精品解析：天津市河西区2024-2025学年高一下学期期末质量检查数学试卷

河西区2024—2025学年度第二学期高一年级期末质量调查 数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至7页. 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2．本卷共9小题，每小题4分，共36分. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列调查方式合适的是（ ） A. 要了解一批节能灯泡的使用寿命，采用全面调查的方式 B. 要调查某个班级同学的身高，采用抽样调查的方式 C. 调查海河某段水域的水质情况，采用抽样调查的方式 D. 调查全市高中生每天的睡眠时间，采用全面调查的方式 2. 如图所示，在三棱台中，截去三棱锥，则剩余部分是（ ） A. 四棱柱 B. 四棱锥 C. 三棱柱 D. 三棱锥 3. 一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的8个红球，4个白球，若干个黑球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到黑球的频率稳定在0.4，则袋中约有黑球（ ） A. 6个 B. 7个 C. 8个 D. 9个 4. 已知长方体长、宽、高分别为3，2，1，且长方体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知一组数据为92，93，90，87，91，89，90，94，则这组数据的（ ） A. 极差为6 B. 中位数为90 C. 第分位数为92 D. 平均数为90.25 6. 设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列命题： ①当时，若，则； ②当，时，若，则； ③当，时，，则m，n是异面直线； ④当，时，若，则 其中正确命题个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 甲、乙、丙三人参加县里的英文演讲比赛，若甲、乙、丙三人能荣获一等奖的概率分别为且三人是否获得一等奖相互独立，则这三人中至少有两人获得一等奖的概率为（    ） A. B. C. D. 8. 圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为4．已知P为该圆台某条母线的中点，若一质点从点P出发，绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点P，则该质点运动的最短路径长为（ ） A. B. 6 C. D. 9. 在各棱长均为1正三棱柱中，、分别为、的中点，过、、三点的截面将三棱柱分成上下两部分，记体积较小部分的体积为，另一部分的体积为，则的值为（ ） A B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，多空题只答对一空得3分，共30分. 10. 某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为______. 11. 已知事件、互斥，，且，则_______. 12. 将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的外接球体积为________. 13. 棱长为2的正四面体的表面积是__________；体积是__________． 14. 从1，2，3，4，5中任取3个不同数字，这3个数字之和是偶数的概率为_______. 15. 如图，在正方体中，E、F分别为BC，的中点，则直线与EF所成角的大小为________；直线CD与平面DEF所成角的正弦值为________. 三、解答题：本大题共3小题，共34分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 某校高一举行了一次数学竞赛，为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100）作为样本（样本容量n）进行统计，按照、、、、的分组作出频率分布直方图，已知得分在、的频数分别为8、2． （1）求样本容量n和频率分布直方图中x、y的值； （2）估计本次竞赛学生成绩的中位数和平均数. 17. 11分制乒乓球比赛规则如下：在每一局比赛中，每两球交换发球权，每胜一球得1分，先得11分且至少领先2分者获胜，该局比赛结束；当某局比分打成后，每一球交换发球权，领先2分者获胜，该局比赛结束.现有甲、乙两人进行一局11分制的乒乓球比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的比赛结果互不影响，且本局开始由甲率先发球. （1）双方比分为，求甲以获得比赛胜利的概率； （2）双方比分为，求甲以获得比赛胜利的概率； （3）双方比分为，求再打4个球后甲获得比赛胜利的概率. 18. 如图，四边形ABCD是平行四边形，平面，，，，，，，G为BC的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求二面角的正切值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河西区2024—2025学年度第二学期高一年级期末质量调查 数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至7页. 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2．本卷共9小题，每小题4分，共36分. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列调查方式合适的是（ ） A. 要了解一批节能灯泡的使用寿命，采用全面调查的方式 B. 要调查某个班级同学的身高，采用抽样调查的方式 C. 调查海河某段水域的水质情况，采用抽样调查的方式 D. 调查全市高中生每天的睡眠时间，采用全面调查的方式 【答案】C 【解析】 【分析】根据全面调查与抽样调查的定义逐项判断即可. 【详解】对于A，了解一批节能灯的使用寿命，调查过程带有破坏性，只能采取抽样调查， 而不能将整批节能灯全部用于实验，故A错误； 对于B，要调查某个班级同学的身高，采用全面调查的方式，故B错误； 对于C，调查海河某段水域的水质情况，采用抽样调查的方式，故C正确； 对于D，调查全市高中生每天的睡眠时间，采用抽样调查的方式，故D错误. 故选：C. 2. 如图所示，在三棱台中，截去三棱锥，则剩余部分是（ ） A. 四棱柱 B. 四棱锥 C. 三棱柱 D. 三棱锥 【答案】B 【解析】 【分析】根据多面体性质即可得出结论. 【详解】易知三棱台截去三棱锥， 剩余部分为以为顶点，以四边形为底面的四棱锥. 故选：B 3. 一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的8个红球，4个白球，若干个黑球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到黑球的频率稳定在0.4，则袋中约有黑球（ ） A. 6个 B. 7个 C. 8个 D. 9个 【答案】C 【解析】 【分析】利用频率估计概率，可知随机摸出一个球摸到黑球概率约为0.4，进而分析求解. 【详解】设袋中黑球有个， 利用频率估计概率，可知随机摸出一个球摸到黑球的概率约为0.4， 由题意可得：，解得， 所以袋中约有黑球8个. 故选：C. 4. 已知长方体的长、宽、高分别为3，2，1，且长方体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出长方体的体对角线长即为外接球的直径，再由球的表面积公式计算可得 【详解】因为长方体的长、宽、高分别为3，2，1， 则长方体的体对角线长为， 又长方体外接球的直径即为长方体的体对角线，设外接球的半径为， 则，所以 所以外接球的表面积. 故选：A. 5. 已知一组数据为92，93，90，87，91，89，90，94，则这组数据的（ ） A. 极差为6 B. 中位数为90 C. 第分位数为92 D. 平均数为90.25 【答案】C 【解析】 【分析】将数据按升序排列，根据极差、中位数、百分位数以及平均数的定义运算求解. 【详解】将数据按升序排列可得：87，89，90，90，91，92，93 ，94， 对于选项A：极差为，故A错误； 对于选项B：中位数为，故B错误； 对于选项C：因为， 所以第分位数为第6位数92，故C正确； 对于选项D：平均数，故D错误. 故选：C. 6. 设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列命题： ①当时，若，则； ②当，时，若，则； ③当，时，，则m，n是异面直线； ④当，时，若，则 其中正确命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据线面平行和垂直关系逐项分析判断即可得解. 【详解】对于①，互相平行的两个平面，一个垂直于一个平面，则另一个也垂直于这一个平面，①正确； 对于②，由，，得，而，因此，②正确； 对于③，，，，则m，n可以是平行直线，也可以是异面直线，③错误； 对于④，由，得，又，则成立，④正确. 故选：C. 7. 甲、乙、丙三人参加县里的英文演讲比赛，若甲、乙、丙三人能荣获一等奖的概率分别为且三人是否获得一等奖相互独立，则这三人中至少有两人获得一等奖的概率为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分情况讨论：三人中恰有两人获得一等奖、三人都获得一等奖，根据独立事件的概率乘法公式求解出对应概率即可. 【详解】设甲、乙、丙获得一等奖的概率分别是 则不获一等奖的概率分别是 则这三人中恰有两人获得一等奖的概率为： 这三人都获得一等奖的概率为 所以这三人中至少有两人获得一等奖的概率 故选:D. 8. 圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为4．已知P为该圆台某条母线的中点，若一质点从点P出发，绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点P，则该质点运动的最短路径长为（ ） A. B. 6 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用侧面展开结合图形求解最短距离. 【详解】P为圆台母线AB的中点，分别为上下底面的圆心，把圆台扩成圆锥，如图所示， 则，，， 由，有，，， 圆锥底面半径，底面圆的周长为，母线长， 所以侧面展开图的扇形的圆心角为，即，如图所示， 质点从点P出发，绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点P，则运动的最短路径为展开图弦， ，，有. 故选：A 9. 在各棱长均为1的正三棱柱中，、分别为、的中点，过、、三点的截面将三棱柱分成上下两部分，记体积较小部分的体积为，另一部分的体积为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】延长与相交于点， 反向延长线交于点，连接交于点，连接，得到截面，由题意可得，由此可求出，，进而求解. 【详解】如图，延长与相交于点， 反向延长线交于点，连接交于点，连接，得到截面，由题意得， 在各棱长均为1的正三棱柱中，， 因为，，，，， 所以， 即， 所以， 所以. 故选：B. 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，多空题只答对一空得3分，共30分. 10. 某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为______. 【答案】8 【解析】 【分析】 假设共抽取人数，根据高一所占总共人数比例以及所抽出的人数，可得结果. 【详解】设样本容量为，则 高二所抽人数为. 故答案为：8 【点睛】本题主要考查分层抽样，属基础题. 11. 已知事件、互斥，，且，则_______. 【答案】##0.8 【解析】 【分析】由已知事件、互斥，且，可求， 进而根据对立事件概率公式得到答案. 【详解】解：事件、互斥，且， 解得, . 故答案为：. 12. 将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的外接球体积为________. 【答案】## 【解析】 【分析】由旋转体定义首先确定外接球球心位置，再计算出其半径即可求解体积. 【详解】易知将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周可以得到一个底面半径为1，高为1的圆柱； 易知其外接球的球心为圆柱中心，因此外接球半径为； 因此外接球的体积为. 故答案为： 13. 棱长为2的正四面体的表面积是__________；体积是__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用面积公式可求正四面体表面积，求出正四面体的高后可求其体积. 【详解】棱长为2的正四面体的表面积为. 如图，设的中心为，连接，延长交于， 则平面且， 故正四面体的高为且， 所以. 故答案为：. 14. 从1，2，3，4，5中任取3个不同数字，这3个数字之和是偶数的概率为_______. 【答案】## 【解析】 【分析】先计算从这个数中任意选个的情况总数，再计算当个数之和为偶数的情况数，然后利用古典概型的概率计算方法求解即可. 【详解】总共个数字，选个，总共种选法，个数之和是偶数， 则为两个奇数一个偶数，共有种选法, 故从这个数中选个不同的数且和为偶数的概率为. 故答案为：. 15. 如图，在正方体中，E、F分别为BC，的中点，则直线与EF所成角的大小为________；直线CD与平面DEF所成角的正弦值为________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】做辅助线，分析可知直线与EF所成角为（或其补角），即可得结果；利用等体积法求点C到平面DEF的距离，进而可求线面夹角. 详解】连接， 因为E、F分别为BC，的中点，则∥， 可知直线与EF所成角为（或其补角）， 又因为，可知为等边三角形， 可得，所以直线与EF所成角的大小为； 设正方体的边长为2，点C到平面DEF的距离为， 因为， 则面积， 又因为，即，解得， 所以直线CD与平面DEF所成角的正弦值为. 故答案为：；. 三、解答题：本大题共3小题，共34分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 某校高一举行了一次数学竞赛，为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100）作为样本（样本容量n）进行统计，按照、、、、的分组作出频率分布直方图，已知得分在、的频数分别为8、2． （1）求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值； （2）估计本次竞赛学生成绩的中位数和平均数. 【答案】（1）50，0.03，0.004 （2）71，70.6 【解析】 【分析】（1）根据第一组的频数、频率求出样本容量，再根据第五组的频数、频率求出； （2）设中位数为m，根据中位数左边的矩形面积之和为列方程可求出的值，由将矩形底边的中点值乘以相应矩形的面积，再将所得结果相加可得平均数. 【小问1详解】 由题意可知，样本容量为，， ； 【小问2详解】 设中位数为m， ，则， 由题意可得：，解得， 所以本次竞赛学生成绩的中位数为71； 由频率分布直方图可知，本次竞赛学生成绩的平均数为 ， 所以本次竞赛学生成绩的平均数为70.6． 17. 11分制乒乓球比赛规则如下：在每一局比赛中，每两球交换发球权，每胜一球得1分，先得11分且至少领先2分者获胜，该局比赛结束；当某局比分打成后，每一球交换发球权，领先2分者获胜，该局比赛结束.现有甲、乙两人进行一局11分制的乒乓球比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的比赛结果互不影响，且本局开始由甲率先发球. （1）双方比分为，求甲以获得比赛胜利的概率； （2）双方比分为，求甲以获得比赛胜利的概率； （3）双方比分为，求再打4个球后甲获得比赛胜利的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分析可知甲连得2分，根据题意结合独立事件概率乘法公式运算求解，注意发球人； （2）分析可知甲连得2分，根据题意结合独立事件概率乘法公式运算求解，注意发球人； （3）分析可知第一、二球甲输赢各一个，第三、四球均为甲赢，根据题意结合独立事件概率乘法公式运算求解，注意发球人. 【小问1详解】 设甲以获得比赛胜利的事件为A， 双方比分为时，轮到由乙发球，则． 【小问2详解】 设甲以获得比赛胜利的事件为B， 双方比分为时，轮到由甲发球，则． 【小问3详解】 设再打4个球后甲获得比赛胜利的事件为C， 双方比分为时，轮到由甲发球，再打4个球后甲获得比赛胜利的情况为第一、二球甲输赢各一个，第三、四球均为甲赢， 则. 18. 如图，四边形ABCD是平行四边形，平面，，，，，，，G为BC的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求二面角的正切值. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）在平面BED内找到直线，使，即可证直线平面. （2）在三角形中，由余弦定理可证，又平面平面ABCD，可证平面AED，从而可得平面平面AED． （3）过点A作，，连接MN，可证即为二面角A-BE-D的平面角，根据边角关系可计算得，即可得到二面角A-BE-D的正切值． 【小问1详解】 证明：取BD的中点O，连接OE，OG， 在中，G为BC中点，，且， 又，，，且， 即四边形OGFE是平行四边形，， 又平面BED，平面BED，所以平面BED． 【小问2详解】 证明：在中，，，， 由余弦定理可得，进而，即， 又平面平面ABCD，平面ABCD，平面平面， 则平面AED，又平面BED，所以平面平面AED． 【小问3详解】 过点A作，，连接MN， 由（2）知平面平面AED，平面平面， 平面BED，又，， 即为二面角的平面角， 在中，，，，由余弦定理得， ，，， 在直角三角形BDE中，，，，， 又，， ，所以二面角的正切值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $