河南省周口市扶沟县高级中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷

扶沟高中2024-2025学年度下期高一期末考试 数学答案 1.【解析】1-1 一=一=-i,其虚部为-1，故选C. z-1 i 2.【解析】根据斜二测画法得到三角形OAB为直角三角形，∠AOB=90°， 底边长0B=4,高0A=20A=6,所以AB=√OB2+0A=√4+6=23， ∴直角三角形OAB的周长为10+2√13，故选：A. 3.【解析】由题意：E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点， ÷酝=面++孤+丽号而-而+而+兮而丽-号而.放选D 2 4.【解析】对于A,若m∥a,nca,则m,n可平行或异面，故A错误； 对于B,n∥a,n⊥B,故在a内存在直线1与n平行，故1⊥B,a⊥B,故B正确： 对于C,若m⊥a,m⊥B,则a∥B,故c错误： 对于D,mca,a⊥B,则m与B可平行或相交或mCB,故D错误.故选：B. 5.【解析】记轮船的初始位置为P,灯塔的位置为Q,半小时后轮船的位置为M,如图. 依题意得P0=8海里，PM=10×0.5=5海里，∠0PM.=180-65°-55°=60°.Q 在aPMQ中，由余弦定理得0M2=52+82-2x5×8×1=49, 所以OM=7海里，即行驶半小时后，轮船与灯塔之间的距离为7海里选：A 6.【解析】由题意建立如图所示的坐标系，可得A(0,0),B(,0),C0,), P=0,4)+0,0)=,4),1,4,P丽=-1,4)，P元=(1，t-4, 历c=-x(e4(40-0=}+17≤2+17=13 当且仅当1=时，等号成立，故选B. 7.【解析】对于A,连接AC、BD交于点O,连接EF,易得EF过点O,且EF⊥平面ABCD, ▣▣ 。夸克扫描王 极速扫描，就是高效 ▣ 又A0AC-4+4=2,则E0=V4-2=5, 2 则该八面体的体积为2n=2××2×5-8 3 3 ,A错误： 对于B,易知∠ECO=45°即为所求线面角，B错误： 对于C,易得ED川BF,则∠DEC或其补角即为EC与BF所成角， 又∠DEC=60°，则EC与BF所成角为60°，C正确. 对于D,由对称性可知，点O即为该八面体的内切球的球心， 2√6 则内切球半径r= ,D错误；故选：C √33 则内切球的表面积为4zr2-8 8.【解析】选项A,若三个全等的钝角三角形是等腰三角形，则AA=CA=BC=CC=AB=BB, 从而、B、C三点重合，不合题意，A正确： 选项B,若BB'=3,COs /BAB'=33 6，si血∠BAB=5 6·型道E3 得AB=9,B正确： 26 选项C,若AB=2A'B,记AB=2t,AB=t,设BB=x,则AB=BC=t+x, 在AMBB中，由余弦定理AB2=AB2+BB2-2AB'BB',cO 2元得，4g2=+x}2+x++xx, 3 1=5+1 负值省去.48=1+x=3+53+5B8,C错误： 2 2 选项D,若A是AB的中点，设B=m,则AB=2m,BB=m, 由余弦定理得AB2=4m2+m2-2·2m·mc0 2r=7m2, 3 B2-75m2,面3wc=5m3,所以Swe=S心，DE确.放志：C 4 4 4 9【解析】由题设。M事件所选学生为甲成丙。且P心W)-宁 N事件所选学生为Z或丙，且PM=之，H事件所选学生为T,且P团= 显然M,N不互斥，存在都选丙的可能，且P心MM==PM)P心M,A错、C对： ▣▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 ▣ M,H互斥，即P(MH)=O≠P(M)P(H),B对、D错；故选：BC 10.【解析】对于A,z=1=+=中2=i,所以z0=”=2==-1,故A正确； 对于B,由d+aia-i)>0,可得a-i+ai+a>0,即2a-(1-a2）i>0, 厅以2ag。0,解得a=1,故B错误， 对于C,设z=a+bi,(a,beR),因为z非l,所以a+b-1,所以-1≤a≤1 所以2-2=V(a-2+b2=《a-2+1-a2=5-4a∈[l,3引，故c正确： 对于D,因为(-1-2)}+2(1-2iH5=1-4+4i-2-4i+5=0, 所以复数z=-1-2i是方程x2+2x+5=0在复数范围内的一个解，故D正确.故选：ACD. 1,【解析】对于A:由题意知亚=仍+丽=西+子8C-丽+4C-丽) -号西+引aC+码)=号孤+号4C+号4，放A错误： 对于B:记B=a,AC=i,A=c,所以BC=-a+b+c, 所以孤BC=aa+6+d-8+a6+ad=-1+之，放8正确： 2 对于-西+号c+号-++号， 3 9 √15 29 2 故C正确： 3 对于0：由，=a+c,BG=-a+i+c,所以@-a+e=匠+c+五c=5, 所以Bc=-a+b+=8层+方+8-2ai-2arc+%无-3， X4B.BG-(a+d)-(-a+B+c)--@+a-B+a.c-a-c+B-c+d--1+0+3-++1- 1 222 21 所烈)哥 石，所以直线A8与℃所成角的余弦值为二，故D正确。 6 故选：BCD. 12.【解折】5×80%=4，故第80百分位数为16+20=8.答案为：18. 2 ▣ 。夸克扫描王 极速扫描，就是高效 13.【解析】如图所示：记AB=c,AC=b,BC=a,由余弦定理可得，2+b-2×2×b×cos60=6, 因为b>0,解得：b=1+√万，由Sac=S。4m+S4cD可得， x2xb×sim60'=。×2 kADxsin3?0°+号×ADxb×sin30 解得：D=56=23+V3) b =2.故答案为：2 1*2 3+V3 14.【解析】对于①，当BP⊥AD时，BP最小， 由于AB=BD=AD=√2，所以△4BD为边长为√互的等边三角形， B到直线4D的距离d=反i血60=互x5-6 故①错误； B 2 2 对于②，由己知四边形ADDA为正方形，所以AD⊥A4D, 由正方体性质可得CD⊥平面ADDA,又AD,c平面ADD,A, 所以AD⊥CD,又CD,ADc平面ADCB,CD∩AD=D, 故AD⊥平面ADCB,又PCc平面ADCB,故AD⊥PC,放②正确： 对于③，由正方体的性质可得AD‖BC,AD￠平面ABC,BCc平面8C, AD‖平面ABC,.P到平面AB,C的距离为定值， 又Sc为定值，则'4c为定值，即三棱锥A-ACP的体积不变，故③正确： 对于④，因为四边形ABCD为正方形，所以AC⊥BD, 因为BB⊥平面ABCD,ACC平面ABCD,所以AC⊥BB,又BD,BBC平面BDD,B,BDOBB=B, 所以AC⊥平面BDDB,又BDC平面BDD,B,所以AC⊥BD, 因为四边形ABBA为正方形，所以AB⊥AB；因为BC⊥平面ABBA,ABC平面ABBA, 所以BC⊥AB,又AB,BCC平面ABCD,AB∩BC=B,所以AB⊥平面4BCD,又BD,C平面4BCD, 所以AB⊥BD,又AC个AB=A,AC,AB C ABC,所以BD⊥平面AB,C,设BD与平面ABC交于Q点， 则三棱锥B-M8C的体积形-c写8.B0,又K-e=c-专.cB8, m11-宁4=.8a-{-90-9 设以B为球心，三为半径的球与面BC交线上任一点为G, ▣口 。夸克扫描王 极速扫描，就是高效 ▣6 3 ,:G在以Q为圆心，5为半径的圆上， 6 6 由于△MB,C为正三角形，边长为反，其内切圆半径为5x5x6 236 故此圆恰好为△8C的内切圆，完全落在面8C内，“交线长为2元，6_ 元，故@正确。 63 故答案为：②③④， 15.【解析】(1)己知asin B=V3bcos4,由正弦定理a=b sin A sin B asin B=bsin A=3bcos A, …2分 显然cosA≠0，得tanA=√5， g4分 由0<A<元，故A= 3 6分 1 2)由(1)知cosA=2且c=2b+l,a=7, 8分 由余弦定理a2=6+c2-2 bccosA,则7=6+(2b+1y-2×b62b+0=362+36+1, 2 解得b=1(b=-2舍去)， 11分 故c=3. 413分 16.【解折】(1)x=9.8+10.3+10+10.2+99+9.8+10+10.1+10.2+9,7 10 10, 2分 y=10.1+10,4+10.1+10+10.1+10,3+10.6+10.5+10.4+105-=10.3, 4分 10 号=02+032+0+02+0.+02+0+0P+02+03-036, 10 7分 写=022+0.P+02+0,32+02+0+032+02+0.12+0.22 =0.04. 10 10分 (2)依题意，y-x=0.3=2×0.15=2V0.152=20.0225, 12分 2 0.036+0.04 =26.0076, 10 13分 y-x221 2+ …14分 10 所以新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高。 15分 17.【解析】(1)由PD1平面ABCD,AD,CD平面ABCD, ▣▣ 。夸克扫描王 极速扫描，就是高效 得PD⊥AD,PD上CD,又AD⊥CD,建立如图空间直角坐标系D-xyz, …41分 则D0.00,4,00,B1,0,C0,2,0,P00,3)，F(0,0,, 所以元=02-38c=(10,F=←0,2， 2分 设平面PBC的一个法向量为n=(x,y,z), n,P℃=2y-3z=0 则 ,令y=3,则x=3,z=2, D i·BC=-x+y=0 所以n=(3,3,2, A分 所以丽.=(-1,0，(63,2)=-3+3=0，故厅上n, 5分 且AF平面PBC,即AFI/平面PBC; 6分 (2)由(1)知，DP=(0,0,3), 7分 所以点D到平面PBC的距离为 d日 D.3×232 闭9+9+411 ,即点D到平面PBC的距离为V豆 11 13分 18.【解析】(1)由频率分布直方图面积和为1可得： (0.01+0.025+0.1+0.125+x+0.05+0.115)×2=1,解得x=0.075, 3分 因为前三组的频率之和为0.02+0.2+0.23=0.45，所以中位数在[20,22)组， 设中位数为20+1，则0,45+0.125×2×=0.5，解得1=0,4， 2 5分 所以中位数为20+0.4=20.4. 6分 (2)[20,22)、[22,24)、[24,26)的频率之比为025：0.15：0.1=5：3：2， 8分 共抽10名，则[2,24)的学生中应抽取10×三=3名. 10 10分 (3)由(2)可知，[22,24)抽3人，设3人分别为A,A,A 11分 奥[2420抽取10x号-2人2人分别为品岛， 12分 设事件C表示抽取的2名学生来自同一组学生，总情况数有 (4,42),(4,4),(4,B),(4,B2)(4,4)(4,8)(4,B2)(4,B),(4,B2)(8,B2)10种，15分 ▣▣ 。夸克扫描王 极速扫描，就是高效 ▣5 2名学生来自同一组学生的情况由(4,4)，(A,A),(42,A),(B,B2)4种， 16分 则e名-号 17分 19.【解析】(1)(i)如图，设CF与AD交于点G,由题可得AE∥CD,D=√AC+CD2=4, 则sin∠CDA=sin∠DAE=,所以2CD1=∠DiE=Y 3 又AD=AE,所以△ADE为正三角形， 1分 所以∠BDA=∠CDM=号又DF=DE=CD,DG=DG, 故ADFG2aDCG,所以FG=CG,故CF⊥AD. 2分 E4 因为PH⊥平面ACDE,CFc平面ACDE,所以CF⊥PH, 3分 因为PHOAD=H,PH,ADC平面PAD,所以CF⊥平面PAD, 4分 又PAc平面PAD,所以CF⊥PA. 5分 ()由(i)=方4D=2,由题可得PH=Pf-=25, 6分 △ACD为直角三角形，且PH⊥平面ACDE, 所以三棱锥P-ACD的外接球球心O在直线PH上， 7分 设球O的半径为R,则0H=2W2-, 如图，连接AO,在RtAAOH中，OH2+AH=OA2, 即22-R+z=R,得R=3 8分 2 连接E0,HE,因为OH= 2,HE=25, 所以E0=VOH+EH 49分 所以EM的最小值为EO-R=√5，EM的最大值为EO+R=4W2, 10分 故EM的取值范围为[V2,42], 11分 (2)解法一：如图，过点P作平行于AE的直线，则该直线为平面PCD与平面PAE的交线L. 设点P在平面ACDE内的射影为K,过点K作平行于AC的直线分别交CD,AE于点M,N, 连接PM,PN,则∠MPN为二面角A-I-C的平面角 12分 因为PA=PC,所以KA=KC,K为MN的中点，PM=PN, 13分 ▣▣ 。夸克扫描王 极速扫描，就是高效 ▣9 连接PK,则∠MPK=∠NPK,am∠MPK-M-月 PK PK 若∠MPN最小，则∠MPK最小，即tan∠MPK最小， 所以当PK取最大值时，二面角A-1-C取得最小值.14分 易知当点K为AC的中点时，PK取得最大值， 且最大值为3， …15分 E 因此m∠PK的最小值为号.即∠APK的最小值为后 16分 3 所以二面角4-1-C的最小值为野 17分 解法二：取4C的中点2，连接P2,OF,则P2⊥AC,PO=3,OF=3, 以Q为坐标原点，分别以F2,OC所在直线为×，y轴，过点Q与平面ACDE垂直的直线为z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则40，-√5,0，c0,5,0,D(-2,3,0,E(4,V5,0, 所以DC=(2,0,0),，EA=(4,0,0).设∠P=8(0≤0≤π)，则P(3cos0,0,3sin9), 所以AP=(3cos0,V5,3sin0,C乎=(3cos0,-V5,3sin0…12分 设平面PE的法向量为m=(名，，)： 则 m:元=0，即3os0+5%+35i030 mE=0即{4钙=0 取名=-1，则x=0,为=5sim0,故m=(0,V3sin6,-l为平面PaE的-个法向量.14分 设平面PCD的法向量为i=(a,b,c),则 i.C乎=0 3c0s0a-+3sin0.c=0 DC=0 2a=0 取c=1,则a=0,b=√5sim0,故i=(0,V3sin8,1为平面PcD的-个法向量. 16分 易知此时m与n的夹角即二面角A-1-C的平面角. 设二面角A-1-C的大小为p,则c0sp=Cos(m,》= m月3sn20-1=1,3 网-同3sim20+1 6家 所以当血0=1时，osP取得最大值宁，此时0取得最小值 故二面角A-1-C的最小值为. n17分 ▣ 。夸克扫描王 极速扫描，就是高效 ▣9扶沟高中2024-2025学年度下期高一期末考试 7 数学试题 2025.06 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的 1.已知z=1+i,则一的虚部为（) z-1 A.-i B.i C.-1 D.1 2.如图，△OAB是水平放置的△OAB的直观图，则△OAB的周长为() A.10+2W13 B.3W2 3 C.10+4W13 D.12 ∠145° 7648 3.平行四边形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点（靠近B),则EF= () A.丽-而 B.4西+2而 C.}丽+号而 D.孤-而 4.若m、n为直线，a,B为两个平面，则下列结论中正确的是() A.若mlla,nca,则mlln B.若nl∥a,n⊥B,则a⊥B C.若m⊥a,m⊥B,则a⊥B D.若mca,a⊥B,'则m⊥B 5.一艘轮船的北偏西65°方向上有一灯塔，此时二者之间距离为8海里，该轮船以每小时 10海里的速度沿南偏西55的方向直线航行，行驶半小时后，轮船与灯塔之间的距离为 () A.7海里 B.8海里 C.9海里 D.6海里 6.已知1AC,=AC=1,1E子，4：若P是△ABC所在平面内-一点， 则P厉.PC的最大值为是() A.17 B.13 C.12 D.15 ▣ 。夸克扫描王 极速扫描，就是高效 ▣ 7.如图，已知一个八面体的各条棱长均为2，四边形ABCD为正方形，则下列结论正确的 是() E A.该八面体的体积为 B.EC与平面ABCD所成角为60° C.EC与BF所成角为60 D.该八面体的内切球的表面积为16 8.东汉末年的数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”，根据面积关系给出了勾股定 理的证明，后人称其为“赵爽弦图”如图1，它由四个全等的直角三角形与一个小正方形 拼成的一个大正方形.我们通过类比得到图2，它是由三个全等的钝角三角形与一个小等 边三角形"B'C”(三顶点不重合)拼成的一个大等边三角形ABC.对于图2.下列结论不 正确的是() 图1 图2 A.这三个全等的钝角三角形不可能是等腰三角形 B.若BB=3,os∠BAB=V 6 ,则AB=9 C.若AB=2AB,则AB=V5BB D.若A'是AB'的中点，则△ABC的面积是△A'BC面积的7倍 :二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.现有甲、乙、丙、丁四名同学，甲擅长乒乓球，乙擅长篮球，丙既擅长乒乓球又擅长篮 球，丁擅长足球与羽毛球，现从这四名同学中任选一位，记事件M=“所选学生擅长乒 乓球”，事件N=“所选学生擅长篮球”，事件H=“所选学生擅长足球”，则（) A.M与N互.斥B.M与H互斥C.M与N相互独立D.M与H相互独立 。夸克扫描王 极速扫描，就是高效 10.在复平面内，下列说法正确的是（) A.若复数z=I 中，i为虚数单位，则z0=-1 1-i B.已知(1+ai)(a-i)>0,其中i是虚数单位，a为实数，则a=1或a=-1 C.若z=1,则1≤z-2≤3 D.复数z=-1-2i是方程x2+2x+5=0在复数范围内的一个解 11.如图，在三棱柱ABC-AB,C中，∠BAC=90°，∠BAA=∠CAA=60°，AB=AC=A4=1, P是线段BC上的点，且BP=2PC,则下列说法正确的是() A.亚-B+C+ B.而C=号 C.AP=5 3 D。直线识与BC所诚角的余弦值为号 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.样本数据2,8,14,16,20的第80百分位数为 13.在△MBC中，∠BAC=60°，AB=2,BC=V6,∠BAC的角平分线交BC于D,则 AD= 14.如图，正方体ABCD-AB,CD的棱长为1，P是4D上的一个动点，则下列结论正确的 有： (填序号). B ①8P的最小值为5： D ②AD⊥PC; ③当P在直线4D上运动时，三棱锥R-ACP的体积不变； ④以点B为球心，二为半径的球面与面48C的交线长为 . 。夸克扫描王 极速扫描，就是高效 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本题满分13分)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c. 已知a sin B=√3 bcosA,c-2b=1,a=√7. (1)求A的值： (2)求c的值： 16.(本题满分15分)某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某 项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项 指标数据如下： 旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7 新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5 旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x和y,样本方差分别记为 子和 (1)求x,y,S,: (2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果 -x221 +立，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显着提高，否 10 则不认为有显著提高) ·17.(本题满分15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，DP⊥底面ABCD,AB∥CD,∠ADC=90°， DP=3,CD=2,AB=AD=1,点F为PD中点. (1)求证：直线AF∥平面PBC; (2)求点D到平面PBC的距离. 2 。夸克扫描王 极速扫描，就是高效