专题01 空间向量的运算及其应用（压轴题7大类型专项训练）数学人教A版2019选择性必修第一册

专题01 空间向量的运算及其应用 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 1 类型一、根据空间向量的线性运算求参数 1 类型二、向量共线、共面的判定及应用 3 类型三、空间向量的数量积及参数、最值问题 5 类型四、空间向量的模及参数、最值问题 6 类型五、空间向量的夹角及参数、最值问题 7 类型六、垂直、投影向量及参数问题 9 类型七、证明平行、共面、垂直问题 11 压轴专练 14 类型一、根据空间向量的线性运算求参数 一、单选题 1．（24-25高二下·全国·课后作业）若，，，，若，，不共面，当时，等于（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 2．（24-25高二下·江苏淮安·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点分别为的中点，若，且，则（    ）    A．1 B．2 C． D． 3．（23-24高二下·甘肃临夏·期末）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥为阳马，平面，且，若，则（    ）    A．1 B．2 C． D． 二、填空题 4．（23-24高二上·山东威海·月考）已知是平行六面体．设是底面的中心，是侧面的对角线上的点，且，设， ．    类型二、向量共线、共面的判定及应用 共线向量与共面向量 1、共线（平行）向量的定义：若表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，若与是共线向量，则记为． 2、共线向量定理：对空间任意两个向量，的充要条件是存在实数，使． 3、共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使 4、拓展 对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）． 一、单选题 1．（24-25高二上·山东济南·月考），若则（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 2．（23-24高二上·北京·期中）已知是空间两个不共线的向量，，那么必有（    ） A．共线 B．共线 C．共面 D．不共面 3．（24-25高二下·全国·课后作业）已知A，B，C三点共线，O为空间任一点，则①；②存在三个不为0的实数，m，n，使，那么使①②成立的与的值分别为（    ） A．1， B．，0 C．0，1 D．0，0 4．（24-25高二上·福建福州·月考）已知，，，若，，三向量共面，则（    ） A．18 B． C． D．6 5．（24-25高二下·福建龙岩·期中）已知，，不共面，若，，且三点共线，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 6．（24-25高二上·广东佛山·月考）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·安徽铜陵·月考）已知A，B，C，D是空间不共面的四点，点P满足：，则（    ） A．P，A，B，C四点共面 B．P，A，B，D四点共面 C．P，B，C，D四点共面 D．P，A，C，D四点共面 8．（23-24高二上·青海海南·期中）已知三棱柱，为空间内一点，若，其中，，则（    ） A．若，则点在棱上 B．若，则点在线段上 C．若，为棱的中点 D．若，则点在线段上 9．（24-25高二上·广东广州·月考）已知点D在确定的平面内，是平面外任意一点，满足，且，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 10．（23-24高二上·辽宁大连·期末）在四面体中，E为的中点，G为平面的重心．若与平面交于点F，则（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高一下·贵州贵阳·月考）如图，在正四面体中，E为的中点，，，当时，四点共面，则（    ） A． B． C． D． 类型三、空间向量的数量积及参数、最值问题 在几何体中求空间向量数量积的步骤 ①首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式. ②利用向量的运算律将数量积展开,转化为已知模和夹角的向量的数量积. ③代入a·b=|a||b|cos<a,b>求解. 一、单选题 1．（24-25高二下·江苏连云港·期中）已知满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·江苏盐城·期中）已知正四棱锥的所有棱长均为1，O为底面ABCD内一点，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·福建漳州·期中）已知棱长为的正四面体中，是的中点，是上一点，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·甘肃酒泉·期中）在空间直角坐标系中，，，，点在直线上运动，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·河南新乡·期中）记棱长为2的正方体的内切球为球是球O的一条直径，P为该正方体表面上的动点，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 6．（24-25高二下·上海浦东新·期末）设正四面体的棱长为，为的中点，为的中点，则 ． 7．（24-25高二下·江苏南京·期中）在直三棱柱中，，点为侧面上的任意一点，则的取值范围是 . 类型四、空间向量的模及参数、最值问题 利用向量方法求长度或距离的基本方法 （1）将相应线段用向量表示,通过向量运算来求对应向量的模. （2）因为a·a=|a|2,所以|a|=,这是利用向量解决长度或距离问题的基本公式.另外,该公式还可以推广为|a±b|==. （3）若，则，即 一、单选题 1．（2025·广东惠州·三模）已知空间向量满足，则（    ） A． B．1 C．0 D． 2．（24-25高二下·江苏南京·月考）在平行六面体中，，，，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·江苏扬州·期末）在三棱柱中，与相交于点，，，，，则线段的长度是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·安徽安庆·模拟预测）在直棱柱中，，且，N是棱上的一点，且满足，则的最小值为（    ） A． B．6 C．3 D． 二、填空题 5．（24-25高二下·上海·月考）已知 ，设点 、 在 平面上的射影分别为 、 ，则 . 6．（24-25高二上·福建厦门·月考）已知向量，则 . 7．（24-25高二下·上海闵行·期末）、、是空间向量，其中，与、的夹角都是，且，，．则 ． 8．（24-25高二下·湖北·月考）在棱长为的正四面体中，、分别是、的中点，则 ． 9．（24-25高二上·上海·期末）已知、是空间相互垂直的单位向量，且，，则的最小值是 . 10．（24-25高二下·江苏常州·期中）如图，四棱锥中，平面，底面是边长为1的正方形，且，点是线段上异于的点，当为钝角时，的取值范围为 ． 类型五、空间向量的夹角及参数、最值问题 求两个非零向量夹角的两种途径 （1）转化求角:把向量夹角转化为平面几何中的对应角,利用解三角形的知识求解. （2）利用数量积求异面直线夹角的余弦值. （3）异面直线AB,CD的夹角α∈(0,],而<,>∈[0,π],故α=<,>或α=π-<,>. 一、单选题 1．（24-25高二上·广东阳江·月考）若，，与的夹角为120°，则的值为（   ） A．17 B． C． D．1 2．（24-25高二上·安徽淮南·期中）已知空间向量，，若与的夹角是锐角，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·北京·月考）在正方体中，，，则直线与直线夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·山东枣庄·二模）已知三棱柱的各条棱长相等，且，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·安徽·月考）设空间两个单位向量与向量的夹角等于，则向量夹角的余弦值等于（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·浙江宁波·期末）已知在棱长为1的正四面体中，，，则直线和夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·江苏常州·期中）已知动点是棱长为1的正方体的对角线上一点，记，当为钝角时，的取值范围为（    ） A． B． C． D． 类型六、垂直、投影向量及参数问题 （1）两个向量的平行与垂直 平行（） 垂直（） （均非零向量） （2）判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要条件;已知两向量平行或垂直求参数的值,则利用平行或垂直的充要条件,将位置关系转化为坐标关系,列方程(组)求解. （3）在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，向量称为向量在向量上的投影向量． 一、单选题 1．（24-25高二下·江苏常州·月考）向量，，，且，，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·江苏·期中）已知向量，当时，向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·宁夏银川·月考）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量的模长为（    ） A．2 B． C． D． 4．（24-25高二下·江苏宿迁·期末）在空间直角坐标系中，向量（）在面上的投影向量为，在向量上的投影向量为，则与的夹角为（    ） A． B． C． D．与t有关 5．（24-25高二上·宁夏银川·月考）如图，正四棱台中，，则在上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（23-24高二上·福建福州·期末）已知为单位向量.，若，则在上的投影向量的坐标为 . 7．（23-24高二上·广东佛山·月考）如图所示，已知平面ABC，，，则向量在向量上的投影向量是   .    8．（24-25高二下·湖南长沙·期中）如图，棱长为2的正方体中，，分别是，的中点，动点满足，若，则 ． 类型七、证明平行、共面、垂直问题 (1)合理选择基底,使其能方便表示有关向量,并能进行运算,特别是数量积运算. (2)当直接证明线线垂直但条件不易利用时,常常考虑证明两线段所对应的向量的数量积等于零.利用向量证明垂直的一般方法是把线段转化为向量,并用已知向量表示未知向量,然后通过向量的运算以及数量积和垂直条件来完成位置关系的判定. (3)证明直线与直线平行一般转化为向量共线问题,利用向量共线的充要条件证明. 一、解答题 1．（24-25高二上·广东中山·期中）如图在边长是2的正方体中，E，F分别为AB，的中点．证明：平面． 2．（24-25高二上·全国·课后作业）如图，已知平行六面体，分别是棱和的中点，求证：四点共面． 3．（24-25高二上·陕西汉中·月考）如图，在矩形中，，，矩形所在平面外一点满足平面，、分别是、的中点，且．请建立适当的空间直角坐标系，然后证明： (1)； (2)，，共面． 4．（24-25高二下·江苏镇江·月考）如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且，. 用向量方法证明：平面. 5．（24-25高二上·浙江温州·期末）如图，在平行六面体中，，. (1)求的长； (2)求证：直线平面. 6．（24-25高二上·河南商丘·期中）如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，，平面，，且，，. (1)求直线与直线所成角的余弦值； (2)证明：，，，四点共面. 7．（24-25高二下·上海宝山·月考）如图所示，已知斜四棱柱的底面是菱形，且，且．    (1)求证：； (2)当的值为多少时，能使平面？请给出证明． 一、单选题 1．（24-25高二上·山东淄博·期末）设 ，则 （    ） A．3 B． C． D． 2．（23-24高二上·广东东莞·月考）如图，已知正方体中，点为上底面的中心，若，则（    ）    A． B．1 C． D．2 3．（24-25高二上·河南·期中）在四面体中，为棱的中点，为线段的中点，若，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 4．（23-24高二上·河北邯郸·期末）已知是不共面的空间向量，若与（是实数）是平行向量，则的值为（    ） A．16 B．-13 C．3 D．-3 5．（24-25高二上·山东·期中）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·甘肃白银·期中）在三棱锥中，M是平面内一点，且，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 7．（24-25高二上·江苏无锡·期中）设为空间的一个基底，，，，若，，共面，则（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·贵州·开学考试）如图，在三棱柱中，为空间一点，且满足， ，则下列说法错误的是（　　） A．当时，点在棱上 B．当时，点在线段上 C．当时，点在棱上 D．当时，点在线段上 9．（24-25高二下·浙江·月考）在空间四边形ABCD中， M、N分别是AB、CD的中点， 且.设 ，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高二下·甘肃兰州·期中）设正四面体的棱长为，，分别是，的中点，则的值为（   ） A． B． C． D． 11．（24-25高二上·河南许昌·月考）已知是空间的一个单位正交基底，，则空间向量在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高二上·福建福州·期中）已知，且与的夹角为钝角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 13．（24-25高二上·广东阳江·月考）如图所示，在正方体中，为的中点，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高二上·广东广州·期中）已知为原点，，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 15．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）如图，设动点在棱长为的正方体的对角线上（不含端点），，当为直角时，的值是（    ）    A．2 B．1 C． D． 16．（24-25高二上·福建莆田·月考）在棱长为2的正四面体中，E，F分别是AD，BC的中点，是的重心，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C．在上的投影向量为 D． 17．（2025·山西·一模）如图，直三棱柱中，，点P为侧面上的任意一点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 18．（24-25高二上·安徽·期末）已知O为正方形ABCD的中心，E，F分别为BC，AD的中点，若将正方形ABCD沿对角线BD翻折，使得二面角的大小为，则此时的值为（ ） A． B． C． D． 19．（24-25高二上·河南周口·月考）如图，在长方体中，，，为棱的中点，是线段上的动点，则下列式子的值为定值的是（   ） A． B． C． D． 20．（24-25高二上·云南曲靖·期末）已知空间四边形的四个顶点，，，的坐标分别为，，，，若为平面上的一个动点，则当，且，的夹角取得最小值时，（   ） A． B． C． D． 21．（24-25高二下·福建厦门·月考）在平行六面体中，且，，若，，则棱的最大值为（    ） A． B． C．3 D．4 二、多选题 22．（24-25高二上·辽宁抚顺·开学考试）已知，.若，则与的值可以是（    ） A． B． C． D． 23．（24-25高二上·全国·课后作业）(多选)已知向量，，，则的值为（    ） A．2 B． C．3 D． 24．（23-24高二上·全国·课后作业）在下列条件中，使M与A，B，C不一定共面的是（　　） A． B． C． D． 25．（24-25高二下·广东·月考）平行六面体的各棱长为1，且分别为，，，中点．若两两垂直，则（ ） A． B． C． D．四面体的体积为 26．（24-25高二上·贵州黔东南·开学考试）如图，平行六面体的所有棱长均为2，，，两两所成夹角均为，点，分别在棱，上，且，，则（    ） A．，，，四点共面 B．在方向上的投影向量为 C． D．直线与所成角的余弦值为 三、填空题 27．（24-25高二下·全国·课后作业）设，是空间两个不共线的向量，已知，，，且A，B，D三点共线，则 ． 28．（24-25高二上·吉林·月考）已知向量，，，当时，向量在向量上的投影向量为 ．（用坐标表示） 29．（24-25高二下·甘肃张掖·期中）若，，为空间两两夹角都是120°的三个单位向量，则 . 30．（24-25高二上·广西来宾·月考）已知点、点，求线段AB的三等分点的坐标 31．（24-25高二下·上海·月考）已知平行六面体 ，底面是正方形， ， ，则 的长度为 . 32．（24-25高二下·福建漳州·期中）在平行六面体中，，，则与所成角的正弦值为 ． 33．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，平行六面体的所有棱长均为2，两两所成夹角均为，点分别在棱上，且，，则 ． 34．（24-25高二上·广东深圳·月考）在三棱锥中，与中点分别为，点为中点．若在上满足，在上满足，平面交于点，且，则 ． 35．（24-25高二上·山东临沂·期中）设空间两个单位向量，与向量的夹角都等于，则等于 （，不重合）. 四、解答题 36．（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在空间中平移到，连接对应顶点，设分别是的中点，是上一点． (1)若为的中点，用向量法证明：； (2)若，问是否存在点使得，并说明理由． 37．（24-25高二上·广东东莞·月考）如图，在底面ABCD为菱形的平行六面体中，M，N分别在棱上，且，且. (1)求证：共面； (2)当为何值时，. 38．（24-25高二上·河南平顶山·月考）如图.在平行六面体中. (1)如图1，已知，点是侧面的中心，试用向量表示下列向量：. (2)如图2，点分别是的中点，请选择恰当的基底向量，证明：平面平面. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 空间向量的运算及其应用 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 1 类型一、根据空间向量的线性运算求参数 1 类型二、向量共线、共面的判定及应用 4 类型三、空间向量的数量积及参数、最值问题 11 类型四、空间向量的模及参数、最值问题 16 类型五、空间向量的夹角及参数、最值问题 22 类型六、垂直、投影向量及参数问题 27 类型七、证明平行、共面、垂直问题 33 压轴专练 40 类型一、根据空间向量的线性运算求参数 一、单选题 1．（24-25高二下·全国·课后作业）若，，，，若，，不共面，当时，等于（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】A 【分析】根据向量的线性运算得出参数值. 【详解】由已知得， ． 所以，故有． 故选：A. 2．（24-25高二下·江苏淮安·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点分别为的中点，若，且，则（    ）    A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的线性运算及空间向量基本定理即可求解. 【详解】因为点分别为的中点，所以， 所以， 因为，所以， 所以， 又，则，所以. 故选：D. 3．（23-24高二下·甘肃临夏·期末）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥为阳马，平面，且，若，则（    ）    A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量线性运算法则计算可得. 【详解】因为，所以， 所以 ， 又，所以，则. 故选：A 二、填空题 4．（23-24高二上·山东威海·月考）已知是平行六面体．设是底面的中心，是侧面的对角线上的点，且，设， ．    【答案】 【分析】由空间向量基本定理得到，从而求出，，，得到答案. 【详解】∵，， ∴ ， 又， ∴，，，故. 故答案为： 类型二、向量共线、共面的判定及应用 共线向量与共面向量 1、共线（平行）向量的定义：若表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，若与是共线向量，则记为． 2、共线向量定理：对空间任意两个向量，的充要条件是存在实数，使． 3、共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使 4、拓展 对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）． 一、单选题 1．（24-25高二上·山东济南·月考），若则（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】根据空间向量的平行性质，列出方程组，解出的值，即可得答案. 【详解】根据，则存在一个常数使得， 所以可得，解之可得，所以. 故选：C 2．（23-24高二上·北京·期中）已知是空间两个不共线的向量，，那么必有（    ） A．共线 B．共线 C．共面 D．不共面 【答案】C 【分析】利用空间向量的共线定理与共面定理. 【详解】若共线，则， 又，则共线， 与条件矛盾，故A错误； 同理若共线，则， 又，则共线， 与条件矛盾，故B错误； 根据空间向量的共面定理可知共面，即C正确，D错误. 故选：C 3．（24-25高二下·全国·课后作业）已知A，B，C三点共线，O为空间任一点，则①；②存在三个不为0的实数，m，n，使，那么使①②成立的与的值分别为（    ） A．1， B．，0 C．0，1 D．0，0 【答案】B 【分析】根据三点共线的推理即可求得，. 【详解】，B，C三点共线，，，解得， 又由，得， 由A，B，C三点共线知，，则. 故选：B 4．（24-25高二上·福建福州·月考）已知，，，若，，三向量共面，则（    ） A．18 B． C． D．6 【答案】B 【分析】利用空间向量共面的条件建立方程，求解参数即可. 【详解】由题意知，即， 故有，，， 解得，故B正确. 故选：B. 5．（24-25高二下·福建龙岩·期中）已知，，不共面，若，，且三点共线，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】由，列出方程求解即可. 【详解】因为三点共线， 所以， 即， 所以，解得， 所以， 故选：A 6．（24-25高二上·广东佛山·月考）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由向量共面的性质逐项判断即可； 【详解】对于A，，所以三向量共面，故A错误； 对于B，，所以三向量共面，故B错误； 对于C，，所以三向量共面，故C错误； 对于D，假设共面，则，即， 所以，不符合题意，所以假设不成立，故D正确； 故选：D. 7．（24-25高二上·安徽铜陵·月考）已知A，B，C，D是空间不共面的四点，点P满足：，则（    ） A．P，A，B，C四点共面 B．P，A，B，D四点共面 C．P，B，C，D四点共面 D．P，A，C，D四点共面 【答案】C 【分析】由空间向量共面定理的推论求解即可； 【详解】因为，所以， 即，故， 因为，所以四点共面，C正确． 另解：由已知得， 所以共面，又存在公共点，所以四点共面，C正确． 故选：C． 8．（23-24高二上·青海海南·期中）已知三棱柱，为空间内一点，若，其中，，则（    ） A．若，则点在棱上 B．若，则点在线段上 C．若，为棱的中点 D．若，则点在线段上 【答案】ABD 【分析】利用空间向量的数乘运算与共线定理逐项判断即可. 【详解】作出三棱柱，如图， 对于A，当时，，则， 所以点在棱上，故A正确； 对于B，当时，， 所以点在线段上，故B正确； 对于C，当时，由B知， 所以为棱的中点，故C错误； 对于D，当时，， 所以，则，即， 所以点在线段上，故D正确. 故选：ABD. 9．（24-25高二上·广东广州·月考）已知点D在确定的平面内，是平面外任意一点，满足，且，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由四点共面可知，结合基本不等式的乘“1”法即可求解. 【详解】, 因为四点共面，所以， 注意到，从而. 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 故选：B. 10．（23-24高二上·辽宁大连·期末）在四面体中，E为的中点，G为平面的重心．若与平面交于点F，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据共线定理及空间向量线性运算可得结果. 【详解】如图：连接交于H，则H为中点，连接, 因为平面，平面，设，则， 又平面，所以平面，故K为与平面的交点， 又因为与平面交于点F，所以F与K重合， 又E为的中点，G为平面的重心， 因为点A，F，G三点共线，则 又因为点E，F，H三点共线，则， , 所以，解得，即，故. 故选：C. 11．（24-25高一下·贵州贵阳·月考）如图，在正四面体中，E为的中点，，，当时，四点共面，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由四点共面可得，，运用空间向量的线性运算得到，代入，根据系数对应相等列方程组即可得到答案. 【详解】因为四点共面，所以存在唯一的，使得. 因为，所以， 因为E为的中点，， 所以，， 所以， ， ， 代入，得， 所以，解得. 故选：B． 类型三、空间向量的数量积及参数、最值问题 在几何体中求空间向量数量积的步骤 ①首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式. ②利用向量的运算律将数量积展开,转化为已知模和夹角的向量的数量积. ③代入a·b=|a||b|cos<a,b>求解. 一、单选题 1．（24-25高二下·江苏连云港·期中）已知满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知由空间向量的坐标运算求得 ，根据数量积的运算律结合，即可得的值． 【详解】由已知，， 所以， 又，所以. 故选：D. 2．（24-25高二下·江苏盐城·期中）已知正四棱锥的所有棱长均为1，O为底面ABCD内一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意作图，根据空间向量的共面定理，求得参数，结合数量积的运算律，可得答案. 【详解】由题意可作图如下： 由，则， 由共面，则，解得， 所以 . 故选：B. 3．（24-25高二下·福建漳州·期中）已知棱长为的正四面体中，是的中点，是上一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由数量积的定义以及运算律代入计算，即可得到结果. 【详解】依题意，有，，设， 则 ． 故选:B． 4．（24-25高二下·甘肃酒泉·期中）在空间直角坐标系中，，，，点在直线上运动，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，计算、的坐标，利用数量积的坐标运算化简即可. 【详解】由点在直线上运动，故可设，， 则， ， 所以 ， 故当时，取得最小值. 故选：C． 5．（24-25高二下·河南新乡·期中）记棱长为2的正方体的内切球为球是球O的一条直径，P为该正方体表面上的动点，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据空间向量的加法运算和数量积的运算律求解. 【详解】由题意可得，球O的半径为1． ．当P为正方体顶点时等号成立， 故选：B 二、填空题 6．（24-25高二下·上海浦东新·期末）设正四面体的棱长为，为的中点，为的中点，则 ． 【答案】 【分析】根据向量的线性运算和数量积的定义与运算法则求解. 【详解】如图所示，    . 故答案为： 7．（24-25高二下·江苏南京·期中）在直三棱柱中，，点为侧面上的任意一点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据空间向量法计算数量积结合二次函数最值计算求解. 【详解】如图取中点为原点，建立空间直角坐标系，设， 其中， ， 当，且或时，取最大值4， 当，且时，取最小值2，所以的取值范围为. 故答案为：. 类型四、空间向量的模及参数、最值问题 利用向量方法求长度或距离的基本方法 （1）将相应线段用向量表示,通过向量运算来求对应向量的模. （2）因为a·a=|a|2,所以|a|=,这是利用向量解决长度或距离问题的基本公式.另外,该公式还可以推广为|a±b|==. （3）若，则，即 一、单选题 1．（2025·广东惠州·三模）已知空间向量满足，则（    ） A． B．1 C．0 D． 【答案】D 【分析】应用向量线性运算的坐标表示求出坐标，再由模长的坐标公式求目标式的值. 【详解】由题设，， 所以. 故选：D 2．（24-25高二下·江苏南京·月考）在平行六面体中，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由空间向量线性运算，可得，利用数量积运算性质即可得出． 【详解】， 又，，，， ， ； 故选：A 3．（24-25高二下·江苏扬州·期末）在三棱柱中，与相交于点，，，，，则线段的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量加减、数乘的几何意义，结合三棱柱中各线段的位置关系用、、表示出，再应用空间向量数量积的运算律求的模长，从而得解． 【详解】如下图所示： 因为，，，， 由空间向量数量积的定义可得，， 同理可得， 由题意可知，四边形是平行四边形， ， ， ， 故，则线段的长度为． 故选：C． 4．（2025·安徽安庆·模拟预测）在直棱柱中，，且，N是棱上的一点，且满足，则的最小值为（    ） A． B．6 C．3 D． 【答案】B 【分析】设，，，将向量分别用表示，代入，利用向量数量积的运算律化简，求得，借助于二次函数的性质即可求得的最小值. 【详解】    设，，， 则，， 由， 因，，则， 代入整理得，，显然，故， 因，故当时，取得最大值， 此时取得最小值为36，故的最小值为为6. 故选：B. 二、填空题 5．（24-25高二下·上海·月考）已知 ，设点 、 在 平面上的射影分别为 、 ，则 . 【答案】 【分析】由题意可得，结合空间向量的几何意义计算即可求解. 【详解】因为点在平面上的射影分别为， 所以， 则，所以. 故答案为： 6．（24-25高二上·福建厦门·月考）已知向量，则 . 【答案】3或 【分析】先利用向量的线性坐标运算求出的坐标，再求出，然后求出即可. 【详解】， 所以，解得或， 故答案为：3或 7．（24-25高二下·上海闵行·期末）、、是空间向量，其中，与、的夹角都是，且，，．则 ． 【答案】 【分析】根据条件，利用数量积的定义及运算，即可求解. 【详解】因为，与、的夹角都是，且，，， 则，，， 则， 所以， 故答案为：. 8．（24-25高二下·湖北·月考）在棱长为的正四面体中，、分别是、的中点，则 ． 【答案】 【分析】将用基底表示，利用空间向量数量积的运算性质可求得的值. 【详解】连接，如下图所示： 由空间向量数量积的定义可得， 同理可得， ， 所以， . 故答案为：. 9．（24-25高二上·上海·期末）已知、是空间相互垂直的单位向量，且，，则的最小值是 . 【答案】4 【分析】利用坐标法，根据空间向量数量积的坐标运算，向量线性运算，不等式思想即可求解． 【详解】是空间相互垂直的单位向量， 设，，设， 又，， 又， ， ，其中， ， ， 当且仅当时取得等号， 的最小值是4． 故答案为：4． 10．（24-25高二下·江苏常州·期中）如图，四棱锥中，平面，底面是边长为1的正方形，且，点是线段上异于的点，当为钝角时，的取值范围为 ． 【答案】 【分析】以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，由向量共线定理可求得点坐标， 因为为钝角，而三点不共线，故，由此可解出的取值范围. 【详解】如图，以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系： 则，， 设，，则， 故，所以， 则， 因为为钝角，而三点不共线， 故， 解得，即的取值范围为. 故答案为：. 类型五、空间向量的夹角及参数、最值问题 求两个非零向量夹角的两种途径 （1）转化求角:把向量夹角转化为平面几何中的对应角,利用解三角形的知识求解. （2）利用数量积求异面直线夹角的余弦值. （3）异面直线AB,CD的夹角α∈(0,],而<,>∈[0,π],故α=<,>或α=π-<,>. 一、单选题 1．（24-25高二上·广东阳江·月考）若，，与的夹角为120°，则的值为（   ） A．17 B． C． D．1 【答案】AC 【分析】根据空间向量夹角公式得到方程，求出或. 【详解】由题意得，即， 化简得，解得或 故选：AC 2．（24-25高二上·安徽淮南·期中）已知空间向量，，若与的夹角是锐角，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用夹角是锐角的向量关系计算即可. 【详解】因为空间向量，， 若与的夹角是锐角，则且不成立， 所以或. 故选：C. 3．（24-25高二上·北京·月考）在正方体中，，，则直线与直线夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出相关图象，建立空间坐标系，利用空间向量求解直线与直线夹角的余弦值，即可求解. 【详解】由题意作出相关图象，如下图， 以点D为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，设正方体边长为，    则，，，， 连接，易得与相似，又由正方体性质， 所以，从而可得， 故，， 所以， 设直线与直线夹角为，则，故A正确. 故选：A. 4．（2025·山东枣庄·二模）已知三棱柱的各条棱长相等，且，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得，根据空间向量的数量积运算求，即可得结果. 【详解】不妨设棱长为2， 由题意可知：， 因为， 则 ， 即， 且， 可得， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：C. 5．（24-25高二下·安徽·月考）设空间两个单位向量与向量的夹角等于，则向量夹角的余弦值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由题意结合向量数量积定义和模长坐标计算公式得到和，再结合向量夹角余弦公式即可计算求解. 【详解】因为空间两个单位向量与向量的夹角等于， 所以， 所以，结合得 则向量夹角的余弦值为. 故选：D. 6．（24-25高二上·浙江宁波·期末）已知在棱长为1的正四面体中，，，则直线和夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，向量、、表示和，再利用数量积的运算律及夹角公式计算可得. 【详解】设，因为，， 所以， ， 所以， ， ， 设向量与的夹角为，则 ∴直线和夹角的余弦值为． 故选：D 7．（24-25高二下·江苏常州·期中）已知动点是棱长为1的正方体的对角线上一点，记，当为钝角时，的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，由为钝角，可得，得到不等式，解不等式，可得出答案. 【详解】如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 则， ，，， 故， ， 则 ， 因为， 所以，解得， 所以的取值范围为. 故选：C 类型六、垂直、投影向量及参数问题 （1）两个向量的平行与垂直 平行（） 垂直（） （均非零向量） （2）判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要条件;已知两向量平行或垂直求参数的值,则利用平行或垂直的充要条件,将位置关系转化为坐标关系,列方程(组)求解. （3）在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，向量称为向量在向量上的投影向量． 一、单选题 1．（24-25高二下·江苏常州·月考）向量，，，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量的关系列式求解，的值，再运用向量的数乘及加法的坐标表示公式，结合向量的模公式计算得出结果. 【详解】由，，则，解得， ，， ， . 故选：C. 2．（24-25高二下·江苏·期中）已知向量，当时，向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量垂直的坐标表示列方程求，再由投影向量的计算公式即可求解. 【详解】向量，，， 所以，解得，所以，， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：D. 3．（23-24高二上·宁夏银川·月考）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量的模长为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】由空间向量在向量方向上的投影数量为，运算即可得解. 【详解】由题意，，，， 则空间向量在向量方向上的投影数量为. 所以所求投影向量的模长为2. 故选：A 4．（24-25高二下·江苏宿迁·期末）在空间直角坐标系中，向量（）在面上的投影向量为，在向量上的投影向量为，则与的夹角为（    ） A． B． C． D．与t有关 【答案】A 【分析】首先求出的坐标，然后根据向量夹角的余弦公式求出其夹角即可. 【详解】因为向量在面上的投影向量为， 则. 因为在向量上的投影向量为， 则. 所以. 所以向量的夹角为. 故选：A. 5．（24-25高二上·宁夏银川·月考）如图，正四棱台中，，则在上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，求出关键点坐标，再利用投影向量公式求解即可. 【详解】设正四棱台的高为， 所以四边形，是正方形，设其中心分别为，连接， 如图，以为原点建立空间直角坐标系，且作， 由勾股定理得，所以， 由题意得，，所以四边形是平行四边形， 所以，故，得到， 而，所以，，所以， 由投影向量公式得在上的投影向量为，故A正确. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何，解题关键是建立空间直角坐标系，然后表示出关键点的坐标，再利用投影向量公式得到所要求的投影向量即可． 二、填空题 6．（23-24高二上·福建福州·期末）已知为单位向量.，若，则在上的投影向量的坐标为 . 【答案】 【分析】根据模与向量的关系求出的值，再根据在上的投影向量公式求出答案即可. 【详解】， 由题可得： ，可得， 则在上的投影向量为. 故答案为：. 7．（23-24高二上·广东佛山·月考）如图所示，已知平面ABC，，，则向量在向量上的投影向量是   .    【答案】 【分析】 由余弦定理先求，再由投影向量的概念求解 【详解】在中，由余弦定理得，， 而平面ABC，，故，， 在中，， 即，得 故向量在向量上的投影向量是 故答案为： 8．（24-25高二下·湖南长沙·期中）如图，棱长为2的正方体中，，分别是，的中点，动点满足，若，则 ． 【答案】 【分析】以为原点建系，分别计算的坐标，利用即可求出. 【详解】以为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，则， 则， 则 ， 得， 因，则，解得． 故答案为： 类型七、证明平行、共面、垂直问题 (1)合理选择基底,使其能方便表示有关向量,并能进行运算,特别是数量积运算. (2)当直接证明线线垂直但条件不易利用时,常常考虑证明两线段所对应的向量的数量积等于零.利用向量证明垂直的一般方法是把线段转化为向量,并用已知向量表示未知向量,然后通过向量的运算以及数量积和垂直条件来完成位置关系的判定. (3)证明直线与直线平行一般转化为向量共线问题,利用向量共线的充要条件证明. 一、解答题 1．（24-25高二上·广东中山·期中）如图在边长是2的正方体中，E，F分别为AB，的中点．证明：平面． 【答案】证明见解析 【分析】建立适当的空间直角坐标系，求出向量的坐标表示，利用，可证直线EF垂直于CD、，再利用线面垂直的判定定理证明． 【详解】如图以D为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则， ∵E，F分别为AB，的中点，∴， ，，， ∵，，∴， 又，平面， 平面． 2．（24-25高二上·全国·课后作业）如图，已知平行六面体，分别是棱和的中点，求证：四点共面． 【答案】证明见解析 【分析】取，，，由向量的线性运算得与、共面可得答案. 【详解】取，，， 则 所以与共面，又，， 所以与、共面， 所以四点共面． 3．（24-25高二上·陕西汉中·月考）如图，在矩形中，，，矩形所在平面外一点满足平面，、分别是、的中点，且．请建立适当的空间直角坐标系，然后证明： (1)； (2)，，共面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用坐标法表示直线的方向向量，根据方向向量的位置关系证明直线间的位置关系； （2）利用坐标法表示各向量，结合平面向量基本定理可得证. 【详解】（1）如图，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 由、分别是、的中点， 则，， ，， ， ， 即； （2）由（1）中建立的空间直角坐标系得，，，， ，， 又， ， ，，共面． 4．（24-25高二下·江苏镇江·月考）如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且，. 用向量方法证明：平面. 【答案】证明见解析 【分析】根据题意，求得，，再结合向量的共面定理，得到共面，又平面，得平面. 【详解】因为在上，且， 所以. 同理. 所以 ， 又与不共线，则共面， 又平面，得平面. 5．（24-25高二上·浙江温州·期末）如图，在平行六面体中，，. (1)求的长； (2)求证：直线平面. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题意可得，再平方即可得到答案； （2）根据，，可得，，再利用线面垂直的判定即可证明. 【详解】（1）， 可得 所以； （2），，， 所以 ， 所以，所以， ， 所以，所以，又，平面， 所以平面. 6．（24-25高二上·河南商丘·期中）如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，，平面，，且，，. (1)求直线与直线所成角的余弦值； (2)证明：，，，四点共面. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出关键点坐标，得到方向向量，借助向量夹角余弦值公式计算即可； （2）借助向量法，运用空间向量共面的基本定理验证即可. 【详解】（1）连接，因为四边形为菱形， 又，所以为等边三角形， 取的中点E，连接，则，所以. 因为平面，平面平面， 所以 以A为原点，以所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 则 由， 可知 所以 于是 故直线与直线所成角的余弦值为 （2）因为，所以分别为中点， 则连接， 则，， 设，由（1）知 ， 则， 则， 解得， 所以， 故M，C，G，H四点共面. 7．（24-25高二下·上海宝山·月考）如图所示，已知斜四棱柱的底面是菱形，且，且．    (1)求证：； (2)当的值为多少时，能使平面？请给出证明． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据已知条件可以构造空间向量，利用空间向量的数量积为0得到垂直关系； （2）根据线面垂直的性质知，要使平面，只需且，根据数量积的定义可知需证明，，结合向量的加减运算和数量积的定义，即可求出与的关系； 【详解】（1）证明：设，，，则， 底面是菱形，有， 则， ∴，即. （2）要使平面，只需且. 欲使，则可证明，即， 也就是， 即， 由于，显然当时，上式成立. 同理可得，当时，. 因此，当时，能使平面. 一、单选题 1．（24-25高二上·山东淄博·期末）设 ，则 （    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量的关系列等式求解x，y的值，再运用向量的数乘及加法的坐标表示公式，结合向量的模计算得出结果. 【详解】因为，∴，解得 ∴， ∴ 故选：C． 2．（23-24高二上·广东东莞·月考）如图，已知正方体中，点为上底面的中心，若，则（    ）    A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】根据空间向量基本定理得到，求出，得到答案. 【详解】正方体中，点为上底面的中心， 所以， 故， 因为，所以，. 故选：B. 3．（24-25高二上·河南·期中）在四面体中，为棱的中点，为线段的中点，若，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据空间向量的线性运算即可求解. 【详解】如图， ， 又， 所以，则. 故选：C 4．（23-24高二上·河北邯郸·期末）已知是不共面的空间向量，若与（是实数）是平行向量，则的值为（    ） A．16 B．-13 C．3 D．-3 【答案】C 【分析】根据，结合，列出方程组，求解即可. 【详解】因为是不共面的空间向量且， 故，则， 解得，所以. 故选：C. 5．（24-25高二上·山东·期中）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据共面向量定理判断． 【详解】A选项，，共面； B选项，，共面； C选项，若存在，使得，则共面，与已知矛盾，所以假设错，不共面． D选项，，共面． 故选：C． 6．（24-25高二下·甘肃白银·期中）在三棱锥中，M是平面内一点，且，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据空间向量线性运算法则得到，再由空间共面定理的推论得到方程，解得即可. 【详解】因为， 所以，即， 又点M是平面内一点， 所以，解得. 故选：B 7．（24-25高二上·江苏无锡·期中）设为空间的一个基底，，，，若，，共面，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量共面定理列方程，解方程组即可. 【详解】由已知，，共面， 则可设， 即， 即，解得， 故选：D. 8．（23-24高二上·贵州·开学考试）如图，在三棱柱中，为空间一点，且满足， ，则下列说法错误的是（　　） A．当时，点在棱上 B．当时，点在线段上 C．当时，点在棱上 D．当时，点在线段上 【答案】B 【分析】由空间向量共线定理逐一判断即可. 【详解】对于，当时，，， 所以，则点在棱上，故正确； 对于，当时， ， ， 即，即 所以点在线段上，故错误； 对于，当时，，， 所以，所以，即， 所以点在棱上，故正确； 对于，当时， 所以，， 所以， 即，即， 所以点在线段上，故正确． 故选：． 9．（24-25高二下·浙江·月考）在空间四边形ABCD中， M、N分别是AB、CD的中点， 且.设 ，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的线性运算可求得，可判断AB；，可判断C；由，可得，进而计算可得，可判断D. 【详解】，故AB错误； 因为，所以，所以不一定等于，故C错误； 因为，所以，所以， 所以， 所以， 所以，故D正确. 故选：D. 10．（24-25高二下·甘肃兰州·期中）设正四面体的棱长为，，分别是，的中点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，得到，，结合向量的数量积的定义与运算，即可求得的值，得到答案. 【详解】如图所示，因为分别为的中点，可得，， 又因为四面体为正四面体，且棱长为， 可得. 故选：D. 11．（24-25高二上·河南许昌·月考）已知是空间的一个单位正交基底，，则空间向量在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的投影向量公式计算即可. 【详解】因为是空间的一个单位正交基底， 所以，， 则， ， 所以空间向量在方向上的投影向量为， 故选：D 12．（24-25高二上·福建福州·期中）已知，且与的夹角为钝角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】两个向量夹角为钝角则两个向量数量积为负数，但是两个向量反向时夹角为不是钝角，要排除. 【详解】由题意可知：，∴， 又∵时，即时，共线，∴， ∴. 故选：A 13．（24-25高二上·广东阳江·月考）如图所示，在正方体中，为的中点，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量的运算及投影向量的定义求解即可. 【详解】 设正方体的棱长为1，，，，则，， ∵，， ∴， ∴向量在向量上的投影向量是. 故选：D． 14．（24-25高二上·广东广州·期中）已知为原点，，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，利用坐标计算，最后求一元二次函数的最小值. 【详解】因点在直线上运动，则设，于是有， 因此，， 于是得 则当时，，此时，点 故选：A 15．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）如图，设动点在棱长为的正方体的对角线上（不含端点），，当为直角时，的值是（    ）    A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】用表示，再根据它们的数量积为零可求的值. 【详解】由题设有， 故， 而， 同理，， 因为为直角，故， 故，故， 故（舍）或， 故选：D. 16．（24-25高二上·福建莆田·月考）在棱长为2的正四面体中，E，F分别是AD，BC的中点，是的重心，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C．在上的投影向量为 D． 【答案】D 【分析】A选项，证明出⊥，⊥，得到线面垂直，从而得到⊥，故；B选项，，故利用向量数量积公式得到；C选项，由B选项得，利用空间向量投影向量公式得到答案；D选项，由空间向量基本定理得到. 【详解】A选项，因为是等边的中心，所以⊥， 又⊥平面，平面， 所以⊥， 因为，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥，故，A正确； B选项，， 故 ，B正确； C选项，由B选项得， 故在上的投影向量为，C正确； D选项， ，D错误. 故选：D 17．（2025·山西·一模）如图，直三棱柱中，，点P为侧面上的任意一点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取AB中点为原点O，建立空间直角坐标系，设，由数量积的坐标表示得到，进而可求解； 【详解】如图取AB中点为原点O，建立空间直角坐标系，设， 其中，，，， ，，， 当，且或时，取最大值4， 当，且时，取最小值2，所以的取值范围为． 故选：C 18．（24-25高二上·安徽·期末）已知O为正方形ABCD的中心，E，F分别为BC，AD的中点，若将正方形ABCD沿对角线BD翻折，使得二面角的大小为，则此时的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用向量夹角求法及数量积的运算律求. 【详解】翻折后如图所示，易知，， 结合已知有，，，， 易知，，设正方形边长为2， 所以，， 所以的值为 故选：D 19．（24-25高二上·河南周口·月考）如图，在长方体中，，，为棱的中点，是线段上的动点，则下列式子的值为定值的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先计算的长度，得到，接着利用向量数量积的几何意义：等于在上的投影向量与的数量积，逐一分析选项ABCD即可得解. 【详解】由题意得，， ∴， ∴. A.如图，过点作于点， 对于A，由向量数量积的几何意义得 ， 由于点是动点， 所以不是定值，所以不是定值，故选项A错误； 对于B，， 由于点是动点，所以不是定值，所以不是定值，故选项B错误； 对于C， ，由于不是定值，故选项C错误； 对于D，由于向量在向量上的投影向量为，所以为定值. 故选：D. 20．（24-25高二上·云南曲靖·期末）已知空间四边形的四个顶点，，，的坐标分别为，，，，若为平面上的一个动点，则当，且，的夹角取得最小值时，（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意利用空间向量求直线与平面的夹角，可知，结合向量运算求模长. 【详解】由题意可得：， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 设直线与平面的夹角为， 则， 由题意可知：，则， 且， 所以． 故选：C. 【点睛】结论点睛：直线与平面内任一条直线的夹角的最小值即为直线与平面的夹角. 21．（24-25高二下·福建厦门·月考）在平行六面体中，且，，若，，则棱的最大值为（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】D 【分析】设，，，利用空间向量基本定理有，进而可得，利用判别式即可求解. 【详解】设，，，则有， 由，， 所以，， 所以 ， 即， 所以， 整理得， 所以， 则，解得，则棱的最大值为4. 故选：D. 二、多选题 22．（24-25高二上·辽宁抚顺·开学考试）已知，.若，则与的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】依题意利用空间向量平行的坐标表示，解方程即可得出结果. 【详解】根据题意，有且，得，解得，； 即可得，解得或； 因此与的值可以是或. 故选：AB 23．（24-25高二上·全国·课后作业）(多选)已知向量，，，则的值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】BC 【分析】由向量坐标，写出坐标，由向量模长公式建立等式，求得的值. 【详解】∵，，∴. ∵， ∴.∴，解得或. 故选：BC. 24．（23-24高二上·全国·课后作业）在下列条件中，使M与A，B，C不一定共面的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据各项中向量之间的线性关系，应用数形结合法判断M与A，B，C是否存在不共面的情况即可. 【详解】A：，如下图，，    由的关系不定，则不一定在面上，满足； B：，如下图，此时满足上式，      此时，M与A，B，C不共面，满足； C：因为，所以，所以M，A，B，C共面，不满足. D：，如下图，      此时，M与A，B，C不共面，满足； 故选：ABD 25．（24-25高二下·广东·月考）平行六面体的各棱长为1，且分别为，，，中点．若两两垂直，则（ ） A． B． C． D．四面体的体积为 【答案】ACD 【分析】设，，，用，，表示，，，由向量的线性运算及数量积的定义即可判断，，，由锥体的体积公式即可判断. 【详解】设，，，因为平行六面体的棱长为1， 所以，因为分别为，，，中点， 所以，， ， 因为两两垂直，所以，，， 因为，所以，所以，故正确； 因为， 所以， 所以，故错误； 因为， 所以， 所以，故正确； 因为，，， 平面，平面， 所以平面， ， ， 所以， 所以是直角三角形，面积为， 所以四面体的体积为，故正确. 故选：. 26．（24-25高二上·贵州黔东南·开学考试）如图，平行六面体的所有棱长均为2，，，两两所成夹角均为，点，分别在棱，上，且，，则（    ） A．，，，四点共面 B．在方向上的投影向量为 C． D．直线与所成角的余弦值为 【答案】ABD 【分析】在上取点，使得，可得四边形、四边形为平行四边形，求出，可判断A；对两边平方求出，再由投影向量的定义可判断B；由的线性运算后再平方可判断C；由向量的夹角公式计算可判断D. 【详解】对于A，在上取点，使得，连接， 因为，所以四边形为平行四边形， 可得， 因为，所以四边形为平行四边形， 可得，所以，可得，，，四点共面，故A正确； 对于B，因为平行六面体棱长均为2，、、两两所成夹角均为， 所以，则 ， 则， ，故B正确； 对于C，， ， 则，故C不正确； 对于D，故 ， 故直线与所成角的余弦值为，D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：求向量模长解题的关键点是先对所求向量进行线性运算，再平方计算. 三、填空题 27．（24-25高二下·全国·课后作业）设，是空间两个不共线的向量，已知，，，且A，B，D三点共线，则 ． 【答案】 【分析】根据A，B，D三点共线可得，即可得到关于的方程组，即可解出． 【详解】因为，， 则， 又，而A，B，D三点共线， 所以存在，使得， 即，所以，解得． 故答案为：． 28．（24-25高二上·吉林·月考）已知向量，，，当时，向量在向量上的投影向量为 ．（用坐标表示） 【答案】 【分析】先根据向量垂直得到方程，求出，再利用投影向量公式求出答案. 【详解】因为，所以，所以． 因为，所以在上的投影向量为． 故答案为： 29．（24-25高二下·甘肃张掖·期中）若，，为空间两两夹角都是120°的三个单位向量，则 . 【答案】3 【分析】应用向量数量积的运算律求向量的模即可. 【详解】由. 故答案为：3 30．（24-25高二上·广西来宾·月考）已知点、点，求线段AB的三等分点的坐标 【答案】或 【分析】根据空间向量线性运算的坐标表示，计算可得. 【详解】设是线段的两个三等分点, 则, 由,则， 故， 则， 故. 故答案为：或. 31．（24-25高二下·上海·月考）已知平行六面体 ，底面是正方形， ， ，则 的长度为 . 【答案】 【分析】利用向量线性运算，结合几何体特征确定与的线性关系，结合空间向量数量积的运算律及已知条件求的长度. 【详解】设， 则， ， ， 所以 . 所以. 故答案为： 32．（24-25高二下·福建漳州·期中）在平行六面体中，，，则与所成角的正弦值为 ． 【答案】 【分析】先利用基底表示向量，再利用向量的夹角公式和同角三角函数的平方关系即可求解. 【详解】由题意有，， 所以 ， ， 所以，又 ， 所以， 所以， 所以， 故答案为：. 33．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，平行六面体的所有棱长均为2，两两所成夹角均为，点分别在棱上，且，，则 ． 【答案】 【分析】设，连接，根据向量的线性运算法则，化简得到，，结合向量的数量积的运算公式，即可求解. 【详解】由平行六面体的所有棱长均为2，且两两所成夹角均为， 设，则 且， 如图所示，连接，由，， 可得， 所以. 故答案为：. 34．（24-25高二上·广东深圳·月考）在三棱锥中，与中点分别为，点为中点．若在上满足，在上满足，平面交于点，且，则 ． 【答案】 【分析】利用向量的线性运算，结合四点共面，即可得到结果. 【详解】 由题意得，， ∵，，，∴，，， ∴， ∵点四点共面， ∴，解得. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是根据空间向量的线性运算得到，利用四点共面可知，即可得到的值. 35．（24-25高二上·山东临沂·期中）设空间两个单位向量，与向量的夹角都等于，则等于 （，不重合）. 【答案】0 【分析】根据给定条件，可得，，由此可以求出，再由求得答案. 【详解】两个单位向量，与向量的夹角都等于， 则，又，， ，而，， 由，得，若，则，此时，点重合，不符合题意， 因此，，，所以. 故答案为：0 四、解答题 36．（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在空间中平移到，连接对应顶点，设分别是的中点，是上一点． (1)若为的中点，用向量法证明：； (2)若，问是否存在点使得，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）以为基底表示出，根据向量相等来证得. （2）设，利用基底表示出，通过计算得到，从而判断出不存在符合题意的点. 【详解】（1）当为的中点时， ， ， 所以． （2）设，则 ， 由于，， 所以 ， 即，故不存在点使得． 37．（24-25高二上·广东东莞·月考）如图，在底面ABCD为菱形的平行六面体中，M，N分别在棱上，且，且. (1)求证：共面； (2)当为何值时，. 【答案】(1)证明见解析 (2)当时， 【分析】（1）根据空间向量线性运算的几何表示可得，进而即得； （2）设，然后利用表示出，再利用向量的数量积为0可得答案. 【详解】（1）在平行六面体中，连接，如图， 因为， 所以， ， 所以，即且， 所以四边形为平行四边形，即共面； （2）当时，，理由如下， 设，且与、与、与的夹角均为， 因为底面为菱形，所以， ， , 若，则，即， 所以， 即，又， 所以，即，所以， 即时，. 38．（24-25高二上·河南平顶山·月考）如图.在平行六面体中. (1)如图1，已知，点是侧面的中心，试用向量表示下列向量：. (2)如图2，点分别是的中点，请选择恰当的基底向量，证明：平面平面. 【答案】(1)， (2)基底向量见解析，证明见解析 【分析】（1）结合图形，利用空间向量的线性运算即可得解； （2）利用空间向量的线性运算得到，，进而利用线面平行与面面平行的判定定理即可得证. 【详解】（1）因为，点是侧面的中心， 所以， . （2）以为基底， 则， ， ，， 所以，， 则，， 又平面平面平面. 同理平面，又平面， 所以平面平面. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$