精品解析：福建省宁德市2023-2024学年高二下学期期末质量检测数学试题

宁德市2023-2024学年第二学期期末高二质量检测 数 学 试 题 注意事项： 1．答题前，学生务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的学校、准考证号、姓名.学生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与学生本人准考证号、姓名是否一致. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数在时的瞬时变化率为（ ） A. 0 B. 2 C. 4 D. 6 2 已知向量，，若∥，则实数（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 根据分类变量 X 和Y 的样本观察数据的计算结果，有不少于95%的把握认为 X 和Y 有关，则的值不可能为（ ） 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879 0.150 0.100 0.050 0010 0.005 A. 2.819 B. 5.512 C. 6.635 D. 8.243 4. 已知函数在点处的切线方程为，则（ ） A. B. C. D. 5. 在正方体中，为棱的中点，则异面直线与夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 在标准正交基下，已知向量，则在上的投影等于（ ） A. B. C. D. 7. 一校园公用电话在某时刻恰有个学生正在使用或等待使用该电话的概率为，根据统计得到，其中为常数，则在该时刻没有学生正在使用或等待使用该电话的概率为（ ） A. ​ B. ​ C. ​ D. ​ 8. 若不等式有且仅有三个整数解，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，其导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 函数在上单调递增 B. 函数在上单调递减 C. 函数在处取得极小值 D. 函数在处取得最大值 10. 有甲乙两个袋子，甲袋中装有2个白球，1个红球，乙袋中装有1个白球，2个红球，除颜色外，各个球完全相同.现从甲袋中任取一个球放入乙袋，再从乙袋中随机取出1个球，记事件表示从甲袋中取出的球是白球，表示从甲袋中取出的球是红球，事件表示从乙袋中取出的球是白球，则下列选项中正确的是（ ） A. 事件与事件不相互独立 B. C. D. 11. 如图，正八面体每个面都是正三角形，四边形是边长为2的正方形，是中点，在正方形（含边界）内运动，点分别在线段和上运动，则下列结论正确的是（ ） A. 点到平面的距离为 B. 二面角的余弦值为 C. 当//平面时，点轨迹长度为 D. 线段长度的最小值为2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若数据的方差为3，则数据的方差为_________． 13. 四棱锥的底面是平行四边形，且，若则_________． 14. 若不等式恒成立，则实数的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设函数 是的极值点. （1）求实数的值; （2）若函数有三个零点，求实数的取值范围． 16. 注重劳动教育是中国特色社会主义教育制度的重要内容，直接决定社会主义建设者和接班人的劳动精神面貌、劳动价值取向和劳动技能水平.某市开辟特色劳动教育基地，指导学生种植豆角，某同学针对“豆角亩产量的增加量y（百千克）与某种液体肥料每亩使用量x（千克）之间的关系”进行研究，得出了y与x具有线性相关关系的结论．现从劳动基地的豆角试验田中随机抽取亩，其亩产增加量与该肥料每亩使用量关系如下表： 某种液体肥料每亩使用量x（千克） 2 4 5 6 8 豆角亩产量的增加量y（百千克） 3 4 4 5 5 （1）求豆角亩产量增加量y对该液体肥料每亩使用量x的线性回归方程．预测该液体肥料每亩使用量为12千克时，豆角亩产量的增加量为多少百千克？ （2）若豆角亩产量的增加量不低于5百千克的试验田称为“优质试验田”，现从抽取的5亩试验田中随机选出亩，记其中优质试验田的数量为，求的分布列和数学期望． 参考公式：，．参考数据：，. 17. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面，，，为的中点，点在线段上运动. （1）线段上是否存在点，满足∥平面？若存在，求的值，若不存在，说明理由； （2）当直线与平面所成的角最大时，求线段的长度. 18. 毒品是人类的公敌，禁毒是社会的责任，当前宁德市正在创建全国禁毒示范城市，我市组织学生参加禁毒知识竞赛，为了解学生对禁毒有关知识的掌握情况，采用随机抽样的方法抽取了500名学生进行调查，成绩全部分布在分之间，根据调查结果绘制的学生成绩的频率分布直方图如图所示． （1）求频率分布直方图中的值； （2）由频率分布直方图可认为这次全市学生的竞赛成绩近似服从正态分布，其中为样本平均数（同一组数据用该组数据的区间中点值作代表），.现从全市所有参赛的学生中随机抽取10人进行座谈，设其中竞赛成绩超过135.2分的人数为，求随机变量的期望．（结果精确到0.01）； （3）全市组织各校知识竞赛成绩优秀的同学参加总决赛，总决赛采用闯关的形式进行，共有20个关卡，每个关卡的难度由计算机根据选手上一关卡的完成情况进行自动调整，第二关开始，若前一关未通过，则其通过本关的概率为；若前一关通过，则本关通过的概率为，已知甲同学第一关通过的概率为，记甲同学通过第关的概率为，请写出的表达式，并求出的最大值. 附：若随机变量服从正态分布，则，，. 19. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）记曲线在，两点处切线的斜率为、，直线的斜率为，其中.求证：当时，有. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 宁德市2023-2024学年第二学期期末高二质量检测 数 学 试 题 注意事项： 1．答题前，学生务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的学校、准考证号、姓名.学生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与学生本人准考证号、姓名是否一致. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数在时的瞬时变化率为（ ） A. 0 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】求导，即可代入求解. 【详解】由可得， 故时的瞬时变化率为， 故选：B 2. 已知向量，，若∥，则实数（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由∥列方程求解即可. 【详解】因为向量，，∥， 所以，得. 故选：C 3. 根据分类变量 X 和Y 的样本观察数据的计算结果，有不少于95%的把握认为 X 和Y 有关，则的值不可能为（ ） 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879 0.150 0.100 0.050 0.010 0.005 A. 2.819 B. 5.512 C. 6.635 D. 8.243 【答案】A 【解析】 【分析】利用独立性检验的观测值对应临界表可得答案． 【详解】因为有不少于95%的把握认为 X 和Y 有关， 所以，只有A不满足要求. 故选：A 4. 已知函数在点处的切线方程为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由切线的几何意义得，将代入切线方程得，从而得解. 【详解】由切线方程，得， 将代入切线方程，得，所以， 则. 故选：C 5. 在正方体中，为棱的中点，则异面直线与夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图所示，根据直线间的平行关系进行转化，即异面直线与夹角的余弦值等价于的余弦值，然后根据余弦定理即可求解. 【详解】取的中点，连接，， 因为，， 所以四边形是平行四边形， 所以， 所以是异面直线与夹角或其补角， 设正方体棱长为2， 则，， 在中，由余弦定理得，， 所以异面直线与夹角的余弦值为. 故选：C. 6. 在标准正交基下，已知向量，则在上的投影等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出的坐标，再利用投影公式即可求解. 【详解】因为，， 所以， 又因为， 所以， 所以在上的投影为. 故选：D. 7. 一校园公用电话在某时刻恰有个学生正在使用或等待使用该电话的概率为，根据统计得到，其中为常数，则在该时刻没有学生正在使用或等待使用该电话的概率为（ ） A. ​ B. ​ C. ​ D. ​ 【答案】B 【解析】 【分析】利用概率之和为1求出，然后令，即可求解. 【详解】， ，即. 故选：B. 8. 若不等式有且仅有三个整数解，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，作出的图象为，则结合图象，要不等式有且仅有三个整数解，取讨论它们的大小，即可得到的范围. 【详解】设， ，由，得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增，且， 作出的图象为， 由，， 当时，，即， 当时，，即， 因为， ，所以， 而， 即， 则结合图象，要不等式有且仅有三个整数解， 只需 即， 所以实数a的取值范围是. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，其导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 函数在上单调递增 B. 函数在上单调递减 C. 函数在处取得极小值 D. 函数在处取得最大值 【答案】AC 【解析】 【分析】根据导函数的图象判断出导数的正负，从而可求出函数的单调区间和极值. 【详解】由图象知， 当或时，， 当或时，， 所以的递增区间为和，递减区间为和， 所以在和处取得极小值，在处取得极大值，无最大值， 所以AC正确，BD错误， 故选：AC 10. 有甲乙两个袋子，甲袋中装有2个白球，1个红球，乙袋中装有1个白球，2个红球，除颜色外，各个球完全相同.现从甲袋中任取一个球放入乙袋，再从乙袋中随机取出1个球，记事件表示从甲袋中取出的球是白球，表示从甲袋中取出的球是红球，事件表示从乙袋中取出的球是白球，则下列选项中正确的是（ ） A. 事件与事件不相互独立 B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题可得、，可判断B选项；利用乘法公式求，可判断C选项；利用全概率公式可判断D选项；利用独立事件的定义可判断A选项； 【详解】，，，， ，故B正确，C错误； 由全概率公式可得，D正确， ， 所以事件与事件不相互独立，A正确. 故选：ABD 11. 如图，正八面体的每个面都是正三角形，四边形是边长为2的正方形，是中点，在正方形（含边界）内运动，点分别在线段和上运动，则下列结论正确的是（ ） A. 点到平面的距离为 B. 二面角的余弦值为 C. 当//平面时，点的轨迹长度为 D. 线段长度的最小值为2 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定的几何体，利用等体积法判断A，对于B，取中点，连接，，可得二面角的平面角为，求出即可；对于C，取中点，连接，，，，可证平面平面，从而得到点运动轨迹为平面与正方形（含边界）的交线，即线段,对于D，连接，，，交于，可证四边形为正方形，从而得到. 【详解】对于A，连接，交于，连接， 因为四边形为正方形，则为，的中点， 又因为， 所以，， 由于，，平面， 所以平面，， 所以四棱锥的的体积， 设点D到平面的距离为，， 由，得，解得：，故A正确； 对于B，取中点，连接，， 因为，，则，， 所以二面角的平面角为， 因为，，所以，故B正确； 对于C，取中点，连接，，，， 因为，分别为，的中点，所以，由于平面，平面，所以平面， 同理可得平面，由于，且，平面，所以平面平面， 由于在正方形（含边界）内运动，//平面，则点运动轨迹为平面 与正方形（含边界）的交线，即线段，长度为，故C错误； 对于D，连接，，，交于， 由A选项可知与垂直平分，则四边形为菱形，因为，， 所以，即，所以菱形为正方形， 所以当点分别在线段和上运动时，，故D正确； 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若数据的方差为3，则数据的方差为_________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题根据方差的概念和性质计算即可得出答案. 【详解】设数据的平均数为，则， 因为其方差为3，所以， 又因为的平均数， 所以其方差为 ， 故答案为：12. 13. 四棱锥的底面是平行四边形，且，若则_________． 【答案】## 【解析】 【分析】运用三点共线的向量表达式可以得到，再运用三角形法则和向量相等，转化为表示即可 【详解】 如图，由于，则运用三点共线的向量表达式可以得到，． 即 则，则. 故答案为：. 14. 若不等式恒成立，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】将不等式变形为，构造函数，得到在上单调递增， 从而将问题转化为恒成立，令，利用导数求出的最大值即可求解. 【详解】由，则等价于，两边加， 可得，即， 令，则等价于， 因为，所以在上单调递增， 所以等价于，即， 令，则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 故，所以，即，故实数的取值范围是， 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题解题关键是将已知不等式变形为，构造函数研究单调性和最值. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设函数 是的极值点. （1）求实数的值; （2）若函数有三个零点，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据极值点概念性质，求出即可；（2）函数有三个零点，等价曲线与直线有三个不同的交点．通过求导得出单调性，得出极值，大概画出图像，用图像解题即可. 【小问1详解】 因为是极值点，所以，解得 ， 经检验，符合题意，所以. 【小问2详解】 若函数有三个零点，等价曲线与直线有三个不同的交点， 由（1）可得，， 令，则或 当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 当时，，此时单调递增, 所以在和上单调递增，在上单调递减. 所以; . 又时，；，． 画出图像，结合图像 所以 即实数的取值范围为. 16. 注重劳动教育是中国特色社会主义教育制度的重要内容，直接决定社会主义建设者和接班人的劳动精神面貌、劳动价值取向和劳动技能水平.某市开辟特色劳动教育基地，指导学生种植豆角，某同学针对“豆角亩产量的增加量y（百千克）与某种液体肥料每亩使用量x（千克）之间的关系”进行研究，得出了y与x具有线性相关关系的结论．现从劳动基地的豆角试验田中随机抽取亩，其亩产增加量与该肥料每亩使用量关系如下表： 某种液体肥料每亩使用量x（千克） 2 4 5 6 8 豆角亩产量的增加量y（百千克） 3 4 4 5 5 （1）求豆角亩产量的增加量y对该液体肥料每亩使用量x的线性回归方程．预测该液体肥料每亩使用量为12千克时，豆角亩产量的增加量为多少百千克？ （2）若豆角亩产量的增加量不低于5百千克的试验田称为“优质试验田”，现从抽取的5亩试验田中随机选出亩，记其中优质试验田的数量为，求的分布列和数学期望． 参考公式：，．参考数据：， 【答案】（1），6.65百千克 （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据公式求出平均值，再求出，最后平均值代入求出即可. （2）根据超几何分布的概率公式求出概率分布列，最后求出期望即可. 【小问1详解】 ，， ， 所以， 当时， 所以预测当液体肥料每亩使用量为12千克时，豆角亩产量的增加量为6.65百千克. 【小问2详解】 由表可知，优质试验田有2亩， 所以的可能取值为0，1，2． ；；. 故分布列为 0 1 2 17. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面，，，为的中点，点在线段上运动. （1）线段上是否存在点，满足∥平面？若存在，求的值，若不存在，说明理由； （2）当直线与平面所成的角最大时，求线段的长度. 【答案】（1）存在， （2） 【解析】 【分析】(1)利用中位线定理可得线线平行，再由线面平行的判定定理即可证明； (2)建立空间直角坐标系，根据题意写出各点坐标，可设，求出平面的法向量，根据夹角公式可得， 平方得，设，求导可得当时，函数取得最大值，即得线段的长度. 【小问1详解】 存在符合题意的点，此时点为线段的中点. 底面为正方形， 也为线段中点， 又为的中点，则为的中位线， . 又平面， 平面， 平面， 此时. 【小问2详解】 如图，以为原点，分别以的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，则，， 设平面的一个法向量为, 则，即, 令，则，即， 因为点在线段上运动，可设,则, 设直线与平面所成角为, 则， 所以. 设，则, 因为当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减, 所以当时，取得最大值，即取得最大值, 又时，函数单调递增. 所以直线与平面所成角最大时，线段的长度为. 18. 毒品是人类的公敌，禁毒是社会的责任，当前宁德市正在创建全国禁毒示范城市，我市组织学生参加禁毒知识竞赛，为了解学生对禁毒有关知识的掌握情况，采用随机抽样的方法抽取了500名学生进行调查，成绩全部分布在分之间，根据调查结果绘制的学生成绩的频率分布直方图如图所示． （1）求频率分布直方图中的值； （2）由频率分布直方图可认为这次全市学生的竞赛成绩近似服从正态分布，其中为样本平均数（同一组数据用该组数据的区间中点值作代表），.现从全市所有参赛的学生中随机抽取10人进行座谈，设其中竞赛成绩超过135.2分的人数为，求随机变量的期望．（结果精确到0.01）； （3）全市组织各校知识竞赛成绩优秀的同学参加总决赛，总决赛采用闯关的形式进行，共有20个关卡，每个关卡的难度由计算机根据选手上一关卡的完成情况进行自动调整，第二关开始，若前一关未通过，则其通过本关的概率为；若前一关通过，则本关通过的概率为，已知甲同学第一关通过的概率为，记甲同学通过第关的概率为，请写出的表达式，并求出的最大值. 附：若随机变量服从正态分布，则，，. 【答案】（1）． （2）0.23 （3）， 【解析】 【分析】（1）根据题意，由频率分布直方图的性质，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由正态分布的概率公式可得，再由二项分布的期望公式，代入计算，即可得到结果； （3）根据题意，由全概率公式可得，再由等比数列的通项公式可得，即可得到其最大值. 【小问1详解】 由频率分布直方图，得， 解得． 【小问2详解】 由题意得，， ，， . 【小问3详解】 记甲同学第关通过为事件，依题意，， 当时，， 所以， 所以， 所以， 又因为，则， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以， 当n为奇数时，， 当n为偶数时，，则随着n的增大而减小， 所以，，又，所以的最大值为. 19. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）记曲线在，两点处切线斜率为、，直线的斜率为，其中.求证：当时，有. 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）法一：求，令，，通过讨论判别式得到的取值范围求解；法二：求，令，，通过讨论的范围求解； （2）求，得到、、，要证，只要证，设，只要证，令，设，，通过求导判断函数的单调性求解最值即可证. 【小问1详解】 函数的定义域为，， 令，，， 法一： ①当，即时，在上恒成立， 此时在上恒成立，在上单调递增， ②当，即时， （i）当时， 由，解得，此时， 由，可解得，此时， 所以在上单调递减，在上单调递增； （ii）当时，在上恒成立，此时在上单调递增， 法二： ①当时，在上恒成立，此时在上单调递增， ②当时，， 若时，，此时单调递减， 若时，，此时单调递增， 所以在上单调递减，在上单调递增， 综上所述，当时，在上单调递增，无单调减区间， 当时，在上单调递减，在上单调递增； 【小问2详解】 因为，所以，，， 要证，只要证， 不妨设，则只要证， 只要证，只要证， 令，因为且，则，所以只要证， 设，，则，当时恒成立， 所以在上单调递增，所以， 因为，，所以， 所以只要证， 设， ， 所以在上单调递增，所以， 所以，得证. 【点睛】关键点点睛：第二问解题的关键点是转化为设，利用导数证，本题考查转化与化归思想，而构造函数的解题思路恰好是这种思想的良好体现. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$