精品解析：湖南省长沙市雷锋学校2024-2025学年高一下学期7月期末数学试题

高一期末数学试卷 一、单选题 1. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 设为给定的一个实常数，命题，则“”是“命题为真命题”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知命题，，则为（ ） A. ， B. ， C. ，或 D. ，或 4. 如图是函数的部分图象，则在上的值域为（ ） A. B. C. D. 5. 已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是　　 A. B. C. D. 6. 已知，函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 我国古代建筑的屋顶对建筑立面起着特别重要的作用，古代建筑屋顶主要有庑殿式、硬山顶、歇山顶、悬山顶攒尖顶、盝顶、卷棚顶等类型，其中硬山式屋顶造型的最大特点是比较简单、朴素，只有前后两面坡，而且屋顶在山墙墙头处与山墙齐平，没有伸出部分，山面裸露没有变化．硬山式屋顶（如图1）可近似地看作直三棱柱（如图2），其高为，到平面的距离为，为，则可估算硬山式屋顶的体积约为（ ） A. B. C. D. 8. 已知E，F分别是棱长为2的正四面体的对棱的中点.过的平面与正四面体相截，得到一个截面多边形，则下列说法正确的是（ ） A. 截面多边形不可能是平行四边形 B. 截面多边形周长是定值 C. 截面多边形的周长的最小值是 D. 截面多边形的面积的取值范围是 二、多选题 9. 已知为第一象限角．则（ ） A. 为第三象限角 B. 为第二象限角 C. D. 10. 对于函数，下列判断正确的是（ ） A B. 当时，方程总有实数解 C. 函数的值域为 D. 函数的单调递增区间为 11. 有一组样本数据，，…，，由这组数据得到新样本数据，，…，，，其中，则（ ） A. 两组样本数据的样本平均数相同 B. 两组样本数据的样本中位数相同 C. 两组样本数据的样本标准差相同 D. 两组样本数据的样本极差相同 三、填空题 12. 半径为，圆心角为的弧长为___________. 13. 已知函数，，零点分别为a，b，c，则________． 14. 若将函数的图像向左平移个单位长度后关于y轴对称，则实数的最小值为__________． 四、解答题 15. 已知全集，集合，. （1）若，求； （2）若“”是“”充分不必要条件，求的取值范围. 16. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，. （1）求和的值； （2）已知点M为BC的中点，求AM的长度. 17. 设全集，集合A是U的真子集．设正整数，若集合A满足如下三个性质，则称A为U的子集： ①； ②，若，则； ③，若，则． （1）当时，判断是否为U的子集，说明理由； （2）当时，若A为U的子集，求证：； （3）当时，若A为U的子集，求集合A． 18. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求的解析式； （2）求在上的单调增区间； （3）若，求的值. 19. 如图所示，边长为2（百米）的正方形区域是某绿地公园的一个局部，环线是修建的健身步道（不计宽度），其中弯道段是抛物线的一段，该抛物线的对称轴与平行，端点是该抛物线的顶点且为的中点，端点在上，且长为（百米），建立适当的平面直角坐标系，解决下列问题. （1）求弯道段所确定的函数的表达式； （2）绿地管理部门欲在弯道段上选取一点安装监控设备，使得点处监测段的张角最大，求点的坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一期末数学试卷 一、单选题 1. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】修改量词，否定结论，可得结果. 【详解】修改量词，否定结论，得“，”， 故选：C. 2. 设为给定的一个实常数，命题，则“”是“命题为真命题”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由为真命题，可得，再利用充分条件、必要条件的定义即可求解. 【详解】命题，若命题为真命题， 则，即，解得， ，反之不成立， 所以“”是“命题为真命题”的充分不必要条件. 故选：A 【点睛】本题考查了充分不必要条件、一元二次不等式恒成立，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题. 3. 已知命题，，则为（ ） A. ， B. ， C. ，或 D. ，或 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题易求. 【详解】根据全称量词命题的否定为存在量词命题知： 命题，的否定为，或. 故选：D 4. 如图是函数的部分图象，则在上的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据所给图象可确定周期，进而根据周期公式求解得，根据五点作图可得，进而知，由得，即可求解值域. 【详解】由图象知函数的周期，即，即， 由五点对应法得，得，则， 因为，所以，所以. 故选：D 5. 已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是　　 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可． 【详解】建立如图所示的坐标系，以中点为坐标原点， 则，，， 设，则，，， 则 当，时，取得最小值， 故选：． 6. 已知，函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由且，求得，再由正弦函数的性质，得到且， 求得，进而得到答案. 【详解】因为，函数在上单调递增， 则函数的周期满足，即，可得，可得， 令，解得， 因为函数在上单调递增，则满足， 可得且，解得， 又因为，当时，可得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 7. 我国古代建筑的屋顶对建筑立面起着特别重要的作用，古代建筑屋顶主要有庑殿式、硬山顶、歇山顶、悬山顶攒尖顶、盝顶、卷棚顶等类型，其中硬山式屋顶造型的最大特点是比较简单、朴素，只有前后两面坡，而且屋顶在山墙墙头处与山墙齐平，没有伸出部分，山面裸露没有变化．硬山式屋顶（如图1）可近似地看作直三棱柱（如图2），其高为，到平面的距离为，为，则可估算硬山式屋顶的体积约为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三棱柱的体积公式求解即可. 【详解】解：如图，过作于， 由题意可知，在直三棱柱中，到平面的距离为， 即，又， 所以该柱体体积. 故选：B. 8. 已知E，F分别是棱长为2的正四面体的对棱的中点.过的平面与正四面体相截，得到一个截面多边形，则下列说法正确的是（ ） A. 截面多边形不可能是平行四边形 B. 截面多边形的周长是定值 C. 截面多边形的周长的最小值是 D. 截面多边形的面积的取值范围是 【答案】D 【解析】 【分析】将平面从平面开始旋转，结合对称性可判断A；设，利用余弦定理表示出，利用几何意义求最小值，利用二次函数单调性求最大值可判断BC；先判断，然后利用向量方法求出，可得截面面积的范围，可判断D. 【详解】对于A，当平面过或时，截面为三角形. 易知正四面体关于平面对称，将平面从平面开始旋转与交于点时， 由对称性可知，此时平面与交于点，且， 此时截面为四边形，且注意到当分别为的中点时，此时满足， 且，即此时截面四边形是平行四边形，故A错误； 对于BC，设，由余弦定理得， ， 由两点间距离公式知，表示动点到定点和的距离之和， 当三点共线时取得最小值， 由二次函数单调性可知，当或时，取得最大值， 所以截面多边形周长的取值范围是，故BC错误； 对于D，记与的交点为，由对称性，， 所以，， 因为， 所以，所以， 记， 则， 因为， 所以 ， 由二次函数性质可知，，即， 所以，故D正确； 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解题关键是找到正四面体的对称性，根据对称性判断截面形状，利用余弦定理求周长，利用空间向量求距离，然后可得面积，题目综合性强，对学生的直观想象能力有较高的要求. 二、多选题 9. 已知为第一象限角．则（ ） A. 第三象限角 B. 为第二象限角 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】 根据为第一象限角，依次判断即可. 【详解】对A，若为第一象限角，则为第三象限角，故A正确； 对B，若为第一象限角，则为第四象限角，故B错误； 对C，若为第一象限角，则，则，故C正确； 对D，若为第一象限角，，由于和的大小不确定，故无法判断，故D错误. 故选：AC. 10. 对于函数，下列判断正确的是（ ） A. B. 当时，方程总有实数解 C. 函数的值域为 D. 函数的单调递增区间为 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项，求出，从而得到； B选项，举出反例即可； C选项，，利用基本不等式求出时，结合函数奇偶性得到函数值域； D选项，举出反例. 【详解】对于，因为，故 所以，所以A正确； 对于B，当时，，，，无解，所以B错误； 当时，，其中由基本不等式得，当且仅当，时，等号成立，所以， 又由A选项可知为奇函数， 故当时，，所以函数的值域为，C正确； ∵， 在上不可能单调递增，所以D错误. 故选：AC． 11. 有一组样本数据，，…，，由这组数据得到新样本数据，，…，，，其中，则（ ） A. 两组样本数据的样本平均数相同 B. 两组样本数据的样本中位数相同 C. 两组样本数据的样本标准差相同 D. 两组样本数据的样本极差相同 【答案】AD 【解析】 【分析】根据平均数、方差公式判断数据添加后新的平均数、方差变化情况，由中位数、极差定义判断中位数、极差的变化情况. 【详解】新数据平均数，故两组数据平均数相同，A正确； 若为偶数且两组数据1到n或(n+1)依次从小到大排序后，则原数据中位数，而新数据中位数为，不一定相等，B错误； 原数据方差，而新数据方差，故标准差不一定相同，C错误； 由必大于原数据中的最小值，而小于最大值，所以两组数据的极差相等，D正确. 故选：AD 三、填空题 12. 半径为，圆心角为的弧长为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据弧长公式(：扇形圆心角，：扇形的半径) 【详解】 故答案为： 13. 已知函数，，的零点分别为a，b，c，则________． 【答案】3 【解析】 【分析】先把转化为函数，，与的交点的横坐标，再利用与互为反函数，可得，又，所以. 【详解】如图，在平面直角坐标系中，作函数，，的图象，它们的图象与函数的交点的横坐标就是. 因为，互为反函数，其图象关于直线对称，与垂直，所以. 又，所以. 所以. 故答案为：3 14. 若将函数的图像向左平移个单位长度后关于y轴对称，则实数的最小值为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】写出函数平移的解析式，正弦函数关于y轴对称时有，讨论k值即有的最小值 【详解】依题意得，， 所以，，得，，，故的最小值为2． 故答案为：2 四、解答题 15. 已知全集，集合，. （1）若，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围. 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（1）先解二次与一次不等式化简集合，再进行集合的补、并运算即可得解； （2）根据题意得到是的真子集，从而利用集合的包含关系得到关于的不等式组，解之即可得解. 【小问1详解】 由题意知， ， 若，则， 所以， 所以. 【小问2详解】 由（1）得，， 因为“”是“”的充分不必要条件，所以为的真子集， 所以且等号不同时成立， 解得， 即的取值范围是. 16. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，. （1）求和的值； （2）已知点M为BC的中点，求AM的长度. 【答案】（1），；（2）. 【解析】 【分析】 （1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求的值，进而利用二倍角的正弦函数公式可求的值，进而利用正弦定理可得的值． （2）由余弦定理求出，再利用余弦定理计算可得； 【详解】解：（1）由，，得， ∴， 由正弦定理，可得. ∴，. （2）在中，由余弦定理， 得，解得或， 当时，由得为等腰三角形，又， 得为等腰直角三角形，矛盾. ∴. 在中，由余弦定理， ∴. 【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理、余弦定理的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题． 17. 设全集，集合A是U的真子集．设正整数，若集合A满足如下三个性质，则称A为U的子集： ①； ②，若，则； ③，若，则． （1）当时，判断是否为U的子集，说明理由； （2）当时，若A为U的子集，求证：； （3）当时，若A为U的子集，求集合A． 【答案】（1）不是U的子集； （2）证明见解析； （3）集合. 【解析】 【分析】（1）取，由不满足性质②可得不是U的子集； （2）通过反证法，分别假设，的情况，由不满足子集的性质，可证明出； （3）由（2）得，，，，再分别假设，，，四种情况，由不满足子集的性质，可得出，再根据性质②和性质③，依次凑出8~23每个数值是否满足条件即可. 【小问1详解】 当时，，，， 取，则，但，不满足性质②， 所以不是U的子集. 【小问2详解】 当时，A为U的子集， 则； 假设，设，即 取，则，但，不满足性质②， 所以，； 假设， 取，，且，则， 再取，，则， 再取，，且， 但与性质①矛盾， 所以. 【小问3详解】 由（2）得，当时，若A为U的子集，，，， 所以当时，， 若A为U的子集，，，； 若，取，，则，， 再取，，则，与矛盾， 则，； 若，取，，则，与矛盾，则，； 若，取，，则，与矛盾，则，； 若，取，，则，与矛盾，则，； 取，，则，； 取，，则； 取，，则，； 取，，则； 取，，则，； 综上所述，集合 【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 18. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求的解析式； （2）求在上的单调增区间； （3）若，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的图象，依次求得的值. （2）利用整体代入法和赋值法来求得正确答案. （3）利用诱导公式、同角三角函数的基本关系式等知识来求得正确答案. 【小问1详解】 由图可知， ， 则，由， 得，则， 由于，所以，所以. 【小问2详解】 由于， 要使，则令得， 所以在上的单调增区间是. 【小问3详解】 ， . 19. 如图所示，边长为2（百米）的正方形区域是某绿地公园的一个局部，环线是修建的健身步道（不计宽度），其中弯道段是抛物线的一段，该抛物线的对称轴与平行，端点是该抛物线的顶点且为的中点，端点在上，且长为（百米），建立适当的平面直角坐标系，解决下列问题. （1）求弯道段所确定的函数的表达式； （2）绿地管理部门欲在弯道段上选取一点安装监控设备，使得点处监测段的张角最大，求点的坐标. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）如图建立平面直角坐标系，可得抛物线方程为，即得； （2）设，利用两角和公式可得，令再利用基本不等式可得的最大值，即求. 【小问1详解】 如图建立平面直角坐标系， 则， 设抛物线的方程为，则， ∴，即， ∴弯道段所确定函数； 【小问2详解】 设，过P作PQ⊥CD于Q， 则， ∴， 令则， ∴， 当且仅当，即，时取等号， ∴当时，最大，即最大， ∴点的坐标为时，点处监测段的张角最大. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$