第十一讲 有理数的除法（3个知识点6大典例）暑假预习讲义2025-2026学年人教版数学七年级上册

2025年新七年级数学人教版暑假预习讲义（3个知识点6大典例） 第十一讲 有理数的除法 知识点梳理 知识点1 有理数除法法则 ①有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数. ②两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0． 要点诠释： 避免除数为0的情况，确保运算合法性。 结果需根据符号法则和绝对值运算综合判断，确保符号与数值正确 知识点2 有理数除法运算 除法步骤： ①将除号变为乘号。 ②将除数变为它的倒数。 ③按照乘法法则进行计算 要点诠释： 先定符号，再计算绝对值，最后化简结果（如分数最简形式）。 知识点3 利用有理数除法的法则化简分数 分数化简的实质： 分数的化简，就是将分数改写成分子除以分母的除法运算，利用有理数的除法法则进行化简。 分数的符号法则： 分数的分子、分母、分数本身的符号，改变其中任意两个，分数的值不变。 要点诠释： 1.符号处理 同号得正，异号得负：根据被除数与除数的符号关系确定结果符号。若两者同号（均为正或均为负），结果为正；若异号，则结果为负。 2 .0作除数无意义：0除以任何非零数结果为0，但0不能作为除数。 3.分数化简步骤 分数除法转化为乘法后约分：将分子分母的公因数约去，达到最简形式。 典例精讲 题型1 有理数除法法则的辨析 例1．下列说法正确的是 A．非零两数的和一定大于任何一个加数 B．非零两数的差一定小于被减数 C．大于1的两数之积一定大于任何一个因数 D．小于1的两数之商一定小于被除数名师支招 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0． 针对训练1 1．两个非零的有理数相除，如果交换它们的位置，商不变，那么(　　) A．两数相等 B．两数互为相反数 C．两数互为倒数 D．两数相等或互为相反数 2．两个有理数的商为正数，则这两个有理数(　　) A．同号 B．异号 C．都是正数 D．都是负数 3． 下列说法中，错误的是 (　　) A．互为相反数的两个数，乘积为非正数 B．零除以任何数都等于零 C．零没有倒数 D．如果两数相除，结果为正，那么这两个数同为正数或同为负数 题型2 有理数的除法 例2．计算： （1）-24÷8 （2）0÷(-6) （3） （4）(-8)÷(-1.25)。 名师支招 先定符号，再计算绝对值，最后化简结果（如分数最简形式） 针对训练2 1． 列式并计算： （1）已知一个数与 的积是4，求这个数。 （2）一个数除以1 的相反数的商为一4，求这个数。 2． 下列计算正确的是 (　　) A． B． C． D． 3．计算： （1） （2） （3） 题型3 利用有理数除法化简分数 例3． 化简： 名师支招 分数除法转化为乘法后约分：将分子分母的公因数约去，达到最简形式 针对训练3 1． 化简： ； 2．化简的结果是（　　） A． B． C． D． 3．如果y＜0＜x，则化简的结果为（　　） A．0 B．-2 C．2 D．1 题型4有理数乘除的混合运算 例4．计算： . 名师支招 1.混合运算技巧 将除法转化为乘法： 利用运算律简化计算：如分配律a（b+c） = ab + ac，结合律（ab）c = a（bc）。 2.负数处理  负数参与运算时，需特别注意符号变化 带分数需转化为假分数进行计算。 3.化简与转化 先化简括号内的运算，将带分数、小数转化为分数或科学计数法简化计算。 多个有理数相乘时，可统一转化为乘法运算，减少步骤错误 针对训练4 1． 计算： （1）（-8）÷4×（-3）； （2）（-1.6）×0.4÷（-0.5）； （3） （4） 2．小明与小刚规定了一种新运算：则（2△7）△4=　 　. 3．计算： （1） （2） 题型5利用有理数除法解决实际问题 例5．我国的个人所得税“起征点”是5000元，即月工资超过5000元的部分禽缴纳税收，具体税率等级如下表，其中应纳税所得额=月工资-5000-专项扣除金额-依法确定的其他扣除金额。 其中专项扣除的常见项目及金额（每个月）如下： ①每位子女教育扣除2000元：②住房贷款扣除 1000元：③养老人扣除 3000元。 依法确定的其他扣除金额主要包括养老保险金。医疗保险金等 级数 应纳税所得额 税率 1 0至3000元的部分 3% 2 超过3000元至12000元的部分 10% 3 超过 12000 元至 25000元的部分 20% … … … （1）方方妈妈的月工资为13100元，专项扣除项目只有赡养老人，依法定的其他扣除金额为1100元，则方方妈妈应纳税所得额为多少元?缴纳的税额是多少元? （2）方方爸爸的月工资是x元，他的专项扣除项目有：1位就读初中的子女，一套住房的贷款和赡养老人：依法确定的其他扣除金额为1500元。则方方爸爸的应纳税所得额是多少元?（用含x的代数式表示）。 （3）在（2）的基础上，方方爸爸每月缴纳的税额是170元，则方方爸爸每月的收入是多少? 名师支招 避免符号混淆，例如负数除以负数结果为正。 小数除法需注意小数点对齐，避免精度损失。 0不能作为除数，需提前检查题目条件。 针对训练5 1．近几年时间，全球的新能源汽车发展迅，尤其对于我国来说，新能源汽车产销盘都大幅增加，小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表）.以 50km 为标准，多于 50km 的记为“+”，不足50km 的记为“_”，刚好 50km 的记为“0”. 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（km） -8 -12 -16 0 +22 +31 +33 （1）这7天里路程圾多的一天比最少的一天多走　 　km： （2）请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米? （3）已知汽油车每行驶100kmm用汽油6.5升，汽油价8.2元/升，而新能源汽车每行驶 100k耗电为1度，每度电为0.56元，请估计小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省多少钱? 2．为了增强体质，小明给自己设定：以每天跳绳数量a个为基准，超过的部分记为正，不足的部分记为负。手机应用程序记录小明一周跳绳数量情况记录如下： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与基准a的差/个 +20 +80 +80 -40 -80 +120 +40 小明周六和周日共跳了1160个。 （1）求a的值。 （2）小明本周共跳绳多少个? 3．某市招标建设一段无桥梁的高速公路路基，现有A，B两家公司竞标这项工程．若A公司每天能修建路基，B公司每天能修建路基，若单独修建这段路基，A 公司比B 公司要多用10天，在修建路基过程中，该市要付A 公司每天费用2万元，付B 公司每天费用6万元． （1）求这段高速公路路基一共有多少千米？ （2）若先由A，B 两家公司合作一段时间后，A 公司停工了，B 公司单独完成剩余部分．且 B公司的全部工作时间是A公司的工作时间的3倍少4天，求B 公司共修建多少天？ （3）现设置三个方案：方案一：由A 公司单独完成；方案二：由B 公司单独完成；方案三： 按（2）的方式完成；你认为该市选择哪一种方案最省钱，并说明理由． 题型6 有理数除法的简算 例6． 2023×202420242024-2024×202320232023. 名师支招 运算技巧与方法 1.转化法  将除法转化为乘法（除以一个数等于乘以它的倒数）；  将乘方转化为乘法 小数转化为分数进行约分计算。 2.凑整法  在加减混合运算中，将和为0、分母相同或乘积为整数的数分别结合计算，简化步骤。 3.分拆法 带分数拆分为整数与真分数的和，分别计算后再合并；  小数或分数转化为便于计算的形式 针对训练6 1．先去括号，再添括号，后计算： （1） （2） （3） 2．阅读材料： 如何计算 呢? 小红带领的数学兴趣小组通过探索完成了这道题的计算.他们的解法如下： 解：原式 = 根据以上材料，完成下列计算： （1） （2）. 3． 用简便方法计算： （1） （2） 创新拓展能力提升 1．国博首个虚拟数字人“艾雯雯”是一款以为技术基础的文博工作者，她搭建了交换技术，能根据当日实际访问人数的变化与国博知识库进行数据交换，更新并丰富自己的知识储备与互动技能，完成多场景应用落地． 为了更好地了解“艾雯雯”的受欢迎程度，技术工作组在2024年国庆7天假期里，对“艾雯雯”的访问量进行了跟踪统计，数据如下表（正号表示访问量比前一天增加，负号表示访问量比前一天减少），9月30日的实际访问量是10万人， 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 变化/万人 （1）国庆7天，________日的实际访问量最大； （2）若“艾雯雯”的设置日标准访问量为30万量，请完成下表（差值当日实际访问量日标准访问量）； 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 差值/万人 ________ ________ （3）国庆7天，艾雯雯的平均日访问量是多少万人？（最终结果精确到小数点后一位） （4）当日实际访问量与日标准访问量30万量相比，每相差1人时，“艾雯雯”就会进行2次信息交换．请问国庆7天，“艾雯雯”一共进行了多少万次信息交换？ 2．某市三类打车方式的收费标准见下表（路程按整千米计算）： A类 B类 C类 3千米及以内：8元 以路程计：1.5元/千米 以路程计：1.8元/千米 超过3千米的部分：2.6元/千米 以时间计：0.6元/分钟 以时间计：0.5元/分钟 例如：假设打车的平均车速为40千米/时，乘坐8千米，耗时（分），则A类打车方式的收费为（元）；B类打车方式的收费为（元）；C类打车方式的收费为（元）． （1）小李打车从家去某公园，全程10千米，打车的平均车速为40千米/时．如果小李使用B类打车方式，那么需要支付的打车费用为多少元？ （2）小刚乘车从甲地去乙地，打车的平均车速为40千米/时，使用B类打车方式比使用A类打车方式节省了10元，求甲乙两地之间的距离． （3）小王需乘车到A市参加课外拓展活动，若打车的平均车速为40千米/时，路程为60千米，小王选择哪类打车方式更划算？ 3．如图，甲、乙两人（看成点）分别在数轴和6的位置上，沿数轴做移动游戏．移动游戏规则；两人先进行“石头，剪刀，布”，而后根据输赢结果进行移动． ①若平局，则甲向东移动1个单位长度，同时乙向西移动1个单位长度； ②若甲赢，则甲向东移动4个单位长度，同时乙向东移动2个单位长度； ③若乙赢，则甲向西移动2个单位长度，同时乙向西移动4个单位长度． 前三局如下表：（提示：剪刀胜布，布胜石头，石头胜剪刀） 第一局 第二局 第三局 第四局 … 甲的手势 石头 剪刀 石头 布 … 乙的手势 石头 布 布 … （1）从如图所示位置开始，第一局结束后甲在数轴上代表的数为　 　，乙在数轴上代表的数为　 　； （2）若第四局结束后，乙在数轴上的位置所对应的数是2，则乙第四局的手势是什么？此时甲与乙在数轴上的位置相距多少个单位长度？ （3）从如图所示的位置开始，若进行了k局后，甲与乙的位置相距2个单位长度，请直接写出k的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年新七年级数学人教版暑假预习讲义（3个知识点6大典例） 第十一讲 有理数的除法（解析版） 知识点梳理 知识点1 有理数除法法则 ①有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数. ②两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0． 要点诠释： 避免除数为0的情况，确保运算合法性。 结果需根据符号法则和绝对值运算综合判断，确保符号与数值正确 知识点2 有理数除法运算 除法步骤： ①将除号变为乘号。 ②将除数变为它的倒数。 ③按照乘法法则进行计算 要点诠释： 先定符号，再计算绝对值，最后化简结果（如分数最简形式）。 知识点3 利用有理数除法的法则化简分数 分数化简的实质： 分数的化简，就是将分数改写成分子除以分母的除法运算，利用有理数的除法法则进行化简。 分数的符号法则： 分数的分子、分母、分数本身的符号，改变其中任意两个，分数的值不变。 要点诠释： 1.符号处理 同号得正，异号得负：根据被除数与除数的符号关系确定结果符号。若两者同号（均为正或均为负），结果为正；若异号，则结果为负。 2 .0作除数无意义：0除以任何非零数结果为0，但0不能作为除数。 3.分数化简步骤 分数除法转化为乘法后约分：将分子分母的公因数约去，达到最简形式。 典例精讲 题型1 有理数除法法则的辨析 例1．下列说法正确的是 A．非零两数的和一定大于任何一个加数 B．非零两数的差一定小于被减数 C．大于1的两数之积一定大于任何一个因数 D．小于1的两数之商一定小于被除数名师支招 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0． 【答案】C 【知识点】有理数的加法；有理数的减法法则；有理数的乘法法则；有理数的除法法则 【解析】【解答】解： 两个负数的和小于任何一个加数， 选项 不符合题意； 当减数是小于或等于0的数时，差是大于或等于被减数的， 选项 不符合题意； 大于1的两数之积一定大于任何一个因数， 选项 符合题意； 当除数是真分数，被除数是正数时，商大于被除数， 选项 不符合题意. 故答案为：C. 【分析】根据有理数的加法法则可判断A；根据有理数的减法法则可判断B；根据有理数的乘法法则可判断C；根据有理数的除法法则可判断D. 针对训练1 1．两个非零的有理数相除，如果交换它们的位置，商不变，那么(　　) A．两数相等 B．两数互为相反数 C．两数互为倒数 D．两数相等或互为相反数 【答案】D 【知识点】有理数的除法法则 【解析】【解答】解： 如果交换被除数与除数的位置，它们的商不变，这两个数一定相等或互为相反数． 故答案为：D. 【分析】 根据相反数（0除外）的商为-1，以及相同两数（0除外）的商为1可得答案． 2．两个有理数的商为正数，则这两个有理数(　　) A．同号 B．异号 C．都是正数 D．都是负数 【答案】A 【知识点】有理数的除法法则 【解析】【解答】∵ 两个有理数的商为正数， ∴这两个数同号， 故答案为：A. 【分析】根据两数相除同号得正，异号得负解题即可. 3． 下列说法中，错误的是 (　　) A．互为相反数的两个数，乘积为非正数 B．零除以任何数都等于零 C．零没有倒数 D．如果两数相除，结果为正，那么这两个数同为正数或同为负数 【答案】B 【知识点】有理数的乘法法则；有理数的除法法则 【解析】【解答】解：A 0的相反数是0，正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，所以互为相反数的两个数，乘积为负数或0，即乘积为非正数，故A项不符合题意； B 零除以任何不为0的数都等于零，故B项符合题意； C 0没有倒数，故C项不符合题意； D 如果两数相除，结果为正，那么这两个数同为正数或同为负数，故D项不符合题意. 故答案为：B. 【分析】根据有理数的乘法法则和除法法则计算即可. 题型2 有理数的除法 例2．计算： （1）-24÷8 （2）0÷(-6) （3） （4）(-8)÷(-1.25)。 名师支招 先定符号，再计算绝对值，最后化简结果（如分数最简形式） 【答案】（1）解： 原式=-3 （2）解：原式=0 （3）解： 原式=-25 （4）解：原式 【知识点】有理数的除法法则 【解析】【分析】（1）根据有理数除法法则计算出正确结果即可. （2）根据有理数除法法则计算出正确结果即可. （3）先把除法运算转化为乘法运算，再根据乘法法则计算出正确结果即可. （4）先把-1.25转化为假分数，再把除法运算转化为乘法运算，再根据乘法法则计算出正确结果即可. 针对训练2 1． 列式并计算： （1）已知一个数与 的积是4，求这个数。 （2）一个数除以1 的相反数的商为一4，求这个数。 【答案】（1）； （2）. 【知识点】有理数的乘法法则；有理数的除法法则 【解析】【分析】（1）根据题意列出式子，再根据有理数的除法法则计算即可； （2）根据题意列式子，再根据有理数的乘法法则计算即可. 2． 下列计算正确的是 (　　) A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】有理数的除法法则 【解析】【解答】解： A：，故A项不符合题意； B：，故B项不符合题意； C：，故C项符合题意； D：，故D项不符合题意. 故答案为：C. 【分析】根据有理数的除法法则，将除法转化为乘法计算即可. 3．计算： （1） （2） （3） 【答案】（1）解：原式=×=-. （2）解：原式=1×（-）=-. （3）解：原式=÷（-）=×（-）=-2. 【知识点】有理数的除法法则 【解析】【分析】根据有理数的除法法则把除法运算转化为乘法运算，然后正确计算出结果即可. 题型3 利用有理数除法化简分数 例3． 化简： 名师支招 分数除法转化为乘法后约分：将分子分母的公因数约去，达到最简形式 【答案】解：（1）原式=； （2）原式=； （3）原式=0； （4）原式=. 【知识点】有理数的除法法则 【解析】【分析】（1）根据有理数的除法法则，异号两数相除，商为负，并把绝对值相除，进行计算即可； （2）根据有理数的除法法则，同号两数相除，商为正，并把绝对值相除，进行计算即可，要注意不能整除的商写成分数形式； （3）根据零除以任何一个不为零的数，商都为零，进行计算即可； （4）根据有理数的除法法则，异号两数相除，商为负，并把绝对值相除，进行计算即可，要注意不能整除的商写成分数或小数形式. 针对训练3 1． 化简： ； 【答案】解：（1）原式=； （2）原式=； （3）原式=； （4）原式=. 【知识点】有理数的除法法则 【解析】【分析】（1）根据两数相除，异号得负，并把绝对值相除化简即可； （2）根据两数相除，异号得负，并把绝对值相除化简即可； （3）根据两数相除，同号得正，并把绝对值相除化简即可； （4）根据两数相除，同号得正，并把绝对值相除计算即可. 2．化简的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】有理数的除法法则 【解析】【解答】 故答案为：C 【分析】本题考查有理数除法，先根据“同号得正，异号得负”确定结果的符号，再把绝对值相除，用“除以一个数，等于乘以这个数的倒数”来求解即可。 3．如果y＜0＜x，则化简的结果为（　　） A．0 B．-2 C．2 D．1 【答案】A 【知识点】有理数的除法法则 【解析】【解答】解：∵y＜0＜x ∴xy＜0 ∴==1﹣1=0． 故选A． 【分析】先根据绝对值的性质去掉绝对值，再约分化简即可 题型4有理数乘除的混合运算 例4．计算： . 名师支招 1.混合运算技巧 将除法转化为乘法： 利用运算律简化计算：如分配律a（b+c） = ab + ac，结合律（ab）c = a（bc）。 2.负数处理  负数参与运算时，需特别注意符号变化 带分数需转化为假分数进行计算。 3.化简与转化 先化简括号内的运算，将带分数、小数转化为分数或科学计数法简化计算。 多个有理数相乘时，可统一转化为乘法运算，减少步骤错误 【答案】解：原式 【知识点】有理数的乘除混合运算 【解析】【分析】根据有理数的乘除法运算法则从左到右依次运算，先将除法化成乘法，运算后即可得出答案. 针对训练4 1． 计算： （1）（-8）÷4×（-3）； （2）（-1.6）×0.4÷（-0.5）； （3） （4） 【答案】（1）解：原式= （2）解：原式= （3）解：原式= （4）解：原式= 【知识点】有理数的乘除混合运算 【解析】【分析】先将除法运算转换为乘法运算，再利用有理数乘法法则进行计算. 2．小明与小刚规定了一种新运算：则（2△7）△4=　 　. 【答案】 【知识点】有理数的乘除混合运算 【解析】【解答】解： 故答案为：. 【分析】先理解新运算规则，再根据有理数的四则运算法则，求解即可. 3．计算： （1） （2） 【答案】（1）解： ； （2）解： =-5+27-30+21 =13， ∵ 与是互为倒数的关系， ∴原式 ​​​​​​​ 【知识点】有理数的乘法运算律；有理数的乘法法则；有理数的乘除混合运算 【解析】【分析】(1)根据有理数的乘法分配律对式子进行化简，再求解即可； （2）先根据有理数乘法分配律算出，再根据式子之间的关系，求解即可. 题型5利用有理数除法解决实际问题 例5．我国的个人所得税“起征点”是5000元，即月工资超过5000元的部分禽缴纳税收，具体税率等级如下表，其中应纳税所得额=月工资-5000-专项扣除金额-依法确定的其他扣除金额。 其中专项扣除的常见项目及金额（每个月）如下： ①每位子女教育扣除2000元：②住房贷款扣除 1000元：③养老人扣除 3000元。 依法确定的其他扣除金额主要包括养老保险金。医疗保险金等 级数 应纳税所得额 税率 1 0至3000元的部分 3% 2 超过3000元至12000元的部分 10% 3 超过 12000 元至 25000元的部分 20% … … … （1）方方妈妈的月工资为13100元，专项扣除项目只有赡养老人，依法定的其他扣除金额为1100元，则方方妈妈应纳税所得额为多少元?缴纳的税额是多少元? （2）方方爸爸的月工资是x元，他的专项扣除项目有：1位就读初中的子女，一套住房的贷款和赡养老人：依法确定的其他扣除金额为1500元。则方方爸爸的应纳税所得额是多少元?（用含x的代数式表示）。 （3）在（2）的基础上，方方爸爸每月缴纳的税额是170元，则方方爸爸每月的收入是多少? 名师支招 避免符号混淆，例如负数除以负数结果为正。 小数除法需注意小数点对齐，避免精度损失。 0不能作为除数，需提前检查题目条件。 【答案】（1）解：根据题意得：方方妈妈应纳税所得额为13100-5000-3000-1100 =4000(元)， 缴纳的税额为3000×3%+(4000-3000)×10%=190(元)。 答：方方妈妈应纳税所得额为4000元，缴纳的税额是190元； （2）解：根据题意得：方方爸爸的应纳税所得额是 x-5000-2000-1000-3000-1500=(x-12500)元； （3）解：∵3000×3%=90(元)，3000×3%+(12000-3000)×10%=990(元)， 90<170<990， ∴3000<x-12500<12000. 根据题意得：3000×3%+10%(x-12500-3000)=170， 解得： x=16300. 答：方方爸爸每月的收入是16300元. 【知识点】有理数混合运算的实际应用；一元一次方程的实际应用-利息问题 【解析】【分析】(1)利用方方妈妈应纳税所得额=方方妈妈的月工资-5000-3000-1100， 即可求出方方妈妈应纳税所得额， 再利用缴纳的税额=3000×3%+10×超出3000元的部分，即可求出缴纳的税额； (2)利用方方爸爸的应纳税所得额=方方妈妈的月工资-5000-2000-1000-3000-1500， 即可用含x的代数式表示出方方爸爸的应纳税所得额； (3)根据方方爸爸每月缴纳的税额是170元，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论. 针对训练5 1．近几年时间，全球的新能源汽车发展迅，尤其对于我国来说，新能源汽车产销盘都大幅增加，小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表）.以 50km 为标准，多于 50km 的记为“+”，不足50km 的记为“_”，刚好 50km 的记为“0”. 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（km） -8 -12 -16 0 +22 +31 +33 （1）这7天里路程圾多的一天比最少的一天多走　 　km： （2）请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米? （3）已知汽油车每行驶100kmm用汽油6.5升，汽油价8.2元/升，而新能源汽车每行驶 100k耗电为1度，每度电为0.56元，请估计小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省多少钱? 【答案】（1）49 （2）解： 答：小明家的新能源汽车这七天一共行驶了400km. （3）解：用汽油的费用： (元) ， 用电的费用： (元) ， (元)， 答：估计小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省179.6元. 【知识点】有理数混合运算的实际应用 【解析】【解答】(1) 由表格得： 即这7天里路程最多的一天比最少的一天多走49km， 故答案为：49； 【分析】(1)根据表格可得行驶路程最多的一天是第七天，最少的一天是第三天，把两天行驶路程相减解题； (2)先求出这七天高于 (或低于)50km的标准所行驶的路程，然后加上七天按标准行驶路程解题即可； (3)分别求出汽油费和电费，然后求差解题. 2．为了增强体质，小明给自己设定：以每天跳绳数量a个为基准，超过的部分记为正，不足的部分记为负。手机应用程序记录小明一周跳绳数量情况记录如下： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与基准a的差/个 +20 +80 +80 -40 -80 +120 +40 小明周六和周日共跳了1160个。 （1）求a的值。 （2）小明本周共跳绳多少个? 【答案】（1）解： （2）解： (个)， 即小明本周共跳绳3720个. 【知识点】有理数混合运算的实际应用 【解析】【分析】(1)根据正数和负数的实际意义列式计算即可； (2)结合 (1)中所求，根据正数和负数的实际意义列式计算即可. 3．某市招标建设一段无桥梁的高速公路路基，现有A，B两家公司竞标这项工程．若A公司每天能修建路基，B公司每天能修建路基，若单独修建这段路基，A 公司比B 公司要多用10天，在修建路基过程中，该市要付A 公司每天费用2万元，付B 公司每天费用6万元． （1）求这段高速公路路基一共有多少千米？ （2）若先由A，B 两家公司合作一段时间后，A 公司停工了，B 公司单独完成剩余部分．且 B公司的全部工作时间是A公司的工作时间的3倍少4天，求B 公司共修建多少天？ （3）现设置三个方案：方案一：由A 公司单独完成；方案二：由B 公司单独完成；方案三： 按（2）的方式完成；你认为该市选择哪一种方案最省钱，并说明理由． 【答案】（1）解：根据题意，A公司每天修建0.5km，B公司每天修建1km，单独修建时，A公司比B公司多用10天，设路基总长为x km， 因为A公司单独完成的时间比B公司多10天，即 2 x = x + 10 设这段高速公路路基一共有千米，由题意，得：， 解得：x=10； 答：这段高速公路路基一共有10千米； （2）解： 根据第1小问，路基总长为10km，设A公司工作时间为t天，则B公司工作时间为3t−4 天， A公司和B公司共同修建的总长度为10km，即 0.5t+3t−4=10， 解得：t=4天， 所以，B公司工作时间为3×4−4=8天. （3）解：方案一，理由如下， 方案一：A公司单独完成，工作天数为 2x=20天，总费用为20×2=40万元， 方案二：B公司单独完成，工作天数为 x=0天，总费用为10×6=60万元， 方案三：按第2小问的方式完成，A公司工作4天，B公司工作8天，总费用为4×2+8×6=8+48=56万元， 故方案一最省钱. 【知识点】有理数混合运算的实际应用；一元一次方程的实际应用-工程问题；一元一次方程的实际应用-方案选择问题 【解析】【分析】本题考查一元一次方程的实际应用， 关键在于理解和应用工作效率和工作时间的关系，通过设立方程求， （1）设这段高速公路路基一共有千米，根据单独修建这段路基，A 公司比B 公司要多用10天，列出方程进行求解即可； （2）设A公司共修建了t天，根据题意，列出方程进行求解即可； （3）分别求出三种方案所需费用，进行判断即可． （1）解：设这段高速公路路基一共有千米，由题意，得：， 解得：； 答：这段高速公路路基一共有10千米； （2）设A公司共修建了天，则公司共修建了天，则： ， 解得：， ∴； 答：B 公司共修建8天； （3）方案一最省钱，理由如下： 公司单独修建需要：（万元）； 公司单独修建需要：（万元）； 按照（2）中方案需要：（万元）； ∵， ∴方案一最省钱． 题型6 有理数除法的简算 例6． 2023×202420242024-2024×202320232023. 名师支招 运算技巧与方法 1.转化法  将除法转化为乘法（除以一个数等于乘以它的倒数）；  将乘方转化为乘法 小数转化为分数进行约分计算。 2.凑整法  在加减混合运算中，将和为0、分母相同或乘积为整数的数分别结合计算，简化步骤。 3.分拆法 带分数拆分为整数与真分数的和，分别计算后再合并；  小数或分数转化为便于计算的形式 【答案】解：原式=2023×(2024×100010001)-2024×(2023×100010001) =2023×2024×100010001-2024×2023×100010001 =0. 【知识点】有理数的乘法运算律；有理数的乘除混合运算 【解析】【分析】根据有理数四则混合运算法则以及运算律对式子进行变形，得到原式=2023×2024×100010001-2024×2023×100010001，即可求解. 针对训练6 1．先去括号，再添括号，后计算： （1） （2） （3） 【答案】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；有理数的除法法则；有理数的乘除混合运算 【解析】【分析】（1）利用有理数的混合运算的计算方法（有括号的先计算括号，再计算乘除，最后计算加减）分析求解即可； （2）利用有理数的除法运算法则（①同号两数相除结果为正；②异号两数相除结果为负；③0除以任何不为0的数都为0）分析求解即可； （3）利用有理数乘除法的运算方法（①能简便运算的先简便运算；②将除法转换为乘法，再利用乘法结合律或乘法交换律运算）分析求解即可. 2．阅读材料： 如何计算 呢? 小红带领的数学兴趣小组通过探索完成了这道题的计算.他们的解法如下： 解：原式 = 根据以上材料，完成下列计算： （1） （2）. 【答案】（1）解：原式 （2）解：原式 【知识点】有理数的乘法运算律；有理数的加、减混合运算；有理数的乘除混合运算 【解析】【分析】（1）根据题中提供的计算方式，对原式进行裂项，再两两相消，求解即可； （2）按照题中提供的计算方式，对式子进行裂项，两两相消，求解即可. 3． 用简便方法计算： （1） （2） 【答案】（1）解：原式= = = =-89 （2）解：原式= =-0.23-19 =-19.23 【知识点】有理数的乘法运算律；有理数的乘除混合运算 【解析】【分析】（1）拆项，将除法 转换为乘法，根据乘法分配律去括号，结合有理数的乘法，减法即可求出答案. （2）提公因式，先计算括号内，结合有理数的乘法，加减计算即可求出答案. 创新拓展能力提升 1．国博首个虚拟数字人“艾雯雯”是一款以为技术基础的文博工作者，她搭建了交换技术，能根据当日实际访问人数的变化与国博知识库进行数据交换，更新并丰富自己的知识储备与互动技能，完成多场景应用落地． 为了更好地了解“艾雯雯”的受欢迎程度，技术工作组在2024年国庆7天假期里，对“艾雯雯”的访问量进行了跟踪统计，数据如下表（正号表示访问量比前一天增加，负号表示访问量比前一天减少），9月30日的实际访问量是10万人， 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 变化/万人 （1）国庆7天，________日的实际访问量最大； （2）若“艾雯雯”的设置日标准访问量为30万量，请完成下表（差值当日实际访问量日标准访问量）； 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 差值/万人 ________ ________ （3）国庆7天，艾雯雯的平均日访问量是多少万人？（最终结果精确到小数点后一位） （4）当日实际访问量与日标准访问量30万量相比，每相差1人时，“艾雯雯”就会进行2次信息交换．请问国庆7天，“艾雯雯”一共进行了多少万次信息交换？ 【答案】（1）3 （2）0， （3）解：国庆7天艾雯雯的平均日访问量是：(万)． （4）解：7天总差值为：（万人）∵每相差1人时，“艾雯雯”就会进行2次信息交换． ∴总交换次数为：（万次） 【知识点】有理数混合运算的实际应用；有理数的加法实际应用；有理数减法的实际应用；有理数乘法的实际应用 【解析】【解答】（1）1号访问量人数为(万)， 2日访问人数为(万)， 3日访问人数为(万)， 4日访问人数为(万)， 5日访问人数为(万)， 6日访问人数为(万)， 7日访问人数为(万)． ∵， ∴3日访问人数最多， 故答案为∶3． 解：（2）2日的差值为：，7日的差值为：， 故答案为：0， 【分析】（1）根据表格中的数据， 分别求出每一天的访问人数，再结合有理数的比较大小，得出访问量最高的一天，即可得到答案． （2）结合差值当日实际访问量—日标准访问量，计算出2日和7日的差值，即可求解． （3）根据表格中的数据，将7日的总访问量相加然后乘以，即可得出答案． （4）根据第二问，求得国庆七天的差值，再根据差值计算交换次数，即可得到答案． （1）解：1号访问量人数为(万)， 2日访问人数为(万)， 3日访问人数为(万)， 4日访问人数为(万)， 5日访问人数为(万)， 6日访问人数为(万)， 7日访问人数为(万)． ∵， ∴3日访问人数最多， 故答案为∶3． （2）解：2日的差值为：，7日的差值为：， 故答案为：0， （3）解：国庆7天艾雯雯的平均日访问量是：(万)． （4）解：7天总差值为：（万人） ∵每相差1人时，“艾雯雯”就会进行2次信息交换． ∴总交换次数为：（万次） 2．某市三类打车方式的收费标准见下表（路程按整千米计算）： A类 B类 C类 3千米及以内：8元 以路程计：1.5元/千米 以路程计：1.8元/千米 超过3千米的部分：2.6元/千米 以时间计：0.6元/分钟 以时间计：0.5元/分钟 例如：假设打车的平均车速为40千米/时，乘坐8千米，耗时（分），则A类打车方式的收费为（元）；B类打车方式的收费为（元）；C类打车方式的收费为（元）． （1）小李打车从家去某公园，全程10千米，打车的平均车速为40千米/时．如果小李使用B类打车方式，那么需要支付的打车费用为多少元？ （2）小刚乘车从甲地去乙地，打车的平均车速为40千米/时，使用B类打车方式比使用A类打车方式节省了10元，求甲乙两地之间的距离． （3）小王需乘车到A市参加课外拓展活动，若打车的平均车速为40千米/时，路程为60千米，小王选择哪类打车方式更划算？ 【答案】（1）解：∵小李打车的平均车速为40千米/时，全程10千米，耗时（分）， ∴B类打车方式的收费为（元）， 答：小李使用B类打车方式，需要支付的打车费用为24元； （2）解：设甲乙两地之间的距离为x千米，则耗时：， 由题意得：， 解得：， 答：甲乙两地之间的距离为49千米； （3）解：打车的平均车速为40千米/时，乘坐60千米，耗时（分），则A类打车方式的收费为（元）； B类打车方式的收费为（元）； C类打车方式的收费为（元）． ∵， ∴选择B类打车分式更合算． 【知识点】有理数混合运算的实际应用；一元一次方程的实际应用-方案选择问题 【解析】【分析】（1）先运算得到时间，然后利用B类方式的标准解答即可； （2）利用“使用B类打车方式比使用A类打车方式节省了10元”列方程解题即可； （3）分别求出三种方式的收费，然后比较解题． （1）解：∵小李打车的平均车速为40千米/时，全程10千米，耗时（分）， ∴B类打车方式的收费为（元）， 答：小李使用B类打车方式，需要支付的打车费用为24元； （2）解：设甲乙两地之间的距离为x千米，则耗时：， 由题意得：， 解得：， 答：甲乙两地之间的距离为49千米； （3）解：打车的平均车速为40千米/时，乘坐60千米，耗时（分）， 则A类打车方式的收费为（元）； B类打车方式的收费为（元）； C类打车方式的收费为（元）． ∵， ∴选择B类打车分式更合算． 3．如图，甲、乙两人（看成点）分别在数轴和6的位置上，沿数轴做移动游戏．移动游戏规则；两人先进行“石头，剪刀，布”，而后根据输赢结果进行移动． ①若平局，则甲向东移动1个单位长度，同时乙向西移动1个单位长度； ②若甲赢，则甲向东移动4个单位长度，同时乙向东移动2个单位长度； ③若乙赢，则甲向西移动2个单位长度，同时乙向西移动4个单位长度． 前三局如下表：（提示：剪刀胜布，布胜石头，石头胜剪刀） 第一局 第二局 第三局 第四局 … 甲的手势 石头 剪刀 石头 布 … 乙的手势 石头 布 布 … （1）从如图所示位置开始，第一局结束后甲在数轴上代表的数为　 　，乙在数轴上代表的数为　 　； （2）若第四局结束后，乙在数轴上的位置所对应的数是2，则乙第四局的手势是什么？此时甲与乙在数轴上的位置相距多少个单位长度？ （3）从如图所示的位置开始，若进行了k局后，甲与乙的位置相距2个单位长度，请直接写出k的值． 【答案】（1）-5；5 （2）解：从前三局来看，甲一平一胜一负，根据规则三局之后甲对应的数为：， 根据规则三局之后乙对应的数为：， ∵第四局游戏结束后，乙在数轴上的位置所对应的数是2， ∴第四局游戏的结果使乙向西移动1个单位长度， ∴第四局游戏为平局， ∴乙第四局的手势是布，第四局游戏结束后甲表示的数为， ∴此时甲与乙在数轴上的位置相距个单位长度； （3）解：刚开始甲乙两人相距个单位长度， 若平局，则甲向东移动个单位长度，同时乙向西移动个单位长度， 若平局，移动后甲、乙的距离缩小个单位长度， 若甲赢，则甲向东移动个单位长度；同时乙向东移动个单位长度， 若甲赢，移动后甲乙的距离缩小个单位长度， 若乙赢，则甲向西移动个单位长度，同时乙向西移动个单位长度， 若乙赢，移动后甲乙的距离缩小个单位长度， 甲、乙每移动一次，甲、乙的距离缩小个单位长度， 最终甲与乙的位置相距2个单位长度， 共需缩小个单位长度或个单位长度， ，， 的值为7或5． 【知识点】有理数的减法法则；有理数的除法法则；有理数在数轴上的表示；数轴上两点之间的距离；有理数的加法法则；数轴的点常规运动模型 【解析】【解答】解：（1）完成了第一局移动游戏，结果为平局， 则甲向东移动个单位长度到， 乙向西移动个单位长度到； 故答案为：；5； 【分析】（1）利用规则：若平局，则甲向东移动个单位长度，同时乙向西移动个单位长度，结合数轴上两点间的距离公式，即可得结论； （2）由前三局来看，甲一平一胜一负，根据规则分别计算出前三局结束后甲、乙表示的数，再根据第四局游戏结束后，乙在数轴上的位置所对应的数是2，可得第四局游戏为平局，据此可得第四局乙的手势和第四局结合后甲、乙表示的数，进而可求出二者的距离，即可求解； （3）根据规则，推出甲、乙每移动一次，甲、乙的距离缩小个单位长度，由最终甲与乙的位置相距2个单位长度，得到共需缩小个单位长度或个单位长度，据此可得答案。 （1）解：完成了第一局移动游戏，结果为平局， 则甲向东移动个单位长度到， 乙向西移动个单位长度到； 故答案为：；5； （2）解：从前三局来看，甲一平一胜一负， 根据规则三局之后甲对应的数为：， 根据规则三局之后乙对应的数为：， ∵第四局游戏结束后，乙在数轴上的位置所对应的数是2， ∴第四局游戏的结果使乙向西移动1个单位长度， ∴第四局游戏为平局， ∴乙第四局的手势是布，第四局游戏结束后甲表示的数为， ∴此时甲与乙在数轴上的位置相距个单位长度； （3）解：刚开始甲乙两人相距个单位长度， 若平局，则甲向东移动个单位长度，同时乙向西移动个单位长度， 若平局，移动后甲、乙的距离缩小个单位长度， 若甲赢，则甲向东移动个单位长度；同时乙向东移动个单位长度， 若甲赢，移动后甲乙的距离缩小个单位长度， 若乙赢，则甲向西移动个单位长度，同时乙向西移动个单位长度， 若乙赢，移动后甲乙的距离缩小个单位长度， 甲、乙每移动一次，甲、乙的距离缩小个单位长度， 最终甲与乙的位置相距2个单位长度， 共需缩小个单位长度或个单位长度， ，， 的值为7或5． 学科网（北京）股份有限公司 $$