1.2提公因式法（1）课件 2025—2026学年湘教版八年级数学上册

1.2提公因式法（1） 学习目标 1.理解公因式的概念，会找单项式的公因式; 2.当公因式是单项式时会提取公因式. 问题：整数 18，42，60 的最大公因数是什么？ 18 = 6×3 42 = 6×7 60 = 6×10 6 思考：多项式 z2 + yz 中每一项的因式分别是什么？你发现什么？ 每一项中均有因式 z z2 的因式是 z 和 z yz 的因式是 y 和 z 新知导入 分别说出xy，3xz中次数大于0的因式，其中有相同的因式吗？ xy xy 中，次数大于 0 的因式有x，y； 3xz中，次数大于0的因式有x，z.于 xy xy与3xz有相同的 因式x.0 新知探究 几个多项式的相同因式称为它们的公因式. 公因式: 由于x（y + 3z）= xy + 3xz， 故xy + 3xz = x（y + 3z）是多项式xy + 3xz的因式分解. 新知探究 像上面这样，如果一个多项式的各项有公因式，从右到左使用多项式的乘法对加法的分配律，可以把所有公因式提到括号外面. 这种把多项式因式分解的方法叫作提公因式法. 提公因式法: 新知探究 xy+xz+xw 提取公因式x 乘法分配律 =x·y+x·z+x·w =x(y+z+w) 如何确定应提取的公因式？ 3ax2y+6x3yz 3ax2y=3•a•x•x•y 6x3yz=2•3•x•x•x•y•z 3ax2y+6x3yz=3x2y（a+2xz） 公因式 3x2y 新知探究 正确找出多项式的公因式的步骤： 1. 定系数：对于整数系数的多项式来说，公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数； 2. 定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母； 3. 定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即同字母的最低次数. 新知探究 提取公因式法的一般步骤: （1）确定应提取的公因式； （2）用公因式去除这个多项式，所得的商作为另一个因式； （3）把多项式写成这两个因式的积的形式. 注意：提取公因式后，应使多项式余下的各项不再含有公因式. 新知探究 例题讲解 例1 分析：多项式由4x2和-6x3这两项组成，它们的系数分别为4，-6，不考虑其符号，则 4与 6的最大公因数是 2；这两项都含有字母 x，且 x的最低次数为2. 因此，可提出公因式2x2. 把多项式4x2 - 6x3因式分解. 解:4x2 - 6x3 = 2x2（2 - 3x）. 例2 把多项式8x2 y4 - 12xy2z因式分解. 解:8x2y4- 12xy2z = 4xy2⋅2xy2 - 4xy2⋅3z = 4xy2（2xy2 - 3z）. 当多项式中有多个未知数时，公因式含的字母是各项中相同的字母x和y，它们的指数取各项中次数最低的. 例题讲解 三名同学对多项式2x2 + 4x进行因式分解，结果如下： （1） 2x2 + 4x = 2（x2 + 2x）； （2） 2x2 + 4x = x（2x + 4）； （3） 2x2 + 4x = 2x（x + 2）. 上述结果正确吗？用提公因式法分解因式时，你认为应注意什么？ 新知探究 解:（3）正确. 用提公因式法分解因式时公因式要提尽. 例题讲解 例3 分析：多项式由 5x2，-3xy和 x这三项组成，它们的系数分别为5，-3，1，不考虑其符号，则5，3，1的最大公因数是1；这三项都含有字母x，且x的最低次数为1. 因此，可提出公因式x. 把多项式5x2 - 3xy + x因式分解. 解:5x2 - 3xy + x = x（5x - 3y + 1） 提公因式后，第三项还剩下数字1. 例题讲解 例4 分析：多项式-3x2 + 6xy - 3xz 的首项系数为负数，一般先将负号提取出来，此时括号内各项都要改变符号，然后进行因式分解. 把多项式-3x2 + 6xy - 3xz因式分解. 解:-3x2 + 6xy - 3xz =-（3x2 - 6xy + 3xz）=-3x（x - 2y + z）. 用提公因式法分解因式应注意： （1）公因式要提尽； （2）小心漏项； （3）提取公因式后，多项式的首项取正号. 新知探究 课堂练习 说出下列多项式中各项的公因式： （1） 5x + 2xy； （2） πx3 + πx2；（3）-12x2 y + 18xy - 15y. 练习1 解：(1)x (2)πx2 (3)3y 课堂练习 在下列括号内填写适当的多项式： （1） 3x4 - 2x3 + x = x（ ）； （2）-30x3 y2 + 48x2 yz =-6x2 y（ ）. 练习2 3x3-2x2+1 5xy-8z 课堂练习 把下列多项式因式分解： （1） 3xy - 15y2 +9 y； （2） 7x3y - 4x2y3+ 18xy2； （3） 12x4y2z3+ 4x3yz2 - 8x2yz4； （4）-6x3y2- 4x2y3+ 10x2y2. 练习3 解:（1） 原式=3y(x-5y+3) （2）原式=xy(7x2-4xy2+18y) （3）原式=4x2yz2(3x2yz+x-2z2) （4）原式=-2x2y2(3x+2y-5) 课堂总结 提公因式法: 1.定义：如果一个多项式的各项有公因式，从右到左使用多项式的乘法对加法的分配律，可以把所有公因式提到括号外面. 这种把多项式因式分解的方法叫作提公因式法. 2.找公因式的步骤：定字母，定系数，定指数 3.用提公因式法分解因式应注意： （1）公因式要提尽；（2）小心漏项；（3）多项式的首项取正号. 作业布置 必做题：教材习题1.2--学而时习之 1题、2题（1）-（4） 选做题：教材习题1.2--温故而知新 3题（5）、4题 $$