精品解析：安徽省安庆市2024-2025学年七年级下学期6月期末数学试题

2023-2024学年度第二学期期末综合素质调研 七年级数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（每题只有一个正确选项，每题4分，共40分） 1. 下列实数中，无理数是（ ）． A. B. C. 3.1415926 D. 2. 下列运算正确的（ ） A. B. C. D. 3. 冠状病毒，其直径为750纳米至1000纳米，750纳米即0.0000075米，数据0.0000075用科学记数法表示正确的是（ ）． A. B. C. D. 4. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列从左到右变形正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图表示的是关于x的不等式2x﹣a<﹣1的解集，则a的取值是（　　） A. a≤﹣1 B. a≤﹣2 C. a＝﹣1 D. a＝﹣2 7. 下列作图能表示点B到的距离的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，，将一副直角三角板作如下摆放，，．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 已知实数a，b，c满足，则下列结论中错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 如图，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，x，y表示四个相同长方形的两边长．则①；②；③；④中，正确的是（　　） A. ①③④ B. ②④ C. ①③ D. ①②③④ 二、填空题（每题5分，共20分） 11. 当______时，分式没有意义． 12. 因式分解：______． 13. 如图，将直角三角形沿着点B到C的方向平移到三角形的位置，此时，，阴影部分的面积为，则平移的距离为______． 14. 已知关于，的方程组，其中． （1）当_____时，，的值互为相反数； （2）若，则的取值范围是______． 三、（本大题共两小题，每题8分，共16分） 15. ． 16. 解不等式组：并把其解集表示在数轴上． 四、（本大题共两小题，每题8分，共16分） 17. 先化简，再求值．，其中． 18. 老师所留的作业中有这样一个分式的计算题：，甲、乙两位同学完成的过程分别如下： 甲同学 乙同学 第一步 第二步 第三步 第一步 第二步 第三步 （1）老师发现这两位同学的解答都有错误，其中甲同学的解答从第______步开始出现错误，乙同学的解答从第_____步开始出现错误； （2）请重新写出此题的正确解答过程． 五、（本大题共两小题，每题10分，共20分） 19. 观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第个等式：__________． （2）写出你猜想的第个等式：__________（用含的等式表示），并证明． 20. 正方形网格中的每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫作格点，三角形的三个顶点都在格点上，各顶点的位置如图所示． （1）将三角形平移，使点A平移到点D、点E、F分别是B、C的对应点，画出平移后的三角形； （2）过点A画的平行线，并标出平行线所过格点Q； （3）连接、，则与间的关系是______． 六、（本大题12分） 21. 为落实“数字中国”的建设工作，市政府计划对全市中小学多媒体教室进行安装改造，现安排两个安装公司共同完成．已知甲公司安装工效是乙公司安装工效的1.5倍，乙公司安装36间教室比甲公司安装同样数量的教室多用3天． （1）求甲、乙两个公司每天各安装多少间教室？ （2）已知甲公司安装费每天1000元，乙公司安装费每天500元，现需安装教室120间，若想尽快完成安装工作且安装总费用不超过18000元，则最多安排甲公司工作多少天？ 七、（本大题12分） 22. 我们规定：a≥b时，a★b=a-b；当a< b时，a★b=a2-b2． （1）求5★3的值； （2）若m> 0，化简（m+3）★（2m+3）； （3）若x★3=7，求x的值； 八、（本大题14分） 23. 如图，已知，，垂足分别为D、F，，点Q是线段上一点（不与端点B重合），分别平分和交于点M、N． （1）请说明：； （2）当点Q在上移动时，请写出和之间满足的数量关系，并说明理由； （3）若，则当点Q移动到使得时，请直接写出______（用含的代数式表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年度第二学期期末综合素质调研 七年级数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（每题只有一个正确选项，每题4分，共40分） 1. 下列实数中，无理数是（ ）． A. B. C. 3.1415926 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据无理数的定义逐一判断即可． 【详解】解：无理数是无限不循环小数，所以 都是有理数，只有是无理数． 故选 【点睛】本题考查的是无理数的识别，掌握无理数的定义是解题的关键． 2. 下列运算正确的（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减、幂的乘方、同底数幂的乘法以及积的乘方运算．解题的关键是熟练掌握各类整式运算的法则，准确判断每个选项的运算是否正确． 根据整式加减法则判断合并同类项是否正确；依据幂的乘方法则判断指数运算是否正确；按照同底数幂乘法法则验证指数相加是否正确；根据积的乘方法则检查系数和字母的乘方是否正确． 【详解】解：A、，而非，此选项不符合题意； B、，而非，此选项不符合题意； C、，而非，此选项不符合题意； D、，此选项符合题意． 故选：D． 3. 冠状病毒，其直径为750纳米至1000纳米，750纳米即0.0000075米，数据0.0000075用科学记数法表示正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，其中为负整数，指数的绝对值由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解： 故选 【点睛】本题考查的是用科学记数法表示绝对值较小的数，掌握科学记数法是解题的关键． 4. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质判断即可． 【详解】解：A、∵a＜b， ∴a+5＜b+5，故本选项错误； B、∵a＜b， ∴﹣2a＞﹣2b，故本选项错误； C、∵a＜b， ∴a＜b，故本选项错误； D、∵a＜b， ∴7a＜7b， ∴7a﹣7b＜0，故本选项正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了对不等式性质的应用，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键． 5. 下列从左到右变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，平方根与立方根的计算等知识，这是对基础知识的考查；根据这些知识逐一分析各选项即可． 【详解】解：选项A： 分式的基本性质是分子分母同乘（除）同一个非零数，值不变；但此处分子分母同时加1，显然会改变分式的值；例如，当，时，左边为，右边为，不相等；因此，A错误； 选项B： 根据分式的基本性质，分子分母同乘非零数，分式值不变；但题目未限定，若，则右边分母为，分式无意义；因此，B的变形不严谨，错误； 选项C： 三次根号的结果是，因此左边为，右边也为，等式成立；C正确； 选项D： 平方根表示非负根，结果为，而选项写为，显然错误；D错误； 综上，正确答案为C． 故选：C． 6. 如图表示的是关于x的不等式2x﹣a<﹣1的解集，则a的取值是（　　） A. a≤﹣1 B. a≤﹣2 C. a＝﹣1 D. a＝﹣2 【答案】C 【解析】 【分析】先解不等式，再由不等式的解集得到方程可得答案． 【详解】解：， ， ， 不等式的解集是， ， ， ． 故选：． 【点睛】本题考查含参数的不等式的解法，利用不等式的解集列方程，掌握相关的知识点是解题的关键． 7. 下列作图能表示点B到的距离的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了画垂线，点到直线的距离：过直线外一点向直线作垂线，这点与垂足间线段的长度；根据此概念判断即可． 【详解】解：A、表示点B到的距离，符合题意； B、表示点A到的距离，不符合题意； C、表示不是点B到的距离，不符合题意； D、表示点C到的距离，不符合题意； 故选：A． 8. 如图，，将一副直角三角板作如下摆放，，．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由内错角相等，两直线平行可判断①，由邻补角的定义可判断②，如图，延长交于 先求解 从而可判断③④，于是可得答案. 【详解】解：由题意得： 故①符合题意； 故②符合题意； 如图，延长交于 ∴ 故③④符合题意； 综上：符合题意的有①②③④, 故选D. 【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，平行线的判定与性质，三角形外角的性质，等腰直角三角形的两个锐角都为，掌握以上基础知识是解本题的关键. 9. 已知实数a，b，c满足，则下列结论中错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的加减运算，完全平方公式的变形计算，平方根的定义，灵活利用题目中的已知条件，选择正确的方法解决问题．根据已知条件，逐一分析各选项的正确性． 【详解】解：选项A：若，则； 由得，结合，仅当且时成立， 故，结论正确； 选项B：若，则； 由得，且； 由，得； 结论仅给出，未考虑负值，故结论错误，选项B错误； 选项C：若，则； 代入，得，解得，故，结论正确； 选项D：若，则； ，结论正确； 综上，选项B为错误结论． 故选：B． 10. 如图，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，x，y表示四个相同长方形的两边长．则①；②；③；④中，正确的是（　　） A. ①③④ B. ②④ C. ①③ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了整式乘法的应用，解题关键在于掌握运算法则，根据长方形的长和宽，结合图形进行判断，即可得出选项． 【详解】解：由拼图可知，，， 因此①正确； 由于， 因此③正确； 由于表示一个小长方形的面积，由拼图可知，， 因此②不正确； 由于 ， 因此④不正确； 综上所述，正确的有①③， 故选：C． 二、填空题（每题5分，共20分） 11. 当______时，分式没有意义． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式无意义的条件．根据分母等于即可求解． 【详解】解：当分式的分母为时，分式没有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，掌握提取公因式，乘法公式是关键．先提取公因式，再使用完全平方公式分解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 13. 如图，将直角三角形沿着点B到C的方向平移到三角形的位置，此时，，阴影部分的面积为，则平移的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平移的性质，由平移的性质可得，则可证明，据此根据梯形面积计算公式求出的长即可得到答案． 【详解】解：由平移的性质可得， ∴， ∴， ∵阴影部分的面积为， ∴， ∴， ∴， ∴平移的距离为， 故答案为：． 14. 已知关于，的方程组，其中． （1）当_____时，，的值互为相反数； （2）若，则的取值范围是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组和一元一次不等式组，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 将两方程相加可得，再结合可得关于的方程，解之即可； 由题意知，求得，再根据，知，解之即可得出答案． 【详解】解：（1）， 得：， ， 、的值互为相反数， ， ； 故答案为：; （2）由题意得， 解得：， ，， ， 解得：． 故答案为：． 三、（本大题共两小题，每题8分，共16分） 15. ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查乘方，零指数幂，立方根，负整数指数幂等知识点．根据乘方，零指数幂，立方根，负整数指数幂运算法则计算即可． 【详解】解： ． 16. 解不等式组：并把其解集表示在数轴上． 【答案】3＜x≤5， 在数轴上表示不等式组的解集，如图． 【解析】 【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可． 【详解】解不等式，得 ， 解不等式，得 ， ∴解集为：3＜x≤5, 【点睛】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键． 四、（本大题共两小题，每题8分，共16分） 17. 先化简，再求值．，其中． 【答案】，27 【解析】 【分析】先计算整式的乘法，再合并同类项，代入求值即可． 【详解】解：原式， 当时，原式 【点睛】本题考查的是整式的化简求值，掌握整式的混合运算是解题关键． 18. 老师所留的作业中有这样一个分式的计算题：，甲、乙两位同学完成的过程分别如下： 甲同学 乙同学 第一步 第二步 第三步 第一步 第二步 第三步 （1）老师发现这两位同学的解答都有错误，其中甲同学的解答从第______步开始出现错误，乙同学的解答从第_____步开始出现错误； （2）请重新写出此题的正确解答过程． 【答案】（1）二，二 （2） 解： ． 【解析】 【分析】本题主要考查分式的混合运算： （1）认真观察每个同学的做法，找出错误的步骤即可； （2）修改做错误的步骤，再进行解答即可． 【小问1详解】 解：经过观察，甲同学的解答从第一步开始出现错误；乙同学的解答从第二步开始出现错误； 故答案为：一；二； 【小问2详解】 略 五、（本大题共两小题，每题10分，共20分） 19. 观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第个等式：__________． （2）写出你猜想的第个等式：__________（用含的等式表示），并证明． 【答案】（1） （2）， 证明如下： ∵左边 右边， ∴等式成立， 故答案为：． 【解析】 【分析】（1）根据前个等式的规律求解此题； （2）根据前个等式归纳出此题规律进行求解． 【小问1详解】 解：∵第个等式：， 第个等式：， 第个等式：， 第个等式：， ∴第个等式：， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查算式规律的归纳能力，分式的化简求值，解题的关键是能准确理解题意，并通过观察、计算、归纳进行求解． 20. 正方形网格中的每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫作格点，三角形的三个顶点都在格点上，各顶点的位置如图所示． （1）将三角形平移，使点A平移到点D、点E、F分别是B、C的对应点，画出平移后的三角形； （2）过点A画的平行线，并标出平行线所过格点Q； （3）连接、，则与间的关系是______． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2） 如图所示，直线与点Q即为所求； （3）平行且相等 【解析】 【分析】本题考查作图平移变换，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键． （1）将三个顶点向右平移6个单位长度，再向下平移2个单位长度得到其对应点，再首尾顺次连接即可； （2）利用平移的性质求解即可； （3）根据平移的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵将平移到， ∴，， ∴与之间的关系是平行且相等． 故答案为：平行且相等． 六、（本大题12分） 21. 为落实“数字中国”的建设工作，市政府计划对全市中小学多媒体教室进行安装改造，现安排两个安装公司共同完成．已知甲公司安装工效是乙公司安装工效的1.5倍，乙公司安装36间教室比甲公司安装同样数量的教室多用3天． （1）求甲、乙两个公司每天各安装多少间教室？ （2）已知甲公司安装费每天1000元，乙公司安装费每天500元，现需安装教室120间，若想尽快完成安装工作且安装总费用不超过18000元，则最多安排甲公司工作多少天？ 【答案】（1）甲公司每天安装6间教室，乙公司每天安装4间教室；（2）12天 【解析】 【分析】（1）设乙公司每天安装间教室，则甲公司每天安装间教室，根据题意列出分式方程，故可求解； （2）设安排甲公司工作y天，则乙公司工作天，根据题意列出不等式，故可求解． 【详解】解：（1）设乙公司每天安装间教室，则甲公司每天安装间教室， 根据题意，得 解这个方程，得． 经检验，是所列方程的根． （间）， 所以，甲公司每天安装6间教室，乙公司每天安装4间教室． （2）设安排甲公司工作y天，则乙公司工作天，根据题意，得 解这个不等式，得． 所以，最多安排甲公司工作12天． 【点睛】此题主要考查分式方程与不等式的实际应用，解题的关键是根据题意找到数量关系列式求解． 七、（本大题12分） 22. 我们规定：a≥b时，a★b=a-b；当a< b时，a★b=a2-b2． （1）求5★3的值； （2）若m> 0，化简（m+3）★（2m+3）； （3）若x★3=7，求x的值； 【答案】（1）2； （2）-3m2-6m； （3）x=10或x=-4； 【解析】 【分析】（1）根据当ab时，a★b=a-b计算； （2）用作差法比较m+3和2m+3的大小，然后再根据新定义计算； （3）分两种情况分别进行计算． 【详解】解：（1）∵53， ∴原式=5-3=2； （2）当m0时， ∵m+3-（2m+3） =m+3-2m-3 =-m0， ∴m+32m+3， ∴原式=（m+3）2-（2m+3）2 =（m+3+2m+3）[m+3-（2m+3）] =（m+3+2m+3）（-m） =（3m+6）（-m） =-3m2-6m； （3）当x3时，x-3=7， 解得：x=10； 当x3时，x2-32=7， 解得：x=±4， ∵x3， ∴x=4不符合题意， ∴x=-4； 综上所述，x=10或-4． 【点睛】本题考查了整式的加减，解方程，体现了分类讨论的数学思想，注意不要漏解． 八、（本大题14分） 23. 如图，已知，，垂足分别为D、F，，点Q是线段上一点（不与端点B重合），分别平分和交于点M、N． （1）请说明：； （2）当点Q在上移动时，请写出和之间满足的数量关系，并说明理由； （3）若，则当点Q移动到使得时，请直接写出______（用含的代数式表示）． 【答案】（1） 证明：，， ， ， ， ， ； （2）， 证明如下： ∵， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）先证明，从而可证明，根据可证明，从而证明； （2）通过角平分线和平行线的性质可证明，通过三角形的外角定理可证明； （3）通过和三角形内角和定理可证明，由（2）中可得，所以，通过角平分线的性质可得，据此求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵平分， ∴， 同理可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∵， ∴， ∵由（2）得， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查平行线的性质定理和判定定理，角平分线，三角形内角和定理，三角形外角性质，（1）熟练掌握平行线的性质定理和判定定理，能建立角与角之间的等量关系是解题关键；（2）中注意角平分线和平行线形成的三角形为等腰三角形；（3）能通过三角形的内角和定理得出是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $