安徽省合肥市普通高中六校联盟2024-2025学年高二下学期期末联考数学试卷

高二年级数学试卷 第 1 页 共 4 页 合肥市普通高中六校联盟 2024-2025学年第二学期期末联考 高二年级数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 命题学校：合肥市第十一中学 命题教师：孙邦国 审题教师：詹步创 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的． 1．函数 y＝xcos x－sin x在下面哪个区间上单调递增( ) A． 3 , 2 2        B． 3 5 , 2 2        C．(0，π) D．(π，2π) 2．已知𝑎 > 0，若(𝑥2 + 𝑎 𝑥 ) 6 的展开式中，常数项等于 240，则𝑎 =( ) A．3 B．2 C．6 D．4 3．已知圆𝐶: 𝑥2 + 2𝑥 + 𝑦2 − 3 = 0，则直线𝑙: 𝑥 + 𝑛(𝑦 − 1) = 0与圆 C( ) A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 4．二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿提出．二项式定理可以推广到任意实 数次幂，即广义二项式定理：对于任意实数𝛼，(1 + 𝑥)𝛼 = 1 + 𝛼 1! ⋅ 𝑥 + 𝛼(𝛼−1) 2! ⋅ 𝑥2 + ⋯ + 𝛼(𝛼−1)⋯(𝛼−𝑘+1) 𝑘! ⋅ 𝑥𝑘 + ⋯，当|𝑥|比较小的时候，取广义二项式定理展开式的前两项可得： (1 + 𝑥)𝛼 ≈ 1 + 𝛼 ⋅ 𝑥，并且|𝑥|的值越小，所得结果就越接近真实数据．用这个方法计算√5的 近似值，可以这样操作：√5 = √4 + 1 = √4 (1 + 1 4 ) = 2√1 + 1 4 ≈ 2 × (1 + 1 2 × 1 4 ) = 2.25．用 这样的方法，估计√17 4 的近似值约为( ) A．2.015 B．2.023 C．2.031 D．2.083 5．2024 年 5 月中国邮政发行了《巢湖》特种邮票 3 枚，巢湖是继《太湖》（5 枚）、《鄱阳 湖》（3 枚）、《洞庭湖》（4 枚）后，第四个登上特种邮票的五大淡水湖.现从 15 枚邮票中随 机抽取 2 枚，记抽取邮票《巢湖》的枚数为𝑋，则𝐸(𝑋) =( ) A． 2 5 B． 2 3 C．1 D． 3 2 6．已知函数𝑓(𝑥)的导函数为𝑓′(𝑥)，且函数𝑓(𝑥)的图象如图所示，则函数𝑦 = 𝑥𝑓′(𝑥)的图象可 能是( ) 高二年级数学试卷 第 2 页 共 4 页 A. B. C. D. 7．已知由一组样本数据确定的经验回归方程为?̂? = 1.5𝑥 + 1，且?̅? = 2，发现有两组数据 (2.6,2.8)与(1.4,5.2)误差较大，去掉这两组数据后，重新求得经验回归直线的斜率为 1.4， 那么当𝑥 = 6时，?̂?的值为( ) A．9.6 B．10 C．10.6 D．9.4 8．已知 2024 2023 20222022 , 2023 , 2024a b c= = = ，则 , ,a b c的大小关系为( ) A．b c a  B．b a c  C．a c b  D． a b c  二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分. 9．某医疗机构通过抽样调查（样本容量𝑛 = 9965），利用2 × 2列联表和𝜒2统计量研究患肺 癌是否与吸烟有关.计算得𝜒2 = 56.632，由小概率临界值表知𝑃(𝜒2 ≥ 6.635) = 0.01，现给 出四个结论，其中错误的是( ) A．根据小概率值𝛼 = 0.01的独立性检验，认为“患肺癌与吸烟无关” B．在 100 个吸烟的人中约有 99 个人患肺癌 C．若老张吸烟，那么他有 99%的可能性患肺癌 D．有 99%的把握认为“患肺癌与吸烟有关” 10．已知函数𝑓(𝑥) = 𝑥2+𝑥−1 e𝑥 ，则下列结论正确的是( ) A．函数𝑓(𝑥)存在三个不同的零点 B．函数𝑓(𝑥)既存在极大值又存在极小值 C．若𝑥 ∈ [𝑡, +∞)时，f(x)的最大值为 5 e2 ，则 t的最大值为 2 D．当−e < 𝑘 < 0时，方程𝑓(𝑥) = 𝑘有且只有两个实根 11．给定数列{𝑎𝑛}，定义差分运算：Δ𝑎𝑛 = 𝑎𝑛+1 − 𝑎𝑛, Δ 2𝑎𝑛 = Δ𝑎𝑛+1 − Δ𝑎𝑛, 𝑛 ∈ N ∗．若数列 {𝑎𝑛}满足𝑎𝑛 = 𝑛 2 + 𝑛，数列{𝑏𝑛}的首项为 1，且Δ𝑏𝑛 = (𝑛 + 2) ⋅ 2 𝑛−1, 𝑛 ∈ N∗，则( ) A．存在𝑀 > 0，使得Δ2𝑎𝑛 < 𝑀恒成立 B．𝑏𝑛 = 𝑛 × 2 𝑛−1 C．对任意𝑀 > 0，总存在𝑛 ∈ N∗，使得𝑏𝑛 < 𝑀 D．对任意𝑀 > 0，总存在𝑛 ∈ 𝑁∗，使得 Δ2𝑏𝑛 𝑏𝑛 > 𝑀 高二年级数学试卷 第 3 页 共 4 页 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5分，共 15 分. 12．已知随机变量 X服从正态分布𝑁(1, 𝜎2)，若𝑃(𝑋 ≤ 𝑎) = 0.3，且𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑎 + 2) = 0.4，则𝑎 = . 13．某班毕业晚会有唱歌、跳舞、小品、杂技、相声五个节目制成一个节目单.其中小品、 相声不相邻且相声、跳舞相邻，这样的节目单有 种． 14．已知 F是抛物线 C:y2=4x的焦点,A是抛物线 C的准线与 x轴的交点,B是抛物线 C上一 点,则当 |𝐴𝐵| |𝐵𝐹| 取得最大值时,直线 AB的方程为 . 四、解答题：本题共 5 小题，共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．(本小题 13 分)为调查某地区学生在高中学习中错题订正整理情况与考试成绩的关系．首 先对该地区所有高中学生错题订正整理情况进行分值评价，给出得分；再组织考试．从这些 学生中随机抽取 20 名学生的错题订正整理情况得分𝑥和对应的考试成绩𝑦作为样本，得到样 本数据(𝑥𝑖 , 𝑦𝑖)(𝑖 = 1,2, ⋯ ,20)，其中𝑥𝑖和𝑦𝑖分别表示第𝑖个样本错题订正整理情况得分和对应 的考试成绩，计算得 ∑ 𝑖=1 20 𝑥𝑖𝑦𝑖 − 20?̅??̅? = 800, ∑ 𝑖=1 20 (𝑥𝑖 − ?̅?) 2 = 80, ∑ 𝑖=1 20 (𝑦𝑖 − ?̅?) 2 = 9000． (1)求样本(𝑥𝑖 , 𝑦𝑖)(𝑖 = 1,2, ⋯ ,20)的相关系数（精确到 0.01），并推断考试成绩𝑦和错题订正整 理情况得分𝑥的相关程度； (2)已知 20 个样本中有 8 个样本的考试成绩低于样本平均数?̅?．利用频率估计概率，从该地 区所有高中学生中随机抽取 4 个学生的错题订正整理情况得分和对应的考试成绩，记抽到 考试成绩低于?̅?的个数为 X，求随机变量 X的分布列． 附：相关系数𝑟 = ∑ 𝑖=1 𝑛 (𝑥𝑖−?̅?)(𝑦𝑖−?̅?) √ ∑ 𝑖=1 𝑛 (𝑥𝑖−?̅?) 2√ ∑ 𝑖=1 𝑛 (𝑦𝑖−?̅?) 2 = ∑ 𝑖=1 𝑛 𝑥𝑖𝑦𝑖−𝑛𝑥 ̅?̅? √ ∑ 𝑖=1 𝑛 𝑥𝑖 2−𝑛?̅?2√ ∑ 𝑖=1 𝑛 𝑦𝑖 2−𝑛?̅?2 , √2 ≈ 1.414． 16．(本小题 15 分)已知椭圆 C： 𝑥2 𝑎2 + 𝑦2 𝑏2 = 1(𝑎 > 𝑏 > 0)的左、右焦点分别为𝐹1, 𝐹2，|𝐹1𝐹2| = 4，过𝐹2的直线 l与椭圆 C交于 P，Q两点，△ 𝑃𝑄𝐹1的周长为8√2． (1)求椭圆 C的方程； (2)如图，点 A，𝐹1分别是椭圆 C的左顶点、左焦点，直线 l与椭圆 C交于不同的两点 M，N （M，N都在 x轴上方）．且∠𝐴𝐹1𝑀 = ∠𝑂𝐹1𝑁．证明直线 l过定点，并求出该定点的坐标． 高二年级数学试卷 第 4 页 共 4 页 17．(本小题 15 分)如图 1，在△ 𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵 = 𝐴𝐶，∠𝐵𝐴𝐶 = 2π 3 ，𝐸为𝐵𝐶的中点，𝐹为𝐴𝐵上 一点，且𝐸𝐹 ⊥ 𝐴𝐵.现将△ 𝐵𝐸𝐹沿𝐸𝐹翻折到△ 𝐵′𝐸𝐹，如图 2. (1)证明：𝐸𝐹 ⊥ 𝐴𝐵′； (2)已知二面角𝐵′ − 𝐸𝐹 − 𝐴为 π 3 ，在棱𝐴𝐶上是否存在点𝑀，使得直线𝐵𝐶与平面𝐵′𝑀𝐹所成角的 正弦值为 √5 5 ？若存在，确定𝑀的位置；若不存在，请说明理由. 18．(本小题 17 分)甲袋中有 3 个白球和 2 个红球，乙袋中有 2 个白球和 3 个红球.先随机取 一只袋，再从该袋中先后随机取 2 个球. (1)求随机取到的是甲袋且从中取出的两球均为白球的概率； (2)求第一次取出的是白球的概率； (3)求第一次取出的是白球的前提下，第二次取出的依然是白球的概率. 19．(本小题 17 分)已知函数𝑓(𝑥) = 𝑎(e𝑥 + 𝑎) − 𝑥. (1)当𝑎 = 1时，求函数在(1, 𝑓(1))的切线方程； (2)讨论𝑓(𝑥)的单调性； (3)证明：当𝑎 > 0时，𝑓(𝑥) > 2ln𝑎 + 3 2 . 合肥市普通高中六校联盟2024一2025学年第二学期期末联考 高二年级数学参考答案 (考试时间：120分钟满分：150分) 命题学校：合肥市第十一中学命题教师：孙邦国审题教师：詹步创 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的， 1.函数y=xcos x一sinx在下面哪个区间上单调递增() π3r A.22 B. 3r5π 22 C.(0,π) D.(π，2) 【答案】D 【解答】y'=-xsinx,经验证，只有在（π，2m)内y'>0恒成立， y=xcosx-sinx在（π，2π）上单调递增. 2.已知a>0, 若(x2+到)的展开式中，常数项等于240，则a=() A.3 B.2 C.6 D.4 【答案】B 【解答】由二项展开式的通项公式可得T,+1=Cg(x2)-r(月=arCx2-3r, 令12-3r=0,解得r=4,即常数项为T5=a4Cg=240,解得a=2. 故选：B. 3.己知圆C:x2+2x+y2-3=0,则直线：x+n0y-1)=0与圆C() A.相交 B.相切 C.相离 D,相交或相切 【答案】A 【解答】C:x2+2x+y2-3=0可化为(x+1)+y2=4,即该圆圆心为(-1,0)，半径为2， 由l:x+n0-1)=0可得该直线过定点(0,1)，有(0+1)+12=2<4，即该定点必在圆内， 故两者位置关系为相交. 故选：A 4.二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿提出.二项式定理可以推广到任意 实数次幂，即广义二项式定理：对于任意实数a,(（1+)=1+品x+型.x2+…十 24 aa-少-a-k+卫.xk+…,当x比较小的时候，取广义二项式定理展开式的前两项可得： k (1十x)“≈1十a·x,并且x的值越小，所得结果就越接近真实数据.用这个方法计算V5 第1页共12页 的近似值，可以这样操作：V5=4+1=41+)=21+=2×(1+×》 =2.25.用这样的方法，估计17的近似值约为) A.2.015 B.2.023 c.2.031 D.2.083 【答案】C 【解答】7=16+1= 16(1+=21+=21+2≈2×1+×)=2031. 故选：C, 5.2024年5月中国邮政发行了《巢湖》特种邮票3枚，巢湖是继《太湖》(5枚)、《鄱阳 湖》(3枚)、《洞庭湖》(4枚)后，第四个登上特种邮票的五大淡水湖现从15枚邮票中随机 抽取2枚，记抽取邮票《巢湖》的枚数为X,则E(X)=() A.月 B. C.1 D.月 【答案】A 【解答】依题意，X的可能取值有0,1,2. 则PK=0)-毫-器PW=)-架=号P=2)是=品 则E()=0×号+1×号+2×元=手（减E(X)=2×号=） 故选：A. 6.已知函数f(x)的导函数为f'(x),且函数f(x)的图象如图所示，则函数y=xf'(x)的图象可 能是( f 0 A. 【答案】C 【解答】由图可知函数f(x)在(-∞，-1)上单调递减，在(-1，十∞)上单调递增，则当x∈ (-∞，-1)时，f(x)<0,当x∈(-1，+∞)时f'(x)>0,且f'(-1)=0.对于函数y=xf(x),当 x∈(-∞，-1)时，xf'(x)>0,当x∈(-1,0)时，xf'(x)<0,当xe(0,+∞)时，xf'(x)>0, 且当x=-1时，xf'(x)=0,当x=0时，xf'(x)=0,显然选项C符合，故选C. 7.已知由一组样本数据确定的经验回归方程为=1.5x+1,且x=2,发现有两组数据 第2页共12页 (2.6,2.8)与(1.4,5.2)误差较大，去掉这两组数据后，重新求得经验回归直线的斜率为1.4， 那么当x=6时，的值为() A.9.6 B.10 C.10.6 D.9.4 【答案】A 【解答】由=1.5x+1和x=2,得=1.5×2+1=4. 所以去掉数据(2.6,2.8)与(1.4,5.2)后得到的新数据的平均数x'=2,=4, 由题意可设去掉两组数据后的经验回归方程为=1.4x十α， 代入(2,4)，求得a=1.2, 故去掉(2.6,2.8)与(1.4,5.2)这两组数据后求得的经验回归方程为9=1.4x十1.2. 将x=6代入经验回归方程，得9=1.4×6十1.2=9.6. 故选：A. 8.已知a=20224,b=2023m,c=2024m,则a,b,c的大小关系为() A.b>c>a B.b>a>c C.a>c>b D.a>b>c 【答案】D 1n2022 【解答】：n= 20241n2022 2023 lnb2023n2023ln2023' 2024 构造函数f(x)= t+x≥e2),广c9=x+-xnx x(x+1)2T 令g(x)=(x+l)-xlnr,则g'(x)=-lnr<0, .g(x)在[e,+oo)上单减， ∴.g(x)≤g(e2)=1-e2<0. 故f(x)<0,所以fx)在[e,+o)上单减， ln2022 f(2022)>f2023)>0→ln0= 2023 f2022>1→lna>lnb→a>b, 1nbln2023f(2023) 2024 第3页共12页 ln2023 :h6-2023n2023 2022 lnc20221n2024ln2024' 2023 构造函数=nrr≥e,i国=仁-》-nr x-1 x(x-)2, 令t(x)=(x-l)-xnx,则t'(x)=-nr<0, ∴.1(x)在[e,+o)上单减， .t(x)≤1(e2)=1-e2<0, 故h'(x)<0,所以h(x)在[e,+o)上单减， 1n2023 ∴.h(2023)>h(2024)>0= Inb 2022 h(2023)>1→lnb>nc→b>c, lncn2024h(2024) 2023 故a>b>c, 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.某医疗机构通过抽样调查（样本容量=9965），利用2×2列联表和x2统计量研究患肺癌 是否与吸烟有关计算得x2=56.632,由小概率临界值表知P(x2≥6.635)=0.01，现给出四 个结论，其中错误的是() A.根据小概率值a=0.01的独立性检验，认为“患肺癌与吸烟无关” B.在100个吸烟的人中约有99个人患肺癌 C.若老张吸烟，那么他有99%的可能性忠肺癌 D.有99%的把握认为“患肺癌与吸烟有关： 【答案】ABC. 【解答】依己知数据x2=56.632>6.635,得有1-0.01=99%的把握认为“患肺癌与吸烟有 关”，则选项D正确，其余都是错误的. 故选：ABC 10.已知函数f()=+x二，则下列结论正确的是() A.函数f(x)存在三个不同的零点 第4页共12页 B.函数f(x)既存在极大值又存在极小值 C.若xe6,+o)时，fx)mr=3,则t的最大值为2 D.当-e<k<0时，方程f(x)=k有且只有两个实根 【答案】BCD 【解答】由函数f)=二，可得f冈=出 令f'(x)=0,解得x=-1或x=2. 当x<-1时，f'(x)<0:当-1<x<2时，f'(x)>0:当x>2时，f'(x)<0, 所以函数f(x)在(-∞，-1)，(2，十∞)单调递减，在(-1,2)上单调递增， 当x=-1,函数f(x)取得极小值f(-1)=-e: 当x=2,函数fx)取得极大值f(2)= 当x→-oo时，f(x)→十o0,当x→+co时，f(x)→0， 作出函数f(x)的图象，如图所示，结合图象得： 对于A中，函数f(x)存在两个不同的零点，所以A不正确： 对于B中，函数f(x)既存在极大值又存在极小值，所以B正确： 对于C中，当xe6,+∞)时，fx)ma=吾，可得t≤2，所以t的最大值为2，所以C正 确： 对于D中，若方程f(x)=k有且只有两个实根， 即y=f(x)与y=k的图象有两个不同的交点，可得-e<k<0,所以D正确. 故选：BCD. SAY 以 2 y=f(x) 2 y=k 1l.给定数列{an},定义差分运算：△an=an+1-au△2an=△an+1-△a,n∈N.若数列 {an}满足an=n2+n,数列{bn}的首项为1，且△bn=(n+2)·2n-1,n∈N,则() A.存在M>0,使得△2an<M恒成立 第5页共12页 B.bn=n×2n-1 C.对任意M>0,总存在neWN,使得bn<M D.对任意M>0,总存在n∈N,使得>M 【答案】AB 【解答】对于A,由an=n2+n,得△an=(n十1)2+(n+1)-(n2+n)=2n+2, 则△2am=2(n+1)+2-(2n+2)=2, 显然当M>2时，子an<M恒成立，故A正确： 对于B:由4bn=(n+2):2-1,得bn+1-bn=(n+2)·2m-1, 当n≥2时，bn=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+(b4-b3)+…+(bn-bn-1) 即bn=1+3×20+4×21+5×22+…+(n+1)×2n-2, 于是2bn=2×20+3×21+4×22+…+n×2m-2+(n+1)×2m-1, 两武相减得-b,=1+1+2+2++20-2-0m+1)×20-1=1+2-0+1)×2- =-n×2n-1, 因此bn=n×2n-1,显然b1=1满足上式，则bn=n×2n-1,故B正确： 对于C:由bn+1-bn=(n+1)×2"-n×2m-1=(0n+2)×2m-1>0, 所以数列bn}是递增数列，则bn有最小值1，无最大值， 当0<M<1时，不存在n∈N',使得bn<M,故C错误： 对于D,4h=n十3)20-+2)-2-1=(0m+4)-2-,由选项B得=1+片 显然数列1+}是递减数列，且1<1+≤5(nEN), 因此当M>5时，不存在nEN°，使得>M成立，故D错误. 故选：AB. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知随机变量X服从正态分布N(1,o2),若P(X≤a)=0.3,且P(a≤X≤a+2) =0.4,则a= 【答案】0 【解答】由题意知随机变量X服从正态分布N(1,σ2)，P(X≤a)=0.3, 第6页共12页 如图所示，结合P(a≤X≤a+2)=0.4,得P(X≥a+2)=0.3, a1a+2 可知a,a+2关于x=1对称，所以a+a+2=2×1,解得a=0, 13.某班毕业晚会有唱歌、跳舞、小品、杂技、相声五个节目制成一个节目单.其中小品、 相声不相邻且相声、跳舞相邻，这样的节目单有 种 【答案】36 【解答】将相声，跳舞看成一个整体，与唱歌，杂技全排列共有A·4仔=12种情况， 3个节目有4个空，除去相声旁边的那个空，还剩3个空，小品选其一，有C}=3种， 所以共有12×3=36种排法， 14.已知F是抛物线Cy=4x的焦点，A是抛物线C的准线与x轴的交点，B是抛物线C上一 点则当品取得最大值时，直线4B的方程为 【答案】y=x+1或y=-x-1 【解答】当B与原点重合时-=1，当B与原点不重合时，设B,ba>0,则6=4如易知4(- 1,0),F1,0),所以4B= /(a+1)2+b2= a2+6a+1,BF=,(a-1)2+b2= a2+2a+1,所以 AB 2+60+1 a2+6a+1 4a 1+ 4 BF a2+2a+1 a2+2a+1 1+4 a++2 1+2本2=v2,当且仅当a=君 a2+2a+1 即a=1时等号成立，此时B(1,±2)，所以直线AB的方程为y=x+1或y=-x-1 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题13分)为调查某地区学生在高中学习中错题订正整理情况与考试成绩的关系.首 先对该地区所有高中学生错题订正整理情况进行分值评价，给出得分：再组织考试，从这些 学生中随机抽取20名学生的错题订正整理情况得分x和对应的考试成绩y作为样本，得到样 本数据(x,y)i=1,2,…,20),其中x和y分别表示第个样本错题订正整理情况得分和对应 20 20 20 的考试成绩，计算得∑xM-20=800,∑(x-)2=80,∑0M-)2=9000. i=1 i=1 i=1 第7页共12页 (1)求样本(x,y)(=1,2,…,20)的相关系数（精确到0.01），并推断考试成绩y和错题订正整理 情况得分x的相关程度： (②)已知20个样本中有8个样本的考试成绩低于样本平均数).利用频率估计概率，从该地 区所有高中学生中随机抽取4个学生的错题订正整理情况得分和对应的考试成绩，记抽到 考试成绩低于的个数为X,求随机变量X的分布列. 是x1-00- 是xyr-n9 附：相关系数r =1 2≈1.414. y-y)2 -n2 yi-ny2 20 20 ∑(x-)(y-) xyi-20 i=1 i=1 15.【解答】(1)7 …2 20 20 (x1-)2 y1-)2 (x-)2 y1-)2 800 2v2 √80x9000 V72 3 ≈0.94， :r接近1，∴考试成绩y和错题订正整理情况得分x的相关程度很强 …6 (2)考试成绩低于样本平均数的概率记为p,则p= 82 5 44444”54+**094…7 20 xB4写 p(x-o)-ct( 81 625 pe=)-c自x- 625 pk=2-伯x 216 ×3=96 625 px=4)=C4() 16 625 X的分布列为 0 1 2 3 4 81 216 216 96 16 625 625 625 625 625 …13 16.(本小题15分)已知椭圆C: 器+发=1(a>b>0)的左、右焦点分别为，F2,旧l =4,过F2的直线1与椭圆C交于P,Q两点，△PQF的周长为82. (1)求椭圆C的方程： (②)如图，点A,F分别是椭圆C的左顶点、左焦点，直线1与椭圆C交于不同的两点M, 第8页共12页 NM,N都在x轴上方).且∠AFM=∠OEN,证明直线I过定点，并求出该定点的坐标. 【解答】()设椭圆C的焦距为2C,由题意知F1F2=2c=4,解得c=2.…2 由椭圆的定义知，△PQF1的周长为4a=8V2,∴.a=2V2,故b2=4.…4 二椭圆C的方程为片十艺=1.5 4 (2)由题意知，直线的斜率存在且不为0，设直线：y=kx十m,M(x1,y1),N(x2,y2), 把直线方程代入椭圆方程，整理可得(1十2k2)x2+4kmx十2m2-8=0,…7 △=8(8k2-m2+4)>0,即8k2-m2+4>0, 1+2k2,名名2=2m3-8 为十x2=一4秋m 1+2k2 :kW一2kN一产2从N都在x轴上方，且LARM=40RN, 六kg=-w小2-杂 即y1(x2十2)=-y2(x1+2).将y1=kx1十my2=kx2十m代入 整理可得2kx1x2+(2k+m)(x1十x2)+4m=0, 又x=装十=一 1+2k21 即4km2-16k-8k2m-4km2+8k2m十4m=0,整理可得m=4k,…13 ∴.直线1为y=kx十4k=k(x十4).直线1过定点(-4,0).…15 17.(本小题15分)如图1，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=经，E为BC的中点，F为AB上一 点，且EF⊥AB.现将△BEF沿EF翻折到AB'EF,如图2. B 图1 图2 (I)证明：EF⊥AB'; 第9页共12页 (②)已知二面角B'-EF-A为，在棱AC上是否存在点M,使得直线BC与平面B'MF所成角 的正弦值为？若存在，确定M的位置：若不存在，请说明理由。 【解答】(I)证明：翻折前，在△ABC中，EF⊥AB,翻折后，有EF⊥AF,EF⊥FB', 又AF O FB'=F,AF、FBC平面AFB',所以EF⊥平面AFB',3 因为ABC平面AFB',所以EF⊥AB.…5 (②)解：因为二面角B-EF-A为，EF⊥AF,EF1FB',所以，二面角B'-EF-A的平 面角为LB'FA= 以点F为坐标原点，FE、FA所在直线为x、y轴，过点F且垂直于平面ABC的直线为z轴建立 如下图所示的空间直角坐标系， Z 不妨设AB=4,则F00,0、A0,10)、c(23,3.0、E(V3,00、B'(0,号） …g 4C=(23,20).Fm=0,10,FB=(0,,C=(3,30) 设AM=AC=(23元，22,0)，FM=FA+AM=(2V3,21+1,0),其中0≤1≤1， 设平面B'MF的法向量为立=(a,b,c), 由PF0得 b+9c=0 (立.FM=0 23a+(21+1)b=0 取C=2,可得7=(21十1，-2V孔，2)，…12 leos(. v3-4v3 ,解得= 2W3x(2+1)+1222+42 56 ,合乎题意，…1 故当AM=品AC时，直线BC与平面B'MF所成角的正弦值为 +4444444*4*444…15 5 18.(本小题17分)甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球先随机取 一只袋，再从该袋中先后随机取2个球。 (1)求随机取到的是甲袋且从中取出的两球均为白球的概率： 第10页共12页