精品解析：河南省驻马店市第二初级中学2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题

驻马店市二中2024-2025学年下学期期末质量检测 八年级数学 考试时间：100分钟；总分120分 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. 赵爽弦图 B. 笛卡尔心形线 C. 科克曲线 D. 斐波那契螺旋线 2. 如果，那么下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 3. 一次数学课堂练习，小明同学做了如下四道因式分解题．你认为小明做得不够完整的一题是( ) A. 4x2－4x＋1＝(2x－1)2 B. x3－x＝x(x2－1) C. x2y－xy2＝xy(x－y) D. x2－y2＝(x＋y)(x－y) 4. 若分式的值是负数，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著，该著作记载了“买椽多少”问题（椽—装于屋顶以支持屋顶材料的木杆）． 原文：六贯二百一十钱，倩人去买几株椽，每株脚钱三文足，无钱准与一株椽． 译文：请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文，如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？ 设这批椽有x株，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 6. 北师大版八年级下学期数学综合实践课“平面图形的镶嵌”中指出：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌，下列多边形中，不能作平面镶嵌的是（ ） A. 三角形 B. 四边形 C. 正五边形 D. 正六边形 7. 如图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形．若，，则点到的距离为（ ） A B. C. 1 D. 2 8. 如图，直线与分别交x轴于点，，则不等式解集为（ ） A. B. C. D. 或 9. 某班数学兴趣小组对不等式组讨论得到以下结论，其中正确的是（ ） ①若，则不等式组的解集为； ②若不等式组无解，则a的取值范围为； ③若，则不等式组无解； ④若不等式组只有两个整数解，则a取值范围为 A. ①②④ B. ②③④ C. ①②③ D. ①③④ 10. 在数学课上，老师提出了这样一个问题：如图，点P是正方形内一点，，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若关于的分式方程有增根，则的值为________． 12. 一个多边形的外角和等于它的内角和，则这个多边形的边数是______． 13. 如图，在平行四边形ABCD中，AD＞CD，按下列步骤作图：①分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧的交点分别为点F，G；②过点F，G作直线FG，交边AD于点E．若CDE的周长为10，则平行四边形ABCD的周长为____． 14. 如图，点D、E分别是边AB、AC上的点，已知点F、G、H分别是DE、BE、BC的中点，连接FG、GH、FH，若BD=8，CE=6，∠FGH=90°，则FH长为____． 15. 如图，长方形中，，，．点E为上的一个动点， 与关于直线对称，当为直角三角形时，的长为________． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. （1）解不等式组，请把解集表示在数轴上并求出其整数解． （2）解方程：． 17. 先化简，再求值：，其中是不等式组的整数解． 18. 如图，已知点，，． （1）将绕点逆时针旋转得，画出，并写出点的对应点的坐标为　　． （2）画出关于原点成中心对称的图形；并写出点的对应点的坐标为　　． （3）在平面直角坐标系内找点，使得、、、为顶点的四边形为平行四边形，则点的坐标为　　． 19. 已知等腰的三边a、b、c为整数，且满足，求的周长． 20. Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转一定角度得到△DEC，点D恰好在AB上． （1）若AC＝4，求DE的值； （2）确定△ACD的形状，并说明理由． 21. 如图，△ABC中，D是AB边上任意一点，F是AC中点，过点C作CEAB交DF的延长线于点E，连接AE，CD． （1）求证：四边形ADCE是平行四边形； （2）若∠B＝30°，∠CAB＝45°， ，求AB的长． 22. 在2023年春季环境整治活动中，某社区计划对面积为的区域进行绿化．经投标，由甲、乙两个工程队来完成，若甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，并且在独立完成面积为区域的绿化时，甲队比乙队少用5天． （1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积； （2）设甲工程队施工x天，乙工程队施工y天，刚好完成绿化任务，求y关于x的函数关系式； （3）在（2）的条件下，若甲队每天绿化费用是万元，乙队每天绿化费用为万元，且甲乙两队施工的总天数不超过25天，则如何安排甲乙两队施工的天数，使施工总费用最低？并求出最低费用． 23. 解答下列各题： （1）【阅读理解】我们把有一组邻边相等的凸四边形，叫作“等邻边四边形”．正方形是一个特殊的“等邻边四边形”如图1，点E，F分别在正方形的边上，，我们把绕点A逆时针旋转至，再通过证明与全等，从而发现之间的数量关系是_____（直接写出答案） （2）【探究引申】如图2，在等邻边四边形中，，，．点E，F分别在边上，则当与满足怎样的数量关系时，上面中的结论仍成立？请说明理由． （3）【问题解决】如图3，在等邻边四边形中，已知米，，，，在上分别取点E，F，且，米．求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 驻马店市二中2024-2025学年下学期期末质量检测 八年级数学 考试时间：100分钟；总分120分 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. 赵爽弦图 B. 笛卡尔心形线 C. 科克曲线 D. 斐波那契螺旋线 【答案】C 【解析】 【分析】根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； C．是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确； D．不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； 故选C． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 2. 如果，那么下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质即可求出答案． 【详解】解：A、， ，正确，不符合题意； B、， ∴，正确，不符合题意； C、， ，正确，不符合题意； D、， ，错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查不等式的性质，解题的关键是熟练运用不等式的性质，本题属于基础题型． 3. 一次数学课堂练习，小明同学做了如下四道因式分解题．你认为小明做得不够完整的一题是( ) A. 4x2－4x＋1＝(2x－1)2 B. x3－x＝x(x2－1) C. x2y－xy2＝xy(x－y) D. x2－y2＝(x＋y)(x－y) 【答案】B 【解析】 【分析】根据因式分解的概念，对选项逐个判断即可． 【详解】A、4x2－4x＋1＝(2x－1)2，因式分解正确，不符合题意； B选项中，(x2－1)仍能继续运用平方差公式，最后结果应为x（x+1）（x-1），符合题意； C、x2y－xy2＝xy(x－y)，因式分解正确，不符合题意； D、x2－y2＝(x＋y)(x－y)，因式分解正确，不符合题意； 故选B． 【点睛】此题考查了因式分解的有关运算，涉及了完全平方公式和平方差公式，解题的关键是熟练掌握相关基础知识． 4. 若分式的值是负数，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式的分母的最小值为1，值为负数，即为分子为负数，列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到x的范围． 【详解】解：∵＜0， ∴ 解得：． 故选B. 【点睛】此题考查了分式的值，涉及的知识有：非负数的性质，以及解一元一次不等式，列出关于x的不等式是解本题的关键． 5. 《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著，该著作记载了“买椽多少”问题（椽—装于屋顶以支持屋顶材料的木杆）． 原文：六贯二百一十钱，倩人去买几株椽，每株脚钱三文足，无钱准与一株椽． 译文：请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文，如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？ 设这批椽有x株，则符合题意的方程是（ ） A. B. C D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意，由等量关系列出方程是关键；根据题意，少拿一株椽后，剩下的运费等于一株椽的价钱；设总株数为x，则每株椽的价钱为文，剩下的株的运费为文；根据等量关系列方程即可． 【详解】解：设这批椽有株，则每株椽的价钱为文，若少拿一株，剩下的株的运费为文； 根据题意，得：； 故选：D． 6. 北师大版八年级下学期数学综合实践课“平面图形的镶嵌”中指出：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌，下列多边形中，不能作平面镶嵌的是（ ） A. 三角形 B. 四边形 C. 正五边形 D. 正六边形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平面图形镶嵌，平面图形镶嵌的条件是围绕一点的各多边形内角之和为360°；判断各选项能否镶嵌，需计算其内角是否能整除360°． 【详解】解：三角形（选项A）：任意三角形内角和为180°，可通过两两拼接成平行四边形，平移铺满平面；若为正三角形，内角60°，，可围成一点，能镶嵌； 四边形（选项B）：任意四边形内角和为360°，通过旋转、平移可调整角度铺满平面；例如，四个四边形可绕一点拼接； 正五边形（选项C）：内角为，，非整数，无法整除，故正五边形不能单独镶嵌； 正六边形（选项D）：内角为，，三个正六边形可围成一点，能镶嵌； 故选C． 7. 如图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形．若，，则点到的距离为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意求得，进而求得，进而等面积法即可求解． 【详解】解：在中， ，， ， ， 设到的距离为， ， ， 故选B． 【点睛】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键． 8. 如图，直线与分别交x轴于点，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】把，转化为不等式组①或②，然后看两个函数的图象即可得到结论. 【详解】∵ ∴①或② ∵直线与分别交x轴于点， 观察图象可知①的解集为：，②的解集为： ∴不等式的解集为或. 故选D. 【点睛】本题主要考查一次函数和一元一次不等式，学会根据图形判断函数值的正负是关键. 9. 某班数学兴趣小组对不等式组讨论得到以下结论，其中正确的是（ ） ①若，则不等式组的解集为； ②若不等式组无解，则a的取值范围为； ③若，则不等式组无解； ④若不等式组只有两个整数解，则a的取值范围为 A. ①②④ B. ②③④ C. ①②③ D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式解集的确定原则依次判断即可：根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”． 【详解】解：①若，则不等式组的解集为，原结论正确，符合题意； ②若不等式组无解，则a的取值范围为，原结论错误，不符合题意； ③若，则不等式组无解，原结论正确，符合题意； ④若不等式组只有两个整数解，则a的取值范围为，原结论正确，符合题意． ∴①③④正确， 故选：D． 【点睛】本题主要考查确定不等式组的解集和根据不等式组的解集情况求参数，理解确定不等式组解集的方法是解题关键． 10. 在数学课上，老师提出了这样一个问题：如图，点P是正方形内一点，，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理即逆定理． 利用旋转法构造全等三角形，根据勾股定理得到，证明，即可解决问题． 【详解】解：将绕点B逆时针旋转，得到，连接， 则，，，， ， 根据勾股定理得，， ， ， 又， ， 是直角三角形，且， ． 故选：A． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若关于的分式方程有增根，则的值为________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查分式方程的增根，理解“分式方程的增根是去分母后所化为整式方程的根”是解决问题的关键，分式方程有增根与分式方程无解意义不同．先解方程，再根据方程的增根为，可求出k值． 【详解】解：关于的分式方程， 去分母得，， 关于的分式方程的增根是， ， 故答案为：3． 12. 一个多边形的外角和等于它的内角和，则这个多边形的边数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和外角，正确记忆多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是是解题关键．根据多边形的内角和公式与外角和定理列出方程，然后求解即可． 【详解】解：设这个多边形是n边形， 根据题意得， 解得， 故答案为：4． 13. 如图，在平行四边形ABCD中，AD＞CD，按下列步骤作图：①分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧的交点分别为点F，G；②过点F，G作直线FG，交边AD于点E．若CDE的周长为10，则平行四边形ABCD的周长为____． 【答案】20 【解析】 【分析】利用线段的垂直平分线的性质求出DA+DC=10，即可求解． 【详解】解：∵FG垂直平分线段AC， ∴EA=EC， ∵△ECD的周长=EC+ED+CD=EA+ED+CD=AD+CD=10， ∴平行四边形的周长=2（AD+CD）=20， 故答案为：20． 【点睛】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 14. 如图，点D、E分别是边AB、AC上的点，已知点F、G、H分别是DE、BE、BC的中点，连接FG、GH、FH，若BD=8，CE=6，∠FGH=90°，则FH长为____． 【答案】5 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理分别求出、的长度，根据勾股定理计算，即可得到答案． 【详解】F，G分别是，的中点， ∴， ∵，分别是BE，BC的中点， ∴， ∵∠FGH=90°， ∴由勾股定理得， ， 故答案为：5． 【点睛】本题考查的是勾股定理、三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 15. 如图，长方形中，，，．点E为上的一个动点， 与关于直线对称，当为直角三角形时，的长为________． 【答案】9或18 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，勾股定理，轴对称图形的性质，分当时，当时，两种情况画出对应的图形，利用轴对称图形的性质和矩形的性质进行讨论求解即可得到答案． 【详解】解：如图所示，当时， ∵与关于直线对称， ∴， ∴， ∴三点共线， 在中，由勾股定理得， ∴， 设，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴； 如图所示，当时， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴； 综上所述，的长为9或18， 故答案为：9或18． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. （1）解不等式组，请把解集表示在数轴上并求出其整数解． （2）解方程：． 【答案】（1），见解析；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，解分式方程，熟知解不等式组和解分式方程的方法是解题的关键。 （1）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集即可； （2）先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案。 【详解】解：（1） 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组解集为， 数轴表示如下所示： （2） 去分母得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验，当时，， ∴是原方程的解。 17. 先化简，再求值：，其中是不等式组的整数解． 【答案】 【解析】 【分析】首先将分式进行化简，再根据不等式组求解x的整数值，在代入到化简的分式中计算即可. 【详解】解：原式 ， 解不等式组，得， 则不等式组的整数解为1、2， 又且， ∴， ∴原式． 【点睛】本题主要考查分式的化简，关键在于分式有意义的前提条件在于分母不能为0. 18. 如图，已知点，，． （1）将绕点逆时针旋转得，画出，并写出点的对应点的坐标为　　． （2）画出关于原点成中心对称的图形；并写出点的对应点的坐标为　　． （3）在平面直角坐标系内找点，使得、、、为顶点的四边形为平行四边形，则点的坐标为　　． 【答案】（1）图见解析， （2）图见解析， （3）或或 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质分别画出点，再顺次连接即可得，根据点的位置写出坐标即可得； （2）根据中心对称的定义分别画出点，再顺次连接即可得，根据点的位置写出坐标即可得； （3）分①组成的平行四边形是，②组成的平行四边形是，③组成的平行四边形是三种情况，分别根据平行四边形的性质求解即可得． 【小问1详解】 解：如图，即为所求， 则点的坐标为， 故答案为：． 【小问2详解】 解：如图，即为所求， 则点的坐标为， 故答案为：． 【小问3详解】 解：①如图，组成的平行四边形是， ，， 将点先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度可得到点， 将点先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度可得到点， ， ，即为； ②如图，组成的平行四边形是， 同理可得：； ③如图，组成的平行四边形是， 同理可得：； 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了旋转画图、画中心对称图形、平行四边形、点坐标的平移变换，熟练掌握旋转和中心对称图形的画法是解题关键． 19. 已知等腰三边a、b、c为整数，且满足，求的周长． 【答案】7或8 【解析】 【分析】此题考查因式分解的实际运用．根据已知可求出，的值，再根据等腰三角形的定义和三角形三边的关系，再求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ，， 当腰为2时，2，2，3能构成三角形，等腰三角形的周长为， 当腰为3时，2，3，3能构成三角形，等腰三角形的周长为， 故的周长为7或8． 20. 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转一定角度得到△DEC，点D恰好在AB上． （1）若AC＝4，求DE的值； （2）确定△ACD的形状，并说明理由． 【答案】（1）8；（2）等边三角形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形的性质和旋转的性质即可得到结论； （2）根据三角形的内角和得到∠A=60°，根据旋转的性质得到AC=CD，于是得到结论． 【详解】解：（1）∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=4， ∴AB=2AC=8， ∵将△ABC绕点C顺时针旋转一定角度得到△DEC， ∴DE=AB=8； （2）△ACD等边三角形， 理由：∵∠ACB=90°，∠ABC=30°， ∴∠A=60°， ∵将△ABC绕点C顺时针旋转一定角度得到△DEC， ∴AC=CD， ∴△ACD是等边三角形． 【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定，正确的识别图形是解题的关键． 21. 如图，△ABC中，D是AB边上任意一点，F是AC中点，过点C作CEAB交DF的延长线于点E，连接AE，CD． （1）求证：四边形ADCE是平行四边形； （2）若∠B＝30°，∠CAB＝45°， ，求AB的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质得到∠CAD＝∠ACE，∠ADE＝∠CED．根据全等三角形的性质得到AD＝CE，于是得到四边形ADCE是平行四边形； （2）过点C作CG⊥AB于点G．根据勾股定理得到CG＝AG＝，由∠B＝30°得到．在Rt△BCG中，利用勾股定理得到，即可得到结论． 【小问1详解】 证明：∵ABCE， ∴∠CAD＝∠ACE，∠ADE＝∠CED． ∵F是AC中点， ∴AF＝CF． 在△AFD与△CFE中， ， ∴△AFD≌△CFE（AAS）， ∴DF＝EF， ∴四边形ADCE是平行四边形； 【小问2详解】 解：过点C作CG⊥AB于点G， ∵∠CAB＝45°， ∴， 在△ACG中，∠AGC＝90°， ∴， ∵， ∴CG＝AG＝ ， ∵∠B＝30°, ∴ , ∴ , 在Rt△BCG中， ， ∴ ． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键． 22. 在2023年春季环境整治活动中，某社区计划对面积为的区域进行绿化．经投标，由甲、乙两个工程队来完成，若甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，并且在独立完成面积为区域的绿化时，甲队比乙队少用5天． （1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积； （2）设甲工程队施工x天，乙工程队施工y天，刚好完成绿化任务，求y关于x的函数关系式； （3）在（2）的条件下，若甲队每天绿化费用是万元，乙队每天绿化费用为万元，且甲乙两队施工的总天数不超过25天，则如何安排甲乙两队施工的天数，使施工总费用最低？并求出最低费用． 【答案】（1）甲、乙两工程队每天能完成绿化面积分别为和 （2） （3）甲工程队施工15天，乙工程队施工10天，则施工总费用最低，最低费用为万元 【解析】 【分析】（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是，根据在独立完成面积为区域的绿化时，甲队比乙队少用5天，列方程求解； （2）根据题意得到，整理得，即可解答； （3）根据甲乙两队施工的总天数不超过25天，得到，设施工总费用为W元，根据题意得：，根据一次函数的性质，即可解答． 【小问1详解】 解：设乙工程队每天能完成绿化的面积为， 则甲工程队每天能完成绿化面积为． 依题意得：， 解得， 经检验：是原方程的根． ∴． 答：甲、乙两工程队每天能完成绿化面积分别为和； 【小问2详解】 解：由（1）得：， ∴； 【小问3详解】 解：由题意可知：， 即， 解得， ∴总费用， ∵，∴W值随x值的增大而增大． ∴当天时，， ∴， 答：甲工程队施工15天，乙工程队施工10天，则施工总费用最低，最低费用为万元． 【点睛】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程和不等式求解． 23. 解答下列各题： （1）【阅读理解】我们把有一组邻边相等的凸四边形，叫作“等邻边四边形”．正方形是一个特殊的“等邻边四边形”如图1，点E，F分别在正方形的边上，，我们把绕点A逆时针旋转至，再通过证明与全等，从而发现之间的数量关系是_____（直接写出答案） （2）【探究引申】如图2，在等邻边四边形中，，，．点E，F分别在边上，则当与满足怎样的数量关系时，上面中的结论仍成立？请说明理由． （3）【问题解决】如图3，在等邻边四边形中，已知米，，，，在上分别取点E，F，且，米．求线段的长． 【答案】（1） （2）当时，结论仍成立， 见解析 （3）线段的长为米 【解析】 【分析】（1）根据全等三角形的性质以及线段之间的和差关系即可得出结果； （2）延长至M，使，连接，证明，进而得到，推出，证明，根据线段之间的和差关系即可得出结果； （3）把绕点A逆时针旋转至，连接，过A作，垂足为H，易得是等边三角形，得到，旋转得到，推出，，，进而推出，利用结论进行求解即可． 【小问1详解】 解：，理由是： 如图，， ，，． 又，即， ． ， ，D，G三点共线， 在和中， ， ． ， 又， ， ． 故答案为． 【小问2详解】 当时，结论仍成立， 理由如下：如图，延长至M，使，连接， ，， ， 在和中，， ， ，． ， ， ， 在和中， ， ， ，即． 【小问3详解】 如图，把绕点A逆时针旋转至，连接，过A作，垂足为H， ，， ． 又， 是等边三角形， ． 根据旋转的性质得到． 又， ， 即点G在CD的延长线上． 由旋转得， ，，． 又，， ∴， ∴， ， ∴， 又， 根据上述推论有， 即线段的长为米； 【点睛】本题考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握新定义，利用旋转构造全等三角形和特殊三角形，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $