专题01 因式分解（专项训练）数学新教材湘教版八年级上册

**基本信息** 以“概念-方法-应用”为逻辑主线，系统整合8类常考题型，通过分层训练构建因式分解方法体系，培养抽象能力与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |常考题型·精准突破|8题型（含30+例题）|提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法、配方法、拆项添项法|从概念判断到基本方法，再到进阶技巧，形成方法链| |综合攻坚·知能拔高|18题（含中考真题）|整体设元法、姬曼定理、数形结合|综合应用方法解决代数推理与几何问题，发展推理意识|

专题01 因式分解 常考题型·精准突破 题型1 判断整式变形是否为因式分解（重） 题型2 提公因式法与公式法因式分解（高频） 题型3 因式分解与整除（难） 题型4 分组分解法与十字相乘法（重） 题型5 配方法和拆项添项法（难） 题型6 运用因式分解简便计算（重） 题型7 利用因式分解求代数式的值（高频） 题型8 与几何图形的综合运用（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 判断整式变形是否为因式分解 1.下列等式由左边至右边的变形中，属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27八年级上·湖南衡阳·阶段检测）下列各式属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·陕西安康·阶段检测）下列从左边到右边的变形中，属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． ◆题型2 提公因式法与公式法因式分解 4.因式分解： (1) (2) 5．（26-27八年级上·全国·课后作业）把下列多项式分解因式： (1)； (2)； (3)． 6．（26-27八年级上·全国·课后作业）把下列多项式分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 7．把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)； (10)． ◆题型3 因式分解与整除 8.代数推理指设定一定的条件下，依据代数的定义、公式、运算法则、等式与不等式的性质等证明已知结论． 【提出问题】如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．小华和小明对“智慧数”进行了深入的研究． (1)【特例感知】小明的方法是从小到大逐一列举： 3 则小明列举的第8个“智慧数”是 ． (2)【推理证明】小华在小明列举的基础上发现：除1外，所有的正奇数都是“智慧数”，并进行了如下证明： 证明：设k是正整数， 又∵k是正整数，∴为大于或等于3的奇数． ∴除1外，所有的正奇数都是“智慧数”． 她还发现：除4外，所有能被4整除的正整数都是“智慧数”，请参考上面的方法进行证明． (3)【综合应用】用含有k的式子表示除1、2、4外的其它非“智慧数”：___________（k是正整数），将所有的“智慧数”从小到大排列，第2025个“智慧数”是___________． 9.已知是正整数，利用因式分解证明：能被整除． 10．（26-27八年级上·全国·课后作业）判断下列说法是否正确，并说明理由： (1)两个连续整数的平方差必是奇数； (2)若a为整数，则能被6整除． ◆题型4 分组分解法与十字相乘法 11．探究：如何把多项式因式分解？ (1)观察：上式能否可直接利用完全平方公式进行因式分解？答：______．（填“能”或“不能”）； 【阅读与理解】由多项式乘法，我们知道，将该式从右到左地使用，即可对形如的多项式进行因式分解，即： ； 此类多项式的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和． (2)猜想并填空：＋（___＋_____）＋___×_____＝（＋_____）（＋_____）； (3)请运用上述方法将下列多项式进行因式分解： ①    ② 12．在对多项式进行因式分解时，如果多项式既无公因式可提，又不能直接利用公式，怎么办呢？ 有许多数学学者都对此加以研究．如：利用面积或体积的等积变换数形结合因式分解，十字相乘法因式分解，求根分解法因式分解等等，还有许多有趣的方法等待同学们解锁．请同学们阅读以下材料，尝试解决问题： 材料1：整体设元法 利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，例如，分解因式； 解：将“”看成一个整体，令； 原式； 材料2：姬曼定理 请看这个问题：把分解因式；19世纪的法国数学家苏菲·姬曼抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用公式就必须添一项，随即将此项减去，即可得 ； 人们为了纪念苏菲·姬曼给出这一解法，就把它叫做“姬曼定理”． 材料3：十字相乘法 将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成． 例如分解时，具体做法是先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，这种方法称为“十字相乘法”．这样，我们可以得到：． 根据材料，请你尝试对以下多项式进行因式分解： (1)用整体设元法因式分解：； (2)用姬曼定理因式分解：； (3)用十字相乘法因式分解：； (4)因式分解：． 13．常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法．但有更多的多项式只用上述方法无法分解，如，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程如下： 这种分解因式的方法叫做分组分解法，请利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)先因式分解，再求值：，其中． 14．分组分解也是因式分解的一种方法，顾名思义就是将原多项式进行合理分组后分别进行因式分解的方法．如 分解因式： 请你利用分组分解法分解因式： (1)； (2)； 【应用】 (3)若，，是△的三边，当时，判断△的形状． ◆题型5 配方法和拆项添项法 15.阅读材料：教材中把形如的式子叫做完全平方式．对于某些多项式不是完全平方式，我们可以做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．利用配方法可以将一些多项式进行因式分解，例如：分解因式： ． 解决问题： (1)若多项式是完全平方式，求常数的值； (2)分解因式：． 16．在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符号相反的项，这样分解因式的方法称为“拆项添项法”．如： 例1：19世纪的法国数学家苏菲·热尔曼利用这个方法解决了“把分解因式”这个问题： 例2：分解因式： 解：原式 请根据以上材料中的方法，解决下列问题： (1)请类比例1的方法补全下列因式分解过程： (2)上述材料中例2括号中应填入_______________________； (3)请类比例2的方法分解因式： ◆题型6 运用因式分解简便计算 17．利用因式分解简便计算：． 18．用简便方法计算：． 19．利用因式分解进行计算：． 20．利用因式分解计算： (1)； (2)． ◆题型7 利用因式分解求代数式的值 21.先因式分解，再求值：，其中，． 22．先因式分解，再求值． (1)，其中，； (2)，其中，． 23．先因式分解，再求值：，其中，． 24．已知，求的值． ◆题型8 与几何图形的综合运用 25．我国著名数学家华罗庚曾言：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”实则，数与形是刻画同一数理内涵的两种表征形式——代数算式是符号语言，几何图形是直观语言，二者互通互译，方能尽显数学本质． 【材料准备】 如图1所示，有①②③种不同型号的卡片若干，其中型号①、型号②分别是边长为和的正方形，型号③是长为，宽为的长方形． 【析形感数】 (1)现用1张型号①，1张型号②和2张型号③卡片，拼出如图2所示的大正方形，根据图示写出一个因式分解式子：_______________； 【析数构形】 (2)以上型号卡片（数量不限）能拼出面积为的长方形吗？说明理由． 【数形融通】 (3)已知1个型号①，个型号②和个型号③卡片能拼成一个大长方形．解决问题： ①当时，求满足条件的所有的值； ②求证：是一个整数的平方． 26．“数缺形时少直观，形少数时难入微”，“数形结合”是解决数学问题的重要思想方法．在探究因式分解时，我们可以从“数”与“形”两个角度深入理解因式分解，请阅读下面材料完成相应问题． 从“数”的角度：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等． 分组分解法：例如：． 拆项法：例如：． (1)利用分组分解法，因式分解； (2)利用拆项法，因式分解； 从“形”的角度：我们借助图形的直观，通过不同的方法计算同一个图形的面积可以得到因式分解的恒等式． (3)根据图1，多项式可以因式分解为___________； (4)根据图2，若，，求的值． 27．乘法公式的探究及应用． (1)如图①，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，如图②，通过比较图①、图②阴影部分的面积，可以得到整式乘法公式：______________． (2)可以被10和20之间某两个整数整除，则这两个数分别为____________． (3)计算：． 综合攻坚·知能拔高 1.下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 2.若多项式可分解为，则的值为（     ） A．2 B． C．1 D． 3.已知正实数，，，，满足，，若图1中阴影部分的面积为，则图2中阴影面积为（     ） A． B． C． D． 4．对于任何整数，多项式一定能被（     ） A．整除 B．整除 C．整除 D．整除 5．计算的值是 __________ ． 6．已知，满足，，则_________． 7．（25-26八年级上·陕西安康·阶段检测）分解因式： (1)； (2)； (3)． 8．将下列各式因式分解： (1)； (2)． 9．因式分解：． 10．（26-27八年级上·全国·课后作业）把下列多项式分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)． 11．用简便方法计算： (1) (2) 12．用双十字相乘法分解： 13．（2026·甘肃兰州·中考真题）解答下列各题： (1)初步探究：能被67整除吗？请你说明理由． (2)迁移应用：当为大于1的整数时，请说明能否被三个连续的整数整除？ 14．利用整式的乘法运算法则推导得出：．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得．通过观察可把看作以为未知数，、、、为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二项式系数与常数项分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式的二项式系数2与常数项分别进行适当的分解，如图2，则． 根据阅读材料解决下列问题： (1)用十字相乘法分解因式：； (2)用十字相乘法分解因式：； (3)结合本题知识，分解因式：． 15．请同学们阅读以下材料，尝试解决问题： 材料：整体设元法 利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，例如，分解因式； 解：将“”看成一个整体，令； 原式． 材料：姬曼定理 请看这个问题：把分解因式；世纪的法国数学家苏菲·姬曼抓住了该式只有两项， 而且属于平方和的形式，要使用公式就必须添一项，随即将此项减去，即可得 ． 人们为了纪念苏菲・姬曼给出这一解法，就把它叫做“姬曼定理”． 根据材料，请你尝试对以下多项式进行因式分解： (1)因式分解：； (2)因式分解：________（直接写出结果）； (3)因式分解：． 16．阅读材料：如何对多项式进行因式分解呢？小明想到可以将这个多项式“两两分组”再进行因式分解，具体过程为：．小红用类似的方法对多项式进行因式分解，具体过程为：．像这种先将一个多项式适当分组，再分解因式的方法叫作“分组分解法”．请按照以上材料，将下列各式分解因式： (1)； (2)． 17.对于多项式“”我们可以进行如下分解： 方法一： ． 方法二： ． 参考示例中的方法回答下列问题： (1)有五张卡片，卡片①为正方形，边长为，卡片②为长方形，长为，宽为，卡片③为长方形，长为，宽为，卡片④为长方形，长为，宽为，卡片⑤为长方形，长为，若卡片①②③④的面积之和等于卡片⑤的面积，求卡片⑤的宽． (2)分解因式：； (3)若都是正整数，且，求的值． 18.数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，通过计算几何图形的面积可以将一些多项式因式分解．例如：利用图1可以得到． (1)请把表示图2面积的多项式因式分解：____________；（直接列出等式即可） (2)如图3，有足够数量的边长分别为，的正方形纸片和长为，宽为的长方形纸片，可利用这些纸片将多项式因式分解：________________________（直接列出等式即可） (3)若，，为实数，，，利用（1）的结论求的值； 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 因式分解 常考题型·精准突破 题型1 判断整式变形是否为因式分解（重） 题型2 提公因式法与公式法因式分解（高频） 题型3 因式分解与整除（难） 题型4 分组分解法与十字相乘法（重） 题型5 配方法和拆项添项法（难） 题型6 运用因式分解简便计算（重） 题型7 利用因式分解求代数式的值（高频） 题型8 与几何图形的综合运用（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 判断整式变形是否为因式分解 1.【答案】D 2．【答案】A 3．【答案】B ◆题型2 提公因式法与公式法因式分解 4.【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接提取公因式即可完成分解； （2）先凑出公因式，然后运用提取公因式法求解即可． 【详解】（1）解：． （2）解： ． 5．【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 6．【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解： ； （6）解： ； （7）解： ； （8）解： ． 7．【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ； （7） ； （8） ； （9） ； （10） ． ◆题型3 因式分解与整除 8.【答案】(1)13 (2)证明：设n是大于1的正整数， 则 ， ∵n是大于1的正整数， ∴和都是正整数， ∴是“智慧数”， 又∵能被4整除， ∴除4外，所有能被4整除的正整数都是“智慧数”． (3)；2703 【分析】（1）根据规律即可解答； （2）仿照题中的证明，即可解答； （3）根据探究，前四个正整数只有3是“智慧数”，后面的正整数每连续四个中就有三个是“智慧数”，由此可得第2025个“智慧数”，进而可得答案． 【详解】（1）解：第7个“智慧数”是； 第8个“智慧数”是； （2）略 （3）解：由（2）可知除1外的所有奇数是“智慧数”，除4外的所有能被4整除的正整数都是“智慧数”， ∴除1，2，4外的非“智慧数”一定是偶数且不能被4整除， ∴除1，2，4外的非“智慧数”除以4的余数一定为2， ∴除1，2，4外的非“智慧数”可以表示为； 观察可知，从1开始的正整数中，前四个正整数中只有3为“智慧数”，此后每连续四个正整数中有三个“智慧数”， 将智慧数分为3个一组，在第2组开始，每组的第一个数为的组数倍， ∴第n组的第一个数为（，且n为正整数）． ∵， ∴第2025个智慧数是第675组中的第3个数， ∴第2023个智慧数是2700，第2024个智慧数是2701，第2025个智慧数是2703． 9.【答案】证明： ， ∵是正整数， ∴能被整除，即能被整除． 【分析】先利用平方差公式对原式进行因式分解，得到，由此证明分解后的式子含有因数，即可说明原式能被整除． 【详解】略 10．【答案】(1)说法正确，理由如下： 设两个连续整数为，（为整数），则平方差为， ∵为整数， ∴是偶数，是奇数， ∴两个连续整数的平方差必是奇数； (2)说法正确，理由如下： ， ∵为整数， ∴，，是三个连续整数，而任意三个连续整数中，必有一个数能被整除，且至少有一个是偶数， ∴三个连续整数的乘积必定能被整除，即能被6整除． 【分析】（1）设两个连续整数为，（为整数），再结合完全平方公式计算即可得证； （2）将变形为，再结合，，是三个连续整数，而任意三个连续整数中，必有一个数能被整除，且至少有一个是偶数，分析即可得证． 【详解】（1）略； （2）略． ◆题型4 分组分解法与十字相乘法 11．【答案】(1)不能 (2)3，5，3，5，3，5 (3)①；② 【分析】本题考查因式分解，掌握十字相乘法，是解题的关键． （1）根据完全平方式的特点判断即可； （2）将15拆解乘，又，即可得出结果； （3）利用十字相乘法进行因式分解即可． 【详解】（1）解：∵不是完全平方式， ∴不能利用完全平方公式进行因式分解； 故答案为：不能； （2）∵， ∴； （3）①； ②． 12．【答案】(1)； (2)； (3)； (4) 【分析】（1）设，则原式变形为，把展开，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）把原式变形为，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可； （3）利用十字相乘法进行因式分解即可； （4）把原式变形为，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解：设， ∴ ； （2）解： ； （3）解： 故； （4）解： ． 13．【答案】(1) (2)， 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， 原式． 14．【答案】(1) (2) (3)是等腰三角形 【分析】（1）利用分组分解法分解因式，可得：原式，再把整体提公因式； （2）利用分组分解法分解因式，可得：原式，再把看作整体，运用完全平方公式分解因式； （3）把方程左边分解因式，可得：，因为，，是的三边，不可能是，可得：，所以是等腰三角形． 【详解】（1）解： ；    （2）解： ；   （3）解：， ， ， ，     ，，是的三边， ，， ， ， ， 是等腰三角形． ◆题型5 配方法和拆项添项法 15.【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）解：多项式是完全平方式， ， ， ； （2）解： ． 16．【答案】(1)；；；；； (2) (3) 【分析】（1）仿照例1方法进行作答即可； （2）利用提公因式法进行因式分解后，作答即可； （3）仿照例2的方法进行因式分解即可. 【详解】（1）解： ； （2）解：原式； （3）解：原式. ◆题型6 运用因式分解简便计算 17．【答案】10000 【详解】解：原式 ． 18．【答案】 【详解】解：原式 ． 19．【答案】 【详解】解： ． 20．【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提取公因式，再用平方差公式因式分解后计算； （2）先对式子变形，再用完全平方公式因式分解后计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． ◆题型7 利用因式分解求代数式的值 21.【答案】，1． 【分析】先根据提公因式法分解因式，再将，代入计算即可． 【详解】解：原式， 当，时，原式． 22．【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： 当，时， 原式； （2）解： 当， 原式． 23．【答案】， 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式 ． 24．【答案】 【详解】解： ， ， 原式． ◆题型8 与几何图形的综合运用 25．【答案】(1) (2)解：能拼出，理由如下： ∵， ∴用1张型号①，2张型号②和3张型号③卡片，可以拼成一个长，宽的大长方形． (3)①的值为，，； ②证明：∵1个型号①，个型号②和个型号③能拼成一个大长方形， ∴大长方形的面积为，且可以因式分解， 设（、为正整数）， ∴，， ∴ ， ∵、为正整数， ∴是整数， ∴是一个整数的平方． 【分析】（1）分别用两种式子表示出大正方形的面积，即可得出答案； （2）把因式分解，得出，即可得出答案； （3）①先根据所用卡片表示出大长方形的面积，设大长方形的长为，宽为，得出长方形面积，对照系数得出，根据、为正整数得出符合条件的、的值，即可求出的值； ②由所用卡片表示出大长方形的面积为，设，可得，，进而用、表示出，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵用1张型号①，1张型号②和2张型号③卡片，拼出如图2所示的大正方形， ∴大正方形的面积可表示为， 大正方形的面积还可表示为， ∴写出一个因式分解式子为． （2）解：略 （3）解：①∵1个型号①，个型号②和个型号③能拼成一个大长方形，， ∴大长方形的面积为， 设大长方形的宽为，长为，（、为正整数，）， ∴大长方形的面积为， ∴， ∴， ∵、为正整数， ∴当，时，， 当，时，， 当，时，， ∴的值为，，． ②略 26．【答案】(1) (2) (3) (4)12 【分析】（1）根据题干中提供的信息利用分组分解法即可； （2）根据题干中提供的信息利用拆项法分解因式即可； （3）结合图形可得大长方形的面积等于内部所有小图形的面积之和，从而利用因式分解得出结果； （4）根据图形可得出，结合已知条件可得到，由图形边长的实际意义可知，a，b，c均为正数，从而求得结果． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：由图1可知，大长方形的长为，宽为， ∴大长方形的总面积为， ∵大长方形的总面积等于内部所有小图形的面积之和，即， 两个表达式对应同一个图形的面积， ∴因式分解结果为． （4）解：由图2可知，大正方形的总面积等于内部所有小图形的面积之和， ∴， ∵，， ∴， 由图形边长的实际意义可知，a，b，c均为正数， ∴， ∴． 27．【答案】(1) (2)15，17 (3) 【分析】（1）图1中阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，即为，图2中长方形的长为，宽为，则面积为，即可建立等式； （2）将进行因式分解，直至分解出含10和20之间某两个整数即可； （3）将原式变形为，再用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解：图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为， 故； （2）解： ， ∴可以被10和20之间某两个整数和整除； （3）解：原式 ． 综合攻坚·知能拔高 1.【答案】D 2.【答案】C 3.【答案】A 4．【答案】A 5．【答案】 6．【答案】2 7．【答案】(1) (2) (3) 【分析】因式分解一般步骤：有公因式的要先提公因式，提完公因式观察剩余式子是否符合公式法，如果符合，选用适当的公式继续因式分解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 8．【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 9．【答案】 【详解】解：           ． 10．【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：； （7）解：． 11．【答案】(1)41200 (2)3200 【详解】（1）解：原式     ； （2）解：原式 ． 12．【答案】 【分析】先根据十字相乘法把前三项分解因式后得，再把拆分为，再验证，，即可得双十字相乘法分解的结果. 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，，， ∴，， ∴. 13．【答案】(1)能被67整除， 理由：， ∴能被67整除； (2)能被三个连续的整数整除 理由：， ∵为大于1的整数， ∴、n、是连续的整数， ∴能被三个连续的整数整除． 【分析】（1）先提公因式66，再利用平方差公式因式分解，进而可得结论； （2）先提公因式n，再利用平方差公式因式分解，进而可得结论． 【详解】（1）略 （2）略 14．【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将拆为，拆为9与，交叉相乘和为，然后结合十字相乘法因式分解即可； （2）将拆为，拆为1与，交叉相乘和为，然后结合十字相乘法因式分解即可； （3）把看成整体，将拆为，6拆为与，交叉相乘和为，然后结合十字相乘法因式分解即可． 【详解】（1）解：， ，，， ； （2）解：， ，，， ； （3）解：， ，，， ． 15．【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设，原式可化为，再进一步求解即可； （2）把原式化为，再进一步求解即可； （3）把原式化为，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：设， ； （2）解： （3）解： ． 16．【答案】(1) (2) 【分析】（1）先分组，然后提取公因式分解因式即可； （2）先分组，然后利用完全平方公式和平方差公式分解因式． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 17.【答案】(1) (2) (3)8 【分析】（1）先计算出①②③④的面积之和为，再除以即可解答； （2）直接运用分组法因式分解即可； （3）结合（2）的结果可得 ，再列方程组求出m、n的值，最后求的值即可． 【详解】（1）解：由已知得卡片①②③④的面积之和为 因为卡片①②③④的面积之和等于卡片⑤的面积，且卡片⑤的长为， 所以卡片⑤的宽为． （2）解： ． （3）解：∵，， ∴ ． ∵为正整数，且， ∴， ∴即， ∴． 18.【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）用两种方法表示出图2的面积，得出式子． （2）作出图形，根据图形进行因式分解即可． （3）由得，然后展开，代入数据计算即可； 【详解】（1）解：图2面积表示为：， 或表示为：， 所以有：． （2）解：如图所示： 由图可得，． （3）解：， ． ， ． ∴． ∴． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 因式分解 常考题型·精准突破 题型1 判断整式变形是否为因式分解（重） 题型2 提公因式法与公式法因式分解（高频） 题型3 因式分解与整除（难） 题型4 分组分解法与十字相乘法（重） 题型5 配方法和拆项添项法（难） 题型6 运用因式分解简便计算（重） 题型7 利用因式分解求代数式的值（高频） 题型8 与几何图形的综合运用（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 判断整式变形是否为因式分解 1.下列等式由左边至右边的变形中，属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，左边是整式的积，右边是多项式，属于整式乘法，不合题意； B、等号右边为，不是积的形式，不合题意； C、等号右边展开为，与左边不相等，变形错误，不合题意； D、等号右边是两个整式的积，展开后为，与左边相等，符合因式分解定义，符合题意． 2．（26-27八年级上·湖南衡阳·阶段检测）下列各式属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据因式分解的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．，右边为两个整式的积，符合； B．，右边不是整式的积的形式，不符合； C．，是整式乘法变形，不符合； D．，右边含有分式，不是整式的积，不符合． 3．（25-26八年级上·陕西安康·阶段检测）下列从左边到右边的变形中，属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据因式分解的结果为几个整式乘积的特征判断． 【详解】解：A．是整式乘法，不符合题意． B．符合因式分解要求，是因式分解，符合题意． C．仅为符号变形，左右均为乘积形式，不是因式分解，不符合题意． D．右边为和的形式，不是因式分解，不符合题意． ◆题型2 提公因式法与公式法因式分解 4.因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接提取公因式即可完成分解； （2）先凑出公因式，然后运用提取公因式法求解即可． 【详解】（1）解：． （2）解： ． 5．（26-27八年级上·全国·课后作业）把下列多项式分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 6．（26-27八年级上·全国·课后作业）把下列多项式分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解： ； （6）解： ； （7）解： ； （8）解： ． 7．把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)； (10)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ； （7） ； （8） ； （9） ； （10） ． ◆题型3 因式分解与整除 8.代数推理指设定一定的条件下，依据代数的定义、公式、运算法则、等式与不等式的性质等证明已知结论． 【提出问题】如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．小华和小明对“智慧数”进行了深入的研究． (1)【特例感知】小明的方法是从小到大逐一列举： 3 则小明列举的第8个“智慧数”是 ． (2)【推理证明】小华在小明列举的基础上发现：除1外，所有的正奇数都是“智慧数”，并进行了如下证明： 证明：设k是正整数， 又∵k是正整数，∴为大于或等于3的奇数． ∴除1外，所有的正奇数都是“智慧数”． 她还发现：除4外，所有能被4整除的正整数都是“智慧数”，请参考上面的方法进行证明． (3)【综合应用】用含有k的式子表示除1、2、4外的其它非“智慧数”：___________（k是正整数），将所有的“智慧数”从小到大排列，第2025个“智慧数”是___________． 【答案】(1)13 (2)证明：设n是大于1的正整数， 则 ， ∵n是大于1的正整数， ∴和都是正整数， ∴是“智慧数”， 又∵能被4整除， ∴除4外，所有能被4整除的正整数都是“智慧数”． (3)；2703 【分析】（1）根据规律即可解答； （2）仿照题中的证明，即可解答； （3）根据探究，前四个正整数只有3是“智慧数”，后面的正整数每连续四个中就有三个是“智慧数”，由此可得第2025个“智慧数”，进而可得答案． 【详解】（1）解：第7个“智慧数”是； 第8个“智慧数”是； （2）略 （3）解：由（2）可知除1外的所有奇数是“智慧数”，除4外的所有能被4整除的正整数都是“智慧数”， ∴除1，2，4外的非“智慧数”一定是偶数且不能被4整除， ∴除1，2，4外的非“智慧数”除以4的余数一定为2， ∴除1，2，4外的非“智慧数”可以表示为； 观察可知，从1开始的正整数中，前四个正整数中只有3为“智慧数”，此后每连续四个正整数中有三个“智慧数”， 将智慧数分为3个一组，在第2组开始，每组的第一个数为的组数倍， ∴第n组的第一个数为（，且n为正整数）． ∵， ∴第2025个智慧数是第675组中的第3个数， ∴第2023个智慧数是2700，第2024个智慧数是2701，第2025个智慧数是2703． 9.已知是正整数，利用因式分解证明：能被整除． 【答案】证明： ， ∵是正整数， ∴能被整除，即能被整除． 【分析】先利用平方差公式对原式进行因式分解，得到，由此证明分解后的式子含有因数，即可说明原式能被整除． 【详解】略 10．（26-27八年级上·全国·课后作业）判断下列说法是否正确，并说明理由： (1)两个连续整数的平方差必是奇数； (2)若a为整数，则能被6整除． 【答案】(1)说法正确，理由如下： 设两个连续整数为，（为整数），则平方差为， ∵为整数， ∴是偶数，是奇数， ∴两个连续整数的平方差必是奇数； (2)说法正确，理由如下： ， ∵为整数， ∴，，是三个连续整数，而任意三个连续整数中，必有一个数能被整除，且至少有一个是偶数， ∴三个连续整数的乘积必定能被整除，即能被6整除． 【分析】（1）设两个连续整数为，（为整数），再结合完全平方公式计算即可得证； （2）将变形为，再结合，，是三个连续整数，而任意三个连续整数中，必有一个数能被整除，且至少有一个是偶数，分析即可得证． 【详解】（1）略； （2）略． ◆题型4 分组分解法与十字相乘法 11．探究：如何把多项式因式分解？ (1)观察：上式能否可直接利用完全平方公式进行因式分解？答：______．（填“能”或“不能”）； 【阅读与理解】由多项式乘法，我们知道，将该式从右到左地使用，即可对形如的多项式进行因式分解，即： ； 此类多项式的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和． (2)猜想并填空：＋（___＋_____）＋___×_____＝（＋_____）（＋_____）； (3)请运用上述方法将下列多项式进行因式分解： ①    ② 【答案】(1)不能 (2)3，5，3，5，3，5 (3)①；② 【分析】本题考查因式分解，掌握十字相乘法，是解题的关键． （1）根据完全平方式的特点判断即可； （2）将15拆解乘，又，即可得出结果； （3）利用十字相乘法进行因式分解即可． 【详解】（1）解：∵不是完全平方式， ∴不能利用完全平方公式进行因式分解； 故答案为：不能； （2）∵， ∴； （3）①； ②． 12．在对多项式进行因式分解时，如果多项式既无公因式可提，又不能直接利用公式，怎么办呢？ 有许多数学学者都对此加以研究．如：利用面积或体积的等积变换数形结合因式分解，十字相乘法因式分解，求根分解法因式分解等等，还有许多有趣的方法等待同学们解锁．请同学们阅读以下材料，尝试解决问题： 材料1：整体设元法 利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，例如，分解因式； 解：将“”看成一个整体，令； 原式； 材料2：姬曼定理 请看这个问题：把分解因式；19世纪的法国数学家苏菲·姬曼抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用公式就必须添一项，随即将此项减去，即可得 ； 人们为了纪念苏菲·姬曼给出这一解法，就把它叫做“姬曼定理”． 材料3：十字相乘法 将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成． 例如分解时，具体做法是先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，这种方法称为“十字相乘法”．这样，我们可以得到：． 根据材料，请你尝试对以下多项式进行因式分解： (1)用整体设元法因式分解：； (2)用姬曼定理因式分解：； (3)用十字相乘法因式分解：； (4)因式分解：． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4) 【分析】（1）设，则原式变形为，把展开，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）把原式变形为，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可； （3）利用十字相乘法进行因式分解即可； （4）把原式变形为，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解：设， ∴ ； （2）解： ； （3）解： 故； （4）解： ． 13．常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法．但有更多的多项式只用上述方法无法分解，如，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程如下： 这种分解因式的方法叫做分组分解法，请利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)先因式分解，再求值：，其中． 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， 原式． 14．分组分解也是因式分解的一种方法，顾名思义就是将原多项式进行合理分组后分别进行因式分解的方法．如 分解因式： 请你利用分组分解法分解因式： (1)； (2)； 【应用】 (3)若，，是△的三边，当时，判断△的形状． 【答案】(1) (2) (3)是等腰三角形 【分析】（1）利用分组分解法分解因式，可得：原式，再把整体提公因式； （2）利用分组分解法分解因式，可得：原式，再把看作整体，运用完全平方公式分解因式； （3）把方程左边分解因式，可得：，因为，，是的三边，不可能是，可得：，所以是等腰三角形． 【详解】（1）解： ；    （2）解： ；   （3）解：， ， ， ，     ，，是的三边， ，， ， ， ， 是等腰三角形． ◆题型5 配方法和拆项添项法 15.阅读材料：教材中把形如的式子叫做完全平方式．对于某些多项式不是完全平方式，我们可以做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．利用配方法可以将一些多项式进行因式分解，例如：分解因式： ． 解决问题： (1)若多项式是完全平方式，求常数的值； (2)分解因式：． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）解：多项式是完全平方式， ， ， ； （2）解： ． 16．在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符号相反的项，这样分解因式的方法称为“拆项添项法”．如： 例1：19世纪的法国数学家苏菲·热尔曼利用这个方法解决了“把分解因式”这个问题： 例2：分解因式： 解：原式 请根据以上材料中的方法，解决下列问题： (1)请类比例1的方法补全下列因式分解过程： (2)上述材料中例2括号中应填入_______________________； (3)请类比例2的方法分解因式： 【答案】(1)；；；；； (2) (3) 【分析】（1）仿照例1方法进行作答即可； （2）利用提公因式法进行因式分解后，作答即可； （3）仿照例2的方法进行因式分解即可. 【详解】（1）解： ； （2）解：原式； （3）解：原式. ◆题型6 运用因式分解简便计算 17．利用因式分解简便计算：． 【答案】10000 【详解】解：原式 ． 18．用简便方法计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 19．利用因式分解进行计算：． 【答案】 【详解】解： ． 20．利用因式分解计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提取公因式，再用平方差公式因式分解后计算； （2）先对式子变形，再用完全平方公式因式分解后计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． ◆题型7 利用因式分解求代数式的值 21.先因式分解，再求值：，其中，． 【答案】，1． 【分析】先根据提公因式法分解因式，再将，代入计算即可． 【详解】解：原式， 当，时，原式． 22．先因式分解，再求值． (1)，其中，； (2)，其中，． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： 当，时， 原式； （2）解： 当， 原式． 23．先因式分解，再求值：，其中，． 【答案】， 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式 ． 24．已知，求的值． 【答案】 【详解】解： ， ， 原式． ◆题型8 与几何图形的综合运用 25．我国著名数学家华罗庚曾言：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”实则，数与形是刻画同一数理内涵的两种表征形式——代数算式是符号语言，几何图形是直观语言，二者互通互译，方能尽显数学本质． 【材料准备】 如图1所示，有①②③种不同型号的卡片若干，其中型号①、型号②分别是边长为和的正方形，型号③是长为，宽为的长方形． 【析形感数】 (1)现用1张型号①，1张型号②和2张型号③卡片，拼出如图2所示的大正方形，根据图示写出一个因式分解式子：_______________； 【析数构形】 (2)以上型号卡片（数量不限）能拼出面积为的长方形吗？说明理由． 【数形融通】 (3)已知1个型号①，个型号②和个型号③卡片能拼成一个大长方形．解决问题： ①当时，求满足条件的所有的值； ②求证：是一个整数的平方． 【答案】(1) (2)解：能拼出，理由如下： ∵， ∴用1张型号①，2张型号②和3张型号③卡片，可以拼成一个长，宽的大长方形． (3)①的值为，，； ②证明：∵1个型号①，个型号②和个型号③能拼成一个大长方形， ∴大长方形的面积为，且可以因式分解， 设（、为正整数）， ∴，， ∴ ， ∵、为正整数， ∴是整数， ∴是一个整数的平方． 【分析】（1）分别用两种式子表示出大正方形的面积，即可得出答案； （2）把因式分解，得出，即可得出答案； （3）①先根据所用卡片表示出大长方形的面积，设大长方形的长为，宽为，得出长方形面积，对照系数得出，根据、为正整数得出符合条件的、的值，即可求出的值； ②由所用卡片表示出大长方形的面积为，设，可得，，进而用、表示出，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵用1张型号①，1张型号②和2张型号③卡片，拼出如图2所示的大正方形， ∴大正方形的面积可表示为， 大正方形的面积还可表示为， ∴写出一个因式分解式子为． （2）解：略 （3）解：①∵1个型号①，个型号②和个型号③能拼成一个大长方形，， ∴大长方形的面积为， 设大长方形的宽为，长为，（、为正整数，）， ∴大长方形的面积为， ∴， ∴， ∵、为正整数， ∴当，时，， 当，时，， 当，时，， ∴的值为，，． ②略 26．“数缺形时少直观，形少数时难入微”，“数形结合”是解决数学问题的重要思想方法．在探究因式分解时，我们可以从“数”与“形”两个角度深入理解因式分解，请阅读下面材料完成相应问题． 从“数”的角度：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等． 分组分解法：例如：． 拆项法：例如：． (1)利用分组分解法，因式分解； (2)利用拆项法，因式分解； 从“形”的角度：我们借助图形的直观，通过不同的方法计算同一个图形的面积可以得到因式分解的恒等式． (3)根据图1，多项式可以因式分解为___________； (4)根据图2，若，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)12 【分析】（1）根据题干中提供的信息利用分组分解法即可； （2）根据题干中提供的信息利用拆项法分解因式即可； （3）结合图形可得大长方形的面积等于内部所有小图形的面积之和，从而利用因式分解得出结果； （4）根据图形可得出，结合已知条件可得到，由图形边长的实际意义可知，a，b，c均为正数，从而求得结果． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：由图1可知，大长方形的长为，宽为， ∴大长方形的总面积为， ∵大长方形的总面积等于内部所有小图形的面积之和，即， 两个表达式对应同一个图形的面积， ∴因式分解结果为． （4）解：由图2可知，大正方形的总面积等于内部所有小图形的面积之和， ∴， ∵，， ∴， 由图形边长的实际意义可知，a，b，c均为正数， ∴， ∴． 27．乘法公式的探究及应用． (1)如图①，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，如图②，通过比较图①、图②阴影部分的面积，可以得到整式乘法公式：______________． (2)可以被10和20之间某两个整数整除，则这两个数分别为____________． (3)计算：． 【答案】(1) (2)15，17 (3) 【分析】（1）图1中阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，即为，图2中长方形的长为，宽为，则面积为，即可建立等式； （2）将进行因式分解，直至分解出含10和20之间某两个整数即可； （3）将原式变形为，再用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解：图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为， 故； （2）解： ， ∴可以被10和20之间某两个整数和整除； （3）解：原式 ． 综合攻坚·知能拔高 1.下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依据因式分解的定义：把一个多项式转化为几个整式的积的形式，对各选项逐一判断即可． 【详解】解：选项A：是整式乘法，不是因式分解，故A不符合题意； 选项B：右边不是整式的积的形式，故B不符合题意； 选项C：中是分式，右边不是整式的积的形式，故C不符合题意； 选项D：符合因式分解的要求，故D符合题意． 2.若多项式可分解为，则的值为（     ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】先展开因式分解后的式子，利用多项式相等对应项系数相等求出和的值，再计算即可． 【详解】首先展开因式分解后的式子 又原多项式为，两个多项式相等对应系数相等 ∴， 将代入得 ∴ 故选：C． 3.已知正实数，，，，满足，，若图1中阴影部分的面积为，则图2中阴影面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图1阴影部分面积得出，根据图2阴影部分形状得出面积为，利用已知方程组通过平方差公式变形建立与的关系求解． 【详解】解：由图1可知，阴影部分为长方形，长为，宽为； 图1阴影面积． 图2阴影部分为长方形，长为，宽为， 图2阴影面积． 已知，即；，即． ∴， ∴， ， ， ． ， ， ， 即图2中阴影面积为8． 4．对于任何整数，多项式一定能被（     ） A．整除 B．整除 C．整除 D．整除 【答案】A 【分析】利用平方差公式对多项式进行因式分解，结合为整数的条件判断可整除的常数因式． 【详解】解：， ∵是整数， ∴是的倍数， ∴多项式一定能被整除． 5．计算的值是 __________ ． 【答案】 【详解】提取公因式，利用乘方的符号法则化简计算． 【点睛】解：∵， ∴原式 ． 6．已知，满足，，则_________． 【答案】2 【分析】根据题意可得，，则可得到，据此得到，，求出y的值，进而求出x的值即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，即， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 7．（25-26八年级上·陕西安康·阶段检测）分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】因式分解一般步骤：有公因式的要先提公因式，提完公因式观察剩余式子是否符合公式法，如果符合，选用适当的公式继续因式分解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 8．将下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 9．因式分解：． 【答案】 【详解】解：           ． 10．（26-27八年级上·全国·课后作业）把下列多项式分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：； （7）解：． 11．用简便方法计算： (1) (2) 【答案】(1)41200 (2)3200 【详解】（1）解：原式     ； （2）解：原式 ． 12．用双十字相乘法分解： 【答案】 【分析】先根据十字相乘法把前三项分解因式后得，再把拆分为，再验证，，即可得双十字相乘法分解的结果. 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，，， ∴，， ∴. 13．（2026·甘肃兰州·中考真题）解答下列各题： (1)初步探究：能被67整除吗？请你说明理由． (2)迁移应用：当为大于1的整数时，请说明能否被三个连续的整数整除？ 【答案】(1)能被67整除， 理由：， ∴能被67整除； (2)能被三个连续的整数整除 理由：， ∵为大于1的整数， ∴、n、是连续的整数， ∴能被三个连续的整数整除． 【分析】（1）先提公因式66，再利用平方差公式因式分解，进而可得结论； （2）先提公因式n，再利用平方差公式因式分解，进而可得结论． 【详解】（1）略 （2）略 14．利用整式的乘法运算法则推导得出：．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得．通过观察可把看作以为未知数，、、、为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二项式系数与常数项分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式的二项式系数2与常数项分别进行适当的分解，如图2，则． 根据阅读材料解决下列问题： (1)用十字相乘法分解因式：； (2)用十字相乘法分解因式：； (3)结合本题知识，分解因式：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将拆为，拆为9与，交叉相乘和为，然后结合十字相乘法因式分解即可； （2）将拆为，拆为1与，交叉相乘和为，然后结合十字相乘法因式分解即可； （3）把看成整体，将拆为，6拆为与，交叉相乘和为，然后结合十字相乘法因式分解即可． 【详解】（1）解：， ，，， ； （2）解：， ，，， ； （3）解：， ，，， ． 15．请同学们阅读以下材料，尝试解决问题： 材料：整体设元法 利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，例如，分解因式； 解：将“”看成一个整体，令； 原式． 材料：姬曼定理 请看这个问题：把分解因式；世纪的法国数学家苏菲·姬曼抓住了该式只有两项， 而且属于平方和的形式，要使用公式就必须添一项，随即将此项减去，即可得 ． 人们为了纪念苏菲・姬曼给出这一解法，就把它叫做“姬曼定理”． 根据材料，请你尝试对以下多项式进行因式分解： (1)因式分解：； (2)因式分解：________（直接写出结果）； (3)因式分解：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设，原式可化为，再进一步求解即可； （2）把原式化为，再进一步求解即可； （3）把原式化为，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：设， ； （2）解： （3）解： ． 16．阅读材料：如何对多项式进行因式分解呢？小明想到可以将这个多项式“两两分组”再进行因式分解，具体过程为：．小红用类似的方法对多项式进行因式分解，具体过程为：．像这种先将一个多项式适当分组，再分解因式的方法叫作“分组分解法”．请按照以上材料，将下列各式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先分组，然后提取公因式分解因式即可； （2）先分组，然后利用完全平方公式和平方差公式分解因式． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 17.对于多项式“”我们可以进行如下分解： 方法一： ． 方法二： ． 参考示例中的方法回答下列问题： (1)有五张卡片，卡片①为正方形，边长为，卡片②为长方形，长为，宽为，卡片③为长方形，长为，宽为，卡片④为长方形，长为，宽为，卡片⑤为长方形，长为，若卡片①②③④的面积之和等于卡片⑤的面积，求卡片⑤的宽． (2)分解因式：； (3)若都是正整数，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3)8 【分析】（1）先计算出①②③④的面积之和为，再除以即可解答； （2）直接运用分组法因式分解即可； （3）结合（2）的结果可得 ，再列方程组求出m、n的值，最后求的值即可． 【详解】（1）解：由已知得卡片①②③④的面积之和为 因为卡片①②③④的面积之和等于卡片⑤的面积，且卡片⑤的长为， 所以卡片⑤的宽为． （2）解： ． （3）解：∵，， ∴ ． ∵为正整数，且， ∴， ∴即， ∴． 18.数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，通过计算几何图形的面积可以将一些多项式因式分解．例如：利用图1可以得到． (1)请把表示图2面积的多项式因式分解：____________；（直接列出等式即可） (2)如图3，有足够数量的边长分别为，的正方形纸片和长为，宽为的长方形纸片，可利用这些纸片将多项式因式分解：________________________（直接列出等式即可） (3)若，，为实数，，，利用（1）的结论求的值； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）用两种方法表示出图2的面积，得出式子． （2）作出图形，根据图形进行因式分解即可． （3）由得，然后展开，代入数据计算即可； 【详解】（1）解：图2面积表示为：， 或表示为：， 所以有：． （2）解：如图所示： 由图可得，． （3）解：， ． ， ． ∴． ∴． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $