空间向量与立体几何综合练习-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

空间向量与立体几何综合练习 一、选择题 1.已知向量ā=(-21,3)，万=(-1,1，x),若a与6垂直，则a+2b=() A.2 B.5√2 C.213 D.√26 2.如图，在正方体ABCD-AB,CD中，点M在线段AB上，点N在线段CC上，且 AM=MB,CN=2NC,则DB与MW所成角的余弦值为() D B B.6 c.5 D.3 21 21 21 21 3.棱长为2的正四面体ABCD中，点E是AD的中点，则BA.CE=() A.1 B.-1 C.5 D.-V5 4.已知直线1的一个方向向量为u=(1,0,1),平面α的一个法向量为=(0，-1,1，则1 与α所成角的正弦值为() A B.3 C.2 D.1 2 2 2 5.如图，空间四边形OABC中，OA=a,OB=五，OC=c,点N在OA上，且ON=NA,点M为 BC中点，则NM=() B 1a一1b+1三 24 C-381 D36-23 2 6.如图，M为四面体OABC的棱BC的中点，N为OM的中点，点P在线段AN上，且 AP=2PN,设0A=a,0B=b,0C=e,则0P=() M A.OP=La+L6+Ld B.Op=2a+6+ 366 31212 C.OP-3a-18 D.0m-2a+16- 6 6 126 7.在空间直角坐标系中，平面0的一个法向量为m=(0,1,0),平面B的一个法向量为 i=(0,-1,-1),则平面a与平面B的夹角为() A.3沉 4 c年 D. 6 8.已知平面a的一个法向量万=(-2，-2,1，点A-1,3,0)在平面a内，则点P(-2,1,4)到 平面a的距离为() A.10 B.1 C.5 D.10 3 3 二、多项选择题 9.若{a,b,c构成空间的一个基底则下列向量共面的是() A.a-b:b-c,c-a B.3a.a+b:a-b C.a+b:a-b:c D.2(a+b),a+b+c,c 10.已知直线1的一个方向向量为ā=(m,1,3),平面的一个法向量为b=（-2,n,1,则 下列说法正确的有() A.若/1a,则2m-n=3 B.若1⊥a,则2m-n=3 C.若ll/a,则mn+2=0 D.若1⊥a,则mn+2=0 11.如图，设动点P在棱长为1的正方体ABCD-AB,CD的对角线BD上， DP =2,当 D.B ∠APC为锐角时，入可以取() D C A B D D A. B.0 CI D. 3 2 4 三、填空题 12.已知向量a=(3,-2,3),6=(-1,3,-2),c=(7,0元)，若a,6,c共面，则2= 13.在平面直角坐标系xOy中，设A-√2，V2),B32,0),若沿直线1：y=x把平面直角 坐标系折成大小为0的二面角后，4B=3√2，则日的余弦值为 14.如图所示的多面体ABCDEF,其各个面都是边长为2的等边三角形，点P,Q分别为 棱AB,AD的中点，则CP.FO= 四、解答题 15. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD1/BC,AD⊥DC,平面 P4D1底面BCD.Q为4D的中点M为PC的中点PA=PD=2,BC=4D=1, CD=3 D B (1)求证：PQ⊥AB: (2)求平面PQB与平面MQB夹角的余弦值， 16.如图，在正三棱柱ABC-AB,C中，底面边长为2，侧棱长为√5，D是BC的中点. B D (1)证明：AB/∥平面ADC; (2)求直线A,B,与平面ADC,所成角的正弦值， 17.如图，在三棱锥P-ABC中，AC⊥BC,平面PAC⊥平面ABC, PA=PC=AC=2,BC=4,E,F分别是PC,PB的中点，记平面AEF与平面ABC 的交线为直线1. b A B (1)求证：直线1⊥平面PAC; (2)若直线1上存在一点Q(与B都在AC的同侧)，且直线PO与直线EF所成的角为 ，求平面PBQ与平面AEF所成角的余弦值. 4 18.如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD,PD=AD=5,点 E,F分别是棱PA,PC的中点 (1)证明：PB⊥平面EFD; (2)求平面EDF与平面ABCD的夹角的余弦值. 19.如图，在三棱锥P-ABC中，AB=BC=2√2，PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点. M B (1)证明：PO⊥平面ABC; (2)若点M在棱BC上，且二面角M-PA-C为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦 值 参考答案 1.答案：D 解析：由于a与万垂直，所以a.i=2+1+3r=0→r=-1,所以ā+26=(-4,3,1， 故a+26=V-42+32+12=V26, 故选D 2.答案：D 解析：设正方体ABCD-AB,CD的棱长为1， 以D为原点，以DA,DC,DD所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所示空间直角坐标系， D 则D0.0,0o,8Ll,N0,1写M20,M=（-12,DB= 孤例阿网-票即a网与w的金该道为号 DE MN2T' 21 故选D 3.答案：A 解析：CE=CA+AE,所以 BA.CE=BA.CA+AE=BA.CA+BA.AE=2×2×cos60°+2×1xcos120°=1. 故选：A 4.答案：A 解析：设1与α所成角的大小为0， 则sin0=kosa,= a:_0×1+0x-1+1×1_1 园 W1+1×V1+1 故1与α&所成角的正弦值为】 故选：A 5.答案：C 解析：依题意M,N分别是BC,OA的中点， 则NM=NA+AB+BM =104+0B-04+BC 2 oi+0+oc-0网 故选：C 6.答案：A 解析：M为四面体OABC的棱BC的中点，N为OM的中点， 故ow-0+号0c.oN-0w-5+ OP=OA+AP, 因为AP=2PN,所以AP-2AN, 0m=0+-0i+号=00-0列-+号丽-++g 3 6 故选：A 7.答案：C 解析：由题意得平面a与平面B夹角的余弦值为cosm,川=网闭2 m列√2 所以平面a与平面B的夹角为军 故选C 8.答案：A 解析：因为A-1,3,0)、P(-2,1,4), 所以AP=（-1,-2,4) 又平面a的一个法向量n=（-2,-2,1), 所以点P到a的距离d= nad_-刂×-2+-2+1×410 V12+(-2)2+(-22 故选：A 9.答案：ABD 解析：A中，a-i=-(石-c-(c-a,所以a-i,b-c,c-a共面，故A正确： B巾30-a+列+-列所以3aa+6a-6关面妆B正确 C中，假设a+b,a-b,C洪面，则存在非零实数x,y满足a+b=xa-+yc, 整理可得(x-1a-(x+1b+yc=0,故x-1=x+1=y=0, 不存在满足条件的实数x,故假设不成立，所以a+b,a-,C不共面，故C错误： D中，2(a+)=2a+b+c-2c,所以2a+),a+b+c,C共面，故D正确. 故选：ABD 10.答案：AD 解析：若1a,则a⊥6，故a.6=0,即-2m+n+3=0,化简得2m-n=3. 故选项A正确，选项C错误 m=-2λ 若1⊥a,则a/6,故存在实数入使得a=6,即1=2n,化简得mn+2=0. 3=λ 故选项B错误，选项D正确！ 故选：AD 11.答案：BD 解析：如图建立空间直角坐标系， 则D(0,0,0),A1,0,0),C(0,1,0),D,(0,0,1),B(1,1,0) 由图，DP=DD+D,P=DD,+2D,B,又DD=(0,0,1,D,B=(1l,-1), 则DP=(2,2,1-),即P(2,2,1-2), 则PA=(1-2,-元，元-1)，PC=(-元，1-2，入-1.因∠APC为锐角， 则cosP,P0)=-l-刘A-1-+(-I,0台3-4+1>0 (1-元)2+22+(2-1)2 台(2-1(3元-1)>0→元<1或2>1， 3 又由题可知ieo则久e0, 故选：BD. B D. 12.答案：5 解析：因为a,五，c共面，所以存在实数xy,使得c=xa+yb, 即(7,0，)=x(3,-2,3)+y(-1,3,-2), 7=3x-y 即0=-2x+3y,解得x=3,y=2,2=5. 2=3x-2y 故答案为：5 13.答案： 3 解析：在平面直角坐标系中，过点B作BC⊥1于点C, B衣 可知A011,A0=2,0B=3V2,BC=OC=3, 沿直线：y=x把平面直角坐标系折成大小为0的二面角后， 仍有A0⊥0C,BC⊥OC, 则0=(OA,CB), 由AB=A0+0C+CB=3W2, 可得1AO+0C+CB=18, 即4o+0c+C+2A0.0c+2A0.CB+20C.CB=18, 即22+32+32+0+2×2×3×c0s元-0）+0=18， 可得ea0-号 故答案为 3 14.答案：1 解析： 由条件可知此多面体为正八面体，故BF=AD,BFIIAD,则FB=DA, m.F0-B+FB+8M+40={cB+列(0-40 =C丽A0-CBAB-}a0-CiAB 、. ×2×2c0s120°-×2×2c0s60°-x2×2c0s120-2×2c0s120 4 2 4