精品解析：重庆市南开中学校2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题

重庆南开中学高2027级高一（下）期末考试 数学试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的一个方向向量是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，求出直线的斜率即可得解. 【详解】直线的斜率为，则该直线的一个方向向量是， 而选项BCD中对应向量与不共线，因此A是，BCD不是. 故选：A 2. 设，若复数是纯虚数，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的乘法运算展开代数式，再利用纯虚数的定义列方程求解即可. 【详解】因为是纯虚数，所以， 解得，此时得. 故选：B. 3. 下列方程一定表示圆的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用二元二次方程表示圆的充要条件逐项判断. 【详解】对于A，方程表示点，A不是； 对于B，方程化为，此方程表示圆，B是； 对于C，当时，方程表示点，C不是； 对于D，方程化为表示两条平行直线，D不是. 故选：B 4. 若平面内的两个单位向量，的夹角为，，则（ ）． A. B. 2 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量模的平方等于向量自身平方将平方，再根据向量数量积的运算律展开并结合已知条件进行计算. 【详解】 因为，是单位向量，所以，且，代入得： 则 故选：A 5. 设的内角的对边分别为．，，则的最大值为（ ）． A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据余弦定理得到与的关系式，然后利用基本不等式对其进行变形，从而求出的最大值. 【详解】由余弦定理，代入， 得 根据完全平方公式，则，将其代入上式可得： 因为基本不等式（当且仅当时取等号），所以 代入 设，则 即，两边同时乘以3得到 因为，所以 即 所以的最大值为 故选：D 6. 已知，若两圆和恰有一条公切线，则的最大值为（ ）． A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】将两圆方程化为标准方程，根据两圆恰有一条公切线得出两圆的位置关系，进而得到满足的关系式，最后利用三角换元求出的最大值. 【详解】圆，即，圆心，半径 圆，即，圆心，半径 两圆恰有一条公切线，说明两圆内切，圆心距等于半径之差： 令，则最大值为 故选：B. 7. 如图，在棱长为2的正方体中，M为棱的中点，点Q在底面正方形内运动，满足，则点Q的轨迹长度为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，借助空间向量数量积确定点Q的轨迹即可. 详解】 以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则， 设，则， 由，得，整理得， 所以点Q的轨迹是以点为圆心，1为半径的圆，此圆在正方形内部， 所以点Q的轨迹长度为. 故选：C. 8. 如图，在平行四边形中，，，，现将沿直线翻折至，使得点到达点的位置，且二面角的平面角等于，则直线与平面所成的角为（ ）． A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在平行四边形中，利用正弦定理求得，则，.在翻折后的立体图形中，根据定义作出二面角的平面角，以及直线与平面所成的角，利用边长关系可求得. 【详解】在平行四边形中，，，， 在中，根据正弦定理，，即， 解得，所以，即，则，且. 翻折后，如图，分别取的中点，连接， 则，所以，故是二面角的平面角，即， 过点作于点，连接， 由，，平面，平面，可得平面， 因为平面，所以， 又，平面，平面，可得平面. 所以是直线与平面所成的角. 在中，，，则， 在中，，，则， 因为是锐角，所以. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知m，n是空间中两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ）． A. 若，，则 B 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】BC 【解析】 【分析】利用线面平行、垂直的性质推理判断ABC；举例说明判断D. 【详解】对于A，由，，得或，A错误； 对于B，由，，得，而，则，B正确； 对于C，由，得存在过直线的平面，则，由，得，因此，C正确； 对于D，在正方体中，令平面、平面分别为， 直线为，直线为，满足，而，D错误. 故选：BC 10. 已知内角的对边分别为点为的重心，，，则下列说法正确的是（ ）． A. B. C. 的面积最大值为 D. a的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据三角形重心的性质、向量的线性运算即可求解A，根据模长公式以及基本不等式即可求解B,由三角形的面积公式即可求解C ,根据余弦定理，结合不等式即可求解D. 【详解】 设边中点为，因为点为的重心，则 又因为，所以，故选项A正确； 已知，两边平方可得 因为，所以，又则 根据基本不等式，可得，即 所以，故B错误； 因为，，所以 由，可得，当且仅当时取等号，故C正确； 由余弦定理，将变形为代入可得： 因为，所以，即，当且仅当时取等号，故D正确. 故选：ACD 11. 如图，在平面直角坐标系中，已知圆上恰有3个点到直线的距离为．设点，，，点Q是圆O上的任意一点，过点B作于M，则下列说法正确的是（ ）． A. B. 点M的轨迹方程为 C. 的最小值为 D. 圆O上存在唯一点Q，使得取到最小值 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，根据直线与圆的位置关系可得；对于B，易得，即可得到点M的轨迹方程；对于C，设，则，在中，根据余弦定理得，再由即可得到；对于D，设，得到点，利用几何意义可判断； 【详解】对于A，因为圆心到直线的距离， 又圆上恰有3个点到直线的距离为， 所以，即，故A正确 ； 对于B，由题知，所以在以为直径的圆上， 所以点M的轨迹方程为（x≠2），故B错误； 对于C，设，则， 在中，， 即， 又 ， 当，即时取等，故C正确； 对于D，设轴上一点C，使， 所以，整理得， 又点在圆上， 所以，解得， 则，当三点共线时取等， 又，原点到直线的距离， 所以，如图符合题意的点有两个，故D错误； 故选：AC. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本大题3个小题，每小题5分，共15分．各题答案必须填写在答题卡上相应位置（只填结果，不写过程）． 12. 直线与直线平行，则实数______． 【答案】或 【解析】 【分析】利用两条直线平行列式计算得解. 【详解】由直线与直线平行， 得，所以或. 故答案为：或 13. 已知圆，过直线上一点P作圆C的切线，切点为A、B，则的最小值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据给定条件，求出圆心到直线距离，再利用数量积的运算律，结合圆的切线性质求解. 【详解】圆的圆心，半径， 点到直线的距离，又， 因此，当且仅当时取等号， 所以的最小值为1. 故答案为：1 14. 已知四面体的外接球半径为2，且，，，则平面与平面所成角的正弦值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，利用球的截面圆性质求出球心到平面与平面的距离，再确定二平面所成角的大小，进而求出正弦值. 【详解】令四面体的外接球球心为，由，得线段中点为外接圆圆心， 令外接圆圆心为，则平面，平面， 因此平面与平面的夹角， 由，得外接圆半径，由，得外接圆半径， 由四面体的外接球半径为2，得，， 而，因此， 所以平面与平面所成角的正弦值为. 故答案为： 四、解答题：本大题5个小题，共77分．各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）． 15. 在直三棱柱中，，，，M为中点，． （1）证明：平面； （2）求四面体的体积． 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于点O，利用线面平行的判定定理推理得证. （2）求出点到平面的距离，再利用锥体体积公式求解. 【小问1详解】 在直三棱柱中，连接交于点O，连接， 由为矩形，得O为中点，又M为中点，则， 而平面平面，所以平面. 【小问2详解】 在平面内过点作于，由平面，得， 而平面，则平面， 在中，，，则， ，由M为中点，得点到平面的距离， 又，所以四面体的体积为. 16. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足． （1）求角A； （2）若，的面积为，求的周长． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求解即得. （2）利用三角形面积公式及（1）中信息求出即可. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理，得， 整理得，由余弦定理得，而， 所以. 【小问2详解】 由的面积为，得，解得， 由（1）得，解得， 所以的周长为. 17. 已知圆． （1）求圆C关于直线的对称圆的标准方程； （2）若经过点的直线l将圆C分成两段圆弧，其弧长的比为，求直线l的方程． 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）求出圆心关于直线的对称点，进而求出圆的标准方程. （2）由给定条件求出直线l将圆C分成劣弧所对圆心角，再求出圆心到直线距离，进而分情况求出直线方程. 【小问1详解】 圆的圆心，半径， 设点关于直线对称点，则， 解得，而圆的半径为2， 所以圆的标准方程为. 【小问2详解】 由直线l将圆C分成两段圆弧，其弧长的比为，得分成的劣弧所对圆心角为， 圆心到直线的距离， 直线过点，且点到该直线距离为1，则直线可以为； 当直线的斜率存在时，设方程为，即， 由，解得，方程为，即， 所以直线l的方程为或. 18. 在四棱锥中，底面为等腰梯形，，，，与交于点O，，，，． （1）证明：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值； （3）设的中点为M，在棱上是否存在点Q，使得直线与平面所成角的正弦值为．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）存在，. 【解析】 【分析】（1）取的中点，利用线面垂直证得，再利用线面垂直的判定定理可证明结论. （2）以为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求解可得结果. （3）利用空间向量计算线面角的正弦值，列方程求解可得结果. 【小问1详解】 如图，取的中点，连接，由，得， 由是等腰梯形两条对角线的交点，得，则， 因为平面，所以平面， 又平面，所以， 因为，平面， 所以平面. 【小问2详解】 由（1）及，得直线两两垂直， 以点为原点，分别以直线为轴建立空间直角坐标系， 由，得， 由，得， 所以，故， 设平面的一个法向量为， 则，令，得，故， 由题意得，平面的法向量， 所以，故平面与平面所成角的余弦值为. 【小问3详解】 由（2）知，， 所以，. 假设在线段上存在点Q满足条件，则， 所以. 由（2）知平面的法向量， 因为直线与平面所成角的正弦值为， 所以， 整理得，解得， 所以在线段上存在点Q，使得直线与平面所成角的正弦值为，. 19. 在空间直角坐标系中，正方形的四个顶点分别为、、、，将正方形绕直线旋转角度到，使得B的z坐标为正．再将正方形绕直线旋转角度到，使得的z坐标为正． （1）若，求异面直线与所成的角的余弦值； （2）判断是否存在，使得B，C，，四点共面，若存在，写出一组的值；若不存在，请说明理由； （3）若，求三个四面体、四面体、四面体公共部分的体积． 【答案】（1） （2）不存在，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用空间向量所成的角的余弦值的计算公式求解；（2）利用空间向量垂直的条件，空间向量的夹角的坐标运算公式求得,利用四点共面的向量表达式列出条件，证明满足要求的角不存在，从而证得结论；（3）先判定为棱长都是1的正三棱柱，求得截面的公共交点，三个四面体、四面体、四面体公共部分三棱锥,然后利用比例关系求得此三棱锥的高，进而计算其体积. 【小问1详解】 由已知得 ,, , ∴异面直线与所成的角的余弦值为； 【小问2详解】 由已知得，设, 则, ∴， 其中,, 设,则,,∴. ∴, ∵B，C，，四点共面的充分必要条件是向量共面，亦即向量共面， ∵, ∴存在实数对使得, 即 则,， 所以,,,这与已知中矛盾， ∴不存在，使得B，C，，四点共面； 【小问3详解】 若，则为棱长都是1的正三棱柱， 截面的交线为,其中为正方形的中心， 设的中点分别为,连接,则为线段的中点， 与的交点即为截面的公共交点， 三个四面体、四面体、四面体公共部分是三棱锥, 设平面,垂足为,为三棱锥的高, ，∴,∴, 三棱锥的体积为, 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆南开中学高2027级高一（下）期末考试 数学试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的一个方向向量是（ ）． A. B. C. D. 2. 设，若复数是纯虚数，则（ ）． A. B. C. D. 3. 下列方程一定表示圆的是（ ）． A. B. C. D. 4. 若平面内的两个单位向量，的夹角为，，则（ ）． A. B. 2 C. 4 D. 5 5. 设的内角的对边分别为．，，则的最大值为（ ）． A 1 B. C. 2 D. 6. 已知，若两圆和恰有一条公切线，则的最大值为（ ）． A. B. C. 2 D. 7. 如图，在棱长为2的正方体中，M为棱的中点，点Q在底面正方形内运动，满足，则点Q的轨迹长度为（ ）． A. B. C. D. 8. 如图，在平行四边形中，，，，现将沿直线翻折至，使得点到达点的位置，且二面角的平面角等于，则直线与平面所成的角为（ ）． A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知m，n是空间中两条不同直线，，是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ）． A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 10. 已知内角的对边分别为点为的重心，，，则下列说法正确的是（ ）． A. B. C. 的面积最大值为 D. a的最小值为 11. 如图，在平面直角坐标系中，已知圆上恰有3个点到直线的距离为．设点，，，点Q是圆O上的任意一点，过点B作于M，则下列说法正确的是（ ）． A. B. 点M的轨迹方程为 C. 的最小值为 D. 圆O上存在唯一点Q，使得取到最小值 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本大题3个小题，每小题5分，共15分．各题答案必须填写在答题卡上相应位置（只填结果，不写过程）． 12. 直线与直线平行，则实数______． 13. 已知圆，过直线上一点P作圆C的切线，切点为A、B，则的最小值为______． 14. 已知四面体的外接球半径为2，且，，，则平面与平面所成角的正弦值为______． 四、解答题：本大题5个小题，共77分．各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）． 15. 在直三棱柱中，，，，M中点，． （1）证明：平面； （2）求四面体的体积． 16. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足． （1）求角A； （2）若，面积为，求的周长． 17. 已知圆． （1）求圆C关于直线的对称圆的标准方程； （2）若经过点直线l将圆C分成两段圆弧，其弧长的比为，求直线l的方程． 18. 在四棱锥中，底面为等腰梯形，，，，与交于点O，，，，． （1）证明：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值； （3）设的中点为M，在棱上是否存在点Q，使得直线与平面所成角的正弦值为．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 19. 在空间直角坐标系中，正方形的四个顶点分别为、、、，将正方形绕直线旋转角度到，使得B的z坐标为正．再将正方形绕直线旋转角度到，使得的z坐标为正． （1）若，求异面直线与所成的角的余弦值； （2）判断是否存在，使得B，C，，四点共面，若存在，写出一组的值；若不存在，请说明理由； （3）若，求三个四面体、四面体、四面体公共部分的体积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $