专题02 实数的综合6大题型（压轴题专项训练）数学沪教版五四制2024八年级上册

专题02 实数的综合 目录 典例详解 类型一、实数与数轴 类型二、大小比较与实数的估算 类型三、新定义下的实数运算 类型四、程序设计与实数运算 类型五、实数运算的实际应用 类型六、实数中的规律问题 压轴专练 类型一、实数与数轴 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应 【例1】数轴上、两点所对应的实数分别是，，点为轴上一点，若、、中有一点是中点，则点所表示的实数是 ． 【例2】如图，面积为的正方形的边在数轴上，点A表示的数为1．将正方形沿着数轴水平向右移动，移动后的正方形记为，点A，B，C，D的对应点分别为，移动后的正方形与原正方形重叠部分的面积记为S． ①若，则数轴上点表示的数是 ﹔ ②若，则数轴上点表示的数是 （用含a的代数式表示）． 【变式1-1】已知数轴上，两点，且这两点间的距离为，若点在数轴上表示的数为，则点表示的数为 ． 【变式1-2】已知实数在数轴上的位置如图所示，化简：． 【变式1-3】如图，已知点，是数轴上两点，，点在点的右侧，点表示的数为，设点表示的数为． (1)求实数的值； (2)若数轴上，两点分别表示实数，，且的立方根是，，求的算术平方根并将其在数轴上用点表示； 类型二、大小比较与实数的估算 处理方式： 实数大小比较与估算时，正数大于零和负数，两个负数比较绝对值大的反而小；对于含根式的实数，可通过找接近的完全平方数或立方数估算其范围，再比较大小，也能利用作差法（若，则、平方法（对正数，若，则）等方法，结合数轴直观判断实数大小关系。 【例3】比较大小： （填“”“”或“”）． 【例4】已知的整数部分为a，小数部分为b，则的值为（   ） A． B． C． D．5 【变式2-1】下列实数比较大小，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知为整数，当最小时， ． 【变式2-3】已知，x为的整数部分，y为的小数部分．求的值． 类型三、新定义下的实数运算 处理方式： 解答新定义下的实数运算题，关键在于紧扣题目给定的新定义规则，逐字逐句理解其运算方式、符号含义及运算顺序，将所给实数代入新定义表达式，把新运算转化为熟悉的加、减、乘、除、乘方等常规运算，按顺序逐步计算得出结果。 【例5】如果记表示任意实数的整数部分，例如：，，…，那么（其中“”“”依次相间）的值为（   ） A． B． C．22 D．23 【例6】一个四位正整数的各个数位上的数字互不相同且均不为0，若满足千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和的2倍，则称这个四位数M为“和倍数”．则最小的“和倍数”是 ；将“和倍数”M的千位数字与个位数字对调，百位数字与十位数字对调得到一个新的四位数N．若为整数，则满足条件的所有M的最大值为 ． 【变式3-1】在数学探究活动中，我们定义一种“和谐数组”：数组中，为三个互不相等的正整数，若任意两个数的乘积的算术平方根都是整数，则称这个数组为“和谐数组”．例如，数组，计算可得，所以它是“和谐数组”． (1)判断：_________“和谐数组”，__________“和谐数组”（填“是”或“不是”）； (2)若为“和谐数组”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求的值． 【变式3-2】各个数位上数字都不为0且互不相同的四位正整数，记为（，，，，且，，，为整数）．若的千位数字与十位数字之和等于百位数字与个位数字之和，那么称数为“间等和数”．对于一个“间等和数”，将它的千位数字和十位数字构成的两位数记为，百位数字和个位数字构成的两位数记为，千位数字和个位数字构成的两位数记为，百位数字和十数字构成的两位数记为．规定：，，．最小的“间等和数”是 ．若正整数，都是“间等和数”，其中，（，，，，，，，都是整数），规定：，当能被9整除时，则的值为 ． 【变式3-3】如果一个正整数可以分解成，其中、都是两位数，与的十位数字相同，个位数字之和为8，则称为“友好数”，并把分解成的过程，称为“友好分解”．例如：是“友好数”，不是“友好数”．则最小的“友好数”为 ；将一个“友好数”进行“友好分解”，即与之和记为与之差记为，若能被9整除，（为正整数），则符合要求的的值为 ． 类型四、程序设计与实数运算 处理方式： 解答程序设计与实数运算题，需先读懂程序框图的流程与规则，明确输入、输出关系及运算顺序，将给定实数按程序设定的步骤，依次进行加、减、乘、除、乘方、开方等运算，遇到判断框时根据条件决定运算走向，直至得出最终输出结果。 【例7】在如图所示的运算程序中，当输入x的值是64时，输出的y值是（      ） A． B． C．2 D．1 【例8】一个数值转换器如图所示： (1)当输入的x值为16时，输出的y值是 ． (2)若输入有效的x值后，始终输不出y值，则所有满足要求的x的值为 ． (3)若输出的y值是，请直接写出两个满足要求的x的值 ． 【变式4-1】在如图所示的运算程序中，输入的值是64时，输出的值是 ． 【变式4-2】有一个数值转换器，原理如图所示，若开始输入x的值是5，可发现第1次输出的结果是16，第2次输出的结果是8，第3次输出的结果是4．依次继续下去，第2023次输出的结果是（    ） A．8 B．4 C．2 D．1 【变式4-3】下图是一个数值转换机    (1)当输入的x为16时，输出的y值是______． (2)若输入有效的x值后，始终输不出y值，请写出满足要求的x的值______． (3)若输入的值，且输出的y是，请写出满足要求的x的值______． 类型五、实数运算的实际应用 处理方式： 解答实数运算实际应用题，先准确分析题目情境，找出关键数量关系，将实际问题转化为对应的实数运算模型，注意单位统一，运算过程保证准确，最后结合实际意义检验结果的合理性。 【例9】有一个底面积为，长、宽、高的比为的长方体纸盒（纸板厚度忽略不计）．根据计算回答问题： (1)这个长方体纸盒的长、宽、高分别是多少？ (2)这个纸盒的体积是多少？ (3)这个纸盒是否能够完全容纳一支长度为的铅笔？ 【例10】哪吒在镇压妖兽时，用“混天绫”围成一个面积为 的正方形“封妖阵”，后因妖兽反噬，须将“封妖阵”调整为面积为的长方形，且长与宽之比为． (1)“混天绫”的总长度是多少米？ (2)哪吒的“混天绫”长度是否足够完成新阵法？请通过计算说明理由． 【变式5-1】虹胜广场要建一个占地面积4000平方米的花园，现有两种方案：一种是建正方形花园，一种是建圆形花园，如果你是设计者，你能估算出两种花园的围墙有多长吗（误差小于1米）？如果你是投资者，你会选择哪种方案，为什么？ 【变式5-2】团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均为．完成扇面后，需对扇面边缘用缎带进行包边处理（接口处长度忽略不计），如图所示． (1)圆形团扇的半径为 （结果保留），正方形团扇的边长为 ； (2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短． 【变式5-3】有一块矩形木板，木工采用如图的方式，先在木板上截出两个面积为和的正方形木板，后来又想从剩余的木料中截出长为，宽为的长方形木条，请问最多能截出几块这样的木条？ 类型六、实数中的规律问题 处理方式： 解答实数中的规律问题，需先从简单、特殊的实数运算或排列入手，计算并观察数值、符号、数位等方面的变化特征，尝试通过对比、归纳，用含字母的代数式表示出通用规律，再代入新的实数进行验证，确保规律在给定范围内的正确性与普适性。 【例11】如图，这是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第10行从左向右数第7个数是（   ） A． B． C． D． 【例12】设，则的值为 ． 【变式6-1】如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】如图，从左边第一个圆圈开始向右数，在每个圆圈中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻圆圈中所填整数之和都相等． (1)可求得______，第个圆圈中的数为______； (2)若前个圆圈中所填整数之和为，则______； (3)若取前个圆圈中的任意两个数，记作，，且，那么所有的的和为______； (4)若取前个圆圈中的任意两个数，记作，，且，求所有的的和． 【变式6-3】定义：对非负实数“四舍五入”到个位的值记为，即：当为非负整数时，如果，则．如：，，，… 试解决下列问题： ； ② ； ③ ． 一、单选题 1．若的整数部分是，小数部分是，则为（   ） A． B． C． D． 2．小明是一个电脑爱好者，设计了一个程序如图，当输入x的值是有理数64时，输出的y值是（    ） A．8 B．±8 C．2 D． 3．如图，实数在数轴上表示时，位于哪两个字母之间（    ） A．A与E B．A与B C．B与C D．C与D 4．如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（   ）    A． B． C． D． 5．【规定】一列数中任意相邻的三个数满足，则这个数列为“漂亮数列”． 如下结论：①若是“漂亮数列”，则； ②若不论取何值，数列都是“漂亮数列”，则； ③若数列…，…是“漂亮数列”，则． 其中正确的是（    ） A．① B．①② C．②③ D．①②③ 二、填空题 6． ， ， ．（填“”“”或“”） 7．我们已经学习了利用“夹逼法”估算的值，现在用表示距离（为正整数）最近的正整数．例如：表示距离最近的正整数，表示距离最近的正整数，；表示距离最近的正整数，利用这些发现得到以下结论： ①若时，的值有 个； ②当时，的值为 ． 8．对于正整数n，根据n除以3的余数，分以下三种情况得到另一个正整数m：若余数为0．则；若余数为1，则；若余数为2，则．这种得到m的过程称为对n进行一次“变换”．对所得的数m再进行一次变换称为对n进行二次变换，依此类推．例如，正整数，根据4除以3的余数为1，由知，对4进行一次变换得到的数为8；根据8除以3的余数为2，由知，对4进行二次变换得到的数为9；根据9除以3的余数为0，由知，对4进行三次变换得到的数为3． （1）对正整数15进行三次变换，得到的数为 ； （2）若对正整数n进行二次变换得到的数为1，则所有满足条件的n的值之和为 ． 9．将一组数据，按下面的方法进行排列： ； ； ．．．．．． 若3的位置记为的位置记为，则这组数中最大的数的位置记为 ． 10．若有理数 a，b 满足，则a＝ ， b＝ ． 三、解答题 11．综合与实践． 主题：制作无盖长方体形纸盒． 素材：一张正方形纸板． 步骤1：如图1，在正方形纸板的四角各剪去一个大小相同的小正方形； 步骤2：把纸板四周沿虚线折起，就折成如图2所示的无盖长方体形纸盒，其长：宽：高＝2：2：1，底面积为20cm2 计算与应用： (1)求这个无盖长方体纸盒的长、宽、高； (2)求这个无盖长方体纸盒的体积和表面积． 12．我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果，其中、为有理数，为无理数；那么必然有，且，据此，解决下列问题． (1)如果，其中、为有理数，则___________，___________； (2)如果，其中、为有理数，求的平方根． 13．“比差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，即：． 例如：比较与2的大小． ， 又则， ． 请根据上述方法解答以下问题： (1)的整数部分是________，的小数部分是_________； (2)比较与的大小； (3)已知的小数部分是的小数部分是，求的值． 14．阅读下面文字，解决问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部的写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：∵，即，∴的整数部分是2，小数部分是根据以上知识解答下列问题： (1)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； (2)已知，其中是整数，且，求的相反数． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 实数的综合 目录 典例详解 类型一、实数与数轴 类型二、大小比较与实数的估算 类型三、新定义下的实数运算 类型四、程序设计与实数运算 类型五、实数运算的实际应用 类型六、实数中的规律问题 压轴专练 类型一、实数与数轴 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应 【例1】数轴上、两点所对应的实数分别是，，点为轴上一点，若、、中有一点是中点，则点所表示的实数是 ． 【答案】或或 【详解】解：设点所表示的实数是， ∵数轴上、两点所对应的实数分别是，，点为轴上一点， ∴当点是点和点的中点时，，解得，， 当点是点和点的中点时，，解得，， 当点是点和点的中点时，，解得，， ∴点所表示的实数是或或， 故答案为：或或． 【例2】如图，面积为的正方形的边在数轴上，点A表示的数为1．将正方形沿着数轴水平向右移动，移动后的正方形记为，点A，B，C，D的对应点分别为，移动后的正方形与原正方形重叠部分的面积记为S． ①若，则数轴上点表示的数是 ﹔ ②若，则数轴上点表示的数是 （用含a的代数式表示）． 【答案】 2 【详解】解：（1）∵正方形的面积为，， ∴正方形的边长为， ∴， 由平移的性质可得， ∵， ∴四边形的面积为2， ∴， ∴， ∴， ∵点A表示的数为1， ∴数轴上点表示的数是， 故答案为：2； （2）∵正方形的面积为，， ∴正方形的边长为， ∴， 由平移的性质可得， ∵， ∴四边形的面积为， ∴， ∴， ∴， ∵点A表示的数为1， ∴数轴上点表示的数是， 故答案为：； 【变式1-1】已知数轴上，两点，且这两点间的距离为，若点在数轴上表示的数为，则点表示的数为 ． 【答案】或 【详解】解：设点表示的数为，由题意，得， 则，或， 所以或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了实数与数轴，掌握数轴上两点间的距离计算公式是解题的关键． 【变式1-2】已知实数在数轴上的位置如图所示，化简：． 【答案】 【详解】解：根据数轴上点的位置得：，且， ， ∴ ． 【变式1-3】如图，已知点，是数轴上两点，，点在点的右侧，点表示的数为，设点表示的数为． (1)求实数的值； (2)若数轴上，两点分别表示实数，，且的立方根是，，求的算术平方根并将其在数轴上用点表示； 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）解：，点表示的数为，点表示的数为， ， ； （2）解：的立方根是， ， 解得：， ， ， ， 的算术平方根是， 表示在数轴上如下图所示： 类型二、大小比较与实数的估算 处理方式： 实数大小比较与估算时，正数大于零和负数，两个负数比较绝对值大的反而小；对于含根式的实数，可通过找接近的完全平方数或立方数估算其范围，再比较大小，也能利用作差法（若，则、平方法（对正数，若，则）等方法，结合数轴直观判断实数大小关系。 【例3】比较大小： （填“”“”或“”）． 【答案】 【详解】解：，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【例4】已知的整数部分为a，小数部分为b，则的值为（   ） A． B． C． D．5 【答案】A 【详解】∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【变式2-1】下列实数比较大小，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：，故A选项错误； ，故B选项错误； ，则，故C选项错误； ，则，故D选项正确； 故选：D 【变式2-2】已知为整数，当最小时， ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴，即更接近 ∴ ∴ 故答案为：． 【变式2-3】已知，x为的整数部分，y为的小数部分．求的值． 【答案】 【详解】解：∵，，， ∴∴． ∵，x为的整数部分，y为的小数部分， ∴，．∴． 答：的值为． 【点睛】本题考查了非负数的性质，以及估算无理数的大小，求出x、y的值是解决问题的关键． 类型三、新定义下的实数运算 处理方式： 解答新定义下的实数运算题，关键在于紧扣题目给定的新定义规则，逐字逐句理解其运算方式、符号含义及运算顺序，将所给实数代入新定义表达式，把新运算转化为熟悉的加、减、乘、除、乘方等常规运算，按顺序逐步计算得出结果。 【例5】如果记表示任意实数的整数部分，例如：，，…，那么（其中“”“”依次相间）的值为（   ） A． B． C．22 D．23 【答案】D 【详解】解：∵即时，，此时，2，3， ∴； ∵即时，，此时，5，6，7，8， ∴； ∵即时，，此时，10，11，12，13，14，15， ∴ ； 由此发现如下规律，整数部分是1的算术平方根的整数和是1，且奇数为正整数，偶数位为负整数；整数部分是2的算术平方根的整数和是，整数部分是3的算术平方根的整数和是3， ∵，， ∴即时，， ∴， ∴ = ． 故选：D． 【例6】一个四位正整数的各个数位上的数字互不相同且均不为0，若满足千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和的2倍，则称这个四位数M为“和倍数”．则最小的“和倍数”是 ；将“和倍数”M的千位数字与个位数字对调，百位数字与十位数字对调得到一个新的四位数N．若为整数，则满足条件的所有M的最大值为 ． 【答案】 1239 9615 【详解】解：∵一个四位正整数的各个数位上的数字互不相同且均不为0， ∴设这个四位数的千位数字、百位数字、十位数字、个位数字分别为a、b、c、d, 由题意得，， 当时，，此时， ∴最小的“和倍数”是1239； 由题意得，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为整数， ∴能被7整除， ∴能被7整除， 当时， ∴，此时， ∵各个数位上的数字互不相同且均不为0，且M取最大值， ∴， 当时，， 此时a、b没有满足条件的值， ∴满足条件的所有M的最大值为9615， 故答案为：9615． 【变式3-1】在数学探究活动中，我们定义一种“和谐数组”：数组中，为三个互不相等的正整数，若任意两个数的乘积的算术平方根都是整数，则称这个数组为“和谐数组”．例如，数组，计算可得，所以它是“和谐数组”． (1)判断：_________“和谐数组”，__________“和谐数组”（填“是”或“不是”）； (2)若为“和谐数组”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求的值． 【答案】(1)是，不是； (2) 【详解】（1）解：∵， ∴是“和谐数组”； ∵，不是整数， ∴不是“和谐数组”． （2）解：若，则，解得：； 当时，，均为整数，且3，12，48互不相等，符合条件； 若，得，与12重复，舍去． 综上可知． 【变式3-2】各个数位上数字都不为0且互不相同的四位正整数，记为（，，，，且，，，为整数）．若的千位数字与十位数字之和等于百位数字与个位数字之和，那么称数为“间等和数”．对于一个“间等和数”，将它的千位数字和十位数字构成的两位数记为，百位数字和个位数字构成的两位数记为，千位数字和个位数字构成的两位数记为，百位数字和十数字构成的两位数记为．规定：，，．最小的“间等和数”是 ．若正整数，都是“间等和数”，其中，（，，，，，，，都是整数），规定：，当能被9整除时，则的值为 ． 【答案】 或 【详解】解：∵最小的“间等和数”，，千位数字与十位数字之和等于百位数字与个位数字之和， ∴，， 即最小的“间等和数”是； ∵“间等和数”的千位数字与十位数字之和等于百位数字与个位数字之和， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∵正整数，都是“间等和数”， ∴，， ∴，， ∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∵能被9整除， ∴或或或， 当时，，即或（舍去），此时； 当时，，不存在整数，，使其存在； 当时，，即或（舍去），此时； 当时，，不存在整数，，使其存在； 综上所述，的值为或； 故答案为：；或． 【变式3-3】如果一个正整数可以分解成，其中、都是两位数，与的十位数字相同，个位数字之和为8，则称为“友好数”，并把分解成的过程，称为“友好分解”．例如：是“友好数”，不是“友好数”．则最小的“友好数”为 ；将一个“友好数”进行“友好分解”，即与之和记为与之差记为，若能被9整除，（为正整数），则符合要求的的值为 ． 【答案】 【详解】解：（1）十位为时： 与的十位数字相同，个位数字之和为， 可能的组合为， 对应的乘积为， 故最小值为， 十位为及以上时，最小乘积均大于，故最小友好数为； （2）解：设的十位为，个位为，则， 依据题意：， 能被整除， （为正整数）， ， 由于是十位数字，则的取值范围是到，是个位数字，且也必须是个位数字，则的取值范围是到， ， ， 枚举的可能值， 当时，， 设，化简得， 因为是正整数，必须是的正约数， 当，， 当，， 当，， 当，， 当，（舍，）， 代入中，当时，， ， 同时，，且能被整除，满足条件， 此时：， ， 其他值不满足若被9整除或， 同理，当时， 无法同时满足被9整除和， 综上，当时，满足条件， 故答案为：；． 类型四、程序设计与实数运算 处理方式： 解答程序设计与实数运算题，需先读懂程序框图的流程与规则，明确输入、输出关系及运算顺序，将给定实数按程序设定的步骤，依次进行加、减、乘、除、乘方、开方等运算，遇到判断框时根据条件决定运算走向，直至得出最终输出结果。 【例7】在如图所示的运算程序中，当输入x的值是64时，输出的y值是（      ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【详解】解：当输入的值是64时，取算术平方根得， 8是有理数，再取立方根得， 2是有理数，再取算术平方根得， 由于是无理数， 所以输出的值是． 故选：A． 【例8】一个数值转换器如图所示： (1)当输入的x值为16时，输出的y值是 ． (2)若输入有效的x值后，始终输不出y值，则所有满足要求的x的值为 ． (3)若输出的y值是，请直接写出两个满足要求的x的值 ． 【答案】(1) (2)0和1 (3)5和25（答案不唯一） 【详解】（1）解：当输入的x值为16时，取算术平方根，即，4是有理数， 第二次输入，取算术平方根，即，2是有理数， 第三次输入，取算术平方根，即，是无理数， 所以输出的y值是； 故答案为：； （2）解：∵0和1的算术平方根是它们本身，0和1是有理数， ∴当和1时，始终输不出y的值； 故答案为：0和1； （3）解：25的算术平方根是5，5的算术平方根是， ∴满足要求的x的值可以是5和25； 故答案为：5和25（答案不唯一）. 【变式4-1】在如图所示的运算程序中，输入的值是64时，输出的值是 ． 【答案】 【详解】解：输入x的值是64时， 则， 那么， 因此2的算术平方根为是无理数，输出y的值， 故答案为：． 【变式4-2】有一个数值转换器，原理如图所示，若开始输入x的值是5，可发现第1次输出的结果是16，第2次输出的结果是8，第3次输出的结果是4．依次继续下去，第2023次输出的结果是（    ） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】C 【详解】解：由于开始输入x的值是5，可发现第1次输出的结果是16，第2次输出的结果是8，第3次输出的结果是4， 第次输出的结果是， 第次输出的结果是， 第次输出的结果是， 第次输出的结果是， 故从第3次开始，3次一个循环，分别是， ， 第2023次输出的结果是2． 故选C． 【点睛】本题考查了代数式求值在程序框图的应用，知道运算规则是解题的关键． 【变式4-3】下图是一个数值转换机    (1)当输入的x为16时，输出的y值是______． (2)若输入有效的x值后，始终输不出y值，请写出满足要求的x的值______． (3)若输入的值，且输出的y是，请写出满足要求的x的值______． 【答案】(1)； (2)和1； (3)5和25． 【详解】（1）的算术平方根是4，4是有理数，4不能输出， 的算术平方根是2，2是有理数，2不能输出， 的算术平方根是，是无理数，输出， 故答案为： （2）和1的算术平方根是它们本身，0和1是有理数， 当和1时，始终输不出的值， 故答案为：和1； （3）625的算术平方根是25，25的算术平方根是5，5的算术平方根是， 当和5时，输出的y是， 故答案为：5和25． 【点睛】本题考查了算术平方根，解决本题的关键是熟记算术平方根的定义． 类型五、实数运算的实际应用 处理方式： 解答实数运算实际应用题，先准确分析题目情境，找出关键数量关系，将实际问题转化为对应的实数运算模型，注意单位统一，运算过程保证准确，最后结合实际意义检验结果的合理性。 【例9】有一个底面积为，长、宽、高的比为的长方体纸盒（纸板厚度忽略不计）．根据计算回答问题： (1)这个长方体纸盒的长、宽、高分别是多少？ (2)这个纸盒的体积是多少？ (3)这个纸盒是否能够完全容纳一支长度为的铅笔？ 【答案】(1)长方体的长为，宽为，高为； (2)这个纸盒的体积是； (3)这个纸盒不能够完全容纳一支长度为的铅笔． 【详解】（1）解：设长方体的高为，则长为，宽为， 由题意得：， 解得：，则， ∴长方体的长为，宽为，高为； （2）解：这个纸盒的体积是； （3）解：， 底面对角线的长为， 长方体的对角线的长为， ∴这个纸盒不能够完全容纳一支长度为的铅笔． 【例10】哪吒在镇压妖兽时，用“混天绫”围成一个面积为 的正方形“封妖阵”，后因妖兽反噬，须将“封妖阵”调整为面积为的长方形，且长与宽之比为． (1)“混天绫”的总长度是多少米？ (2)哪吒的“混天绫”长度是否足够完成新阵法？请通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)能；理由见解析 【详解】（1）解： “混天绫”围成一个面积为 的正方形， 正方形的边长为， “混天绫”的总长度． 答：“混天绫”的总长度． （2）解：能，理由如下： 设长方形的长为米，宽为米， 依题意得 ， 解得或， ， ， 长方形的长为米，宽为米， 长方形的周长为， ， ， 能够完成新阵法． 【变式5-1】虹胜广场要建一个占地面积4000平方米的花园，现有两种方案：一种是建正方形花园，一种是建圆形花园，如果你是设计者，你能估算出两种花园的围墙有多长吗（误差小于1米）？如果你是投资者，你会选择哪种方案，为什么？ 【答案】圆形广场围墙米，正方形广场围墙米，选择圆形广场的建设方案，理由见详解 【详解】当为圆形时，设圆的半径为，则有：， 即：（负值舍去）， 则此时花园的围墙为：（米）； 当广场为正方形时，设正方形边长为，则有：， 即：（负值舍去）， 则此时花园的围墙为：（米）； ∵， ∴建造成圆形时，广场的围墙会更短， 则建造成本更低， ∴作为投资商，会选择建圆形花园． 【点睛】此题主要考查实数的大小的比较在实际生活中的应用，所以学生在学这一部分时一定要联系实际，不能死学． 【变式5-2】团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均为．完成扇面后，需对扇面边缘用缎带进行包边处理（接口处长度忽略不计），如图所示． (1)圆形团扇的半径为 （结果保留），正方形团扇的边长为 ； (2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短． 【答案】(1)， (2)圆的周长较小 【详解】（1）解：设圆形扇的半径为，正方形的边长为， 由题意得，，， ，， 故答案为：，； （2）解：圆形扇的周长为：， 正方形扇的周长为：，， ∴圆的周长较小． 【变式5-3】有一块矩形木板，木工采用如图的方式，先在木板上截出两个面积为和的正方形木板，后来又想从剩余的木料中截出长为，宽为的长方形木条，请问最多能截出几块这样的木条？ 【答案】2块 【详解】解：∵， ∴矩形的长为7和宽为4， 剩余的木料的长为3与宽， ∵2＞＞1，4.5＞3＞3 ∴可以截出2块这样的木条. 【点睛】此题主要考查算术平方根的应用，解题的关键是熟知实数的估算. 类型六、实数中的规律问题 处理方式： 解答实数中的规律问题，需先从简单、特殊的实数运算或排列入手，计算并观察数值、符号、数位等方面的变化特征，尝试通过对比、归纳，用含字母的代数式表示出通用规律，再代入新的实数进行验证，确保规律在给定范围内的正确性与普适性。 【例11】如图，这是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第10行从左向右数第7个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】前行的数据的个数为， 所以，第10行从左到右数第7个数的被开方数是， 所以，第10行从左向右数第7个数是． 故选B． 【例12】设，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵， …… ∴， ∴ ． 【变式6-1】如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意可得，则表示的数为， ， 表示的数为， ， 同理可得; ； ； ； ； ， 故选：A． 【变式6-2】如图，从左边第一个圆圈开始向右数，在每个圆圈中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻圆圈中所填整数之和都相等． (1)可求得______，第个圆圈中的数为______； (2)若前个圆圈中所填整数之和为，则______； (3)若取前个圆圈中的任意两个数，记作，，且，那么所有的的和为______； (4)若取前个圆圈中的任意两个数，记作，，且，求所有的的和． 【答案】(1)，； (2)； (3)； (4)． 【详解】（1）设第一个圆圈的数到第四个圆圈的数分别为，，，， ∵任意三个相邻圆圈中所填整数之和都相等， ∴，， ∴，， ∵，，， 解得：，， ∵， ∴， ∴这排数为：， ∵， ∴第个圆圈中的数为， 故答案为：，； （2），， ∴， 故答案为：； （3）∵前个圆圈中的任意两个数，记作，，且， ∴所有的的和为：， 故答案为：； （4）由于三 个数是重复出现，前个圆圈中，出现了次，和都出现了次， ∴所有的的和为：． 【点睛】此题考查了数字的变化规律，找到数字的变化规律是解题的关键． 【变式6-3】定义：对非负实数“四舍五入”到个位的值记为，即：当为非负整数时，如果，则．如：，，，… 试解决下列问题： ； ② ； ③ ． 【答案】 2 3 【详解】解：①∵， ∴， ∴； ②∵， ∴， 当时，； 当为正整数时，∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ③∵， ∴ ． 故答案为：①2；② 3；③． 【点睛】本题主要考查了新定义，无理数的估算，与实数运算有关的规律探索，解第②小题的关键是应用“完全平方公式”和“作差的方法”分别证明到当n为非负整数时，，从而得到；解题③的要点是：当n为正整数时，． 一、单选题 1．若的整数部分是，小数部分是，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴； 故选B． 2．小明是一个电脑爱好者，设计了一个程序如图，当输入x的值是有理数64时，输出的y值是（    ） A．8 B．±8 C．2 D． 【答案】D 【详解】解：64的算术平方根是8，是有理数， 故将8取立方根为2，是有理数， 将2取算术平方根得，是无理数， 故选：D． 3．如图，实数在数轴上表示时，位于哪两个字母之间（    ） A．A与E B．A与B C．B与C D．C与D 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴表示的点在数轴上表示时，所在B与C两个字母之间． 故选：C． 4．如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意可得，则表示的数为， ， 表示的数为， ， 同理可得； ； ； ； 故选：C． 5．【规定】一列数中任意相邻的三个数满足，则这个数列为“漂亮数列”． 如下结论：①若是“漂亮数列”，则； ②若不论取何值，数列都是“漂亮数列”，则； ③若数列…，…是“漂亮数列”，则． 其中正确的是（    ） A．① B．①② C．②③ D．①②③ 【答案】B 【详解】解：①由题意得：； ②数列是“漂亮数列”， ， 不论取何值，数列都是“漂亮数列”， ，解得：， ； ③数列是“漂亮数列”， ， ∴， ， 解得：或−2． ∴正确的是①②， 故选：B． 二、填空题 6． ， ， ．（填“”“”或“”） 【答案】 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴； 故答案为：；；； 7．我们已经学习了利用“夹逼法”估算的值，现在用表示距离（为正整数）最近的正整数．例如：表示距离最近的正整数，表示距离最近的正整数，；表示距离最近的正整数，利用这些发现得到以下结论： ①若时，的值有 个； ②当时，的值为 ． 【答案】 6 110 【详解】解：①当时，为7，8，9，10，11，12一共有6个； ②由， ；可得2个1，4个2，6个3，8个4……， 所以，， ． 故答案为：①6；②110． 8．对于正整数n，根据n除以3的余数，分以下三种情况得到另一个正整数m：若余数为0．则；若余数为1，则；若余数为2，则．这种得到m的过程称为对n进行一次“变换”．对所得的数m再进行一次变换称为对n进行二次变换，依此类推．例如，正整数，根据4除以3的余数为1，由知，对4进行一次变换得到的数为8；根据8除以3的余数为2，由知，对4进行二次变换得到的数为9；根据9除以3的余数为0，由知，对4进行三次变换得到的数为3． （1）对正整数15进行三次变换，得到的数为 ； （2）若对正整数n进行二次变换得到的数为1，则所有满足条件的n的值之和为 ． 【答案】 2 11 【详解】解；（1）∵， ∴15进行一次变换后得到的数为； ∵， ∴15进行二次变换后得到的数为； ∵， ∴15进行三次变换后得到的数为2， 故答案为：2； （2）当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为0时，则第一次变换后的数为，此时符合题意； 当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为1时，则第一次变换后的数为，此时不符合题意； 当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为2时，则第一次变换后的数为，此时不符合题意； 综上所述，第一次变换后所得的数为3， 当n除以3的余数为0时，则，符合题意； 当n除以3的余数为1时，则，不符合题意； 当n除以3的余数为2时，则，符合题意； ∴符合题意的n的值是9或2， ∴所有满足条件的n的值之和为， 故答案为；11． 9．将一组数据，按下面的方法进行排列： ； ； ．．．．．． 若3的位置记为的位置记为，则这组数中最大的数的位置记为 ． 【答案】 【详解】， 解：由题意可得，每五个数一行，， ，， 故所在的位置是第七行第二个数，位置记为， 故答案为：． 10．若有理数 a，b 满足，则a＝ ， b＝ ． 【答案】 7 2 【详解】解：∵，且有理数a，b ∴， ∴， 故答案为：7；2． 【点睛】此题主要考查实数的运算，掌握概念，列出方程是解题关键． 三、解答题 11．综合与实践． 主题：制作无盖长方体形纸盒． 素材：一张正方形纸板． 步骤1：如图1，在正方形纸板的四角各剪去一个大小相同的小正方形； 步骤2：把纸板四周沿虚线折起，就折成如图2所示的无盖长方体形纸盒，其长：宽：高＝2：2：1，底面积为20cm2 计算与应用： (1)求这个无盖长方体纸盒的长、宽、高； (2)求这个无盖长方体纸盒的体积和表面积． 【答案】(1)，， (2)， 【详解】（1）解：设这个长方体的长、宽、高分别为，，， 根据题意，得，解得（负值舍去），则． 故这个无盖长方体纸盒的长、宽、高分别为，，； （2）， 故这个无盖长方体纸盒的体积为； 无盖长方体表面积底面积+侧面积， 已知底面积为，长、宽、高，则侧面积为： ， 故无盖长方体表面积． 12．我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果，其中、为有理数，为无理数；那么必然有，且，据此，解决下列问题． (1)如果，其中、为有理数，则___________，___________； (2)如果，其中、为有理数，求的平方根． 【答案】(1)3，2 (2) 【详解】（1）解：，其中，为有理数，为无理数， ∴， ∴； （2）解：∵，，为有理数，为无理数， ∴， 解之，得． 则． ∴的平方根是． 13．“比差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，即：． 例如：比较与2的大小． ， 又则， ． 请根据上述方法解答以下问题： (1)的整数部分是________，的小数部分是_________； (2)比较与的大小； (3)已知的小数部分是的小数部分是，求的值． 【答案】(1)5； (2)； (3)． 【详解】（1）解：∵， ∴的整数部分是5； ∴， ∴， ∴的整数部分是1，则的小数部分是， 故答案为：5；； （2）解：， ∴； （3）解：， ，即， ，， 的整数部分为5，的整数部分为12， ∴，， ． 14．阅读下面文字，解决问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部的写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：∵，即，∴的整数部分是2，小数部分是根据以上知识解答下列问题： (1)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； (2)已知，其中是整数，且，求的相反数． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵，即， ∴ ∵，即， ∴， ∴； （2）∵， ∴的小数部分为：，的整数部分为：1， ∴的整数部分为：， 的小数部分为：， ∴，， ∴， ∴的相反数为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$