精品解析：湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2024-2025学年高一下学期期末数学模拟考试试题

湖南师大附中2025年高一下期期末模拟考试 数学 本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知幂函数在上为增函数，则函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由幂函数的性质得，再根据函数零点的存在性定理求解即可. 【详解】解：由幂函数性质得，解得， 所以， 由于，，，，， 所以根据零点的存在性定理得的零点所在的区间为 故选：C 2. 有一组实验数据如下： 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12 1.5 4.04 7.5 12.5 18.27 现在用下列函数近似地表示这些数据满足的规律，其中最恰当的一个是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】以代入，排除A，B，再以代入即可排除D 【详解】对于A选项，时，，与表格差距较大，故排除 对于B选项，时，，与表格差距较大，故排除 对于C选项，时， 对于D选项，时，，相对于C项误差较大，故排除 故选：C 【点睛】本题主要考查了根据实际问题选择合适的函数模型，属于基础题. 3. 已知扇形的周长为，则该扇形的面积S最大时，圆心角的大小为（ ）． A. 4弧度 B. 3弧度 C. 2弧度 D. 1弧度 【答案】C 【解析】 【分析】根据扇形的周长可得，然后利用扇形面积公式以及二次函数性质并结合弧长公式可得结果. 【详解】设扇形半径为r，弧长为l． ∵扇形的周长为，∴，即， ∴， ∴当半径时，扇形的面积最大，为， 此时，． 故选：C 【点睛】本题考查扇形面积公式以及弧长公式，掌握公式，理清思路，属基础题. 4. 下列函数中为增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本初等函数的单调性可判断ABC选项，利用复合函数的单调性可判断D选项. 【详解】对于A选项，函数在定义域上不单调； 对于B选项，函数为上的增函数； 对于C选项，函数为上的减函数； 对于D选项，函数的定义域为， 内层函数在上为减函数，在上为增函数， 而外层函数为增函数，故函数的减区间为，增区间为. 故选：B. 5. 已知函数.以下四个命题: ①，使得； ②，使得； ③，均有成立； ④，均有成立. 其中所有正确的命题是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ②④ 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式及二次函数的性质并结合两者之间的联系逐项判断即可． 【详解】解：令， 所以， 因为为开口向上的二次函数， 所以对任意，总存在使得，故②正确④错误； 因为当，，时，， 所以方程，无解， 所以恒成立，故①正确； 因为当，时，， 所以方程，有一根或两根， 所以对任意，不恒成立，故③错误． 故选：． 6. 某校要召开学生代表大会，规定各班每人推选一名代表，当班人数除以的余数大于时，再增选一名代表，则各班推选代表人数与该班人数之间的函数关系用取整函数（表示不大于的最大整数，如，）可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令班级人数的个位数字为，则（），结合题意讨论写出对应值，由取整函数的定义写出函数关系式. 【详解】设班级人数的个位数字为，令，（）， 当时，，当时，， 综上，函数关系式为. 故选：B. 7. 已知函数，若，则的一个单调递增区间可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】计算，可得，然后利用整体法以及正弦函数的单调性可得结果. 【详解】当时，有最小值为， 是方程，的一个解，得. ，取，得. 因此函数表达式为. 令，得，. 取，得的一个单调递增区间是， 故选：D. 【点睛】本题考查正弦型函数的单调性，掌握整体法的使用以及熟悉基础的三角函数的性质，属基础题. 8. 函数在区间上的最大值是 A. 1 B. C. D. 1+ 【答案】C 【解析】 【详解】由, 故选C. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分. 9. 下列说法中，错误的是（ ） A. “x，y中至少有一个小于零”是“”的充要条件 B. 已知，则“”是“且”的充要条件 C. “”是“或”的充要条件 D. 若集合A是全集U的子集，则 【答案】AC 【解析】 【分析】利用举特例及推理的方式逐一分析各选项即可判断作答. 【详解】对于A，当，时，满足x，y中至少有一个小于零，但无法推出，A说法错误； 对于B，若，则；若，则，即“”是“且”的充要条件，B说法正确； 对于C，当时，满足或，但此时，即无法推出，C说法错误； 对于D，若集合是全集的子集，则，即命题“”与“”是等价命题，D说法正确. 故选：AC 10. 设正实数、满足，则（ ） A. 有最大值 B. 有最小值 C. 有最小值 D. 有最大值 【答案】ACD 【解析】 【分析】结合基本不等式求得正确答案. 【详解】基本不等式的变形：. ，当且仅当时等号成立.A正确. ，当且仅当时等号成立，此时，不合题意，所以，B错误. ，当且仅当时等号成立，C正确. ，当且仅当时等号成立，D正确. 故选：ACD 11. 已知正实数x，y，z满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】 令则，可得： ，， 利用对数的换底公式计算可判断选项A，验证是否正确可判断选项B，由于，比较可判处选项C，利用基本不等式可判断选项D，进而可得正确选项. 【详解】令则，可得： ，， 对于选项A：， 若则，因为，所以，故选项A不正确； 对于选项B：由可得，即， 因为， 所以，即，故选项B正确； 对于选项C：，因为，所以， 因为，所以，即，即，故选项C正确； 对于选项D：， ， 因为，因为所以等号不成立， 所以，即， 所以，根据“或”命题的性质可知选项D正确. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是令则，可得： ，，再利用对数的运算性质以及换底公式化简每一个选项的等式，注意利用基本不等式时等号能否成立. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若集合中只有一个元素，则_________. 【答案】0或1 【解析】 【分析】分和时分别讨论计算求解即可. 【详解】因集合中只有一个元素， 则当时，方程为，解得，即集合，则， 当时，由，解得，集合，则， 所以或. 故答案为：0或1 13. 已知函数是上的奇函数，满足,当时，，则______． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】求出的范围，再根据函数是上的奇函数，满足，将转化到已知区间，即可得出答案. 【详解】解：因为，则， 所以. 故答案为：. 14. 将函数 (ω>0)的图像向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象．若y＝g(x)在上为增函数，则ω的最大值为________． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：根据“左加右减”原则，向左平移个单位，可知，y＝g(x)在上为增函数，可知周期，所以，即，的最大值为． 考点：三角函数的性质与图像的平移． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (1)已知向量不共线,若,,,试证:三点共线. (2)设是两个不共线向量,已知,,,若三点共线,求的值. 【答案】（1）证明:，， ，与共线. 又与有公共点B，三点共线. （2）-8 【解析】 【分析】（1）计算得到，与有公共点B，得到证明. （2）根据共线得到，，计算得到答案. 【详解】(1)略； (2). 三点共线，共线. ∴存在实数使，即. . 与不共线，. 16. 正方体 中， M，N ，Q ，P 分别是AB ，BC ， ， 的中点． （1）证明：M，N ，Q ，P 四点共面． （2） 证明：PQ，MN ，DC三线共点． 【答案】（1）连接. 分别为的中点，且 ， 分别为，的中点，且. 四边形为平行四边形，且 且四点共面. （2）由（1）知且 必交于一点. 平面平面. 平面平面 . 又平面平面. ，即三线共点. 【解析】 【分析】（1）连接，由正方体的几何特征及平面几何的知识可得，由平面的基本性质即可得证； （2）由题意可得是平面平面的交线，由平面的基本性质即可得证. 【详解】（1）略 （2）略 17. 已知函数. （1）求函数在上的最小值； （2）已知，，分别为内角，，的对边，，，且，求边的长. 【答案】（1）；（2）8. 【解析】 【分析】（1）先用和的正弦公式展开，再利用辅助角公式化简，即可根据的范围求出最小值； （2）由可求出，由可得，再利用正弦定理即可解出. 【详解】（1） ， 又，所以， 所以当即时，取得最小值， 所以， （2）因为，， 所以， 又，所以，所以由正弦定理有，所以. 【点睛】本题考查简单的三角恒等变换，考查正弦定理的应用，属于基础题. 18. 已知函数，幂函数，且函数的图像过点，当趋向于负无穷大时，的图像无限接近于直线但又不与该直线相交：函数在区间上单调递增. （1）分别求出，的解析式，并在同一直角坐标系中作出两函数的草图； （2）定义，表示，中的最小者，记为，例如，当时表示，中的最小者.请结合（1）中的两个函数图像分别用图像法（草图）与解析法表示. 【答案】（1），， ，两函数的图像： （2），图像： 【解析】 【分析】（1）、将代入解析式，且时，的图像以直线为渐近线，即可求出的解析式； 根据幂函数的定义及在区间上单调递增，即可求出的解析式；然后在同一直角坐标系中作出两函数的草图； （2）、根据题意可知表示，中的最小者，结合（1）图像可得解析式，然后画出图像； 【小问1详解】 ，且函数的图像过点，，， 又当时，的图像无限接近于直线但又不与该直线相交， ， 幂函数在区间上单调递增， ，，， 在同一直角坐标系中作出，两函数的草图如下： 【小问2详解】 ，，令，由，， 当； 当； 当； 结合（1）图像可得解析式为， 图像如下： 19. 如图，已知平面，平面，为等边三角形，，F为的中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求直线和平面所成角的正弦值． 【答案】 （Ⅰ）取CE中点G，连接BG，FG，如图所示： 因为F、G分别为CD、CE的中点， 所以且， 又因为平面，平面， 所以，, 所以，， 所以四边形ABGF为平行四边形， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面； （Ⅱ） 【解析】 【分析】（Ⅰ）取CE中点G，连接BG，FG，则可证且，根据题意可得，，可得四边形ABGF为平行四边形，所以，根据线面平行的判定定理，即可得证. （Ⅱ）根据四边形ABGF为平行四边形，根据题意及线面垂直的判定定理，可证平面CDE，则即为直线和平面所成角，在中，求得各个边长，根据三角函数的定义，即可求得答案. 【详解】（Ⅰ）略 （Ⅱ）因为平面，平面ACD， 所以，所以， 又为等边三角形，F为CD的中点， 所以， 又平面CDE， 所以平面CDE，即平面CDE， 又平面CDE，则， 连接DG，BD，如图所示， 则即为直线和平面所成角， 设，在中，， 在直角梯形ABED中，， 在中，， 所以， 所以直线和平面所成角的正弦值为. 【点睛】解题的关键是熟练掌握线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理，并灵活应用，在用定义法处理线面角时，需找到平面的垂线，作出线面角，利用三角函数进行求解，考查分析计算，推理证明的能力，属基础题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南师大附中2025年高一下期期末模拟考试 数学 本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知幂函数在上为增函数，则函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 2. 有一组实验数据如下： 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12 1.5 4.04 7.5 12.5 18.27 现在用下列函数近似地表示这些数据满足的规律，其中最恰当的一个是（ ）． A. B. C. D. 3. 已知扇形的周长为，则该扇形的面积S最大时，圆心角的大小为（ ）． A. 4弧度 B. 3弧度 C. 2弧度 D. 1弧度 4. 下列函数中为增函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数.以下四个命题: ①，使得； ②，使得； ③，均有成立； ④，均有成立. 其中所有正确的命题是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ②④ 6. 某校要召开学生代表大会，规定各班每人推选一名代表，当班人数除以的余数大于时，再增选一名代表，则各班推选代表人数与该班人数之间的函数关系用取整函数（表示不大于的最大整数，如，）可表示为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若，则的一个单调递增区间可以是（ ） A. B. C. D. 8. 函数在区间上的最大值是 A. 1 B. C. D. 1+ 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分. 9. 下列说法中，错误的是（ ） A. “x，y中至少有一个小于零”是“”的充要条件 B. 已知，则“”是“且”的充要条件 C. “”是“或”的充要条件 D. 若集合A是全集U的子集，则 10. 设正实数、满足，则（ ） A. 有最大值 B. 有最小值 C. 有最小值 D. 有最大值 11. 已知正实数x，y，z满足，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若集合中只有一个元素，则_________. 13. 已知函数是上的奇函数，满足,当时，，则______． 14. 将函数 (ω>0)的图像向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象．若y＝g(x)在上为增函数，则ω的最大值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (1)已知向量不共线,若,,,试证:三点共线. (2)设是两个不共线向量,已知,,,若三点共线,求的值. 16. 正方体 中， M，N ，Q ，P 分别是AB ，BC ， ， 的中点． （1）证明：M，N ，Q ，P 四点共面． （2） 证明：PQ，MN ，DC三线共点． 17. 已知函数. （1）求函数在上的最小值； （2）已知，，分别为内角，，的对边，，，且，求边的长. 18. 已知函数，幂函数，且函数的图像过点，当趋向于负无穷大时，的图像无限接近于直线但又不与该直线相交：函数在区间上单调递增. （1）分别求出，的解析式，并在同一直角坐标系中作出两函数的草图； （2）定义，表示，中的最小者，记为，例如，当时表示，中的最小者.请结合（1）中的两个函数图像分别用图像法（草图）与解析法表示. 19. 如图，已知平面，平面，为等边三角形，，F为的中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求直线和平面所成角的正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $