学在当天包了一个具有艺术感的肉粽作纪念，将粽子整体视为一个三棱锥，肉馅可近似看作它的内切球（与其四个面均相切的球，图中作为球）.如图：已知粽子三棱锥中，，、、分别为所在棱中点，、分别为所在棱靠近端的三等分点，小玮同学切开后发现，沿平面或平面切开后，截面中均恰好看不见肉馅.则肉馅与整个粽子体积的比为（    ）.    A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.15 【知识点】多面体与球体内切外接问题、余弦定理解三角形、锥体体积的有关计算、球的体积的有关计算 【分析】设，易知，且，设肉馅球半径为，，根据中点可知到的距离，，根据三角形面积公式及内切圆半径公式可得，结合余弦定理可得，进而可得，，可得内切球半径且可知三棱锥为正三棱锥，再根据球的体积公式及三棱锥公式分别求体积及比值. 【详解】    如图所示，取中点为，， 为方便计算，不妨设， 由，可知， 又、分别为所在棱靠近端的三等分点， 则， 且，、，，平面， 即平面， 又平面，则平面平面， 设肉馅球半径为，， 由于、、分别为所在棱中点，且沿平面切开后，截面中均恰好看不见肉馅， 则到的距离，，， 又，解得：， 故， 又， 解得，， 所以：，解得，， 由以上计算可知：为正三棱锥， 故， 所以比值为. 故选：B. 5．（2025·四川绵阳·模拟预测）四棱锥的底面是边长为2的正方形，且，设该四棱锥的外接球球心与内切球球心分别为，，则的长为（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】锥体体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、正棱锥及其有关计算 【分析】由题设可知正四棱锥底面边长为侧棱长为，进而求出外接球的半径，应用等体积法求内切球的半径，即可求解. 【详解】因为四棱锥的底面是边长为2的正方形，且，为正四棱锥，设底面中心为, 则四棱锥外接球球心及内切球球心都在上，设外接球球心为，半径为. 连接，则有.四棱锥的底面是边长为2的正方形， 在中，， 由得，，整理得，. 设内切球的半径为，中，，， 所以，所以四棱锥表面积为， 由，即， ∴，则的长为. 故选：B. 6．正四面体的棱长为，如图甲，，，分别是，，上的点，平面底面，半径为的球在三棱台内部且与底面和平面都相切，记三棱锥的体积为.如图乙，将正四面体倒置后，，，分别是，，上的点，且平面底面，此时球内切于三棱锥，记三棱台的体积为，若三棱锥的体积，则球的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】根据题意，可知本题的本质就是在正四面体中寻找一个平面，使得同一个球与上部分的小四面体内切，同时与下面部分的棱台的上下底面相切，通过计算可知一个正四面体的高是它的内切球半径的4倍，由题中条件可求出正四面体的高，设三棱锥的内切球的半径为，可知三棱锥的高为以及棱台的高为，最后根据求出，从而得出球的表面积. 【详解】解：本题的本质就是在正四面体中寻找一个平面， 使得同一个球与上部分的小四面体内切，同时与下面部分的棱台的上下底面相切， 若一个正四面体的棱长为时，则底面外接圆半径为， 可得正四面体的高， 若正四面体的内切球半径为，底面积为S， 则，则， 即正四面体的高是它的内切球半径的4倍， 由题可知，正四面体的棱长为， 则正四面体的高， 设三棱锥的内切球的半径为，则三棱锥的高为， 而球与三棱台的上下底面相切，即棱台的高为， 所以正四面体的高，故， 所以球的表面积是. 故选：A. 重难点题型7 圆柱与圆锥的内切球问题 1．（24-25高三上·山西·模拟预测）已知圆柱的底面半径为1，高为2，该圆柱的上下底面圆周上的点均在球的表面上，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，圆柱的底面半径为，高为， 因为该圆柱的底面圆周都在球的表面上，设球的半径为， 则，即，所以球的表面积为，故选：B. 2．（2023·天津·统考二模）已知一个圆锥的高为，底面直径为，其内有一球与该圆锥的侧面和底面都相切，则此球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】圆锥的母线长为，取圆锥的轴截面如下图所示： 设该圆锥的内切球的半径为，则， 所以，， 因此，球的体积为. 故选：C. 3．（23-24高三上·江苏淮安·开学考试）球是圆锥的内切球，若球的半径为，则圆锥体积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】面积、体积最大问题 【分析】取圆锥的轴截面，设，可得出，，利用锥体的体积公式可得出圆锥的体积为，令，，利用导数求出函数的最小值，即可得出圆锥体积的最小值. 【详解】如下图所示：    取圆锥的轴截面，设，则， 则，则， 所以，该圆锥的体积为 ， 令，令，其中， 则，当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 所以，当时，取最小值，即. 故选：C. 4．如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现，即：圆柱的体积与其内切球的体积比为定值. 现在让我们来重温这个伟大发现．圆柱的体积与球的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】柱体体积的有关计算、球的体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】根据给定条件，设出球半径，求出圆柱及内切球的体积即可计算作答. 【详解】设圆柱的内切球半径为，则圆柱底面圆半径为，高为， 所以圆柱的体积与球的体积之比为. 故选：D 5．（2023·贵州贵阳·高二校考）已知圆锥内切球（与圆锥侧面、底面均相切的球）的半径为2，当该圆锥的表面积最小时，其外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设圆锥的顶点为，底面圆的圆心为，内切球圆心为， 则，， 因为⊥，⊥，所以∽，则， 设，， 故，由得：， 由得：， 故，所以，， 解得：， 所以圆锥的表面积为， 令，， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故在时取得最小值，， 此时，， 设圆锥的外接球球心为，连接，设， 则， 由勾股定理得：，即， 解得：，故其外接球的表面积为. 故选：A 重难点题型8 棱台与圆台的外接球与内切球问题 8 球内接圆台，棱台：，其中分别为圆台的上底面、下底面、高． 基本规律：正棱台外接球，以棱轴截面为主 1．（24-25高三上·湖南永州·模拟预测）正三棱台的上、下底边长分别为6，18，该正三棱台内部有一个内切球（与上、下底面和三个侧面都相切），则正三棱台的高为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【解析】由题可知上下底正三角形的高分别为， 由几何体结构特征结合题意可知内切球与上、下底面切点为上下底的重心， 故如左图所示作截面，得到右图，设内切球半径为， 则有即， 所以正三棱台的高为6.故选：D. 2．（2023·湖北咸宁·高二统考期末）已知球内切于圆台（即球与该圆台的上、下底面以及侧面均相切），且圆台的上、下底面半径，则圆台的体积与球的体积之比为（    ）    A． B． C．2 D． 【答案】B 【解析】如图为该几何体的轴截面，其中圆是等腰梯形的内切圆，设圆与梯形的腰相切于点，与上、下底的分别切于点，， 设球的半径为，圆台上下底面的半径为，.注意到与均为角平分线，因此， 从而，故.设台体体积为，球体体积为， 则. 故选：B 3．（2023·安徽宣城·高二校联考开学考试）如图，正四棱台的上､下底面边长分别为分别为，的中点，8个顶点构成的十面体恰有内切球，则该内切球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】该十面体及内切球的正投影为等腰梯形与内切圆，设内切圆的半径为， 如图所示，， 所以， 可得， 故该内切球的表面积为. 故选：A 4．（24-25高三下·浙江·月考）正四棱台侧棱长为，上下底面边长分别为和，所有顶点在同一球面上，则正四棱台的外接球表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】画出图形，设外接球半径为，利用半径相等列出方程，求出半径，从而得到球的表面积. 【详解】如图所示，，， 设为外接球球心，外接球半径为，为上下底面的中心，易知， 又侧棱长为，则，又易知， 设，则，， 故，解得：， 故，所以球的表面积为， 故选：B. 5．已知一圆台上底半径为1（下底半径大于上底半径），母线与底面所成角的余弦值为，若此圆台存在内切球（球与棱台各面均相切），则此圆台的表面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】圆台表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】根据圆台的内切球的性质以及线面夹角可得，且，再结合圆台的表面积公式运算求解. 【详解】设上底面半径为，下底面半径为， 如图，取圆台的轴截面，作，垂足为，    设内切球与梯形两腰分别切于点， 可知，， 由题意可知：，可得，即， 可得此圆台的表面积是. 故选：C. 6．（24-25高三下·重庆北碚·月考）正六棱台的上、下底面的边长分别是2和6，且正六棱台存在内切球（与正六棱台的各个面都相切），则它的侧棱长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】正棱台及其有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】设所求为，用表示出正六棱台的体积、表面积，设内切球半径为，可用等体积法表示出，另外一方面等于正六棱台的高，由此可构建方程求解. 【详解】如图所示，设所求为，是正六棱台的底面的中心， 因为正六边形的每一个内角为， 所以，又因为， 所以三角形是等边三角形，所以，同理， 所以， 所以正六棱台的体积为， 由， 表面积为， 设内切球半径为，则由等体积法可得，， 所以，又， 所以，即， 所以，即，解得. 故选：C. 7．（23-24高三上·江苏扬州·期末）某圆台的上下底面半径分别为1和2，若它的外接球表面积为，则该圆台的高为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】圆台的结构特征辨析、球的表面积的有关计算 【分析】由球体面积求球体半径，结合圆台轴截面外接圆为外接球最大截面圆，根据已知条件即可求圆台的高. 【详解】若外接球半径，则，可得， 由圆台轴截面外接圆为外接球最大截面圆，如下图于， 所以，则该圆台的高. 故答案为： 重难点题型9 多球问题 1．（24-25高三上·山西运城·期末）一个轴截面是边长为的正三角形的圆锥型封闭容器内放入一个半径为2的小球后，再放入一个球，则球的表面积与容器表面积之比的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由边长为的正三角形的内切圆半径为， 即轴截面是边长为的正三角形的圆锥内切球半径为2， 所以放入一个半径为2的小球后，再放一个球，如下图， 要使球的表面积与容器表面积之比的最大，即球的半径最大， 所以只需球与球、圆锥都相切，其轴截面如上图，此时， 所以球的表面积为，圆锥表面积为， 所以球的表面积与容器表面积之比的最大值为故选： A 2．（2023·江西赣州·高一江西省龙南中学校考期末）已知正四面体的棱长为12，先在正四面体内放入一个内切球，然后再放入一个球，使得球与球及正四面体的三个侧面都相切，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 如图，正四面体，设点是底面的中心，点是的中点，连接. 则由已知可得，平面，球心在线段上，球切平面的切点在线段上，分别设为. 则易知，，设球的半径分别为. 因为，根据重心定理可知，. ，，，，. 由可得，， 即，解得，，所以. 由可得，， 即，解得， 所以，球的体积为. 故选：A. 3．（2023·山东德州·高一德州市第一中学校考期末）如图是某零件结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球和正四面体三个面均相切，若，则该模型中一个小球的体积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图所示， 设为大球的球心，大球的半径为，大正四面体的底面中心为，棱长为，高为， 的中点为，连接，，，，，， 则，正四面体的高. 因为，所以，所以， 设小球的半径为，小球也可看作一个小的正四面体的内切球， 且小正四面体的高，所以， 所以小球的体积为. 故选：C 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难专攻（十六）外接球与内切球问题 目录●重难点题型分布 序号 题型 重难点题型1 长方体（或能补成长方体）的外接球 重难点题型2 直棱柱的外接球 重难点题型3 棱锥（垂直）的外接球 重难点题型4 棱锥(切瓜模型)的外接球 重难点题型5 二面角模型的外接球 重难点题型6 棱锥的内切球问题 重难点题型7 圆柱与圆锥的内切球问题 重难点题型8 棱台与圆台的外接球与内切球问题 重难点题型9 多球问题 重难点题型1 长方体（或能补成长方体）的外接球 1、墙角模型 找三条两两垂直的线段，直接用公式，即，求出 【补充】图1为阳马，图2和图4为鳖臑 2、 对棱相等：对棱相等指四面体的三组对棱分别对应相等，这三组对棱构成长方体的三组对面的对角线 【解题方法】1.若三棱锥的对棱两两相等，则每条对棱为长方体的面对角线，如图，则外接球直径公式为（其中为三组对棱的长度） 1．（24-25高三上·广东汕头·开学考试）已知三棱锥中，，，则其外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·河南·开封高中校考模拟预测）已知四面体ABCD中，，，，则四面体ABCD外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·贵州毕节·周测）如图，四棱锥中，平面，四边形为正方形，与平面所成角的大小为，且，则四棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 4．（2023·吉林·高一校联考期末）已知正方体的顶点都在球面上，若正方体棱长为，则球的表面积为 ． 5．（2023·天津静海·高一校考期中）在长方体中，，，，则长方体外接球的表面积为 ． 6．（2023·浙江·高二校联考期中）正四面体的所有顶点都在同一个表面积是36π的球面上，则该正四面体的棱长是 ． 重难点题型2 直棱柱的外接球 直棱柱的外接球： 1、补形：补成长方体，若各个顶点在长方体的顶点上，则外接球与长方体相同 2、作图：构造直角三角形，利用勾股定理 勾股定理：，则 1．（24-25高三上·宁夏石嘴山·月考）已知正三棱柱的底面边长为，高为，则该正三棱柱的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·陕西安康·统考三模）已知矩形ABCD的周长为36，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为 ． 3．设直三棱柱的所有顶点都在一个表面积是的球面上，且，则此直三棱柱的表面积是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·海南省直辖县级单位·周测）已知直三棱柱中，，，点到直线的距离为，则三棱柱的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 5．（23-24高三上·天津东丽·周测）在直三棱柱中，，，，，该直三棱柱的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在直三棱柱的侧面展开图中，B，C是线段AD的三等分点，且．若该三棱柱的外接球O的表面积为12π，则 ． 重难点题型3 棱锥（垂直）的外接球 1、侧棱垂直地面的棱锥的外接球 如图，平面，求外接球半径． 第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心； 第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径(三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得)，； 第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①； ②． 2、正棱锥的外接球 第一步：取底面的外心，则三点共线； 第二步：先算出圆的半径（利用正弦定理），再算出锥体的高； 第三步：在利用勾股定理：，解出. 1．（24-25高三上·重庆·模拟预测）已知三棱锥中，平面，，，则此三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．如图，三棱锥中，底面，则该三棱锥的内切球和外接球的半径之比为（    ） A． B． C． D． 3．已知三棱锥，其中平面，则三棱锥外接球的表面积为 . 4．（2024·全国·模拟预测）在正三棱锥中，，，则三棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 5．已知正六棱锥的侧棱长为，其各顶点都在同一球面上，若该球的表面积为，则该正六棱锥的体积为 ． 6．已知圆锥的轴截面为正三角形，球与圆锥的底面和侧面都相切.设圆锥的体积､表面积分别为，球的体积､表面积分别为，则 . 重难点题型4 棱锥（切瓜模型）的外接球 对于平面⊥平面，（为小圆直径）、 第一步：由图知球心必为的外心，即在大圆面上，先求小圆面直径的长； 第二步：在中，可根据正弦定理，解出 1．（24-25高三上·安徽蚌埠·期末）已知三棱锥中，是边长为3的正三角形，，平面平面，则该三棱锥的外接球体积为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·广东广州·月考）已知三棱锥P-ABC中，是边长为2的等边三角形，，，，则三棱锥P-ABC的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 3．在三棱锥中，侧面是等边三角形，平面平面，且，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 4．已知三棱锥，是以为斜边的直角三角形，为边长是2的等边三角形，且平面平面，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 重难点题型5 二面角模型的外接球 两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠 第一步：先画出如图所示的图形，将画在小圆上，找出和的外心和； 第二步：过和分别作平面和平面的垂线，两垂线的交点即为球心，连接； 第三步：解，算出，在中，勾股定理：． 注：易知四点共面且四点共圆，证略． 1．（24-25高三上·山西吕梁·开学考试）已知在三棱锥中，除外其他各棱长均为2，且二面角的大小为.若三棱锥的各顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·广东阳江·高三统考开学考试）在三棱锥中，，，二面角的平面角为，则三棱锥外接球表面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·广东·校联考模拟预测）已知四棱锥平面，二面角的大小为.若点均在球的表面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 4．在三棱锥中，，，，二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 5．已知菱形中，对角线，将沿着折叠，使得二面角为， ，则三棱锥的外接球的表面积为 .     重难点题型6 棱锥的内切球问题 三棱锥是任意三棱锥，求其的内切球半径（最优法） 方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等 1．（24-25高三下·广东·开学考试）已知正四棱锥的底面边长为，若半径为1的球与该正四棱锥的各面均相切，则正四棱锥的体积为（    ） A． B．12 C． D．36 2．已知正四面体的棱长为，则其内切球的表面积为（ ） A． B． C． D． 3．（2023·湖北武汉·高二校联考）如图，在三棱锥中，，，若三棱锥的内切球的表面积为，则此三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·江西新余·模拟预测）“长太息掩涕兮，哀民生之多艰”，端阳初夏，粽叶飘香，端午是一大中华传统节日.小玮同学在当天包了一个具有艺术感的肉粽作纪念，将粽子整体视为一个三棱锥，肉馅可近似看作它的内切球（与其四个面均相切的球，图中作为球）.如图：已知粽子三棱锥中，，、、分别为所在棱中点，、分别为所在棱靠近端的三等分点，小玮同学切开后发现，沿平面或平面切开后，截面中均恰好看不见肉馅.则肉馅与整个粽子体积的比为（    ）.    A． B． C． D． 5．（2025·四川绵阳·模拟预测）四棱锥的底面是边长为2的正方形，且，设该四棱锥的外接球球心与内切球球心分别为，，则的长为（   ） A．0 B． C． D． 6．正四面体的棱长为，如图甲，，，分别是，，上的点，平面底面，半径为的球在三棱台内部且与底面和平面都相切，记三棱锥的体积为.如图乙，将正四面体倒置后，，，分别是，，上的点，且平面底面，此时球内切于三棱锥，记三棱台的体积为，若三棱锥的体积，则球的表面积是（    ） A． B． C． D． 重难点题型7 圆柱与圆锥的内切球问题 1．（24-25高三上·山西·模拟预测）已知圆柱的底面半径为1，高为2，该圆柱的上下底面圆周上的点均在球的表面上，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·天津·统考二模）已知一个圆锥的高为，底面直径为，其内有一球与该圆锥的侧面和底面都相切，则此球的体积为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三上·江苏淮安·开学考试）球是圆锥的内切球，若球的半径为，则圆锥体积的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现，即：圆柱的体积与其内切球的体积比为定值. 现在让我们来重温这个伟大发现．圆柱的体积与球的体积之比为（    ） A． B． C． D． 5．（2023·贵州贵阳·高二校考）已知圆锥内切球（与圆锥侧面、底面均相切的球）的半径为2，当该圆锥的表面积最小时，其外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 重难点题型8 棱台与圆台的外接球与内切球问题 8 球内接圆台，棱台：，其中分别为圆台的上底面、下底面、高． 基本规律：正棱台外接球，以棱轴截面为主 1．（24-25高三上·湖南永州·模拟预测）正三棱台的上、下底边长分别为6，18，该正三棱台内部有一个内切球（与上、下底面和三个侧面都相切），则正三棱台的高为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2023·湖北咸宁·高二统考期末）已知球内切于圆台（即球与该圆台的上、下底面以及侧面均相切），且圆台的上、下底面半径，则圆台的体积与球的体积之比为（    ）    A． B． C．2 D． 3．（2023·安徽宣城·高二校联考开学考试）如图，正四棱台的上､下底面边长分别为分别为，的中点，8个顶点构成的十面体恰有内切球，则该内切球的表面积为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三下·浙江·月考）正四棱台侧棱长为，上下底面边长分别为和，所有顶点在同一球面上，则正四棱台的外接球表面积是（    ） A． B． C． D． 5．已知一圆台上底半径为1（下底半径大于上底半径），母线与底面所成角的余弦值为，若此圆台存在内切球（球与棱台各面均相切），则此圆台的表面积是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高三下·重庆北碚·月考）正六棱台的上、下底面的边长分别是2和6，且正六棱台存在内切球（与正六棱台的各个面都相切），则它的侧棱长是（   ） A． B． C． D． 7．（23-24高三上·江苏扬州·期末）某圆台的上下底面半径分别为1和2，若它的外接球表面积为，则该圆台的高为 . 重难点题型9 多球问题 1．（24-25高三上·山西运城·期末）一个轴截面是边长为的正三角形的圆锥型封闭容器内放入一个半径为2的小球后，再放入一个球，则球的表面积与容器表面积之比的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·江西赣州·高一江西省龙南中学校考期末）已知正四面体的棱长为12，先在正四面体内放入一个内切球，然后再放入一个球，使得球与球及正四面体的三个侧面都相切，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·山东德州·高一德州市第一中学校考期末）如图是某零件结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球和正四面体三个面均相切，若，则该模型中一个小球的体积为（    ）    A． B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$