精品解析：江西省南昌市外国语学校教育集团2024-2025学年七年级下学期6月期末数学试题

南昌市外国语学校教育集团2024-2025学年下学期期末质量检测七年级数学学科试卷 说明：1.本卷共有六个大题，23个小题，全卷满分120分，考试时间120分钟． 2.本卷分为试题卷和答题卡，答案要求写在答题卡上，不得在试卷上作答，否则不给分． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列调查中，适合用普查方式的是（ ） A. 了解全国中学生的视力和用眼卫生情况 B. 调查市场上某种食品的色素含量是否符合国家标准 C. 检测某城市的空气质量 D. 调查全班同学每周体育锻炼的时间 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全面调查（即普查）、抽样调查的识别，掌握其概念及操作注意事项是解题的关键．选择全面调查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行全面调查、全面调查的意义或价值不大，应选择抽样调查；对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用全面调查，全面调查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多．据此选择即可． 【详解】解：A. 了解全国中学生的视力和用眼卫生情况，适合用抽样调查，不符合题意； B. 调查市场上某种食品的色素含量是否符合国家标准，适合用抽样调查，不符合题意； C. 检测某城市的空气质量，适合用抽样调查，不符合题意； D. 了解全班同学一周体育锻炼的时间，适合用全面调查，符合题意； 故选：D． 2. 在实数3.1415，，，中，无理数是（　　） A. 3.1415 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查无理数，根据无限不循环小数叫做无理数进行判断即可． 【详解】解：A、3.1415是有理数，故此选项不符合题意； B、是有理数，故此选项不符合题意； C、是无理数，故此选项符合题意； D、是有理数，故此选项不符合题意； 故选：C． 3. 如图，数轴上的点A与点B所表示的数分别为a，b，则下列不等式成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了数轴，不等式的性质，掌握以上性质是解题的关键． 由图可知，，根据不等式的性质判断即可． 【详解】解：由图可知，，则有： A、，原不等式不成立，A不符合题意； B、，原不等式不成立，B不符合题意； C、，原不等式成立，C符合题意，正确； D、，原不等式不成立，D不符合题意． 故选：C． 4. 下列命题中，属于真命题的是（ ） A. 相等的角是对顶角 B. 若，则， C. 内错角相等，两直线平行 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据对顶角的定义、平行线的判定及有理数的运算可进行求解． 【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，比如这两个角是直角，故不符合题意； B、若，则有可能同为正数，有可能是异号，且正数的绝对值较大，故不符合题意； C、内错角相等，两直线平行，属于真命题，故符合题意； D、若，，则，故不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查真假命题、对顶角、平行线的判定及有理数的运算，熟练掌握真假命题、对顶角、平行线的判定及有理数的运算是解题的关键． 5. 今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？（选自《孙子算经》）题目大意：有若干人要坐车，若每3人坐一辆车，则有2辆空车；若每2人坐一辆车，则有9人需要步行，问人与车各多少？设共有x辆车，y个人，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．根据“若每3人坐一辆车，则有2辆空车；若每2人坐一辆车，则有9人需要步行”，即可列出方程组． 详解】根据每3人坐一辆车，则有2辆空车，可列方程， 根据每2人坐一辆车，则有9人需要步行，可列方程， 所以可列方程组为． 故选：A． 6. 在平面直角坐标系中，点，点，坐标轴上有一点，使得为等腰三角形，则这样的点一共有（ ）个 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据等腰三角形两腰相等，分别以A、B为圆心以的长度为半径画圆，与坐标轴的交点即为所求的点C，的垂直平分线与坐标轴的交点也可以满足是等腰三角形． 【详解】解：如图，使得是等腰三角形，这样的点C可以找到6个． 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，坐标与图形性质，作出图形，利用数形结合的思想求解更形象直观． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 已知三角形的两边长分别是和，则第三边长的取值范围是______． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．根据三角形的三边关系“任意两边之和第三边，任意两边之差第三边”，求得第三边两边之差，而同时第三边两边之和． 【详解】解：根据三角形的三边关系，得 第三边的取值范围是：， 即． 故答案为：． 8. 若点在轴上，则________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，利用轴上点的坐标特征得到，然后解方程即可，掌握坐标轴上点的坐标特征是解决问题的关键． 【详解】解：点在轴上， ， 解得； 故答案为：6． 9. 一副直角三角板按如图所示方式摆放，图中的度数为______． 【答案】##75度 【解析】 【分析】本题考查三角形的外角性质、三角板有关的角度计算，如图，利用三角形的外角求得即可求解． 【详解】解：如图，，， ∴， ∴， 故答案为：． 10. 已知一个50个数据的样本，把它分成6组，第一组到第四组的频数分别是8、6、11、7，第五组的频率是，那么第六组的频数是______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查了对频率、频数灵活运用，注意：各小组频数之和等于数据总和，各小组频率之和等于1，比较简单．首先根据频率频数总数，计算从第一组到第四组的频率之和，再进一步根据一组数据中，各组的频率和是1，进行计算． 【详解】解：根据题意得：第一组到第四组的频率和是： ， 又∵第五组的频率是， ∴第六组的频率为， ∴第六组的频数为：． 故答案为：8． 11. 关于的不等式组的整数解仅有4个，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先解不等式组，再根据仅有４个整数解，得出关于的不等式，求解即可． 【详解】解: 解得：， 关于的不等式组的整数解仅有4个， ， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解问题，熟练掌握解不等式组的方法是解题的关键． 12. 在平面直角坐标系中，将横、纵坐标之和为6的点称为“吉祥点”，现有以下结论：①第一象限内有无数个“吉祥点”；②第三象限内不存在“吉祥点”；③已知点，，若点是“吉祥点”且在坐标轴上，则点到直线的距离为8；④已知点，，若点是第一象限内的“吉祥点”，且它的纵坐标是，三角形的面积记为，则．其中正确的是有_______． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】此题考查了各象限内点的坐标的符号特征．根据平面直角标系中象限的特点，逐一判断即可． 【详解】由横、纵坐标之和为的点称为“吉祥点”， 则①第一象限内有无数个“吉祥点”，故说法①正确； ②∵第三象限的横、纵坐标都为负数， ∴第三象限内不存在“吉祥点”，故说法②正确； ③∵，， ∴轴， ∵点是“吉祥点”且在坐标轴上， ∴点或， 则到直线的距离为或，故说法③错误； ∵，， ∴轴，， ∵点是第一象限内的“吉祥点”， ∴设，则有：， 根据题意可知：， ∴，故说法④正确； 综上可知，说法①②④正确； 故答案为：①②④． 三、简答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算、解方程组： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）方程组的解是 【解析】 【分析】本题考查实数的运算、解二元一次方程组，正确求解是解答的关键． （1）先根据立方根、平方根的定义、绝对值的性质求解，再加减运算即可； （2）利用代入消元法解方程组即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， 将①代入②中，得，解得， 将代入①中，得， ∴方程组的解为． 14. 下面是某同学解不等式组的部分解答过程． 解：解不等式①：移项，得第1步， 合并同类项，得第2步， 两边都除以，得第3步． （1）该同学的解答过程中第_____步出现了错误，错误的原因是_____； （2）求该不等式组的解集，并写出不等式组的非负整数解． 【答案】（1）3；不等式两边都除以负数，不等号的方向没有变号 （2）不等式组的非负整数解为0和1 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组及其整数解，熟知不等式的性质并正确求解是解答的关键． （1）根据不等式的性质逐步检查即可； （2）先正确求得每个不等式的解集，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集，然后找出其中的非负整数即可． 【小问1详解】 解：该同学的解答过程中第3步出现了错误， 错误的原因是不等式两边都除以负数，不等号的方向没有变号； 故答案为：3；不等式两边都除以负数，不等号的方向没有变号； 【小问2详解】 解：由①得 由②得 ∴不等式组的解集为， 故不等式组的非负整数解为0和1． 15. 如图，CD∥AB，∠DCB=70°，∠CBF=20°，∠EFB=130°， （1）问直线EF与AB有怎样的位置关系？加以证明； （2）若∠CEF=70°，求∠ACB的度数． 【答案】（1）EF和AB的关系为平行关系；（2）∠ACB=40°． 【解析】 【分析】（1）由平行线的性质推出∠DCB=∠ABC=70°，结合∠CBF=20°，推出∠ABF=50°，即可得出∠EFB+∠ABF=180°，根据平行线的判定即可推出EF∥AB； （2）根据（1）推出的结论，推出EF∥CD，根据平行线的性质推出∠ECD=110°，根据∠DCB=70°，即可求出∠ACB的度数． 【详解】解：（1）EF和AB的关系为平行关系．理由如下： ∵CD∥AB，∠DCB=70°， ∴∠DCB=∠ABC=70°， ∵∠CBF=20°， ∴∠ABF=∠ABC﹣∠CBF=50°， ∵∠EFB=130°， ∴∠ABF+∠EFB=50°+130°=180°， ∴EF∥AB； （2）∵EF∥AB，CD∥AB， ∴EF∥CD， ∵∠CEF=70°， ∴∠ECD=110°， ∵∠DCB=70°， ∴∠ACB=∠ECD﹣∠DCB， ∴∠ACB=40°． 【点睛】本题主要考查平行线的判定和性质，关键在于熟练运用平行线的判定定理和性质定理，（1）求出∠ABF的度数，（2）熟练运用已知和已证的结论，推出∠ECD=110°． 16. 如图所示，平面直角坐标系中，的三个顶点都在网格点上，其中点A的坐标是，点B的坐标是，点C的坐标是将先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到 （1）请在图中画出； （2）写出、、三点的坐标：_____，_____，_____； （3）的面积是多少？ 【答案】（1）图见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查坐标与平移，熟练掌握平移的性质，是解题的关键： （1）根据平移规则，确定、、位置，画出即可； （2）根据点的位置，写出坐标即可； （3）分割法求出三角形的面积即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 由图可知：； 【小问3详解】 由图可知：． 17. 已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分． （1）求a，b，c的值； （2）求的平方根． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）分别根据立方根，算术平方根的意义，无理数的估算等知识进行计算即可求解； （2）把a，b，c的值代入求值，再根据平方根的意义即可求解． 【小问1详解】 解：∵的立方根是3， ∴，解得， ∵的算术平方根是4， ∴， 又∵， ∴， ∵c是的整数部分，， ∴， ∴，，； 【小问2详解】 解：把，，代入得 ， ∴的平方根是． 【点睛】本题考查了立方根，算术平方根的意义，无理数的估算，平方根的意义等知识，熟知相关知识并能正确进行计算是解题关键． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 为配合今年的“文明养犬”宣传活动，淘气和同学们在学校所在社区开展了支持的文明养犬方式”为主题的问卷调查活动，征求市民的意见，并将调查结果分析当绘制成了如下统计图． （1）淘气和同学们一共随机调查了（ ）人． （2）请你把扇形统计图、条形统计图都补充完整． （3）若该社区共有2000位居民，请你估计支持“定期注射疫苗”方式的居民约有多少． 【答案】（1）200 （2）统计图见解析 （3）600人 【解析】 【分析】此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键． （1）由“办理养犬登记”的数除以所占的百分比即可求出调查的总人数； （2）由“外出拴绳”除以总数得出所占的百分比，总数减去“外出拴绳”、“办理养犬登记” “不去登记”得出“定期注射疫苗”数，然后除以总数得出所占的百分比，补全条形统计图即可； （3）利用“定期注射疫苗”所占的百分比，乘以2000即可得到结果． 【小问1详解】 （人） 淘气和同学们一共随机调查了200人， 故答案为：200 【小问2详解】 外出栓绳的：， 定期注射疫苗的：（人）， ， 完整统计图为： 【小问3详解】 （人）， 估计支持“定期注射疫苗”方式的居民约有600人． 19. 已知不等式组 （1）若该不等式组的解集为，求 a的值； （2）若该不等式组无解，求 a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）解不等式组中两个不等式后根据不等式组的解集可得关于a的方程，解之可得； （2）根据“大小小大无解了”可确定关于a的不等式，解之可得． 【小问1详解】 解： 解不等式得：， 解不等式得：， ∵不等式组的解集是， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：∵不等式组无解， ∴， 解得：． 20. 如图，点在线段上，点，在线段上，，． （1）求证：； （2）若于点，平分，，求的度数． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定与性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，解题的关键是掌握平行线的判定与性质，三角形内角和定理． （1）证明，即可得证； （2）根据两直线平行，同旁内角互补得，根据角平分线的定义得的度数，根据可得结论； 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 为了加强对校内外安全监控，创建平安校园，某学校计划增加15台监控摄像设备，现有甲、乙两种型号的设备，其中每台价格，有效监控半径如表所示，经调查，购买1台甲型设备比购买1台乙型设备多150元，购买2台甲型设备比购买3台乙型设备少400元． 甲型 乙型 价格（元/台） a b 有效半径（米/台） 150 100 （1）求a、b的值． （2）若购买该批设备的资金不超过11000元，且两种型号的设备均要至少买一台，学校有哪几种购买方案？ （3）在（2）问的条件下，若要求监控半径覆盖范围不低于1600米，为了节约资金，请你设计一种最省钱的购买方案． 【答案】（1） （2）学校有三种购买方案：方案一：购买甲型设备1台，购买乙型设备台方案二：购买甲型设备2台，购买乙型设备台；方案三：购买甲型设备3台，购买乙型设备台； （3）购买甲型设备2台，购买乙型设备台最省钱 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用； （1）根据“购买1台甲型设备比购买1台乙型设备多150元，购买2台甲型设备比购买3台乙型设备少400元”列方程组，求解即可； （2）设购买甲型设备x台，则购买乙型设备台，根据“购买该批设备的资金不超过11000元”列不等式，求出不等式的正整数解即可得出答案； （3）首先分别计算出三种方案的监控半径覆盖范围是否满足要求，再计算所需资金，进行比较即可． 【小问1详解】 解：由题意得：， 解得：； 【小问2详解】 设购买甲型设备x台，则购买乙型设备台， 由题意得：， 解得：， ∵两种型号的设备均要至少买一台， ∴，2，3， ∴学校有三种购买方案： 方案一：购买甲型设备1台，购买乙型设备台； 方案二：购买甲型设备2台，购买乙型设备台； 方案三：购买甲型设备3台，购买乙型设备台； 小问3详解】 方案一的监控半径覆盖范围为：，不满足要求； 方案二的监控半径覆盖范围为：，满足要求， 此时购买设备所需资金为（元）； 方案三的监控半径覆盖范围为：，满足要求， 此时购买设备所需资金为（元）； ∵， ∴方案二：购买甲型设备2台，购买乙型设备台最省钱． 22. 阅读材料并回答下列问题： 当都是实数，且满足，就称点为“可爱点”．例如：点，令得，，所以不是“可爱点”；，令得，，所以是“可爱点”． （1）请判断点是否为“可爱点”：______（填“是”或“否”） （2）若以关于的方程组的解为坐标的点是“可爱点”，求的值； （3）若以关于的方程组的解为坐标的点是“可爱点”，求正整数的值． 【答案】（1）否 （2）10 （3）或或或 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解、二元一次方程的正整数解求法，点的坐标知识； （1）根据“可爱点”定义分别判断即可； （2）先关于x，y方程组的解，直接利用“可爱点”的定义得出关于方程，解方程求出的值进而得出答案． （3）先关于x，y的方程组的解，直接利用“可爱点”的定义得出关于、的二元一次方程求出正整数解即可． 【小问1详解】 解：点，令， 得， ， 不是“可爱点”， 故答案为：否． 【小问2详解】 解：方程组的解为， 点是“可爱点”， ， ， ， ， 解得 的值为10． 【小问3详解】 解：方程组的解为， 点是“可爱点”， ， ， ， ， 解得， a，b为正整数， 或或或． 六、解答题（本大题共12分） 23. 中，三个内角的平分线交于点O，过点O作，交边BC于点D． （1）如图1，求的度数； （2）如图2，作外角的平分线交CO的延长线于点F． ①求证： BF//OD； ②若，求的度数； ③若，将绕点O顺时针旋转一定角度后得，所在直线与FC平行，请直接写出所有符合条件的旋转角度的值． 【答案】（1）90° （2）①见解析；②100°；③15°或195° 【解析】 【分析】（1）根据三个内角的平分线交于点O，可得，再由，可得，然后根据三角形外角的性质，即可求解； （2）①根据BF平分∠ABE，可得，再由∠BOD=90°，可得∠FBE=∠ODB，即可求证；②根据BF平分∠ABE，可得，从而得到，即可求解；③由②得：∠BAC=100°，可得∠ACB=30°，从而得到∠OCD=15°，再由BF∥OD，可得∠COD=50°，从而得到∠BDO=∠COD+∠OCD=65°，∠DOF=130°，然后分两种情况讨论，即可求解． 【小问1详解】 解：∵三个内角的平分线交于点O， ∴ ， ∵， ∴， ∵， ∴∠BOD=90°； 【小问2详解】 解：①证明：∵BF平分∠ABE， ∴， ∵∠BOD=90°， ∴∠ODB=90°-∠OBD， ∴∠FBE=∠ODB， ∴BF//OD； ②∵BF平分∠ABE， ∴， ∴， ∵， ∴∠BAC=100°； ③∵， ∴由②得：∠BAC=100°， ∴∠ACB=30°， ∵OC平分∠ACB， ∴∠OCD=15°， ∵BF//OD， ∴∠COD=50°， ∴∠BDO=∠COD+∠OCD=65°，∠DOF=130°， ∵将绕点O顺时针旋转一定角度后得， ∴， 如图， ∵B′D′//FC， ∴， ∴， 即此时旋转角度； 如图， ∵B′D′//FC， ∴， ∴； 综上所述，所有符合条件的旋转角度的值为15°或195°． 【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，三角形的内角和，三角形的外角的性质，旋转变换等知识，熟练掌握三角形的外角的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南昌市外国语学校教育集团2024-2025学年下学期期末质量检测七年级数学学科试卷 说明：1.本卷共有六个大题，23个小题，全卷满分120分，考试时间120分钟． 2.本卷分为试题卷和答题卡，答案要求写在答题卡上，不得在试卷上作答，否则不给分． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列调查中，适合用普查方式的是（ ） A. 了解全国中学生的视力和用眼卫生情况 B. 调查市场上某种食品的色素含量是否符合国家标准 C. 检测某城市的空气质量 D. 调查全班同学每周体育锻炼的时间 2. 在实数3.1415，，，中，无理数是（　　） A. 3.1415 B. C. D. 3. 如图，数轴上的点A与点B所表示的数分别为a，b，则下列不等式成立的是（　　） A B. C D. 4. 下列命题中，属于真命题的是（ ） A. 相等的角是对顶角 B. 若，则， C. 内错角相等，两直线平行 D. 若，，则 5. 今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？（选自《孙子算经》）题目大意：有若干人要坐车，若每3人坐一辆车，则有2辆空车；若每2人坐一辆车，则有9人需要步行，问人与车各多少？设共有x辆车，y个人，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，点，点，坐标轴上有一点，使得为等腰三角形，则这样的点一共有（ ）个 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 已知三角形两边长分别是和，则第三边长的取值范围是______． 8. 若点在轴上，则________． 9. 一副直角三角板按如图所示方式摆放，图中的度数为______． 10. 已知一个50个数据的样本，把它分成6组，第一组到第四组的频数分别是8、6、11、7，第五组的频率是，那么第六组的频数是______． 11. 关于的不等式组的整数解仅有4个，则的取值范围是______． 12. 在平面直角坐标系中，将横、纵坐标之和为6的点称为“吉祥点”，现有以下结论：①第一象限内有无数个“吉祥点”；②第三象限内不存在“吉祥点”；③已知点，，若点是“吉祥点”且在坐标轴上，则点到直线的距离为8；④已知点，，若点是第一象限内的“吉祥点”，且它的纵坐标是，三角形的面积记为，则．其中正确的是有_______． 三、简答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算、解方程组： （1）； （2）． 14. 下面是某同学解不等式组的部分解答过程． 解：解不等式①：移项，得第1步， 合并同类项，得第2步， 两边都除以，得第3步． （1）该同学的解答过程中第_____步出现了错误，错误的原因是_____； （2）求该不等式组的解集，并写出不等式组的非负整数解． 15. 如图，CD∥AB，∠DCB=70°，∠CBF=20°，∠EFB=130°， （1）问直线EF与AB有怎样的位置关系？加以证明； （2）若∠CEF=70°，求∠ACB的度数． 16. 如图所示，平面直角坐标系中，的三个顶点都在网格点上，其中点A的坐标是，点B的坐标是，点C的坐标是将先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到 （1）请图中画出； （2）写出、、三点的坐标：_____，_____，_____； （3）的面积是多少？ 17. 已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分． （1）求a，b，c的值； （2）求的平方根． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 为配合今年的“文明养犬”宣传活动，淘气和同学们在学校所在社区开展了支持的文明养犬方式”为主题的问卷调查活动，征求市民的意见，并将调查结果分析当绘制成了如下统计图． （1）淘气和同学们一共随机调查了（ ）人． （2）请你把扇形统计图、条形统计图都补充完整． （3）若该社区共有2000位居民，请你估计支持“定期注射疫苗”方式的居民约有多少． 19. 已知不等式组 （1）若该不等式组的解集为，求 a的值； （2）若该不等式组无解，求 a的取值范围． 20. 如图，点在线段上，点，在线段上，，． （1）求证：； （2）若于点，平分，，求的度数． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 为了加强对校内外安全监控，创建平安校园，某学校计划增加15台监控摄像设备，现有甲、乙两种型号设备，其中每台价格，有效监控半径如表所示，经调查，购买1台甲型设备比购买1台乙型设备多150元，购买2台甲型设备比购买3台乙型设备少400元． 甲型 乙型 价格（元/台） a b 有效半径（米/台） 150 100 （1）求a、b的值． （2）若购买该批设备的资金不超过11000元，且两种型号的设备均要至少买一台，学校有哪几种购买方案？ （3）在（2）问的条件下，若要求监控半径覆盖范围不低于1600米，为了节约资金，请你设计一种最省钱的购买方案． 22. 阅读材料并回答下列问题： 当都是实数，且满足，就称点为“可爱点”．例如：点，令得，，所以不是“可爱点”；，令得，，所以是“可爱点”． （1）请判断点是否为“可爱点”：______（填“是”或“否”） （2）若以关于的方程组的解为坐标的点是“可爱点”，求的值； （3）若以关于的方程组的解为坐标的点是“可爱点”，求正整数的值． 六、解答题（本大题共12分） 23. 中，三个内角的平分线交于点O，过点O作，交边BC于点D． （1）如图1，求的度数； （2）如图2，作外角的平分线交CO的延长线于点F． ①求证： BF//OD； ②若，求的度数； ③若，将绕点O顺时针旋转一定角度后得，所在直线与FC平行，请直接写出所有符合条件的旋转角度的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $