精品解析：浙江省宁波市镇海蛟川书院2024-2025学年七年级下学期期中考试数学试题

蛟川书院2024学年第二学期期中测试 初一数学试卷 （满分100分，考试时间100分侧） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用幂的运算法则逐项判断即可． 详解】解：A. ，故本选项正确； B. ，故本选项错误； C ，故本选项错误； D. ，故本选项错误． 故选：A． 【点睛】本题考查幂的运算法则，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键． 2. 下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查因式分解的判断，需满足“多项式转化为整式乘积的形式”且分解结果正确，据此逐一进行判断即可. 【详解】A. 是整式乘法展开，未进行因式分解，错误； B. 右边为和的形式，未形成乘积，错误； C. ，正确提取公因式并应用平方差公式，分解正确； D. ，与原式中间项符号不符，分解错误. 综上，正确答案为C. 3. 世界上最小，最轻的昆虫是膜翅目缨小蜂科的一种卵蜂，体长仅0.00021米．0.00021米这个数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：为整数，进行表示即可． 【详解】解： 故选B． 4. 如图，下列条件中能判定的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定，能根据图形准确找出同位角、内错角和同旁内角是解决问题的关键．结合图形分析两角的位置关系，根据平行线的判定方法逐项进行判断即可得到结论． 【详解】解∶A．∵，∴，不能判断，故选项A不符合题意； B．∵，∴，不能判断，故选项B不符合题意； C．∵，∴，能判断，故选项C符合题意； D．根据无法证明两直线平行，故选项D不符合题意； 故选∶C． 5. 若，则等于（ ） A. 1 B. C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】先利用同底数幂除法逆运算法则化为除法，再利用幂的乘方逆运算变形，代入计算即可． 【详解】解：， ． 故选：C． 6. 请欣赏我国古典文学名著《西游记》描述孙悟空追妖精的数学诗：悟空顺风探妖踪，千里只行四分钟，归时四分行六百，风速多少才称雄？解释：孙悟空顺风去查妖精的行踪，4分钟就飞跃1000里，逆风返回时4分钟走了600里．若设孙悟空的速度为x里/分钟，风速为y里/分钟，则可列方程组（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，根据顺风去查妖精的行踪，4分钟就飞跃1000里，逆风返回时4分钟走了600里，列出方程组即可． 【详解】解：设孙悟空的速度为x里/分钟，风速为y里/分钟， 则可列方程组为：； 故选D． 7. 已知，满足方程组则无论取何值，，恒有的关系式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组，根据题意，将两方程相加，消去即可得出结果． 【详解】解：， ，得：，即：； 故选C． 8. 已知多项式，当时，该多项式的值为，当时，该多项式的值为，若，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用，根据题意得到，，两式相减，将左边进行因式分解后得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意得：①，②， 将得：， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴ 解得：； 故选D． 9. 如图，有型，型，型三种不同的纸板．其中型是边长为的正方形，共有1块；型为边长为2的正方形，共有2块；型是长为，宽为2的长方形，共有4块．现用这7块纸板去拼出一个大的长方形（不重叠，不留空隙），则下列操作可行的是（ ） A. 用全部7块纸板 B. 加上3块型纸板 C. 拿掉2块型纸板 D. 加上1块型纸板 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用，根据各选项，列出代数式，进行因式分解即可． 【详解】解：A、用全部7块纸板，总面积为：不能拼出一个大的长方形； B、加上3块型纸板，总面积为：不能拼出一个大的长方形； C、拿掉2块型纸板，总面积为：不能拼出一个大的长方形； D、加上1块型纸板，总面积为：，即可以拼出一个长为，宽为的大长方形； 故选D． 10. 求和符号“”（其中，且和表示正整数），这个符号我们进行如下定义：表示从开始取数一直取到，全部加起来．如：当时，．若则的值为（ ） A. －4 B. 4 C. －5 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查多项式乘多项式和整式加减，恒等式的问题．先根据中二次项系数为4，得出，然后列出代数式，进行化简，得出，即可求出结果．掌握求和符号的定义，是解题的关键． 【详解】解： ∵中二次项系数为4， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴，， ∴． 故选：C 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 因式分解：________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，先提公因式，再利用平方差公式法进行因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 已知方程，请用含有的代数式表示，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程．先移项，再把y的系数化为1，即可求解． 【详解】解：， 移项得：， ∴． 故答案为：． 13. 已知，，则等于______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式因式分解和代数式的值，掌握平方差公式因式分解方法，整体代入求代数式的值．第一个等式左边利用平方差公式因式分解，将代入计算即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， 又， ∴， 故答案为：5． 14. 如图，沿所在直线向右平移得到，已知，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平移的性质，根据平移得出，根据，，求出结果即可． 【详解】解：根据平移可知：， ∵，， ∴． 故答案为：3． 15. 计算的结果为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方逆运算法则，根据积的乘方逆运算法则将原式变形为计算即可解答． 【详解】解：， 故答案为：． 16. 若，则A代表的整式是 __________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是多项式除以单项式，多项式除以单项式的运算法则的实质是把多项式除以单项式的运算转化为单项式的除法运算．根据多项式除以单项式的运算法则计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 17. 已知关于、的方程组的解为，则关于、的方程组的解为________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组解．根据题意先求出，代入方程组中，令，则则，解方程组从而求出的值． 【详解】解：已知方程组 的解为， 则，解得， ，解得， 方程组中，令，则， 代入 ，，则， 解得：， 由，得， ， 故答案为：． 18. 已知、是自然数，且，，则________ 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，代数式求值，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键．先根据完全平方公式变形，再结合x， y是自然数讨论即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵x， y是自然数， ∴当时，，，符合题意； 当时，，，符合题意； 综上，或， ∴或， 故答案为：或． 三、解答题（本题共6小题，共46分） 19. 解方程组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，熟练掌握求解方法是解题关键． （1）方程组后利用代入消元法求解即可； （2）利用加减消元法求解即可． 【小问1详解】 解：方程组整理得， 将代入得：，即， 把代入得：， 则方程组的解为； 【小问2详解】 解： 得：，解得：， 把代入②得：，解得：， ∴原方程组的解是． 20. 先化简，再求值：，其中 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式化简求值．先根据完全平方公式和平方差公式的运算法则化简，再将代入计算即可． 【详解】解：原式 ； 当时， 原式． 21. 随着近年来油价的波动调整，市场对新能源汽车的关注度也随之上涨，低碳绿色出行方式受到肯定，加之各地市对新能源汽车上牌等方面的支持，今年以来新能源汽车的月销量同比均呈现上升趋势．某汽车销售公司为提升业绩，计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解，2辆A型汽车，3辆B型汽车的进价共计95万元；3辆A型汽车，2辆B型汽车的进价共计105万元． （1）求A，B两种型号汽车每辆的进价分别为多少万元？ （2）若该公司计划正好用250万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均有购买），请你写出所有购买方案． 【答案】（1）A型汽车每辆的进价为25万元，B型汽车每辆的进价为15万元 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系是解题的关键． （1）设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元，列出二元一次方程组即可计算出答案； （2）设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆，列出二元一次方程，求出正整数解即可得到答案． 【小问1详解】 解：设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元， 依题意，得， 解得． 答：A型汽车每辆的进价为25万元，B型汽车每辆的进价为15万元； 【小问2详解】 解：设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆， 依题意，得：，解得． m，n均正整数， 或或． 共3种购买方案，方案一：购进A型汽车7辆，B型汽车5辆；方案二：购进A型汽车4辆，B型汽车10辆；方案三：购进A型汽车1辆，B型汽车15辆． 22. 如图，，的三角板的直角顶点为，，平分． （1）求的度数； （2）若，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查平行线的性质，角平分线的定义，注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． （1）过作，则，根据平行线的性质推出，进而得到，求出，再根据角平分线的定义即可解答； （2）设，则，求出，，根据（1）中的结论得出，解方程即可． 【小问1详解】 解：过作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ，， ， ∵平分． ； 【小问2详解】 解：设，则， ∴，， 由（1）可知，，， ∴， ， ∵， ， 解得：， ． 23. 我们定义一个新的概念：“平衡数对”．对于给定的两个数和，当且仅当满足等式时，我们称数对为“平衡数对”．并且，若存在另一个数对，使得，，我们称数对为的“衍生数对”． （1）判断是否为“平衡数对”，并说明理由． （2）已知数对是“平衡数对”，求出该数对的“衍生数对”． （3）若数对是“平衡数对”，且其“衍生数对”满足条件：，求出和的值． 【答案】（1）不是“平衡数对”，理由见解析 （2） （3）的值为，的值为 【解析】 【分析】本题考查新定义，有理数的混合运算，解一元一次方程，二元一次方程组的应用，解答本题的关键是正确理解题意． （1）根据“平衡数对”的定义列式计算即可判断； （2）根据“平衡数对”的定义先求出的值，再根据“衍生数对”的定义即可解答； （3）根据题意得到，解方程组即可． 【小问1详解】 解：不是“平衡数对”，理由如下： ∵，且， ∴不是“平衡数对”； 【小问2详解】 解：∵数对是“平衡数对”， ∴，即， 解得：， ∵， ∴数对的“衍生数对”为； 【小问3详解】 解：∵数对是“平衡数对”， ∴，即， ∵数对的“衍生数对”是， ∴， ∵， ∴，即， 联立， 解得：， ∴的值为，的值为． 24. 如图1，直线与直线互相平行，、分别是和上的两个点，连接，在直线的右侧取一点，满足，． （1）如图1，若，则_______； （2）如图2，在直线上方平面内取一点，直线交于，满足，，求． （3）如图3，作、的平分线、交于、，作射线和交于，且使得，，当四边形的一边与平行时，求的度数． 【答案】（1） （2） （3）或或 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，平角的定义，角平分线的定义，熟练掌握以上判定和性质及分类讨论的思想是解题的关键． （1）设，则，在利用平角的定义求出，再根据平行线的性质得到，建立方程求解即可； （2）过点作，设，求出，根据已知结合平行线的性质得到，，，进而得到，即可求解； （3）分当时，当时，当时，当时，四种情况讨论即可． 【小问1详解】 解：设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得：， ∴； 小问2详解】 解：过点作， 设， ∵，，， ∴，即， ∴，即， ∵，， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：设， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵，， ∴，即， ∴； ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图，当时，则， ∴， ∴，即； 如图，当时，则， ∴； 如图，当时，则， ∵，， ∴，即， 解得：， ∴； 当时，则，即， 解得：（不符合实际，舍去）； 综上，当四边形的一边与平行时，的度数为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 蛟川书院2024学年第二学期期中测试 初一数学试卷 （满分100分，考试时间100分侧） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式从左到右变形，因式分解正确的是（ ） A. B. C D. 3. 世界上最小，最轻的昆虫是膜翅目缨小蜂科的一种卵蜂，体长仅0.00021米．0.00021米这个数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，下列条件中能判定的条件是（ ） A. B. C. D. 5. 若，则等于（ ） A 1 B. C. D. 6 6. 请欣赏我国古典文学名著《西游记》描述孙悟空追妖精的数学诗：悟空顺风探妖踪，千里只行四分钟，归时四分行六百，风速多少才称雄？解释：孙悟空顺风去查妖精的行踪，4分钟就飞跃1000里，逆风返回时4分钟走了600里．若设孙悟空的速度为x里/分钟，风速为y里/分钟，则可列方程组（ ） A. B. C. D. 7. 已知，满足方程组则无论取何值，，恒有的关系式是（ ） A. B. C. D. 8. 已知多项式，当时，该多项式的值为，当时，该多项式的值为，若，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 9. 如图，有型，型，型三种不同的纸板．其中型是边长为的正方形，共有1块；型为边长为2的正方形，共有2块；型是长为，宽为2的长方形，共有4块．现用这7块纸板去拼出一个大的长方形（不重叠，不留空隙），则下列操作可行的是（ ） A. 用全部7块纸板 B. 加上3块型纸板 C. 拿掉2块型纸板 D. 加上1块型纸板 10. 求和符号“”（其中，且和表示正整数），这个符号我们进行如下定义：表示从开始取数一直取到，全部加起来．如：当时，．若则的值为（ ） A. －4 B. 4 C. －5 D. 5 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 因式分解：________ 12. 已知方程，请用含有的代数式表示，则________． 13. 已知，，则等于______． 14. 如图，沿所在直线向右平移得到，已知，，则的长为________． 15. 计算的结果为________． 16. 若，则A代表的整式是 __________． 17. 已知关于、的方程组的解为，则关于、的方程组的解为________ 18. 已知、是自然数，且，，则________ 三、解答题（本题共6小题，共46分） 19. 解方程组： （1） （2） 20. 先化简，再求值：，其中 21. 随着近年来油价的波动调整，市场对新能源汽车的关注度也随之上涨，低碳绿色出行方式受到肯定，加之各地市对新能源汽车上牌等方面的支持，今年以来新能源汽车的月销量同比均呈现上升趋势．某汽车销售公司为提升业绩，计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解，2辆A型汽车，3辆B型汽车的进价共计95万元；3辆A型汽车，2辆B型汽车的进价共计105万元． （1）求A，B两种型号汽车每辆的进价分别为多少万元？ （2）若该公司计划正好用250万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均有购买），请你写出所有购买方案． 22. 如图，，的三角板的直角顶点为，，平分． （1）求度数； （2）若，求的度数． 23. 我们定义一个新概念：“平衡数对”．对于给定的两个数和，当且仅当满足等式时，我们称数对为“平衡数对”．并且，若存在另一个数对，使得，，我们称数对为的“衍生数对”． （1）判断是否为“平衡数对”，并说明理由． （2）已知数对是“平衡数对”，求出该数对的“衍生数对”． （3）若数对是“平衡数对”，且其“衍生数对”满足条件：，求出和的值． 24. 如图1，直线与直线互相平行，、分别是和上的两个点，连接，在直线的右侧取一点，满足，． （1）如图1，若，则_______； （2）如图2，在直线上方平面内取一点，直线交于，满足，，求． （3）如图3，作、的平分线、交于、，作射线和交于，且使得，，当四边形的一边与平行时，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$