精品解析：重庆市巴蜀中学教育集团2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题

重庆市巴蜀中学教育集团2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题 命题人：刘陈 王善荣 审题人：何方印 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试卷上作答无效. 3.考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存.满分150分，考试用时120分钟. 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组向量中，能作为基底的是（ ） A. B. C. D. 3. 某商场记录了2025年1-6月的销售额（单位：万元），绘制了如下的折线图.已知这6个月销售额的平均数为20万元，下列说法正确的是（ ） A. 该商场这6个月销售额的众数是22万元 B. 该商场1-6月的销售额逐月递增 C. 该商场这6个月的销售额的中位数与平均数相等 D. 该商场预测7月份的销售额一定不低于25万元 4. 已知两条直线m，n及平面，下列条件中，一定能得到的是（ ） A. B. C. D. 5. 长方体中，，则点到平面的距离为（ ） A. 2 B. C. D. 6. 已知，，定义新运算，记，，满足，则（ ） A. B. C. D. 7. 四面体中，平面，则该四面体的外接球体积为（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系xOy中，在方向上的投影向量为在方向上的投影向量为，且，那么的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每个给出的四个选项中，有多项是满足要求的，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 设，则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时，的虚部是-4 C. ，使是纯虚数 D. 所对应的点不会在复平面的第三象限 10. 校园合唱比赛中，高一（4）班演唱结束后，10位裁判分别进行打分，结果如下（满分10分）：9.0，8.8，9.0，9.2，9.3，8.9，8.8，9.0，8.5，9.5；则下列说法正确的是（ ） A. 该班的平均得分是9.0分 B. 该班得分的第70百分位数是9.1分 C. 该班得分的方差是0.72 D. 若得分数据去掉一个最高分和一个最低分后，该班得分的平均分不变，方差变小 11. 正方体的边长为2，O为底面的中心，是正方形内（不包含正方形的四边）的动点，则下列说法正确的是（ ） A. OP，BC一定是异面直线 B. 当是正方形的中心时，与所成角为 C. 当在线段上移动时，的最小值为 D. 当与平面所成角为定值（非直角）时，的运动轨迹是一段圆弧 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 圆锥的底面半径为1，高为，则其侧面积为___________. 13. 已知，则___________. 14. 中，为三角形的垂心，又，则___________. 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 某校高一年级半期考试测试后，为了解本次测试的情况，在整个年级中随机抽取了200名学生的数学成绩，将成绩分为，共6组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）在样本中，采取等比例分层抽样的方法从成绩在［90，150］内的学生中抽取13名，则成绩在［130，150］的同学有几个？ （2）根据图中的样本数据，假设同组中每个数据用该组区间的中点值代替，试估计本次考试的平均分和众数； （3）若年级计划对本次测试优异的同学进行表彰，且表彰人数不超过，根据样本数据，试估计获得表彰的同学的最低分数. 16. 如图，三棱柱中，为中点，为中点. （1）求证：平面 （2）已知平面，求直线与平面所成角的正弦值； 17. 中，内角所对的边分别是，若， （1）求的大小； （2）若AC边的中线为，求BC边上的高的大小； 18. 已知等腰梯形ABCD中，为AD中点，现将沿BE折起，使到达点的位置，得到四棱锥. （1）求证：； （2）当二面角的大小为时，记的重心为，点在线段BC上，且满足平面PCD， （i）试确定点的位置并说明理由； （ii）求平面DGF与平面DPC所成角的正弦值. 19. 中，内角所对的边分别是. （1）若，求的最小值； （2）若的内切圆半径是，且. （i）请判断三角形的形状并说明理由； （ii）若，请写出两个函数与，对于一切满足条件的实数，使得且式子恒为定值； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市巴蜀中学教育集团2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题 命题人：刘陈 王善荣 审题人：何方印 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试卷上作答无效. 3.考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存.满分150分，考试用时120分钟. 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法运算法则即可求出结果. 【详解】， 故选：B 2. 下列各组向量中，能作为基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量基地不能共线的要求，逐个判断各选项是否正确. 【详解】零向量于任意向量共线，所以A错误， 因为，所以B错误， 因为，所以C错误， 不共线，所以D正确； 故选：D. 3. 某商场记录了2025年1-6月的销售额（单位：万元），绘制了如下的折线图.已知这6个月销售额的平均数为20万元，下列说法正确的是（ ） A. 该商场这6个月销售额的众数是22万元 B. 该商场1-6月的销售额逐月递增 C. 该商场这6个月的销售额的中位数与平均数相等 D. 该商场预测7月份的销售额一定不低于25万元 【答案】C 【解析】 【分析】根据中位数，众数，和折线统计图的概念，逐个判断各选项正误. 【详解】由图可知，22只出现一次，众数不是22万元，所以A错误； 由图可知，3月到4月出现下降，所以B错误； 这6个月的销售额由小到大排列为：，6个数的中位数是第3个和第4个的平均数，所以中位数为，所以C正确； 折线统计图无法预测下个月的变化，所以D错误. 故选；C. 4. 已知两条直线m，n及平面，下列条件中，一定能得到的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间中线面之间的位置关系，判断面面平行，逐个选项判断是否正确. 【详解】 如图所示，此时符合，不能推出面面平行，所以A错误； 如图所示，此时符合，不能推出面面平行，所以B错误； 如图所示，此时符合，不能推出面面平行，所以B错误； 根据线面垂直的性质定理可知，垂直于同一条直线的两个平面平行，所以D正确； 故选：D. 5. 长方体中，，则点到平面的距离为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等体积法，求点到面的距离即可. 【详解】 如图所示，由，得， ∵长方体中，，∴， ∴，， 所以. 故选：B. 6. 已知，，定义新运算，记，，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题中定义、诱导公式以及二倍角的正弦公式化简可得出的取值范围. 【详解】因为，， 根据题中定义可得 ，故. 故选：A. 7. 四面体中，平面，则该四面体的外接球体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理求出外接圆半径，再利用直角三角形的勾股定理即可求出外接球半径，即可求得结果. 【详解】在中，其外接圆半径为，由正弦定理知：，故 故，故外接球的半径，则其体积为, 故选：C 8. 在平面直角坐标系xOy中，在方向上的投影向量为在方向上的投影向量为，且，那么的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先设出A,B点的坐标，写出的表达式，即可求出最小值. 【详解】由题干知：由①，设， 那么，即求参数t的最小值，因为 ， 所以代入①式整理得：，因为此方程有解， 故，解得， 故最小值为： 故选：A 二、多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每个给出的四个选项中，有多项是满足要求的，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 设，则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时，的虚部是-4 C. ，使是纯虚数 D. 所对应的点不会在复平面的第三象限 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用复数模的运算，虚部，纯虚数，复平面的概念来判断即可， 【详解】对于A选项：，故A正确； 对于B选项：，虚部为-4，故B正确； 对于C选项：当z为纯虚数，则,此时无解，故C错误； 对于D选项：若z对应的点在第三象限，由， 此时无解，故不存在使对应的点在第三象限，故D正确； 故选：ABD 10. 校园合唱比赛中，高一（4）班演唱结束后，10位裁判分别进行打分，结果如下（满分10分）：9.0，8.8，9.0，9.2，9.3，8.9，8.8，9.0，8.5，9.5；则下列说法正确的是（ ） A. 该班的平均得分是9.0分 B. 该班得分的第70百分位数是9.1分 C. 该班得分的方差是0.72 D. 若得分数据去掉一个最高分和一个最低分后，该班得分的平均分不变，方差变小 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用平均数，百分位数，方差的定义和性质逐个选项判断即可. 【详解】把得分按从小到大排列：8.5，8.8，8.8，8.9，9.0，9.0，9.0，9.2，9.3，9.5 对于A：平均分为，故A正确 对于B：因为，故第70百分位数为，故B正确 对于C：方差为，故C错误 对于D：由于最高分和最低分平均数是9，故平均分不变，去掉后，数据更集中，故方差变小，D正确， 故选：ABD 11. 正方体的边长为2，O为底面的中心，是正方形内（不包含正方形的四边）的动点，则下列说法正确的是（ ） A. OP，BC一定是异面直线 B. 当是正方形的中心时，与所成角为 C. 当在线段上移动时，的最小值为 D. 当与平面所成角为定值（非直角）时，的运动轨迹是一段圆弧 【答案】AC 【解析】 【分析】利用正方体的性质，容易判断AB，对于C需要利用侧面展开图来求解，对于D则把线面角转化为边的关系，从而得到动点在圆上，但轨迹不一定是一段圆弧. 【详解】 对于A选项，因为是正方形内（不包含正方形的四边）的动点，即， 所以由异面直线判定定理知，故A正确； 对于B选项，易知，所以与所成角为，故B错误； 对于C选项：将正三角形与等腰直角三角形展开到同一平面内， 得到四边形，则线段即为的最小值， 在中，由余弦定理知： 故，故C正确； 对于D选项：取BC中点，那么平面， 那么即为OP和平面所成角， 那么为定值，又为定值，故为定值， 所以点在以为圆心以为半径的圆上， 由于半径大小不定，点是正方形内（不包含正方形的四边）的动点可能是一段圆弧或二段圆弧，故D错误； 故选：AC 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 圆锥的底面半径为1，高为，则其侧面积为___________. 【答案】 【解析】 【分析】求出母线长，利用圆锥的侧面积公式即可求得结果. 【详解】因为圆锥的底面半径为1，高为，所以母线长， 利用侧面积公式得：， 故答案为： 13. 已知，则___________. 【答案】0 【解析】 【分析】利用二倍角的正切公式和两角和的正切公式来运算，即可求解. 【详解】由解得：， 又由二倍角正切公式得：， 由两角和正切公式得：， 所以， 故答案为：0 14. 中，为三角形的垂心，又，则___________. 【答案】 【解析】 【详解】 如图所示，过作于，过作于，，连接, 在中，，那么， 则， 又 故， 可知， 所以； 故答案为：. 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 某校高一年级半期考试测试后，为了解本次测试的情况，在整个年级中随机抽取了200名学生的数学成绩，将成绩分为，共6组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）在样本中，采取等比例分层抽样的方法从成绩在［90，150］内的学生中抽取13名，则成绩在［130，150］的同学有几个？ （2）根据图中的样本数据，假设同组中每个数据用该组区间的中点值代替，试估计本次考试的平均分和众数； （3）若年级计划对本次测试优异的同学进行表彰，且表彰人数不超过，根据样本数据，试估计获得表彰的同学的最低分数. 【答案】（1）2 （2）众数为：100，平均数为98 （3）134分 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质，求出参数，根据分层抽样的规则，计算抽取人数； （2）根据频率分布直方图估计平均分和众数的方法，计算总体的平均数和众数； （3）根据频率分布直方图估计总体第百分位数的方法，计算最低分数. 【小问1详解】 由性质知：，故， 采取分层抽样：[130，150]的同学个数为：. 【小问2详解】 由频率分布直方图知：众数为：100； 平均数为：； 【小问3详解】 由于成绩在[130，150]的频率为0.1， 故最低分数预计为：； 即估计获得表彰的同学的最低分数为134分. 16. 如图，三棱柱中，为中点，为中点. （1）求证：平面 （2）已知平面，求直线与平面所成角的正弦值； 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由线面平行的判定定理得到平面，平面，由面面平行的判定定理得到平面平面，再由面面平行的性质定理得到平面； （2）建立空间直角坐标系，由线面角的向量求法求得线面角的正弦值. 【小问1详解】 取中点M，连接， 在中，由于为中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 在平行四边形中，为对边中点，所以 因为平面，平面，所以平面， 因为平面，，所以平面平面， 又平面，所以平面. 【小问2详解】 因为，所以， 那么以B为原点，分别以为x轴，y轴，z轴建立坐标系，如图所示， 则， 所以 不妨设平面的一个法向量为， 由可得，不妨令，那么， 则， 设为直线CE与平面所成角，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 17. 中，内角所对的边分别是，若， （1）求的大小； （2）若AC边的中线为，求BC边上的高的大小； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理进行边化角，根据诱导公式、和差公式辅助角公式即可求解； （2）在中利用余弦定理可求出，在中利用余弦定理可求出，再利用面积公式即可求解. 【小问1详解】 由正弦定理知：， 可得：， 又，则， 代入上式，可得， 所以，由于， 可得，即， 由，所以，所以. 【小问2详解】 在中，， 所以，解得（舍负）， 又即， 由， 所以，可得BC边上的高. 18. 已知等腰梯形ABCD中，为AD中点，现将沿BE折起，使到达点的位置，得到四棱锥. （1）求证：； （2）当二面角的大小为时，记的重心为，点在线段BC上，且满足平面PCD， （i）试确定点的位置并说明理由； （ii）求平面DGF与平面DPC所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）答案见解析；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据空间中线面的位置关系，证明线面垂直，根据线面垂直的性质定理，证明线线垂直即可. （2）（i）根据空间中线面的位置关系，通过面面平行的判定定理证明面面平行，进而通过面面平行的性质定理，证明线面平行； （ii）根据面面夹角的向量方法，建立空间直角坐标系，求出两个面的法向量，通过向量数量积和同角三角函数关系，求出面面夹角的正弦值； 【小问1详解】 取BE中点O，连接， 在中，由于，所以， 由于四边形BCDE为菱形且， 所以为正三角形故，， 又由于且平面，所以平面PCO， . 【小问2详解】 （i） 如图所示，取PB三分点（靠近点），BC三分点（靠近点），连接， 由于，，平面PCD， 又，，平面PCD， 因为，平面PCD，平面， 所以平面平面PCD，故平面PCD； （ii） 以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，平面BCDE，建立如图坐标系： 由于，，， 此时：； 由可得， 又可得，同理由得； 设平面PCD的法向量为，由可得， 令，则平面PCD的一个法向量为； 设平面GFD的法向量为，由可得， 令，则平面GFD的一个法向量为； 设平面DGF与平面DPC所成角为， 则，即； 19. 中，内角所对的边分别是. （1）若，求的最小值； （2）若的内切圆半径是，且. （i）请判断三角形的形状并说明理由； （ii）若，请写出两个函数与，对于一切满足条件的实数，使得且式子恒为定值； 【答案】（1） （2）（i）钝角三角形，理由见解析；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理，写出角的余弦值，根据基本不等式，求出余弦值的最小值； （2）（i）根据正弦定理，求出三边之间的关系，再根据余弦定理，求出角的正弦值和余弦值之间的关系，再根据角的范围，判断三角形的形状； （ii）根据正弦两角和的公式和正弦二倍角公式，对已知条件进行变形，得角的余弦值关系式，代入题干条件，列出方程，根据等量关系，求出两个函数的函数关系式. 【小问1详解】 由平方可得 又 故的最小值为，当且仅当时，等号成立 【小问2详解】 （i）由可知： 那么不等式可化为： 即， 则， 即，平方可得，化简得， 由于，故即C为钝角，所以为钝角三角形； （ii）由可得： ， 展开有：， 即：即 又由， 可得， 即， 又由知， 即，平方可得：， 即， ， ， 那么：， 即， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $