第六讲 有理数大小比较（3个知识点3大典例）暑假预习讲义2025-2026学年人教版数学七年级上册

2025年新七年级数学人教版暑假预习讲义（3个知识点3大典例） 第六讲 有理数大小比较（解析版） 知识点梳理 知识点1 有理数大小的比较方法1---数轴比较法 在数轴上表示的两个数或几个数，右边的数总比左边的数大 要点诠释： 应用步骤 1.画数轴 ：将所有待比较的有理数标在数轴上，注意原点位置。 2.定位点 ：根据数轴上的位置直观判断大小关系， 3.等值判断 ：若两个数在数轴上表示同一点，则它们相等. 知识点2 有理数大小的比较方法2---数的相对大小比较法 有理数比较大小： ①正数大于0,0大于负数，正数大于负数； ②两个负数，绝对值大的反而小 要点诠释： 两个负数比较时，绝对值大的数反而小；正数与零比较时，绝对值大的数更大。 步骤 ：先求两数绝对值，再根据绝对值大小判断原数大小 知识点3 有理数大小比较的实际应用 有理数大小比较的实际应用要点可总结为以下四方面，结合数轴、绝对值及作差法等核心方法： 一、数轴法：直观判断大小关系 核心思想 ：数轴上右边的数总比左边的数大，通过数轴位置直接比较有理数大小。 应用场景 ：适用于需要快速判断多个数相对位置的情况，如排序、区间判断等。 二、绝对值法：处理负数比较 核心思想 ：两个负数比较时，绝对值大的数反而小。 应用场景 ：当题目涉及多个负数或需避免直接计算时，通过绝对值简化比较过程。 三、作差法：通过差值判断大小 核心思想 ：计算两数差值，若差值大于0则前者大，等于0则相等，小于0则后者大。 应用场景 ：适用于需要精确判断大小关系的复杂表达式，如代数式比较。 四、特殊值法：简化计算过程 核心思想 ：通过选取特殊值（如0、1、-1）快速验证大小关系，尤其适用于含参数的题目。 应用场景 ：当题目条件复杂时，通过特殊值法可快速排除错误选项或验证结论。 典例精讲 题型1 数轴比较法 例1．画出数轴，把下列各数，，，在数轴上表示出来，并按从大到小的顺序用“”把这些数连接起来： 名师支招 在数轴上表示的两个数或几个数，右边的数总比左边的数大 【答案】数轴见解析， 【分析】本题考查了数轴，有理数大小比较，先根据正负数的定义把各数表示在数轴上，再根据数轴上右边的数总比左边的数大即可得出比较结果． 【详解】解：如图， 由数轴得， 变式训练1 1．如图，数轴上点P所表示的数可能为（   ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，有理数比较大小，根据数轴可得点P所表示的数要大于负2，小于负1，再证明即可得到答案． 【详解】解：由题意得，点P所表示的数要大于负2，小于负1， ∵，且， ∴， ∴数轴上点P所表示的数可能为， 故选：A． 2．在直线的位置是（    ）． A．点左边 B．点与点之间 C．点与点之间 D．点右边 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，根据判断即可． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴在直线的位置是在点与点之间． 故选：C． 3．A，B是数轴上位于原点O异侧的两点（点A在点B的右侧），若点A，B分别对应的有理数为a，b．且，则a，b，，中最大的数是（    ） A．a B． C．b D． 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，利用数轴比较大小，熟练掌握数轴上的点的表示方法是解题的关键． 首先 确定点A在原点右侧，点B在原点左侧， 从而得到，又根据 ，得到， 即，即可得出最大的数． 【详解】A，B是数轴上位于原点O异侧的两点（点A在点B的右侧）， ∴点A在原点左侧，点B在原点右侧， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ， ∴， ∵，所以， ∴； 故选：B． 4．如图所示，数轴上两点分别表示两个有理数，则下列四个数中最小的一个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的大小的比较，由数轴可得，即得，据此即可求解，掌握有理数的大小比较方法是解题的关键． 【详解】解：由数轴可得，， ∴， 故选：A． 题型2 绝对值比较法 例2．用“”“”填空： ． 名师支招 ①正数大于0,0大于负数，正数大于负数；②两个负数，绝对值大的反而小 比较两个负数时先求这两个数的绝对值，再比较. 【答案】 【分析】本题考查有理数的大小比较，熟练掌握有理数的大小比较法则是解题的关键．两个负数比较大小，绝对值大的反而小，据此即可解答． 【详解】解：，， ， ， 故答案为：． 变式训练 1．比较下列各组数的大小： (1)和； (2)和． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是有理数的大小比较，求解绝对值； （1）先求解两数的绝对值，再根据两个负数绝对值大的反而小可得答案； （2）先化简各数，再根据正数大于负数即可比较大小． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）解：∵，， ∴ ∴． 2．比较下列每组中两个有理数的大小． (1)与； (2)和． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查比较有理数的大小，解题关键是熟练掌握比较有理数大小法则：正数>零>负数，两个负数，绝对值大的，反而小． （1）根据两个负数，绝对值大的，反而小求解即可； （2）先化简各数，再根据两个负数，绝对值大的，反而小求解即可． 【详解】（1）解：因为， 所以． （2）解：，， 因为，所以， 即． 3．比较下列各数的大小．（用“<”号连接，写出过程） 【答案】 【分析】本题考查有理数比较大小，根据负数比较大小，绝对值大的反而小解题即可． 【详解】解：因为，，，，，，， 所以． 4．［核心素养］阅读材料：当时，有，即时，的绝对值是它本身；当时，，即0的绝对值是0；当时，有，即时，的绝对值是它的相反数．综合上述讨论可得：当时，；当时，．这种分析方法体现了数学中常用的分类讨论思想．请根据材料解答下列问题： (1)比较大小：（填“”“”或“”）； (2)请仿照上述分类讨论的方法，分析与的大小关系． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了求一个数的绝对值，化简绝对值，有理数的大小比较等知识．熟练掌握求一个数的绝对值，化简绝对值，有理数的大小比较是解题的关键． （1）由题意知，，，然后作答即可； （2）分当，，时，化简绝对值，然后比大小即可． 【详解】（1）解：由题意知，，， 故答案为：； （2）解：由题意知，当时，； 当时，； 当时，． 题型3 实际应用 例3．如图，数轴上有三个点A、B、C，它们可以沿着数轴左右移动，请回答： （1）将点B向右移动三个单位长度后到达点D，点D表示的数是 ； （2）移动点A到达点E，使B、C、E三点的其中任意一点为连接另外两点之间线段的中点，请你直接写出所有点A移动的距离和方向； （3）若A、B、C三个点移动后得到三个互不相等的有理数，它们既可以表示为1，，的形式，又可以表示为0，，的形式，试求，的值. 名师支招 通用方法与技巧 数轴法 ：直观展示数位大小关系，适用于所有有理数比较。 绝对值法 ：快速判断负数大小（绝对值大的负数更小）。 作差/商值法 ：通过计算差值或商数与零的关系确定大小。 通过以上方法，有理数大小比较成为解决实际问题的重要工具，需结合具体场景选择合适策略。 【答案】（1）1；（2）①向左移动3个单位长度；②向右移动4.5 单位长度；③向右移动12个单位长度；（3）=－1，=1 【详解】试题分析：（1）将点B向右移动三个单位长度后到达点D，则点D表示的数为-2+3=1； （2）分类讨论：当点A向左移动时，则点B为线段AC的中点；当点A向右移动并且落在BC之间，则A点为BC的中点；当点A向右移动并且在线段BC的延长线上，则C点为BA的中点，然后根据中点的定义分别求出对应的A点表示的数，从而得到移动的距离； （3）根据题意得到a≠0，a≠b，则有b=1，a+b=0，a=，即可求出a与b的值． （1）由题意得点D表示的数是1； （2）当点A向左移动时，则点B为线段AC的中点， ∵线段BC=3-（-2）=5， ∴点A距离点B有5个单位， ∴点A要向左移动3个单位长度； 当点A向右移动并且落在BC之间，则A点为BC的中点， ∴A点在B点右侧，距离B点2.5个单位， ∴点A要向右移动4.5 单位长度； 当点A向右移动并且在线段BC的延长线上，则C点为BA的中点， ∴点A要向右移动12个单位长度； （3）依题意得：≠0，≠，显然有=1 +=0，=， 解得=－1，=1的值. 考点：数轴，平移的性质 点评：解题的关键是熟练掌握数轴上左边的点表示的数比右边的点表示的数要小. 变式训练3 1．陈叔叔准备从北京乘飞机去莫斯科，通过网络查询到下面的相关信息． ①北京和莫斯科两地存在时差，以北京时间为标准时间，比标准时间早用正数表示，比标准时间晚用负数表示，莫斯科的时间记作时； ②飞行高度层按以下标准划分：真航线角在180度至359度范围内，高度由至，每隔为一个高度层； ③当日最低气温：莫斯科，北京． (1)当陈叔叔乘坐的飞机降落在莫斯科机场时，陈叔叔看自己戴的手表显示为北京时间早晨6时．他看到天空的景象可能是__________． A．红日中天    B．繁星点点    C．夕阳西下    D．日出东方 (2)以民航飞机飞行高度层作为标准高度，记作，比这个高度高的记作正，反之记作负．陈叔叔乘坐的飞机某时刻的飞行高度为，应记作___________． (3)你认为陈叔叔去莫斯科应该增加衣服，还是减少衣服？请说明理由． 【答案】(1)B (2) (3)增加衣服，因为莫斯科的温度比北京温度低 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数比较大小的实际应用，熟知正负数的意义是解题的关键． （1）用北京时间加上可得莫斯科的时间，据此可得答案； （2）用求出8400减去7500的结果，再把结果前面添上负号即可得到答案； （3）比较出莫斯科和北京的温度高低即可得到答案． 【详解】（1）解：， ∴此时莫斯科的时间为凌晨1点， ∴他看到天空的景象可能是繁星点点， 故选：B； （2）解：， ∴陈叔叔乘坐的飞机某时刻的飞行高度为，应记作， 故答案为：； （3）解：增加衣服，理由如下： ∵， ∴莫斯科的温度比北京的温度低， ∴应该增加衣服． 2．一种实验器材的标准质量是15g，质检员抽查了7件样品的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，结果记录如下表． 序号 1 2 3 4 5 6 7 与标准质量的差/g (1)哪件实验器材的质量最接近标准质量？ (2)如果规定误差的绝对值在0.8g（含0.8g）之内是合格品；误差的绝对值在（含1.0g）之间的是次品；误差的绝对值超过1.0g的视为废品，那么在上述7件样品中，哪些是合格品？哪些是次品？哪些是废品？ 【答案】(1)6号实验器材的质量最接近标准质量； (2)2号，4号，6号，7号是合格品；3号是次品；1号，5号是废品． 【分析】本题考查比较有理数大小的实际应用，求一个数的绝对值： （1）找到与标准质量的差的绝对值最小的序号即可； （2）根据规定，进行判断即可． 【详解】（1）解：， ∴6号实验器材的质量最接近标准质量； （2）∵ ∴2号，4号，6号，7号是合格品； ∵， ∴3号是次品； ∵，， ∴1号，5号是废品． 3．在活动课上，有6名学生用橡皮泥做了6个乒乓球，直径可以有0.02毫米的误差，超过规定直径的毫米数记作正数，不足的记作负数，检查结果如下表： 做乒乓球的同学 李明 张兵 王敏 余佳 赵平 蔡伟 检测结果 ＋0.031 -0.017 ＋0.023 -0.021 ＋0.022 -0.011 (1)请你指出哪些同学做的乒乓球是合乎要求的？ (2)指出合乎要求的乒乓球中哪个同学做的质量最好，6名同学中，哪个同学做的质量较差？ (3)请你对6名同学做的乒乓球质量按照最好到最差排名；用学过的绝对值的知识说明． 【答案】(1)张兵、蔡伟； (2)蔡伟；李明； (3)蔡伟、张兵、余佳、赵平、王敏、李明；说明见详解． 【分析】（1）绝对值大于0.02毫米的就是不合格，所以张兵、蔡伟是合格的； （2）绝对值越小质量越好，越大质量越差，所以蔡伟做的质量最好，李明的最差； （3）按绝对值由大到小排即可． 【详解】（1）直径与规定直径不超过0.02毫米的误差视为合格，张兵的是，蔡伟的是，两人的都不超过0.02毫米的误差， 张兵、蔡伟做的乒乓球是合格的． （2）蔡伟做的为毫米，李明做的为， 蔡伟做的质量最好，李明的最差． （3）， 6名同学做的乒乓球质量按照最好到最差排名为：蔡伟、张兵、余佳、赵平、王敏、李明． 【点睛】此题考查了正数与负数，以及绝对值的意义，正确理解题目的意思是解此题的关键． 4．已知下列有理数，请按要求解答问题： ﹣3，﹣|﹣3|，﹣（﹣2），0，3.5，﹣22 （1）将上列各数填入对应括号内 负有理数集合{　 　} 整数集合{　 　} （2）画数轴，并把上列各数在数轴上表示出来 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析. 【分析】（1）根据负有理数和整数的概念求解可得； （2）将各数表示在数轴上． 【详解】解：（1）负有理数集合{﹣3，﹣|﹣3|，﹣22} 整数集合{﹣3，﹣（﹣2），0，﹣22} 故答案为﹣3，﹣|﹣3|，﹣22；﹣3，﹣（﹣2），0，﹣22． （2）如图所示 【点睛】本题主要考查有理数的乘方，解题的关键是掌握有理数乘方的定义和绝对值的性质及相反数的定义． 易错易混诠释 有理数大小比较的易错易混点主要体现在以下方面： 一、符号判断混淆 1.正负与0的关系 易错点：将正数与负数与0的比较混淆，例如误认为“-2>0”或“3<-1”。 正确法则：正数<0<负数，正数大于一切负数。 相反数与负数的混淆 例如“-（-5）<-5”常被误算为“5<-5”， 针对训练1 1．比较下列每组数的大小： (1)与； (2)与． 【答案】(1)； (2)． 【分析】此题主要考查了有理数大小比较，绝对值和相反数的意义等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）首先根据相反数和绝对值的意义化简各数，然后根据正数大于负数比较即可； （2）首先根据绝对值的意义化简，然后根据两个负数，绝对值大的反而小比较即可． 【详解】（1）解：，， ∵， ∴； （2）解：， ∵ ，， ∴， ∴． 2．比较下列各组数的大小． (1)和； (2)和． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的大小比较，结合绝对值的化简和相反数，熟练掌握有理数大小的比较法则是解题的关键． （1）先化简，再利用一个正数和一个负数比较大小的法则比较即可； （2）先化简，再利用两个负数比较大小的法则比较即可． 【详解】（1）解：，， ∵， ∴； （2）解：， ∵， ∴， ∴． 二、同号数比较错误 绝对值法则应用错误  两个负数比较时，易混淆“绝对值大的反而小”，例如“-5<-3”被误算为“5<3”。 正数比较时，仅看数值大小。 特殊数处理不当 例如“0与负数比较”时，常忘记0大于一切负数。 针对训练2 1．比较大小：和． 【答案】 【分析】本题主要考查负数的大小比较．熟练掌握两个负数比较大小的法则，是解题的关键．先求出两个负数的绝对值，根据绝对值大的反而小，比较即可． 【详解】解：∵，，且， ∴． 2．比较大小：与； 【答案】，理由见详解 【分析】本题考查实数大小的比较，掌握实数比较大小的方法即把两者相减是解题的关键．相减大于，前面大；相减小于，前面小；相减等于，相等． 【详解】解：，理由如下： ， ． 三、数轴应用错误 数轴方向理解偏差 数轴上右边的数总比左边的大，但易将“-1>-2”误算为“1>2”。 距离概念混淆 例如“与-1距离为2的点”被误算为1或3。 针对训练3 1．已知有理数，0，，，，． (1)在数轴上表示：，，，； (2)比较大小：______；（填“”“”或“”号） (3)整数集合：｛______…｝． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，， 【分析】本题考查了有理数的大小比较，数轴，有理数的分类，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）直接在数轴找出各数即可； （2）根据负数大小比较方法求解； （3）按照整数包括正整数和0和负整数即可求解． 【详解】（1）解：数轴表示为： （2）解：∵， ∴， 故答案为：； （3）解：在有理数，0，，，，中，整数有，0，， 故答案为：，，． 2．把下列各数及它们的相反数在数轴上表示出来，并用“＜”把这些数及其相反数连接起来．， ， 0，， ． 【答案】数轴见详解， 【分析】本题主要考查数轴上有理数的表示、相反数的意义及有理数的大小比较，熟练掌握数轴上有理数的表示、相反数的意义及有理数的大小比较是解题的关键；由题意易得，然后分别得出各数的相反数，进而问题可求解． 【详解】解：∵， ∴的相反数是3；的相反数是；0的相反数是0；的相反数是；的相反数是； 数轴如下： 用“＜”把这些数及其相反数连接起来为： ． 四、实际问题转化错误  “增产10吨与减产-10吨”需理解“-”表示减产 分类讨论遗漏 比较“a-1”与“b+2”时，未考虑a、b的正负性，需分类讨论。 针对训练4 1．在1个标准大气压下，四种晶体的熔点如下表所示，则熔点最高的是（   ） 晶体 固态氢 固态氧 固态氮 固态酒精 熔点（单位：） A．固态氢 B．固态氧 C．固态氮 D．固态酒精 【答案】D 【分析】本题考查负数的知识，负数大小的比较．分别比较几个凝固点的大小，即可得到解答．． 【详解】解：由表格可知，固态氢的熔点为，固态氧的熔点为，固态氮的熔点为，固态酒精的熔点为， ∵， ∴熔点最高的是固态酒精． 故选：D． 2．海拔是指地面某个地点与海平面之间的垂直距离，是某地与平均海平面为标准计算得到的高度差．下列各图标注的是该地的海拔高度，其中最低的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数比较大小的实际应用，比较出四个地点的海拔高度大小即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴最低的是吐鲁番盆地， 故选：A． 创新拓展能力提升 1．设表示大于的最小整数，如，则下列结论： ①； ②的最小值是0； ③的最大值是1； ④若，则可以表示成（为整数）的形式； ⑤若整数满足，则．其中正确 （填写序号）． 【答案】①③④ 【分析】此题考查了新定义，有理数的大小比较，根据新定义判断即可． 【详解】根据表示大于的最小整数可得： ，结论①正确； ，则没有最小值，最大值为1，故②错误，③正确； 令，由，则可以表示成（为整数）的形式，故④正确； 若整数满足，则，则或，故⑤错误； 故答案为：①③④． 2．已知，且，则x= ，y= ． 【答案】 【分析】先根据绝对值运算可求出x、y的值，再根据即可得． 【详解】， ， 又， ， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了绝对值、有理数的大小比较法则，熟练掌握绝对值运算是解题关键． 3．正式排球比赛对所使用的排球的质量是有严格规定的，检查5个排球的质量，超过规定质量的克数记作正数，不足规定质量的克数记作负数，检查结果如下表（单位：克）： 1号球 2号球 3号球 4号球 5号球 哪一个排球质量最接近规定质量？用绝对值知识来说明． 【答案】5号球，见解析 【分析】本题考查绝对值的意义，有理数的比较大小，比较各个数的绝对值的大小，从而可以解答本题． 【详解】解：因为， 所以5号球的质量最接近规定质量． 4．探索研究： (1)比较下列各式的大小；（用“”“”或“”） ①________； ②________； ③________； ④________． (2)通过以上比较，请你分析、归纳出当，为有理数时，与的大小关系；（直接写出结论即可） (3)根据（2）中得出的结论，当时，则的取值范围是________；若，，求的值． 【答案】(1)①，②，③，④ (2) (3)； 【分析】本题考查了绝对值的知识，有理数的加减运算； （1）先分别计算再比较大小即可； （2）根据提供的关系式得到规律即可； （3）①根据提供的关系式得到规律即可； ②根据（1）中的结论分当为正数，为负数时和当为负数，为正数时两种情况分类讨论即可确定答案． 【详解】（1）解：①，； 故答案为：． ②，； 故答案为：． ③，； 故答案为：． ④，． 故答案为：． （2）当与同号或、中至少有一个为，则． 当与异号，则． （3）， ． 与同号或． ． 故答案为：． ， 异号， ∴当，时，， 当，时，，即 综上所述， 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年新七年级数学人教版暑假预习讲义（3个知识点3大典例） 第六讲 有理数大小比较 知识点梳理 知识点1 有理数大小的比较方法1---数轴比较法 在数轴上表示的两个数或几个数，右边的数总比左边的数大 要点诠释： 应用步骤 1.画数轴 ：将所有待比较的有理数标在数轴上，注意原点位置。 2.定位点 ：根据数轴上的位置直观判断大小关系， 3.等值判断 ：若两个数在数轴上表示同一点，则它们相等. 知识点2 有理数大小的比较方法2---数的相对大小比较法 有理数比较大小： ①正数大于0,0大于负数，正数大于负数； ②两个负数，绝对值大的反而小 要点诠释： 两个负数比较时，绝对值大的数反而小；正数与零比较时，绝对值大的数更大。 步骤 ：先求两数绝对值，再根据绝对值大小判断原数大小 知识点3 有理数大小比较的实际应用 有理数大小比较的实际应用要点可总结为以下四方面，结合数轴、绝对值及作差法等核心方法： 一、数轴法：直观判断大小关系 核心思想 ：数轴上右边的数总比左边的数大，通过数轴位置直接比较有理数大小。 应用场景 ：适用于需要快速判断多个数相对位置的情况，如排序、区间判断等。 二、绝对值法：处理负数比较 核心思想 ：两个负数比较时，绝对值大的数反而小。 应用场景 ：当题目涉及多个负数或需避免直接计算时，通过绝对值简化比较过程。 三、作差法：通过差值判断大小 核心思想 ：计算两数差值，若差值大于0则前者大，等于0则相等，小于0则后者大。 应用场景 ：适用于需要精确判断大小关系的复杂表达式，如代数式比较。 四、特殊值法：简化计算过程 核心思想 ：通过选取特殊值（如0、1、-1）快速验证大小关系，尤其适用于含参数的题目。 应用场景 ：当题目条件复杂时，通过特殊值法可快速排除错误选项或验证结论。 典例精讲 题型1 数轴比较法 例1．画出数轴，把下列各数，，，在数轴上表示出来，并按从大到小的顺序用“”把这些数连接起来： 名师支招 在数轴上表示的两个数或几个数，右边的数总比左边的数大 变式训练1 1．如图，数轴上点P所表示的数可能为（   ） A． B． C．0 D． 2．在直线的位置是（    ）． A．点左边 B．点与点之间 C．点与点之间 D．点右边 3．A，B是数轴上位于原点O异侧的两点（点A在点B的右侧），若点A，B分别对应的有理数为a，b．且，则a，b，，中最大的数是（    ） A．a B． C．b D． 4．如图所示，数轴上两点分别表示两个有理数，则下列四个数中最小的一个数是（   ） A． B． C． D． 题型2 绝对值比较法 例2．用“”“”填空： ． 名师支招 ①正数大于0,0大于负数，正数大于负数；②两个负数，绝对值大的反而小 比较两个负数时先求这两个数的绝对值，再比较. 变式训练 1．比较下列各组数的大小： (1)和； (2)和． 2．比较下列每组中两个有理数的大小． (1)与； (2)和． 3．比较下列各数的大小．（用“<”号连接，写出过程） 4．［核心素养］阅读材料：当时，有，即时，的绝对值是它本身；当时，，即0的绝对值是0；当时，有，即时，的绝对值是它的相反数．综合上述讨论可得：当时，；当时，．这种分析方法体现了数学中常用的分类讨论思想．请根据材料解答下列问题： (1)比较大小：（填“”“”或“”）； (2)请仿照上述分类讨论的方法，分析与的大小关系． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了求一个数的绝对值，化简绝对值，有理数的大小比较等知识．熟练掌握求一个数的绝对值，化简绝对值，有理数的大小比较是解题的关键． （1）由题意知，，，然后作答即可； （2）分当，，时，化简绝对值，然后比大小即可． 【详解】（1）解：由题意知，，， 故答案为：； （2）解：由题意知，当时，； 当时，； 当时，． 题型3 实际应用 例3．如图，数轴上有三个点A、B、C，它们可以沿着数轴左右移动，请回答： （1）将点B向右移动三个单位长度后到达点D，点D表示的数是 ； （2）移动点A到达点E，使B、C、E三点的其中任意一点为连接另外两点之间线段的中点，请你直接写出所有点A移动的距离和方向； （3）若A、B、C三个点移动后得到三个互不相等的有理数，它们既可以表示为1，，的形式，又可以表示为0，，的形式，试求，的值. 名师支招 通用方法与技巧 数轴法 ：直观展示数位大小关系，适用于所有有理数比较。 绝对值法 ：快速判断负数大小（绝对值大的负数更小）。 作差/商值法 ：通过计算差值或商数与零的关系确定大小。 通过以上方法，有理数大小比较成为解决实际问题的重要工具，需结合具体场景选择合适策略。 变式训练3 1．陈叔叔准备从北京乘飞机去莫斯科，通过网络查询到下面的相关信息． ①北京和莫斯科两地存在时差，以北京时间为标准时间，比标准时间早用正数表示，比标准时间晚用负数表示，莫斯科的时间记作时； ②飞行高度层按以下标准划分：真航线角在180度至359度范围内，高度由至，每隔为一个高度层； ③当日最低气温：莫斯科，北京． (1)当陈叔叔乘坐的飞机降落在莫斯科机场时，陈叔叔看自己戴的手表显示为北京时间早晨6时．他看到天空的景象可能是__________． A．红日中天    B．繁星点点    C．夕阳西下    D．日出东方 (2)以民航飞机飞行高度层作为标准高度，记作，比这个高度高的记作正，反之记作负．陈叔叔乘坐的飞机某时刻的飞行高度为，应记作___________． (3)你认为陈叔叔去莫斯科应该增加衣服，还是减少衣服？请说明理由． 2．一种实验器材的标准质量是15g，质检员抽查了7件样品的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，结果记录如下表． 序号 1 2 3 4 5 6 7 与标准质量的差/g (1)哪件实验器材的质量最接近标准质量？ (2)如果规定误差的绝对值在0.8g（含0.8g）之内是合格品；误差的绝对值在（含1.0g）之间的是次品；误差的绝对值超过1.0g的视为废品，那么在上述7件样品中，哪些是合格品？哪些是次品？哪些是废品？ 3．在活动课上，有6名学生用橡皮泥做了6个乒乓球，直径可以有0.02毫米的误差，超过规定直径的毫米数记作正数，不足的记作负数，检查结果如下表： 做乒乓球的同学 李明 张兵 王敏 余佳 赵平 蔡伟 检测结果 ＋0.031 -0.017 ＋0.023 -0.021 ＋0.022 -0.011 (1)请你指出哪些同学做的乒乓球是合乎要求的？ (2)指出合乎要求的乒乓球中哪个同学做的质量最好，6名同学中，哪个同学做的质量较差？ (3)请你对6名同学做的乒乓球质量按照最好到最差排名；用学过的绝对值的知识说明． 4．已知下列有理数，请按要求解答问题： ﹣3，﹣|﹣3|，﹣（﹣2），0，3.5，﹣22 （1）将上列各数填入对应括号内 负有理数集合{　 　} 整数集合{　 　} （2）画数轴，并把上列各数在数轴上表示出来 易错易混诠释 有理数大小比较的易错易混点主要体现在以下方面： 一、符号判断混淆 1.正负与0的关系 易错点：将正数与负数与0的比较混淆，例如误认为“-2>0”或“3<-1”。 正确法则：正数<0<负数，正数大于一切负数。 相反数与负数的混淆 例如“-（-5）<-5”常被误算为“5<-5”， 针对训练1 1．比较下列每组数的大小： (1)与； (2)与． 2．比较下列各组数的大小． (1)和； (2)和． 二、同号数比较错误 绝对值法则应用错误  两个负数比较时，易混淆“绝对值大的反而小”，例如“-5<-3”被误算为“5<3”。 正数比较时，仅看数值大小。 特殊数处理不当 例如“0与负数比较”时，常忘记0大于一切负数。 针对训练2 1．比较大小：和． 2．比较大小：与； 三、数轴应用错误 数轴方向理解偏差 数轴上右边的数总比左边的大，但易将“-1>-2”误算为“1>2”。 距离概念混淆 例如“与-1距离为2的点”被误算为1或3。 针对训练3 1．已知有理数，0，，，，． (1)在数轴上表示：，，，； (2)比较大小：______；（填“”“”或“”号） (3)整数集合：｛______…｝． 2．把下列各数及它们的相反数在数轴上表示出来，并用“＜”把这些数及其相反数连接起来．， ， 0，， ． 四、实际问题转化错误  “增产10吨与减产-10吨”需理解“-”表示减产 分类讨论遗漏 比较“a-1”与“b+2”时，未考虑a、b的正负性，需分类讨论。 针对训练4 1．在1个标准大气压下，四种晶体的熔点如下表所示，则熔点最高的是（   ） 晶体 固态氢 固态氧 固态氮 固态酒精 熔点（单位：） A．固态氢 B．固态氧 C．固态氮 D．固态酒精 2．海拔是指地面某个地点与海平面之间的垂直距离，是某地与平均海平面为标准计算得到的高度差．下列各图标注的是该地的海拔高度，其中最低的是（   ） A． B． C． D． 创新拓展能力提升 1．设表示大于的最小整数，如，则下列结论： ①； ②的最小值是0； ③的最大值是1； ④若，则可以表示成（为整数）的形式； ⑤若整数满足，则．其中正确 （填写序号）． 2．已知，且，则x= ，y= ． 3．正式排球比赛对所使用的排球的质量是有严格规定的，检查5个排球的质量，超过规定质量的克数记作正数，不足规定质量的克数记作负数，检查结果如下表（单位：克）： 1号球 2号球 3号球 4号球 5号球 哪一个排球质量最接近规定质量？用绝对值知识来说明． 4．探索研究： (1)比较下列各式的大小；（用“”“”或“”） ①________； ②________； ③________； ④________． (2)通过以上比较，请你分析、归纳出当，为有理数时，与的大小关系；（直接写出结论即可） (3)根据（2）中得出的结论，当时，则的取值范围是________；若，，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$