精品解析：广西梧州市2024-2025学年高二下学期期末考试数学试卷

2025年春季期高二年级期末考试 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：一元函数的导数及其应用，计数原理，数学探究，随机变量及其分布，成对数据的统计分析，数学建模，集合与常用逻辑用语，一元二次函数、方程和不等式，函数的概念与性质. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知随机变量服从正态分布，且，则（ ） A. 0.6 B. 0.4 C. 0.3 D. 0.2 4. 曲线在处的切线方程是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数满足，且，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 6. 设随机变量，且，随机变量，则（   ） A. B. C. 2 D. 3 7. 随着大数据时代的到来，越来越多的网络平台开始使用推荐系统来给用户提供更加个性化的服务.某公司在研发平台软件的推荐系统时发现，当收集的数据量为x（）万条时，平台软件收入为元.已知每收集1万条数据，公司需要花费成本100元，当该软件获得最高收益时，收集的数据量应为（ ） A. 17万条 B. 16万条 C. 15万条 D. 14万条 8. 如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在用7种颜色给5个小区域（，，，，）涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法有（ ） A. 2520种 B. 3360种 C. 3570种 D. 4410种 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 学生食堂提供共4种主食和共5种配菜，李明同学想点2种主食与2种配菜，则（ ） A. 不选主食的方法种数为30 B. 主食和配菜都选的方法种数为12 C. 配菜至少选1种的方法种数为54 D. 主食，配菜只选2种的方法种数为21 10. 下列关于的二项展开式，说法正确的是（ ） A. 展开式共有10项 B. 展开式的二项式系数之和为1024 C. 展开式的常数项为8064 D. 展开式的第6项的二项式系数最大 11. 已知正数a，b满足，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域是__________. 13. 函数的极小值点为________． 14. 某校有10名同学进入“一带一路”知识竞赛的半决赛环节，半决赛设置三道题目，选手按的顺序回答题目，只要答对2道题目，即可进入决赛，若每位选手答对、题目的概率分别为，且每道题目答对与否互不影响.设人进入决赛的概率为，当取得最大值时，________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知命题：“，使得不等式成立”是假命题． （1）求实数m的取值范围； （2）设m的取值范围为集合A，集合，若是的充分条件，求实数k的取值范围． 16. 已知函数． （1）当时，求函数的单调区间； （2）若恒成立，求实数的取值范围． 17. 随着互联网的高速发展和新媒体形式的不断丰富，微短剧作为一种新兴的文化载体，正逐渐成为拓展文化消费空间的重要途径．某媒体为了了解微短剧消费者的年龄分布，随机调查了200名消费者，得到如下列联表： 年龄不超过40岁 年龄超过40岁 合计 是微短剧消费者 30 45 不是微短剧消费者 合计 100 200 （1）根据小概率值的独立性检验，能否认为“是微短剧消费者”与“年龄不超过40岁”有关联？ （2）记2020~2024年的年份代码依次为1，2，3，4，5，下表为2020~2023年中国微短剧市场规模及2024年中国微短剧预测的市场规模（单位：亿元）与的统计数据： 年份代码x 1 2 3 4 5 市场规模y 9.4 36.8 101.7 373.9 m 根据上表数据求得关于的经验回归方程为，求相关系数，并判断该经验回归方程是否有价值． 参考公式：，其中，． 回归方程，其中，，，相关系数．若，则认为经验回归方程有价值． 18. 某网红景点为促进本地旅游，在五一期间举行购票抽奖活动，根据网上购票与景点购票，设置两种不同的抽奖方案． 方案1：通过网上购票的游客，可进入景点网页中设置的小程序抽奖，每个顾客可抽奖2次，每次抽奖可随机获得0元、10元、20元的奖金，且抽到0元，10元，20元的概率均为． 方案2：通过景点购票的游客，可从装有3个红球和7个白球的抽奖箱中，不放回地取球3次，每次取1个球，第次取到红球，可得10i元奖金，取到白球没有奖金． （1）游客甲通过网上购票，记甲抽奖获得的奖金总金额为X元，求； （2）游客乙通过景点购票，记乙抽奖获得的奖金为Y元，求Y的分布列； （3）试从游客所得奖金金额的期望值分析，游客选择哪种购票方式更划算． 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）当时，若存在零点，求实数的取值范围； （3）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春季期高二年级期末考试 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：一元函数的导数及其应用，计数原理，数学探究，随机变量及其分布，成对数据的统计分析，数学建模，集合与常用逻辑用语，一元二次函数、方程和不等式，函数的概念与性质. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用集合的交集、补集的定义即可求解. 【详解】因为，所以， 又，所以. 故选：A. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件概率的公式求解，即可得出答案. 【详解】由条件概率公式可得， . 故选：B. 3. 已知随机变量服从正态分布，且，则（ ） A. 0.6 B. 0.4 C. 0.3 D. 0.2 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正态分布的对称性列式计算作答. 【详解】因为，所以， 又，所以. 故选：B. 4. 曲线在处的切线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将代入曲线方程求得切点坐标，利用导数的几何意义求解切线斜率，利用直线方程点斜式求解即可. 【详解】因为，所以，所以． 又当时，，故切点坐标为，所以切线方程为． 故选：A. 5. 已知函数满足，且，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】首先得出函数的周期是4，然后结合，即可求解. 【详解】， . 故选：C. 6. 设随机变量，且，随机变量，则（   ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项分布期望公式可求出，从而可求出，进而由求得结果. 【详解】因为随机变量， 所以，解得， 所以, 因为， 所以. 故选：B 7. 随着大数据时代的到来，越来越多的网络平台开始使用推荐系统来给用户提供更加个性化的服务.某公司在研发平台软件的推荐系统时发现，当收集的数据量为x（）万条时，平台软件收入为元.已知每收集1万条数据，公司需要花费成本100元，当该软件获得最高收益时，收集的数据量应为（ ） A. 17万条 B. 16万条 C. 15万条 D. 14万条 【答案】C 【解析】 【分析】由题意列出收益函数，然后利用导数研究其单调性，根据单调性求解最值即可得解. 【详解】设收益为y元，则， ，当时，；当时，， 所以函数y在上单调递增，在上单调递减， 即当收集的数据量为15万条时，该软件能获得最高收益. 故选：C. 8. 如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在用7种颜色给5个小区域（，，，，）涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法有（ ） A. 2520种 B. 3360种 C. 3570种 D. 4410种 【答案】D 【解析】 【分析】利用分类加法计数原理，分步乘法计数原理解决. 【详解】分4步进行分析： ①对于区域，有7种颜色可选； ②对于区域，与区域相邻，有6种颜色可选； ③对于区域，与、区域相邻，有5种颜色可选； ④对于区域、 若与颜色相同，区域有5种颜色可选， 若与颜色不相同，区域有4种颜色可选，区域有4种颜色可选， 则区域、有种选择. 综上所述，不同的涂色方案有种. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 学生食堂提供共4种主食和共5种配菜，李明同学想点2种主食与2种配菜，则（ ） A. 不选主食的方法种数为30 B. 主食和配菜都选的方法种数为12 C. 配菜至少选1种的方法种数为54 D. 主食，配菜只选2种的方法种数为21 【答案】ABD 【解析】 【分析】由两种计数原理结合组合数逐个判断即可. 【详解】对于A，不选主食的方法种数为，A正确； 对于B，主食和配菜都选的方法种数为，B正确； 对于C，配菜至少选1种的方法种数为，C错误； 对于D，主食，配菜只选2种的方法种数为，D正确． 故选：ABD． 10. 下列关于的二项展开式，说法正确的是（ ） A. 展开式共有10项 B. 展开式的二项式系数之和为1024 C. 展开式的常数项为8064 D. 展开式的第6项的二项式系数最大 【答案】BD 【解析】 【分析】由二项展开式及性质可知A错误，B正确.利用二项展开式的通项公式求常数项和第6项可知C错误，D正确. 【详解】由题意可知，展开式共有11项，故A错误； 展开式的二项式系数之和为，故B正确； 展开式的通项为， 令，得，所以展开式的常数项为，故C错误； 当时，二项式系数最大，所以展开式的第6项的二项式系数最大，故D正确. 故选：BD. 11. 已知正数a，b满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由题意，对于ABC，由二次函数性质即可判断；对于D，由基本不等式即可判断. 【详解】由题意， 对于A，，因为，所以，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，， 当时，有最小值，而，故D错误. 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由分式、根式的性质求函数的定义域. 【详解】由解析式知，可得且，故定义域为. 故答案为： 13. 函数的极小值点为________． 【答案】 【解析】 【分析】先求导，然后由与求得单调区间，再由导数与极值的关系求得极小值点. 【详解】， 令，即，∴； 令，即，∴． ∴的单调增区间为，单调减区间为． 因此时函数取得极小值. 函数的极小值点为. 故答案为： 14. 某校有10名同学进入“一带一路”知识竞赛的半决赛环节，半决赛设置三道题目，选手按的顺序回答题目，只要答对2道题目，即可进入决赛，若每位选手答对、题目的概率分别为，且每道题目答对与否互不影响.设人进入决赛的概率为，当取得最大值时，________. 【答案】7 【解析】 【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式计算出每个人进入决赛的概率，利用二项分布的概率公式写出的表达式，列出不等式组，结合组合数的阶乘公式进行求解即可. 【详解】每位同学进入总决赛的概率为， 设表示人进人总决赛，则， 则. 当取得最大值时， 需满足 解得：，又，所以当取得最大值时，. 故答案为：7 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知命题：“，使得不等式成立”是假命题． （1）求实数m的取值范围； （2）设m的取值范围为集合A，集合，若是的充分条件，求实数k的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题命题的否定为真命题，故有恒成立，即可求m范围； （2）由充分条件有，列出不等式组进行计算即可. 【小问1详解】 因为命题是假命题，所以命题的否定“， 使得不等式成立”为真命题， 则，解得， 故实数m的取值范围； 【小问2详解】 若是的充分条件，则， ，解得，即. 16. 已知函数． （1）当时，求函数的单调区间； （2）若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）单调减区间是，单调增区间是和； （2） 【解析】 【分析】（1）对函数求导，由导函数的符号确定函数的单调区间即可； （2）解法1：将题设不等式等价转化，参变分离为，从而求函数的最大值即可；解法2：根据值分类讨论函数的单调性，再由函数的最值列出不等式确定参数范围即可. 【小问1详解】 当时， ，， ， 由，可得或， 由，可得， 所以函数的单调减区间是，单调增区间是和； 【小问2详解】 解法1：由恒成立，可得：对，， 即，， 令，可得， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减， 所以当时，，所以， 所以实数的取值范围为． 解法2：由恒成立，可得：，， 令， 当时，可得，即在上单调递增， 又，即不能恒成立，不合题意； 当时，令，解得， 所以当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减． 所以， 因为恒成立，则需使恒成立，解得， 所以实数的取值范围为． 17. 随着互联网的高速发展和新媒体形式的不断丰富，微短剧作为一种新兴的文化载体，正逐渐成为拓展文化消费空间的重要途径．某媒体为了了解微短剧消费者的年龄分布，随机调查了200名消费者，得到如下列联表： 年龄不超过40岁 年龄超过40岁 合计 是微短剧消费者 30 45 不是微短剧消费者 合计 100 200 （1）根据小概率值的独立性检验，能否认为“是微短剧消费者”与“年龄不超过40岁”有关联？ （2）记2020~2024年的年份代码依次为1，2，3，4，5，下表为2020~2023年中国微短剧市场规模及2024年中国微短剧预测的市场规模（单位：亿元）与的统计数据： 年份代码x 1 2 3 4 5 市场规模y 9.4 36.8 101.7 373.9 m 根据上表数据求得关于的经验回归方程为，求相关系数，并判断该经验回归方程是否有价值． 参考公式：，其中，． 回归方程，其中，，，相关系数．若，则认为经验回归方程有价值． 【答案】（1）认为“是微短剧消费者”与“年龄不超过40岁”有关联 （2），该经验回归方程有价值． 【解析】 【分析】（1）补全列联表，根据公式求出，再通过独立性检验与临界值比较判断即可； （2）通过给出的经验回归方程公式求相关系数，再判断． 【小问1详解】 补全列联表如下： 年龄不超过40岁 年龄超过40岁 合计 是微短剧消费者 30 15 45 不是微短剧消费者 70 85 155 合计 100 100 200 假设“是微短剧消费者”与“年龄不超过40岁”无关联， 因为， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为“是微短剧消费者”与“年龄不超过40岁”有关联，此推断犯错误的概率不超过0.05． 【小问2详解】 由x的取值依次为1，2，3，4，5，可得，， 因为经验回归方程为， 所以， 所以， 所以， 因为，所以该经验回归方程有价值． 18. 某网红景点为促进本地旅游，在五一期间举行购票抽奖活动，根据网上购票与景点购票，设置两种不同的抽奖方案． 方案1：通过网上购票的游客，可进入景点网页中设置的小程序抽奖，每个顾客可抽奖2次，每次抽奖可随机获得0元、10元、20元的奖金，且抽到0元，10元，20元的概率均为． 方案2：通过景点购票的游客，可从装有3个红球和7个白球的抽奖箱中，不放回地取球3次，每次取1个球，第次取到红球，可得10i元奖金，取到白球没有奖金． （1）游客甲通过网上购票，记甲抽奖获得的奖金总金额为X元，求； （2）游客乙通过景点购票，记乙抽奖获得的奖金为Y元，求Y的分布列； （3）试从游客所得奖金金额的期望值分析，游客选择哪种购票方式更划算． 【答案】（1） （2）分布列： 0 10 20 30 40 50 60 （3）游客选择网上购票更划算【解析】 【分析】（1）利用独立事件的乘法公式和互斥事件的加法公式计算即可； （2）利用排列组合和古典概型的概率公式求分布列； （3）先求出的分布列，再计算两个随机变量的期望，比大小即可. 【小问1详解】 ，即两次都抽到20元的红包，或1次抽到10元的红包，1次抽到20元的红包，每次抽到任意红包的概率均为， 所以． 【小问2详解】 由题意得的可能取值为0，10，20，30，40，50，60， ， ， ，， 所以的分布列为： 0 10 20 30 40 50 60 【小问3详解】通过景点购票，由（2）得， 的可能取值为0，10，20，30，40， ， ， ， 所以， 故， 所以游客选择网上购票更划算. 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）当时，若存在零点，求实数的取值范围； （3）证明：. 【答案】（1）当时， 在为单调递减函数； 当时，时，为单调递减函数；时，为单调递增函数. （2） （3）由（2）可得，当时，， 令，则， 所以 ， 即， 两边同时取指数可得， 又上式中，所以. 【解析】 【分析】（1）求导后分和讨论可得； （2）求导后分析单调性和最值，再结合零点可得； （3）当时，令，结合（2）的结论和对数的运算性质以及等差数列的求和公式得到，再两边同时取指数运算可得. 【小问1详解】 的定义域为，， 当时，因，所以恒成立，即在为单调递减函数； 当时，令，所以当时，，为单调递减函数；当时，，为单调递增函数， 综上，当时， 在为单调递减函数； 当时，时，为单调递减函数；时，为单调递增函数. 【小问2详解】 当时，，，， 则， 令， 所以当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以， 因为存在零点，所以， 即实数的取值范围为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $