精品解析：福建省宁德市2024-2025学年高二下学期6月期末质量检测数学试题

宁德市2024-2025学年度第二学期期末高二质量检测 数学试题 本试卷有第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟，满分150分. 注意事项： 1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写准考证号、姓名，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号，姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致. 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效. 第Ⅰ卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上） 1. 下列求导运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由导数运算法则即可求解. 【详解】，A选项错误； ，B选项错误； ，C选项正确； ，D选项错误. 故选：C. 2. 对四组数据进行统计，获得如图散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据散点图和相关系数的概念和性质辨析即可. 【详解】由散点图可知，相关系数所在散点图呈负相关，所在散点图呈正相关， 所以都为正数，都为负数. 所在散点图近似一条直线上，线性相关性比较强，相关系数的绝对值越接近1， 而所在散点图比较分散，线性相关性比较弱，相关系数的绝对值越远离1. 综上可得：. 故选：A. 3. 已知向量，，若与共线，则实数值为（ ） A. B. 6 C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量共线列式求出即可. 【详解】由向量，共线，得，解得， 所以. 故选：B 4. 随机变量服从两点分布，其分布列如下表所示： 0 1 则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】由概率之和为1即可列方程求解. 【详解】由题意，解得或（舍去）. 故选：B. 5. 已知函数，若趋近于0时，则趋近于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数定义可得答案. 【详解】由题意，则，所以 可得. 故选：A. 6. 已知某同学在高二期末数学考试中，甲和乙两道选择题同时答对的概率为，在甲题答对的情况下，乙题也答对的概率为，则甲题答对的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由条件概率公式即可求解. 【详解】设甲题答对为事件，乙题答对为事件， 由题意， 所以. 故选：D. 7. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意在上恒成立，分离参数即可求解. 【详解】由题意在上恒成立，即恒成立， 由对勾函数性质可知，在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以，解得，故所求为. 故选：C. 8. 在三棱锥中，，，两两垂直，且，为的中点，为的中点，若为该三棱锥外接球上的一点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意设为为中点，，故问题转换为求的最大值即可. 【详解】 设三棱锥的外接球的球心为， ，，两两垂直，且，则； 三棱锥的外接球的半径为 为的中点，为的中点，，设为为中点，则 ，  ， 要使取到最大值，则必须达到最大，则、、三点要共线， 且满足，故 故选：D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分） 9. 对于变量，的部分成对观测数据如下表所示 1 2 3 4 5 6 7 4 6 6 8 9 11 12 则下列结论中正确的是（ ） A. 样本数据的第50百分位数为7 B. ， C. ，两组成对数据表示的向量在原点处夹角的余弦值大于0 D. 用上表数据得到关于的回归直线方程为，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用百分位数的计算可判定A，根据样本中心点在回归方程上可判定B， D，利用夹角余弦公式计算即可判定C. 【详解】数据的第50百分位数为8，即A错误； 由表格数据及回归方程知，即B正确； 样本中心点代入关于的回归直线方程为，则，即D正确； ，两组成对数据表示的向量都在第一象限，所以原点处夹角的余弦值大于0，即C正确； 故选：BCD 10. 设，下列结论中正确的是（ ） A. 在处的切线斜率为9 B. 有极大值，没有极小值 C. 若，则 D. 与有相同的极大值 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出函数的导数，结合导数的几何意义、极值、单调性判断ABC；借助图象平移变换判断D. 【详解】函数定义域为R，求导得， 对于A，在处的切线斜率为，A正确； 对于B，当或时，；当时，， 函数在处取得极大值，在处取得极小值，B错误； 对于C，由选项B知，函数在上单调递增，当时，，，C正确； 对于D，函数的图象可视为函数的图象右移1个单位而得， 因此与有相同的极大值，D正确. 故选：ACD. 11. 如图，点是棱长为3的正方体表面上的一个动点，是线段的中点，则（ ） A. 若点与点重合时，则异面直线与所成的角的大小为 B. 当点在侧面上运动，且满足时，则动点的轨迹长度为 C. 当在底面上运动，且满足平面时，则动点的轨迹长度为 D. 当直线与所成的角为时，点的轨迹长度为 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，说明直线与直线所成的角为即可判断；对于B，动点的轨迹为线段的长即可判断；对于C，说明点的轨迹为线段，其中分别为的中点；对于D，根据条件得当点在线段，和弧上时，满足题意，只需把三段长度求出来即可. 【详解】选项A：当点与点重合时，连接，易知， 则直线与直线所成的角为，连接，则为等边三角形，所以，A说法正确； 选项B：因为在正方体中，平面，又平面， 所以动点的轨迹为线段，动点的轨迹为线段的长，即为，B说法正确； 选项C：取，，，，，的中点分别为，，，，，， 连接，，，，，，，，，如图所示， 因为，平面，平面，所以平面， ，平面，平面，所以平面， 又，，平面，所以平面平面， 又因为，，， 所以平面和平面是同一个平面， 则点的轨迹为线段，，C说法正确； 选项D：连接，，以为圆心，为半径画弧，如图所示， 当点在弧上时，因为直角三角形中，所以与所成的角为， 则当点在线段，和弧上时，直线与所成的角为， 又，，所以点的轨迹长度为，D说法错误. 故选：ABC. 第Ⅱ卷 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡的相应位置） 12. 已知随机变量服从正态分布，且，则________. 【答案】0.3## 【解析】 【分析】利用正态分布的对称性求出概率. 【详解】由随机变量服从正态分布，且， 得. 故答案为：0.3 13. 在空间直角坐标系中，点，点是点关于平面的对称点，则________. 【答案】5 【解析】 【分析】求得点的坐标为，根据两点间距离公式即可得解. 【详解】因为点是点关于平面的对称点，所以点的坐标为， 所以. 故答案为：5. 14. 已知直线与曲线相切，则的最大值为________. 【答案】 【解析】 【分析】设直线与曲线相切于点，分析可得，设，，利用导数求函数的最大值即可. 【详解】设直线与曲线相切于点， ，，. 又，， . 设，，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，当时，. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知：函数 （1）求在区间上的最大值和最小值； （2）令，若函数在上有三个零点，求实数的取值范围. 【答案】（1）最大值为2，最小值为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据导函数的正负得出函数单调性进而得出最值； （2）解法一：根据函数的零点个数结合导数正负得出单调性及极值即可列式得出参数范围；解法二：参数分离后构造函数得出函数极值进而得出参数范围. 【小问1详解】 由，得， 解得， ，故舍去 当时，，当时，； 在上单调递增，在上单调递减； ，，； 在区间上的最大值为2，最小值为. 【小问2详解】 解法一：在上有三个零点， 则时，解得， 当时，，当时，，当时，； 在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增， 的极大值为，极小值为； 当时，，当时，； 要使在上有三个零点，则 . 解法二：在上有三个零点， 即在上有三个解， 设 则时，解得，， 当时，，当时，，当时，； 在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增， 的极大值为，极小值为； 当时，，当时，； 要使在上有三个零点，则. 16. 某校高中数学兴趣小组共8人，分布如下：高一年级5人（含2个种子选手），高二年级3人（含1个种子选手）.现从数学兴趣小组的8人中随机抽取4人参加市级奥数选拔赛. （1）设事件为“抽取的4人中恰有2名是种子选手，且这2名选手分别来自两个不同年级”，求事件发生的概率； （2）设随机变量为抽取的4人中种子选手的人数，求的分布列及其数学期望. 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据古典概型的概率公式求解即可； （2）由题意随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，利用古典概型的概率公式求出对应的概率即可求出分布列，进而求均值即可. 【小问1详解】 “抽取的4人中恰有2名是种子选手且这2名选手分别来自两个不同年级”即为高一、高二各选1名种子选手. 则 所以，事件发生的概率为. 【小问2详解】 随机变量的取值为0，1，2，3. ， ， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 . 17. 如图，直四棱柱的底面是正方形，，，分别为线段，上的点，且满足. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）思路一：过点作交于点，连结，只需证明，再结合线面平行的判定定理即可得证；思路二：建立适当的空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，故只需证明即可； （2）建立适当的空间直角坐标系，求出直线的方向向量与平面的法向量，再结合向量夹角的余弦公式即可求解. 【小问1详解】 解法一：过点作交于点，连结, , ，， ，， ，， ，且， 四边形是平行四边形， ， 平面，平面， 平面， 解法二：如图，以为原点，分别以，，为轴、轴、轴的正方向，并均以1为单位长度，建立空间直角坐标系， 则，，，，. ，， 设平面的法向量为 ， 取，得，， 则是平面的一个法向量. ， ， 平面， 平面， 【小问2详解】 解法一：如图，以为原点，分别以，，为轴、轴、轴的正方向，并均以1为单位长度，建立空间直角坐标系， 设直线与平面所成角为，平面的法向量为， 则，，，. ，，， ， 取，得，， 则是平面的一个法向量. ， 故直线与平面所成角的正弦值为， 解法二：由（1）可得：，， 平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 故直线与平面所成角的正弦值为. 18. 近年来，宁德市的旅游业发展势头强劲.根据中新网报道，在今年“五一”假期，我市共接待游客达到352.26万人次，旅游总收入约达到26.7亿元，与去年同期相比，游客接待量增长了22.26%，旅游收入增长了20.84%.为了探究“五一”期间游客选择我市旅游线路是否受到某款""宣传的影响，一家研究机构随机抽取了100名来我市旅游的游客进行了调查，以下是调查数据（单位：人）的统计结果： 选择线路的游客 不选择线路的游客 合计 受""宣传影响 40 20 60 未受"宣传影响 10 30 40 合计 50 50 100 （1）试计算的观测值，你有多大的把握认为受""宣传对今年“五一”假日期间到我市旅游的游客选择线路有影响？ （2）若从我市全体游客中抽取2次，每次抽取1名游客.假设全体游客中男、女人数相等，第一次等可能地从男、女游客中抽取1名，若第一次抽到男游客，则第二次抽到男游客的概率为；如果第一次抽到女游客，则第二次抽到男游客的概率为，求第二次抽到男游客的概率. （3）若已知样本中男游客人数为50人，其中选择线路游客为30人；女游客人数为50人，其中选择线路游客为20人.以样本频率估计总体的概率.若从全体游客中男、女各随机抽取2名，设2名男游客中选择线路人数为，2名女游客中选择线路人数为，令，求的分布列. 参考公式及数据：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1），有的把握 （2） （3）分布列： 0 1 2 3 4 【解析】 【分析】（1）由卡方公式计算卡方值，对比临界值即可得解； （2）求得，，，然后根据全概率公式即可求解； （3）的可能值为：0，1，2，求出对应的概率，的所有可能取值为0，1，2，3，4，再求出对应的概率即可得分布列. 【小问1详解】 提出统计假设：受""宣传对今年“五一”假日期间游客选择我市的线路无影响. 根据列联表中数据，， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 所以有的把握认为受""宣传对今年“五一”假日期间游客选择我市的线路有影响. 【小问2详解】 设表示第次抽到男游客，表示第次抽到女游客，，2. 由题可得，，. 由全概率公式，第二次抽到男游客的概率 . 【小问3详解】 由题知，样本中选择线路的男游客频率为，选择线路的女游客频率为. 又，，， ，，， 的所有可能取值为0，1，2，3，4， 则， ， ， ， ， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 4 19. 记，为的导函数.若对，，则称函数为上的“凹函数”. （1）请判断在定义域上是否为凹函数，并说明理由； （2）设函数. （i）若为上的凹函数，求实数的取值范围； （ii）若在上有极值，求的最小整数值. （参考数据：，，，，） 【答案】（1）在定义域上是凹函数. 理由如下： ，定义域， ，， ，， 在定义域上是凹函数. （2）（i）；（ii）2 【解析】 【分析】（1）利用凹函数的定义即可求解； （2）（i）利用凹函数的定义可得在上恒成立，可得在上恒成立，应用最小值解可得的取值范围. （ii）根据题意，转化为在上有解，令，利用导数求得，由零点存在定理知，，求得，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）由，得，， 由于函数为上的凹函数，故， 即， 令，则， 当时，；故在上单调递增， 故， 故，所以， 故的取值范围为； （ii）由，得， 函数在上有极值，即在上有变号零点， 即在上有解， 令，，， 令，则，， ，在上单调递增， ，， 故存在，使得， 即在上单调递减，在上单调递增， 又，，，故存在，使得，且时，，时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故， 由于，， 故，， 又， ， 由零点存在定理知，. 设，因为在上单调递减，且 ，，故. 因为，则 又，的最小值为2. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宁德市2024-2025学年度第二学期期末高二质量检测 数学试题 本试卷有第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟，满分150分. 注意事项： 1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写准考证号、姓名，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号，姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致. 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效. 第Ⅰ卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上） 1. 下列求导运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 对四组数据进行统计，获得如图散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，若与共线，则实数值为（ ） A. B. 6 C. 3 D. 4. 随机变量服从两点分布，其分布列如下表所示： 0 1 则（ ） A. B. C. D. 或 5. 已知函数，若趋近于0时，则趋近于（ ） A. B. C. D. 6. 已知某同学在高二期末数学考试中，甲和乙两道选择题同时答对的概率为，在甲题答对的情况下，乙题也答对的概率为，则甲题答对的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 在三棱锥中，，，两两垂直，且，为的中点，为的中点，若为该三棱锥外接球上的一点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分） 9. 对于变量，的部分成对观测数据如下表所示 1 2 3 4 5 6 7 4 6 6 8 9 11 12 则下列结论中正确的是（ ） A. 样本数据的第50百分位数为7 B. ， C. ，两组成对数据表示的向量在原点处夹角的余弦值大于0 D. 用上表数据得到关于的回归直线方程为，则 10. 设，下列结论中正确的是（ ） A. 在处的切线斜率为9 B. 有极大值，没有极小值 C. 若，则 D. 与有相同的极大值 11. 如图，点是棱长为3的正方体表面上的一个动点，是线段的中点，则（ ） A. 若点与点重合时，则异面直线与所成的角的大小为 B. 当点在侧面上运动，且满足时，则动点的轨迹长度为 C. 当在底面上运动，且满足平面时，则动点的轨迹长度为 D. 当直线与所成的角为时，点的轨迹长度为 第Ⅱ卷 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡的相应位置） 12. 已知随机变量服从正态分布，且，则________. 13. 在空间直角坐标系中，点，点是点关于平面的对称点，则________. 14. 已知直线与曲线相切，则的最大值为________. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知：函数 （1）求在区间上的最大值和最小值； （2）令，若函数在上有三个零点，求实数的取值范围. 16. 某校高中数学兴趣小组共8人，分布如下：高一年级5人（含2个种子选手），高二年级3人（含1个种子选手）.现从数学兴趣小组的8人中随机抽取4人参加市级奥数选拔赛. （1）设事件为“抽取的4人中恰有2名是种子选手，且这2名选手分别来自两个不同年级”，求事件发生的概率； （2）设随机变量为抽取的4人中种子选手的人数，求的分布列及其数学期望. 17. 如图，直四棱柱的底面是正方形，，，分别为线段，上的点，且满足. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 18. 近年来，宁德市的旅游业发展势头强劲.根据中新网报道，在今年“五一”假期，我市共接待游客达到352.26万人次，旅游总收入约达到26.7亿元，与去年同期相比，游客接待量增长了22.26%，旅游收入增长了20.84%.为了探究“五一”期间游客选择我市旅游线路是否受到某款""宣传的影响，一家研究机构随机抽取了100名来我市旅游的游客进行了调查，以下是调查数据（单位：人）的统计结果： 选择线路的游客 不选择线路的游客 合计 受""宣传影响 40 20 60 未受"宣传影响 10 30 40 合计 50 50 100 （1）试计算的观测值，你有多大的把握认为受""宣传对今年“五一”假日期间到我市旅游的游客选择线路有影响？ （2）若从我市全体游客中抽取2次，每次抽取1名游客.假设全体游客中男、女人数相等，第一次等可能地从男、女游客中抽取1名，若第一次抽到男游客，则第二次抽到男游客的概率为；如果第一次抽到女游客，则第二次抽到男游客的概率为，求第二次抽到男游客的概率. （3）若已知样本中男游客人数为50人，其中选择线路游客为30人；女游客人数为50人，其中选择线路游客为20人.以样本频率估计总体的概率.若从全体游客中男、女各随机抽取2名，设2名男游客中选择线路人数为，2名女游客中选择线路人数为，令，求的分布列. 参考公式及数据：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 19. 记，为的导函数.若对，，则称函数为上的“凹函数”. （1）请判断在定义域上是否为凹函数，并说明理由； （2）设函数. （i）若为上的凹函数，求实数的取值范围； （ii）若在上有极值，求的最小整数值. （参考数据：，，，，） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $