专题02 相似三角形的判定与性质6大题型（压轴题专项训练）数学沪教版五四制九年级上册

专题02 相似三角形的判定与性质 目录 典例讲解 类型一、灵活证明两个三角形相似 类型二、相似三角形的有关计算与证明 类型三、相似三角形的实际应用 类型四、相似三角形与折叠问题 类型五、相似三角形与动点问题 类型六、相似三角形与新定义问题 压轴专练 类型一、灵活证明两个三角形相似 相似三角形的判定 判定方法（1）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似； 判定方法（2）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似； 判定方法（3）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似； 注意：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的. 判定方法（4）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 【例1】如图，在中，于点，于点，与交于点，则图中与相似（不含）的三角形有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例2】如图，在正方形中，是的中点，点在上，且．求证：． 【变式1-1】如图，，，，则图中相似三角形有（   ） A．5对 B．6对 C．对 D．对 【变式1-2】如图，量角器放置在长方形纸面中，为其直径，点为其圆心，点，在量角器的半弧上，对应刻度分别为和，连接． (1)尺规作图：求作线段的垂直平分线，直线与交于点，与交于点．（保留作图痕迹，标注清楚字母，不写作法） (2)连接，求证：． 【变式1-3】如图，四边形中，，． (1)尺规作图：在线段上求作一点E，使得；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，连接．求证：． 类型二、相似三角形的有关计算与证明 性质1：相似三角形的对应角相等，对应边对应成比例. 性质2：相似三角形中的重要线段的比等于相似比. 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 注意：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. 性质3：相似三角形周长的比等于相似比 如图一：，则 由比例性质可得： 性质4：相似三角形面积的比等于相似比的平方 如图二，，则分别作出与的高和，则 注意：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 【例3】如图，矩形中，，，E为的中点，连接，交于点O，M为上一点，连接交于点N，当时，的长为（    ） A． B． C． D． 【例4】四边形中，为对角线，． (1)如图1，求证：四边形为矩形． (2)如图2，点、分别为、边的中点，连接、分别交于点、，连接，在不添加辅助线的情况下，若则四边形面积为________． 【变式2-1】如图，一张锐角三角形纸片，点、分别在边、上，，沿将剪成面积相等的两部分，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-2】如图，在中，的平分线与的延长线交于点，与交于点，垂足为．若，则的长度为 ． 【变式2-3】如图，已知在正方形中，点在边上，过点作交延长线于点，连接，过点作交于点， (1)求证：； (2)连接．如果为的中点，求证：． 类型三、相似三角形的实际应用 【例5】如图，和是两个相距且高度都为的路灯，身高的张畅（）晚上在路灯下沿线段来回散步，则他身体前后的两个影子之和的长为（   ） A． B． C． D． 【例6】小李和小王去公园玩标准的跷跷板（两边长度一样）游戏，两同学越玩越开心，小李对小王说：“真可惜！我只能将你最高翘到1米高，如果我俩各边的跷跷板都再伸长相同的一段长度，那么我就能将你翘得更高！” (1)请你根据他们的对话，借助图1，计算出跷跷板的支点与地面的距离的长度； (2)你认为小李的话对吗？请你作图分析，并说明理由． 【变式3-1】如图1是装了液体的长方体容器的主视图（数据如图），将该容器绕地面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好接触到容器口边缘，如图2所示，此时液面宽度 ． 【变式3-2】在进行光的反射实验中，小明将一块硬纸板竖直立在平面镜上，如图所示，用激光笔紧贴纸板从点A处射向平面镜，光线从点E点射出，将激光笔向后平移至纸板边缘的B点处，射向平面镜，使得光线依旧从点E射出，若激光笔高度，，，，已知点C，F，G，H，D在同一水平线上，且均与垂直．则的长度为 【变式3-3】如图1，小红家的阳台上放置了一个晒衣架，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆AB、CD相交于点O，B、D两点在地面上，经测量得到，，，现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF成一条线段． 发现：连接AC．则AC与EF有何位置关系?并说明理由； 探究：若，求利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上?    类型四、相似三角形与折叠问题 【例7】如图，折叠边长为的正方形纸片，折痕是，点C落在点E处，分别延长、交于点F、G，若点M是边的中点，则 ． 【例8】如图，在正方形纸片中，是的中点，连接，将沿折叠，点的对应点为点，连接并延长交于点，则线段与位置关系为 ， ． 【变式4-1】如图，在等腰中，，边上有一点，将沿线段折叠得，线段与边交于点，若，则 ． 【变式4-2】如图，在中，，是的中位线，为上一点，连接，将沿折叠得到，点的对应点落在线段上，若，则的长为 ． 【变式4-3】如图，在矩形纸片中，点在边上（不含端点），将沿折叠，点落在点处，． (1)求证：． (2)若，求的值． 类型五、相似三角形与动点问题 【例9】如图1，在正方形中，动点E从点A出发，沿折线运动到点C停止，过点E作交于点F，设点E的运动路程为，则y与x对应关系的图象如图2．当点E运动到的中点时，的长是（   ） A． B． C． D． 【例10】如图，四边形为平行四边形，，，对角线，为上一动点，为上一定点，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【变式5-1】如图，在中，，，点在边上，，点是边上的动点（不与端点重合），点是边上的动点（不与端点重合），连接，且，若，的面积为，则关于的函数图像是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】如图， 点，点B为x轴上一动点， 在中， 若， 则线段 最大值为 ． 【变式5-3】如图，正方形的边长为2，E是边上一个动点，F是边上一个动点，且，过点B作于点G，连接，则长的最小值是 ． 类型六、相似三角形与新定义问题 【例11】综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“损矩形”进行研究． 定义：只有一组对角是直角的四边形叫做“损矩形”．    (1)操作判断 如图1，四边形是“损矩形”，，若，则________． (2)性质探究 在研究图1的“损矩形”时，小明发现：若，则．小明的发现是否正确？请说明理由． (3)拓展应用 如图2，“损矩形”中，，，，连接，当是等腰三角形时，请直接写出“损矩形”的面积． 【例12】定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．请利用已有经验对“等对角四边形”进行探究： (1)如图1，在中，为斜边上的中线，过点作交于点，判断四边形是否为“等对角四边形”，并说明理由； (2)如图2，在中，平分，点在边上，若以为顶点的四边形为“等对角四边形”，求线段的长． 【变式6-1】定义：如果三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做“准直角三角形”．如图，在四边形中，，，，，且是“准直角三角形”，则的面积为 ． 【变式6-2】垂中平行四边形的定义如下：在平行四边形中，过一个顶点作关于不相邻的两个顶点的对角线的垂线交平行四边形的一条边，若交点是这条边的中点，则该平行四边形是“垂中平行四边形”． (1)如图1所示，四边形为“垂中平行四边形”，，，则________；________； (2)如图2，若四边形为“垂中平行四边形”，且，猜想与的关系，并说明理由； (3)如图3所示，在中，，，交于点，请画出以为边的垂中平行四边形，要求：点在垂中平行四边形的一条边上（温馨提示：不限作图工具）． 1．定义：如果一个四边形的两条对角线将它分成的四个小三角形都是相似三角形，那么称这样的四边形为“全相似四边形”．如图，在四边形中，，，下列条件能使四边形成为“全相似四边形”的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，矩形中，，的角平分线交于点，连接交于点，过点作交于点，则长为（    ） A．1 B． C． D． 3．如图，矩形的对角线交于点，，，点为上一个动点（不与，重合），连接，以为边在点右侧作正方形，直线，相交于点，于点，连接，设，的面积为，则与的关系的大致图象为（   ） A． B． C． D． 4．已知在平面直角坐标系中的位置如图所示，为的中点，点是折线上的一个动点，线段把分割成两部分．若分割得到的三角形与相似，则符合条件的点的坐标为 ． 5．如图1，已知是正方形的边上一点，连接，延长至点，使，连接交于点． （1）若，则 ；（用含有的代数式表示） （2）如图2，连接交于点．若，则 ． 6．如图，在中，，点在边上，且，动点在边上，连接和，若，求的最小值为 ． 7．如图，将矩形纸片折叠，折痕为，折叠后，点M与点D对应，点N与点C对应，经过的中点P，的延长过点B．若，则的长为 ． 8．如图，点D、E、F分别在等边的三边，，上，且，． (1)求证：； (2)若，求的长． 9．如图，在矩形中，是对角线，，．点E从点D出发，沿方向匀速运动，速度是；点F从点B出发，沿方向匀速运动，速度是．直线过点F，且，分别交、于点M，N，连接、、．两点同时出发，设运动时间为（），请回答下列问题： (1)当t为___________时，和相似； (2)设四边形的面积为，求关于之间的函数关系式； (3)求当为何值时，为等腰三角形． 10．某数学兴趣小组决定采用我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的原理，来测量东塔的高度．东塔的高度为，选取与塔底在同一水平地面上的两点，分别垂直地面竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔为，并且东塔、标杆和在同一竖直平面内．从标杆后退到处（即），从处观察点，，，在一直线上；从标杆后退到处（即），从处观察点，，，三点也在一直线上，且，，，，在同一直线上，请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出东塔的高度．     11．四边形为平行四边形，点和点分别为边，的中点，连接、，交对角线于点． (1)若，求的长； (2)如果，求证：． 12．小明在学习完“利用相似三角形测量旗杆的高度”这节课后，他跟同学来到操场计划用标杆、平面镜和皮尺测量操场上旗杆的高度，因为学校给操场上安装“智慧体育”相关设施，使得他们无法到达旗杆的底部，于是他们在操场外的空地上的D处竖立了长为3米的标杆（米），此时小明站在距离D处3.6米的点F处恰好能通过标杆顶端看到旗杆的顶部A点，随后小明站到D处恰好通过N处放置的平面镜看到旗杆的顶部A点，经过测量得知米，已知小明的眼睛距离地面1.8米（即米），同时F、D、N、B四点在同一直线上，如图所示，请求出旗杆的高度． 13．已知正方形中，，P为边上一点，过P作，垂足为 (1)如图1，若平分，求证： (2)如图2，若点P是边的中点，连接，求的长 (3)如图3，若点E是线段的中点，的延长线交于点F，当时，求的长 14．【平行六边形】如图1，在凸六边形中，满足，我们称这样的凸六边形叫做“平行六边形”，其中与，与，与叫做“主对边”；和，和，和叫做“主对角”；叫做“主对角线”． (1)类比平行四边形性质，有如下猜想，请判断正误并在横线上填写“正确”或“错误”． 猜想 判断正误 ①平行六边形的三组主对边分别相等 _________ ②平行六边形的三组主对角分别相等 _________ ③平行六边形的三条主对角线互相平分 _________ 【菱六边形】六条边都相等的平行六边形叫做“菱六边形”． (2)如图2，已知平行六边形满足． 求证：平行六边形是菱六边形： (3)如图3是一张边长为的三角形纸片．剪裁掉三个小三角形，使剪裁后的纸片为菱六边形．请在剪裁掉的小三角形中，任选一个，求它的各边长． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 相似三角形的判定与性质 目录 典例讲解 类型一、灵活证明两个三角形相似 类型二、相似三角形的有关计算与证明 类型三、相似三角形的实际应用 类型四、相似三角形与折叠问题 类型五、相似三角形与动点问题 类型六、相似三角形与新定义问题 压轴专练 类型一、灵活证明两个三角形相似 相似三角形的判定 判定方法（1）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似； 判定方法（2）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似； 判定方法（3）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似； 注意：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的. 判定方法（4）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 【例1】如图，在中，于点，于点，与交于点，则图中与相似（不含）的三角形有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：∵于点，于点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴图中与相似（不含）的三角形有个， 故选：C． 【例2】如图，在正方形中，是的中点，点在上，且．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：法一：设正方形的边长为． 是的中点， ． ． 四边形为正方形， ． 在Rt中，， ． 又， ． 同理． ． ． 在和中，， ． 法二：设正方形的边长为． 是的中点， ． ． 四边形为正方形， ． 在Rt中，， ． 又， ． 同理． 在中，， ． ． 又， ． 在和中， ， ． 法三： ． 四边形为正方形， ． 是的中点， ， ． 在和中， ， ． ． ， ， ． 在和中， ， ． 【变式1-1】如图，，，，则图中相似三角形有（   ） A．5对 B．6对 C．对 D．对 【答案】C 【详解】解：图中有个三角形，分别是：、、、和； ∵，，， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴； ∴； ∵，， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴； 综上所述：， 即：，，，， ，，，，，，故图中相似三角形有对； 故选：C． 【变式1-2】如图，量角器放置在长方形纸面中，为其直径，点为其圆心，点，在量角器的半弧上，对应刻度分别为和，连接． (1)尺规作图：求作线段的垂直平分线，直线与交于点，与交于点．（保留作图痕迹，标注清楚字母，不写作法） (2)连接，求证：． 【答案】(1)作图见解析； (2)证明见解析． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）证明：如图，连接， 由作图可知， ∴， 由图可知， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴． 【变式1-3】如图，四边形中，，． (1)尺规作图：在线段上求作一点E，使得；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，连接．求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）解：如图，点E即为所求的点， （2）证明：连接， ∵，且， ∴， 又∵，在中 ∴， 又∵， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∵， ∴ 又∵， ∴， ∴． 类型二、相似三角形的有关计算与证明 性质1：相似三角形的对应角相等，对应边对应成比例. 性质2：相似三角形中的重要线段的比等于相似比. 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 注意：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. 性质3：相似三角形周长的比等于相似比 如图一：，则 由比例性质可得： 性质4：相似三角形面积的比等于相似比的平方 如图二，，则分别作出与的高和，则 注意：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 【例3】如图，矩形中，，，E为的中点，连接，交于点O，M为上一点，连接交于点N，当时，的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵矩形中，，， ∴，， ∵E为的中点 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴， 当时， ∴， ∴ 如图所示，延长交延长线于点F ∵ ∴ ∴，即 ∴ ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴，即 ∴． 故选：B． 【点睛】此题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 【例4】四边形中，为对角线，． (1)如图1，求证：四边形为矩形． (2)如图2，点、分别为、边的中点，连接、分别交于点、，连接，在不添加辅助线的情况下，若则四边形面积为________． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； （2）解：∵是矩形，， ∴，， ∵点E和点F分别是边、的中点， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴． 【变式2-1】如图，一张锐角三角形纸片，点、分别在边、上，，沿将剪成面积相等的两部分，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：如图所示，过点D作交于点F， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴设，， ∵沿将剪成面积相等的两部分， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【变式2-2】如图，在中，的平分线与的延长线交于点，与交于点，垂足为．若，则的长度为 ． 【答案】 【详解】解：∵为的平分线， ∴， ∵是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得：， ∵， ， ， 则， ∵平行四边形， ∴， ∴，， ∴， ， ， ， 故答案为：． 【变式2-3】如图，已知在正方形中，点在边上，过点作交延长线于点，连接，过点作交于点， (1)求证：； (2)连接．如果为的中点，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴由三角形内角和定理得：， 在和中， ∴． （2）解：设正方形的边长为a， ∵为的中点， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴由勾股定理得：， ∵， ∴，即， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、勾股定理、全等三角形的性质和判定、平行线的性质、相似三角形的性质和判定等知识点，能综合运用性质进行推理是解题的关键． 类型三、相似三角形的实际应用 【例5】如图，和是两个相距且高度都为的路灯，身高的张畅（）晚上在路灯下沿线段来回散步，则他身体前后的两个影子之和的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意，可知， ， ， ，， ， ， ， 同理， ， ， ∴． 故选：C． 【例6】小李和小王去公园玩标准的跷跷板（两边长度一样）游戏，两同学越玩越开心，小李对小王说：“真可惜！我只能将你最高翘到1米高，如果我俩各边的跷跷板都再伸长相同的一段长度，那么我就能将你翘得更高！” (1)请你根据他们的对话，借助图1，计算出跷跷板的支点与地面的距离的长度； (2)你认为小李的话对吗？请你作图分析，并说明理由． 【答案】(1)米； (2)小李的话不对，见解析 【详解】（1）解：小李对小王说“真可惜！我只能将你最高翘到1米高”，情形如图1所示， 是标准跷跷板支架的高度，是跷跷板一端能翘到的最高高度1米，是地面． ， ， ， ， 又此跷跷板是标准跷跷板，， ，而米， 得米； （2）解：小李的话不对． 若将两端同时都再伸长相同的长度，假设为a米．如图2所示， 米，米 ∵， ∴，即． ∴，同理可得， ∴，由米，得米． 综上所述，跷跷板两边同时都再伸长相同的一段长度，跷跷板能翘到的最高高度始终为支架高度的两倍，所以不可能翘得更高． 【变式3-1】如图1是装了液体的长方体容器的主视图（数据如图），将该容器绕地面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好接触到容器口边缘，如图2所示，此时液面宽度 ． 【答案】 【详解】解：过作交于， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， 解得：， 故答案为：． 【变式3-2】在进行光的反射实验中，小明将一块硬纸板竖直立在平面镜上，如图所示，用激光笔紧贴纸板从点A处射向平面镜，光线从点E点射出，将激光笔向后平移至纸板边缘的B点处，射向平面镜，使得光线依旧从点E射出，若激光笔高度，，，，已知点C，F，G，H，D在同一水平线上，且均与垂直．则的长度为 【答案】 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式3-3】如图1，小红家的阳台上放置了一个晒衣架，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆AB、CD相交于点O，B、D两点在地面上，经测量得到，，，现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF成一条线段． 发现：连接AC．则AC与EF有何位置关系?并说明理由； 探究：若，求利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上?    【答案】发现：，理由见详解；探究：利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙总长度小于时，连衣裙才不会拖在地面上 【详解】解：发现：， 理由如下：连接，如下图，    ∵立杆相交于点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 探究：如下图，过点作于点，过点作于点，    ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∵，， ∴， 在中，根据勾股定理可得， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得． 答：利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙总长度小于时，连衣裙才不会拖在地面上． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、平行线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，综合性较强，熟练掌握相似三角形的判定方法，证明三角形相似是解题的关键． 类型四、相似三角形与折叠问题 【例7】如图，折叠边长为的正方形纸片，折痕是，点C落在点E处，分别延长、交于点F、G，若点M是边的中点，则 ． 【答案】/ 【详解】解：连接， ∵四边形是正方形， ∴ ∵点M为的中点， ∴， 由折叠得， ∴， ∵ ∴ ∴ 设则有， ∴， 又在中，， ∵， ∴， ∴， ∴ 解得， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 又 ∴， ∴即， ∴ 故答案为： 【例8】如图，在正方形纸片中，是的中点，连接，将沿折叠，点的对应点为点，连接并延长交于点，则线段与位置关系为 ， ． 【答案】 【详解】解：如图，连接，由折叠的性质可得， 是的中点， ， 四边形是平行四边形， ，. 设，则 ， 即 ． 故答案为：；； 【点睛】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键. 【变式4-1】如图，在等腰中，，边上有一点，将沿线段折叠得，线段与边交于点，若，则 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，过点A作交延长线于F， 设，则， 由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴； 设， ∵， ∴，； 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式4-2】如图，在中，，是的中位线，为上一点，连接，将沿折叠得到，点的对应点落在线段上，若，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：是的中位线， ．，， ∴， ， ． 如图，过点作，交的延长线于点． ∴， 又∵，， ∴， ， ． 由折叠的性质可知，， 在中，由勾股定理得． ， ． ， ， ， ， ，即， 解得， 故答案为：． 【变式4-3】如图，在矩形纸片中，点在边上（不含端点），将沿折叠，点落在点处，． (1)求证：． (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：连接． 由折叠，得． 垂直平分． 是矩形， ． ． ， ． ． ． ． （2）由（1），， . ． 由，设， 则 ． . 又， ． ．由（1），得 类型五、相似三角形与动点问题 【例9】如图1，在正方形中，动点E从点A出发，沿折线运动到点C停止，过点E作交于点F，设点E的运动路程为，则y与x对应关系的图象如图2．当点E运动到的中点时，的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵在正方形中，动点E从点A出发，沿折线运动到点C停止，过点E作交于点F， ∴，， 则当点运动在上时，四边形为矩形， ∴， 当点运动到点处时，， ， ， 当点运动到中点时，如图， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象,正方形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【例10】如图，四边形为平行四边形，，，对角线，为上一动点，为上一定点，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，过作，交延长线于，过作，交延长线于，连接，则， ∵四边形为平行四边形，，，， ， ， ， 是直角三角形，， 四边形为平行四边形， ， ，， ， ∽， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 当是与交点时，， 故的最小值为， 故选：B． 【变式5-1】如图，在中，，，点在边上，，点是边上的动点（不与端点重合），点是边上的动点（不与端点重合），连接，且，若，的面积为，则关于的函数图像是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， 过点作于点， ， ， ， ， ， 又当时，即，， ， 关于的函数的图象是将反比例函数的图象向上平移12个单位长度得到的图象的一部分，只有选项C符合条件． 故选：C. 【变式5-2】如图， 点，点B为x轴上一动点， 在中， 若， 则线段 最大值为 ． 【答案】/ 【详解】解：如图所示，作使，作轴交于点，取的中点，连接、， ∵，， ∴，， ∴，， 即， ∵轴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴的最大值是． 故答案为：． 【点睛】本题考查坐标与图形，全等三角形的性质，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，勾股定理，三角形的三边关系等知识点．解题的关键是将线段的最大值转化为三角形的三边关系求解． 【变式5-3】如图，正方形的边长为2，E是边上一个动点，F是边上一个动点，且，过点B作于点G，连接，则长的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：连接与交于点， 在正方形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即经过点，点是正方形中心． 则， 取中点，连接， ∵， ∴， 则为定长， 过点作于． ∵， ∴， ∴， 则， 由勾股定理可得， ， 当三点共线时，最小， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是求出的值． 类型六、相似三角形与新定义问题 【例11】综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“损矩形”进行研究． 定义：只有一组对角是直角的四边形叫做“损矩形”．    (1)操作判断 如图1，四边形是“损矩形”，，若，则________． (2)性质探究 在研究图1的“损矩形”时，小明发现：若，则．小明的发现是否正确？请说明理由． (3)拓展应用 如图2，“损矩形”中，，，，连接，当是等腰三角形时，请直接写出“损矩形”的面积． 【答案】(1) (2)正确 (3)或或． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：结论：小明的发现正确， 证明：连接，如图1， ∵， 在与中，，， ∴， ∴， ∴小明的发现正确． （3）解：连接，在“损矩形”中，，，， ∴， 分三种情况：①如图1，当时， 同理（2），， ∴． ②如图2，当时，过点作于点，交于点，得， ∵，， ∴， ∴ ∴，， 在中，， ∴ 在中，， 在中，， ∴． ③如图3，当时，过点作于点，交于点， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴， ∴为的中位线， 设的长为，则，连接，则， 在中，， 在中，， ∴， 解得， ∴，， ∴． 综上所述：“损矩形”的面积为或或． 【例12】定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．请利用已有经验对“等对角四边形”进行探究： (1)如图1，在中，为斜边上的中线，过点作交于点，判断四边形是否为“等对角四边形”，并说明理由； (2)如图2，在中，平分，点在边上，若以为顶点的四边形为“等对角四边形”，求线段的长． 【答案】(1)四边形为“等对角四边形”；见解析 (2)3或 【详解】（1）解：四边形为“等对角四边形”；理由如下： 是斜边上的中线， ， ， ， ∵， ∴在Rt中，， ， 显然， 故四边形为“等对角四边形”； （2）解：∵平分， ∴， ①若，， 如图2， 在与中， ， ； ②若，，如图3，过点作，垂足为点， 在中，，， ， 平分，， ∴， ∴， ， ， ， ，即， ， ， 综上所述：的长为3或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键． 【变式6-1】定义：如果三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做“准直角三角形”．如图，在四边形中，，，，，且是“准直角三角形”，则的面积为 ． 【答案】48或24/24或48 【详解】解：如图，过点C作于F，，交的延长线于E， 设， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，， 当时， ∵， ∴， 过点B作于点G，则：， ∵， ∴， ∴ ， 设，则， ∴， ∴， ∴； 当时， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述：的面积为48或24， 故答案为：48或24． 【变式6-2】垂中平行四边形的定义如下：在平行四边形中，过一个顶点作关于不相邻的两个顶点的对角线的垂线交平行四边形的一条边，若交点是这条边的中点，则该平行四边形是“垂中平行四边形”． (1)如图1所示，四边形为“垂中平行四边形”，，，则________；________； (2)如图2，若四边形为“垂中平行四边形”，且，猜想与的关系，并说明理由； (3)如图3所示，在中，，，交于点，请画出以为边的垂中平行四边形，要求：点在垂中平行四边形的一条边上（温馨提示：不限作图工具）． 【答案】(1)1，； (2)，理由见解析； (3)见解析 【详解】（1）解：四边形为“垂中平行四边形”， ，，， ， ， ， ； ， ， ， ， 故答案为：1，； （2）解：，理由如下： 四边形为“垂中平行四边形”， ，，，， ， ， 设，则， ，， ， ， ， ， ， ； （3）解：第一种情况：如图①，过点作的平行线，且，连接，则四边形为平行四边形，延长交于点， ， ， ， ，， ， ，即点为的中点， 四边形为所求作“垂中平行四边形”； 第二种情况：如图②，作的平分线，且，连接并延长交的延长线于点，再射线上取，连接，则点为的中点， ，平分， ，， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形为所求作“垂中平行四边形”； 第三种情况：如图①，过点作交的延长线于点，连接，在的延长线上取，连接，则点为的中点， 同理可证，，则， 四边形是平行四边形， 四边形为所求作“垂中平行四边形”． 1．定义：如果一个四边形的两条对角线将它分成的四个小三角形都是相似三角形，那么称这样的四边形为“全相似四边形”．如图，在四边形中，，，下列条件能使四边形成为“全相似四边形”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，连接交于点O． 在和中， ， ∴， ∴， 当时，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，同法可证， 故选项B符合题意． 当或或时都不符合题意． 故选：B． 2．如图，矩形中，，的角平分线交于点，连接交于点，过点作交于点，则长为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵在矩形中，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵在矩形中，， ∴在中，，即， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 故选：D 3．如图，矩形的对角线交于点，，，点为上一个动点（不与，重合），连接，以为边在点右侧作正方形，直线，相交于点，于点，连接，设，的面积为，则与的关系的大致图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵在矩形中， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即 ，， ， ， ∵在正方形中，， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ，其中． 故选：A． 4．已知在平面直角坐标系中的位置如图所示，为的中点，点是折线上的一个动点，线段把分割成两部分．若分割得到的三角形与相似，则符合条件的点的坐标为 ． 【答案】或或 【详解】 解： 如图，当时，，此时点坐标为； 如图，当时，，此时点坐标为； 如图，作，假设交于点，此时， 为的中点， 点坐标为， ，， 在中，根据勾股定理得： ， ， 根据得： ， 即：， 解得：， ， 在上， ， 此时点坐标为； 综上所述，点坐标为或或． 故答案为：或或． 5．如图1，已知是正方形的边上一点，连接，延长至点，使，连接交于点． （1）若，则 ；（用含有的代数式表示） （2）如图2，连接交于点．若，则 ． 【答案】 / / 【详解】解：（1）在正方形 中，， ∵， ； （2）作交于点，则， ∵在正方形 中，， ∴， ，， ， ，， ， ， ， ， ，即， ， ， ， ∴ ， ， ， ∴ ， ， ， ． 故答案为：、． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识． 6．如图，在中，，点在边上，且，动点在边上，连接和，若，求的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，延长到F，使得，连接，过点D作于G， ∵中，， ∴，即， 又∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴当D、E、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 7．如图，将矩形纸片折叠，折痕为，折叠后，点M与点D对应，点N与点C对应，经过的中点P，的延长过点B．若，则的长为 ． 【答案】12 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 设则 ∵为的中点， ∴ 由折叠得， 设则， ∵ ∴ ∴即， ∴ 在中， ∴， 解得，， ∴ 在中， ∴， ∴ 过F作于点G，如图， 则四边形是矩形， ∴ 在中， ∴， ∴ 在中， ∴ 解得，（负值舍去） ∴， ∴， 故答案为：12． 8．如图，点D、E、F分别在等边的三边，，上，且，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，     ∴，       ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴，          由（1）知：， ∴，   ∵， ∴． 9．如图，在矩形中，是对角线，，．点E从点D出发，沿方向匀速运动，速度是；点F从点B出发，沿方向匀速运动，速度是．直线过点F，且，分别交、于点M，N，连接、、．两点同时出发，设运动时间为（），请回答下列问题： (1)当t为___________时，和相似； (2)设四边形的面积为，求关于之间的函数关系式； (3)求当为何值时，为等腰三角形． 【答案】(1) (2) (3)或时，为等腰三角形 【详解】（1）解：由题意得，，， 四边形是矩形， ，， ， ， 若要使和相似， 则， ， 解得， 当t为时，和相似； 故答案为：； （2）解：， ， ， ， ， ， 即， ， 同理， ，， 即S关于之间的函数关系式为：； （3）解：①若时，则，解得：； ②若时，过点作于， ， 为等腰三角形， 又， ， ，， ， ， 即， ； ③若时，过点作于点G， ， 为等腰三角形， 又， ， ，， ， 即， 解得， 此时（舍去）； 综上所述，当或时，为等腰三角形． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，对等腰三角形进行分类讨论及添加辅助线是解题的关键． 10．某数学兴趣小组决定采用我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的原理，来测量东塔的高度．东塔的高度为，选取与塔底在同一水平地面上的两点，分别垂直地面竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔为，并且东塔、标杆和在同一竖直平面内．从标杆后退到处（即），从处观察点，，，在一直线上；从标杆后退到处（即），从处观察点，，，三点也在一直线上，且，，，，在同一直线上，请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出东塔的高度．     【答案】该东塔的高度为． 【详解】解：设，则， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 同理可证， ∴，即， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， ∴， ∴该东塔的高度为． 11．四边形为平行四边形，点和点分别为边，的中点，连接、，交对角线于点． (1)若，求的长； (2)如果，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）解：如图，连接交于点， ∵点和点分别为边，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形，， ∴， ∴， ∴的长为； （2）证明：∵为边的中点， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查三角形中位线定理，平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定等知识点．掌握平行线分线段成比例定理和相似三角形的判定是解题的关键． 12．小明在学习完“利用相似三角形测量旗杆的高度”这节课后，他跟同学来到操场计划用标杆、平面镜和皮尺测量操场上旗杆的高度，因为学校给操场上安装“智慧体育”相关设施，使得他们无法到达旗杆的底部，于是他们在操场外的空地上的D处竖立了长为3米的标杆（米），此时小明站在距离D处3.6米的点F处恰好能通过标杆顶端看到旗杆的顶部A点，随后小明站到D处恰好通过N处放置的平面镜看到旗杆的顶部A点，经过测量得知米，已知小明的眼睛距离地面1.8米（即米），同时F、D、N、B四点在同一直线上，如图所示，请求出旗杆的高度． 【答案】12.6米 【详解】解：连接并延长交于点H ∵、、且， ∴四边形为矩形， ∴， ∴四边形与四边形都为矩形， ∴，， 设，，则，， ∵在与中， ， ∴ ∴，即，整理得：， ∵根据平面镜反射原理可推得， ∵在与中， ， ∴， ∴，即，整理得：， 联立得：，解之得： ∴米； 答：旗杆的高为12.6米． 13．已知正方形中，，P为边上一点，过P作，垂足为 (1)如图1，若平分，求证： (2)如图2，若点P是边的中点，连接，求的长 (3)如图3，若点E是线段的中点，的延长线交于点F，当时，求的长 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ， ， ， 平分， ， 在和中， ， ； （2）解：如图，连接交于点O， 在正方形中，， ， ， 为中点，， ∴,， ∴， ∴， 点H为中点， ， 在中，； （3）解：延长交于J， 点E是中点，， ， ， ，， ， ， 设，，则，， ， ， ， ∴， ， ， 整理得，①， 在中，， 在中，， ， 整理得， 将①代入②得， 解得， 14．【平行六边形】如图1，在凸六边形中，满足，我们称这样的凸六边形叫做“平行六边形”，其中与，与，与叫做“主对边”；和，和，和叫做“主对角”；叫做“主对角线”． (1)类比平行四边形性质，有如下猜想，请判断正误并在横线上填写“正确”或“错误”． 猜想 判断正误 ①平行六边形的三组主对边分别相等 _________ ②平行六边形的三组主对角分别相等 _________ ③平行六边形的三条主对角线互相平分 _________ 【菱六边形】六条边都相等的平行六边形叫做“菱六边形”． (2)如图2，已知平行六边形满足． 求证：平行六边形是菱六边形： (3)如图3是一张边长为的三角形纸片．剪裁掉三个小三角形，使剪裁后的纸片为菱六边形．请在剪裁掉的小三角形中，任选一个，求它的各边长． 【答案】(1)错误；正确；错误 (2)详见解析 (3) 【详解】（1）解：连接，交于点，由图可知： ①平行于，只能知道，其他对边同理，故平行六边形的三组主对边分别相等是错误的； ②平行于，，同理可得，其他对角同理，故平行六边形的三组主对角分别相等是正确的； ③由①可知，平行六边形的三条主对角线互相平分是错误的． （2）证明：过点作平行且相等于，连接， 则平行四边形是平行四边形， 平行于，， 在平行六边形中，平行于，， 平行且相等于， 为平行四边形， 平行于，， 在平行六边形中，平行于，平行于， 平行于，平行于， 为平行四边形， ， ， ， ， 平行六边形是菱六边形． （3）解：设三角形纸片为， 裁剪后的纸片为菱六边形， 平行于，平行于，平行于，， ， ， 设， 则， ， ， ， 解得：， ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$