【第三章 一次方程（组） 02讲 等式的基本性质】暑假小升初衔接2025-2026学年七年级上册数学（新版湘教版专用）

第三章 一次方程（组） 02讲 等式的基本性质 目录 【知识点1. 等式的基本性质】…………………………………………………… 1 【知识点2. 移项、去括号及去分母】…………………………………………… 3 【题型1. 等式的基本性质1】…………………………………………………… 5 【题型2. 等式的基本性质2】…………………………………………………… 6 【题型3. 将方程化成x=a的形式】……………………………………………… 7 【课后作业】………………………………………………………………………… 8 知识清单 1、等式的基本事实 1）等式两边可以交换。如果a=b，那么b=a。 2）相等关系可以传递。如果a=b，b=c，那么a=c。 2、等式的基本性质 1）等式的性质1：等式两边都加上或减去同一个数（或整式），等式两边仍然相等； 如果a=b，那么a±c=b±c 2）等式的性质2：等式两边都乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式两边仍然相等． 如果a=b，那么ac=bc ； 如果a=b，c≠0，那么 . 巩固基础 1．已知，则下列等式关系不正确的是（   ） A． B．2 C． D． 2．下列方程变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．下列等式的变形中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．如图，小明将等式进行变形，最后得到一个错误的结论，则下列说法正确的是（    ） A．第一步错误 B．第二步错误 C．第三步错误 D．三步都正确，原等式错误 5．若，则下列变形正确的是（　　） A． B． C． D． 6．根据等式的性质填空，并说明依据： (1)如果，那么___________； (2)如果，那么___________； (3)如果，那么___________； (4)如果，那么___________． 知识清单 3、移项 把方程中的某一项改变符号后，从等式的一边移到另一边，方程的这种变形叫作移项． 移项要变号. 4、去括号 上面运用乘法对加法的分配律，将方程中的括号去掉，方程的这种变形叫作去括号. 5、去分母 在上面例子中，在原方程的两边都乘各个分母的最小公倍数，从而将分母去掉，方程的这种变形叫作去分母. 巩固基础 1. 利用等式的基本性质，将下面的等式变形为（为常数）的形式． 直击考点 题型1：等式的基本性质1 例1．已知三个实数a，b，c，满足，则（    ） A． B． C． D． 例2．用“”“△”“○”表示三种不同的物体，它们的质量分别为a，b，c（a，b，c均为正数），现用天平称了两次，情况如图所示，则能正确表示天平从左到右变化过程的选项为（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 变式1．把方程变形为，其依据是（    ） A．有理数乘法法则 B．等式的性质1 C．等式的性质2 D．等式的性质1和等式的性质2 变式2．下列等式的性质中，与如图的情形具有相同意义的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 变式3．整式的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时对应的整式的值，则关于x的方程的解为（    ） 0 1 2 4 0 A． B． C． D． 题型2：等式的基本性质2 例1．若a，b是正整数，且满足，则下列a与b的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 例2．在物理中，某种物质的密度ρ，该物质组成的物体的质量m与它的体积V之间的关系如下：，去分母得，其变形依据是（   ） A．等式的性质1 B．等式的性质2 C．不等式的性质2 D．分式的基本性质 例3．若（都大于0），则（   ）． A． B． C． 变式1．已知.根据等式的性质，下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 变式2．下列方程变形，正确的是（   ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 变式3．已知，下列变形中不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 变式4．下列四个选项中，说法正确的是（　　） A．如果，那么 B．如果，那么 C．的意义是与的和的倍 D．如果，那么 变式5．如图，两个天平都平衡，则与4个“正方体”质量相等的“球”的个数为 个． 题型3：将方程化成x=a的形式 1. 利用等式的基本性质将方程化为的形式 课后作业 一、单选题 1．（24-25七年级下·吉林长春·期中）下列等式变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（24-25七年级下·河南南阳·期中）下列等式变形中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（2025·贵州毕节·一模）观察图①，若天平保持平衡，则在图②天平的右盘中需放入○的个数为（    ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 4．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）已知正整数a，b，c满足，，则的最大值与最小值的差为（   ） A．22 B．20 C．19 D．18 5．（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）下列运用等式的性质变形错误的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 6．（24-25七年级上·四川南充·期中）若a、b、c为有理数，则下列说法正确的是（   ） A．因为，所以 B．因为，所以 C．因为，所以 D．因为，所以 7．（24-25七年级上·山西运城·期末）下列运用等式基本性质的变形中，正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 8．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）运用等式的性质进行变形，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 9．（2024·安徽蚌埠·三模）若实数满足，则代数式的值为（    ）． A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 10．（23-24六年级上·山东威海·期末）整式的值随取值的变化而变化，下表是当取不同值时对应的整式的值，则关于的方程的解为（    ） 0 1 2 3 0 4 8 A． B． C． D． 二、填空题 11．（24-25七年级下·甘肃天水·期中）由，用含x的代数式表示y，得 ． 12．（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）已知方程，用含x的式子表示y，则 ． 13．（24-25七年级下·全国·随堂练习）用适当的数或整式填空，使所得结果仍是等式． （1）如果，那么 ； （2）如果，那么 ； （3）如果，那么 ； （4）如果，那么 ． 14．（24-25七年级上·福建莆田·期末）如图，标有相同字母的物体的质量相同，若的质量为20克，则当的质量为 克时，天平处于平衡． 15．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）已知， （1）若，则与的等量关系是 ． （2）若，则 ．（用含，的代数式表示） 16．（24-25七年级下·福建泉州·期中）整式的值随着x的取值的变化而变化，如表是当x取不同的值时对应的整式的值： x 0 1 2 3 0 4 8 则关于x的方程的解是 ． 17．（24-25七年级上·陕西安康·期末）已知，利用等式的性质比较m与n的大小关系：m n．（填“”“”或“”） 18．（24-25七年级上·四川自贡·期末）下面表示解方程的流程． ① ② 第①步变形的依据是 ； 19．（24-25七年级上·新疆巴音郭楞·期末）如图，用两种方法在两个天平的左右两边分别放入“■”“●”“▲”三种物体，两个天平都保持平衡若“■”与“●”的质量分别为x，y，则x，y之间的数量关系是 ． 20．（24-25七年级上·内蒙古乌兰察布·期末）下列变形：①如果，那么；②如果，那么；③如果那么；④如果，那么．其中正确的是 ．（填序号） 三、解答题 21. 利用等式的基本性质将方程化为的形式 22．（24-25七年级上·陕西安康·阶段练习）已知，若规定表示不超过的最大整数，例，请在此规定下求的值． 23．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知等式，你能比较和的大小吗？ 24．（2024七年级上·全国·专题练习）用适当的数或者式子填空，使所得结果仍是等式，并说明变形是根据等式的哪一条性质以及怎样变形的． (1)若，则 ， ； (2)若，则 ， ； (3)若，则 ， ； (4)若，则 ， ． 25．（2024七年级上·全国·专题练习）在下列各题的横线上填上适当的数或整式，使所得结果仍是等式，并说明根据的是等式的哪条基本性质及是怎样变形的． (1)如果，那么 ， 理由：根据 ， 在等式两边 ； (2)如果，那么 ， 理由：根据 ， 在等式两边 ； (3)如果，那么 ， 理由：根据 ， 在等式两边 ． 26．（2024七年级上·浙江·专题练习）在将等式变形时，小明的变形过程如下： 因为， 所以，（第一步） 所以．（第二步） (1)上述过程中，第一步的依据是什么？ (2)小明第二步的结论正确吗？请说明原因． 27．（2025·安徽安庆·模拟预测）今年4月24日是第十个“中国航天日”，以“海上生明月，九天揽星河”为主题，某校以此来激励同学们参加航空航天知识学习，积极参加学校飞行社团的学习．截止4月底，参加“固定翼”社团的人数比去年同期增加，参加“旋翼”社团的人数比去年同期增加 ，设去年4月底参加“固定翼”社团学习的有人，“旋翼”社团学习的有人． (1)今年参加“固定翼”和“旋翼”社团的总人数为_____人（用含，的代数式表示）； (2)若今年参加“固定翼”和“旋翼”社团的总人数比去年增加，求的值． 28．（24-25七年级下·全国·随堂练习）老师在黑板上写了一个等式：．王聪说：“．”刘敏说：“不一定，当时，这个等式也可能成立．”你认为他俩的说法正确吗？用等式的性质说明理由． 18 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 一次方程（组） 02讲 等式的基本性质 目录 【知识点1. 等式的基本性质】…………………………………………………… 1 【知识点2. 移项、去括号及去分母】…………………………………………… 3 【题型1. 等式的基本性质1】…………………………………………………… 5 【题型2. 等式的基本性质2】…………………………………………………… 6 【题型3. 将方程化成x=a的形式】……………………………………………… 7 【课后作业】………………………………………………………………………… 8 知识清单 1、等式的基本事实 1）等式两边可以交换。如果a=b，那么b=a。 2）相等关系可以传递。如果a=b，b=c，那么a=c。 2、等式的基本性质 1）等式的性质1：等式两边都加上或减去同一个数（或整式），等式两边仍然相等； 如果a=b，那么a±c=b±c 2）等式的性质2：等式两边都乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式两边仍然相等． 如果a=b，那么ac=bc ； 如果a=b，c≠0，那么 . 巩固基础 1．已知，则下列等式关系不正确的是（   ） A． B．2 C． D． 【分析】本题考查等式的性质，解题的关键是掌握：等式的性质1：等式的两边都加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；等式的性质2：等式的两边都乘同一个数，等式仍成立，等式的两边都除以同一个不等于的数，结果仍相等．据此依次对各选项进行分析即可． 【详解】解：A．∵， ∴，原等式关系正确，故此选项不符合题意； B．∵， ∴，原等式关系正确，故此选项不符合题意； C．∵， ∴，原等式关系不正确，故此选项符合题意； D．∵， ∴，原等式关系正确，故此选项不符合题意． 故选：C． 2．下列方程变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【分析】本题主要考查了等式的性质，熟知等式的性质是解题的关键．根据等式两边同时加上或减去同一个数或整式，等式仍然成立；等式两边同时乘以一个数或式子等式仍然成立；等式两边同时除以一个不为零的数字或式子等式仍然成立，逐项判断即可． 【详解】解：A、若，则，原式变形错误，不符合题意； B、若，则，原式变形错误，不符合题意； C、若，则，原式变形正确，符合题意； D、若，则，原式变形错误，不符合题意； 故选：C． 3．下列等式的变形中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【分析】本题考查了等式的性质，熟记并理解等式的性质是解题的关键． 根据等式的性质逐项判断即可． 【详解】A：若，则，故该选项错误，不符合题意； B：若，则，故该选项正确，符合题意； C：若，则，故该选项错误，不符合题意； D：若，则，故该选项错误，不符合题意． 故选：B． 4．如图，小明将等式进行变形，最后得到一个错误的结论，则下列说法正确的是（    ） A．第一步错误 B．第二步错误 C．第三步错误 D．三步都正确，原等式错误 【分析】本题考查等式的性质，根据等式的性质，等式的两边同时加上或减去同一个整式，等式的值不变，等式的两边同时除以一个不等于0的整式，等式的值不变．据此进行作答即可． 【详解】解：第一步等式两边同时加，第二步合并同类项，都是正确的， 第三步两边同时除以a是错误的，因为a可能等于零． 正确的做法是移项得，解得，故选：C． 5．若，则下列变形正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查了等式的性质．解题的关键是掌握等式的性质：性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．根据等式的性质，可得答案． 【详解】解：∵， ∴，，，， 故选：B． 6．根据等式的性质填空，并说明依据： (1)如果，那么___________； (2)如果，那么___________； (3)如果，那么___________； (4)如果，那么___________． 【分析】本题考查了等式的性质，熟知等式的性质是解决本题的关键． （1）根据等式的性质1，即可解答； （2）根据等式的性质1，即可解答； （3）根据等式的性质2，即可解答； （4）根据等式的性质2，即可解答． 【详解】（1）解：如果，那么，根据等式的性质1，等式两边加，结果仍相等； （2）解：如果，那么，根据等式的性质1．等式两边减，结果仍相等； （3）解：如果，那么，根据等式的性质2，等式两边乘，结果仍相等； （4）解：如果，那么，根据等式的性质2，等式两边除以2，结果仍相等． 知识清单 3、移项 把方程中的某一项改变符号后，从等式的一边移到另一边，方程的这种变形叫作移项． 移项要变号. 4、去括号 上面运用乘法对加法的分配律，将方程中的括号去掉，方程的这种变形叫作去括号. 5、去分母 在上面例子中，在原方程的两边都乘各个分母的最小公倍数，从而将分母去掉，方程的这种变形叫作去分母. 巩固基础 1. 利用等式的基本性质，将下面的等式变形为（为常数）的形式． 解：两边加5，得， 解得 解：两边除以，得， 解得 解：两边减2，得， ， 两边除以，得， 得 解：两边加2，得， ， 两边除以4，， 解得 解：方程两边同时减4，得：， 得： 解：方程两边同时加3，得：， 化简，得： 方程两边同时乘，得 解：两边加2，得， 即 解：两边减，得， 即 解：两边加，得， 两边减1，得 解：两边乘2，得 解：两边除以5，得 解：两边除以，得 解：两边减，得， 两边加8，得， 两边除以2，得 解：方程的两边都减，得， 方程的两边都除以，得 解：方程的两边都减，得， 方程的两边都乘，得 直击考点 题型1：等式的基本性质1 例1．已知三个实数a，b，c，满足，则（    ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了不等式的性质以及整式的性质．根据，可整理得到，，再结合即可得到，． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 故选：C． 例2．用“”“△”“○”表示三种不同的物体，它们的质量分别为a，b，c（a，b，c均为正数），现用天平称了两次，情况如图所示，则能正确表示天平从左到右变化过程的选项为（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【分析】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键：①等式的性质1：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等，即：如果，那么；②等式的性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，即：如果，那么；如果，那么． 根据题意以及左右两图的含义即可直接得出答案． 【详解】解：由题意可知： 左图的含义为：， 右图的含义为：， 能正确表示天平从左到右变化过程的等式变形为： 如果，那么， 故选：C． 变式1．把方程变形为，其依据是（    ） A．有理数乘法法则 B．等式的性质1 C．等式的性质2 D．等式的性质1和等式的性质2 【分析】本题主要考查了等式性质，熟练掌握等式的性质是关键． 等式性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；等式性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数（或式子），结果仍相等，据此计算即可． 【详解】解： 则 即，其依据是等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等， 故选：B． 变式2．下列等式的性质中，与如图的情形具有相同意义的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【分析】本题主要考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键．根据等式的性质即可得到正确答案． 【详解】解：由图可知，等式两边同时加上同一个数或式，等式仍然成立， 故选A． 变式3．整式的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时对应的整式的值，则关于x的方程的解为（    ） 0 1 2 4 0 A． B． C． D． 【分析】本题考查了解一元一次方程，将整式作为整体看成未知数是解题的关键． 由，解得，根据表格中数据即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴关于的方程的解为， 故选：A． 题型2：等式的基本性质2 例1．若a，b是正整数，且满足，则下列a与b的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了等式的性质. 计算等式判断即可. 【详解】∵ ∴ ∴ 故选：B. 例2．在物理中，某种物质的密度ρ，该物质组成的物体的质量m与它的体积V之间的关系如下：，去分母得，其变形依据是（   ） A．等式的性质1 B．等式的性质2 C．不等式的性质2 D．分式的基本性质 【分析】本题考查了等式的性质，本题主要考查了等式的基本性质，解题的关键是熟练掌握， 等式基本性质1：等式两边同加上(或减去)同一个数或同一个整式，等式仍然成立；等式性质2：等式的两边同时乘同一个式子，等式仍成立；等式性质3： 等式的两边同时除同一个式子(不为零)，等式仍成立． 【详解】解：在物理中，某种物质的密度ρ，该物质组成的物体的质量m与它的体积V之间的关系如下：，去分母得，其变形依据是等式的两边同时乘以一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，故满足等式的性质2． 故选B 例3．若（都大于0），则（   ）． A． B． C． 【分析】本题主要考查了等式的性质，根据题意可得到，再由都大于0即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵都大于0， ∴，故选：A． 变式1．已知.根据等式的性质，下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查等式的性质，做题的关键是熟练掌握等式的性质． 根据等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、由，可得，原式错误，不符合题意； B、由，可得，原式正确，符合题意； C、由，可得，原式错误，不符合题意； D、由，可得当，原式错误，不符合题意； 故选：B． 变式2．下列方程变形，正确的是（   ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【分析】根据解一元一次方程的方法，等式的性质对各选项进行判断即可．本题考查了解一元一次方程，等式的性质，熟练掌握解一元一次方程的方法，等式的性质是解题的关键． 【详解】解：A、，方程两边同时除以，得，故选项A不符合题意； B、，去括号，得，故选项B符合题意； C、，不等式两边同时加上3，得，故选项C不符合题意； D、，去分母，得，去括号，得，故选项D不符合题意． 故选：B 变式3．已知，下列变形中不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了等式的性质；根据等式的性质对各选项进行判断即可． 【详解】解：A．若，则，正确，不符合题意； B．若，则，正确，不符合题意； C．若，则，变形不一定正确，符合题意； D．若，则，正确，不符合题意． 故选：C． 变式4．下列四个选项中，说法正确的是（　　） A．如果，那么 B．如果，那么 C．的意义是与的和的倍 D．如果，那么 【分析】本题考查了代数式的意义，代数式求值，等式的基本性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据代数式的意义，代数式求值，等式的基本性质逐项判断即可． 【详解】解：A、如果，那么，故A选项错误； B、如果，那么，故B选项正确； C、的意义是的倍与的和，故C选项错误； D、如果，即，那么，故D选项错误； 故选：B． 变式5．如图，两个天平都平衡，则与4个“正方体”质量相等的“球”的个数为 个． 【分析】本题主要等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题关键． 设球的质量为x，圆柱的质量为y，正方体的质量为a，根据图形列出等式，再根据等式的性质将等式变形即可得出答案． 【详解】解：设球的质量为x，圆柱的质量为y，正方体的质量为a， 由第一幅图形可知，， 由第二幅图形可知，， 等式两边同时乘以2得， ∴，即与与4个“正方体”质量相等的“球”的个数为2． 故答案为：2． 题型3：将方程化成x=a的形式 1. 利用等式的基本性质将方程化为的形式 解：方程两边同时加上3，得： 方程两边同时除以5，得：， 解：方程两边同时加上2，得：， ， 方程两边同时减－2x，得：， 方程两边同时除以，得： 解：方程两边同时减去，即， ∴ 解：方程两边同时除，即， 解：方程两边同时减去3，即， ， 方程两边同时除以，即 解：去括号得：， 方程两边同时加上6，得：， 即：， 方程两边同时减去x，得：， 即 解：方程两边同时乘以12，得：， 去括号得：， 化简，得：， 方程两边同时减去7，得， 方程两边同时除以7，得： 解：等式两边同时减6得，， 即， 等式两边同时乘以得，， 即 解：两边都加4， 得 解：两边都减2 得 两边都乘以2 得 解：两边都减1 得 两边都除以3 得 解：两边都加2 得 两边都除以4 得 解：两边同时减去，得 解得 解：两边同乘，得 解得 解：两边同时减去得 两边同除以得 解得 解：两边减去得 ， 解得 解：两边同除以，得 解： 两边同乘，得 课后作业 一、单选题 1．（24-25七年级下·吉林长春·期中）下列等式变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【分析】本题考查了等式的基本性质，根据等式的基本性质逐项判断即可． 【详解】解：A．若，则，故原等式变形错误，不符合题意； B． 若，当时，则，故原等式变形错误，不符合题意； C． 若，则，故原等式变形正确，符合题意； D． 若，则，故原等式变形错误，不符合题意； 故选：C． 2．（24-25七年级下·河南南阳·期中）下列等式变形中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的性质逐一判断即可，掌握等式的性质是解题的关键． 【详解】解：A、若，则，故选项不符合题意； B、若，则，故选项不符合题意； C、若，则，故选项不符合题意； D、若，则，正确，故选项符合题意； 故选：D． 3．（2025·贵州毕节·一模）观察图①，若天平保持平衡，则在图②天平的右盘中需放入○的个数为（    ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【分析】考查了等式的性质的应用．性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 设△的质量为x，□的质量为y，○的质量为z，根据图1列出等式，然后由等式的性质参照图2进行答题． 【详解】解：设△的质量为x，□的质量为y，○的质量为z， 则，即． 所以． 所以 在图2天平的右盘中需放入6个○才能使其平衡． 故选：B． 4．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）已知正整数a，b，c满足，，则的最大值与最小值的差为（   ） A．22 B．20 C．19 D．18 【分析】本题主要考查了等式的性质，把两个已知条件式相加推出，则当a取最大值时，有最小值，当a取最小值时，有最大值，根据a、b、c都是正整数，可确定a的最小值为1，a的最大值为19，据此求出的最大值与最小值即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴当a取最大值时，有最小值，当a取最小值时，有最大值， ∵a、b、c都是正整数， ∴a的最小值为1，a的最大值为19， ∴的最大值为，的最小值为， ∴的最大值与最小值的差为，故选：D． 5．（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）下列运用等式的性质变形错误的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的性质，逐一进行判断即可．熟练掌握等式的基本性质是解题关键． 【详解】解：A、由，得，变形正确，故选项A不符合题意； B、由，得，变形正确，故选项B不符合题意； C、由，得，变形正确，故选项C不符合题意； D、由，只有，才成立，故选项D变形错误，符合题意． 故选：D． 6．（24-25七年级上·四川南充·期中）若a、b、c为有理数，则下列说法正确的是（   ） A．因为，所以 B．因为，所以 C．因为，所以 D．因为，所以 【分析】本题考查了等式的基本性质，“如果，那么” ，“如果，那么” ，“如果，那么（）”，根据此性质进行逐一判断即可求解，掌握性质是解题的关键． 【详解】解：因为，所以当时，，结论错误，故不符合题意； B.因为，所以，结论错误，故不符合题意； C.因为，所以，结论正确，故符合题意； D.因为，所以或，结论错误，故不符合题意； 故选：C． 7．（24-25七年级上·山西运城·期末）下列运用等式基本性质的变形中，正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【分析】本题主要考查了等式的性质，掌握等式的基本性质成为解题的关键． 利用等式的基本性质逐项判断即可． 【详解】解：A． 如果，那么，故本选项错误，不符合题意； B． 如果，那么，故本选项正确，符合题意； C． 如果，那么，故本选项错误，不符合题意； D． 如果，那么，故本选项错误，不符合题意． 故选B． 8．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）运用等式的性质进行变形，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【分析】本题主要考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键； 由题意可根据等式的性质进行排除选项． 【详解】解：A、若，则，原变形错误，故不符合题意； B、若，则或，原变形错误，故不符合题意； C、若，则，原变形错误，故不符合题意； D、若，则，该变形正确，符合题意； 故选：D． 9．（2024·安徽蚌埠·三模）若实数满足，则代数式的值为（    ）． A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【分析】本题主要考查了代数式求值、等式的性质等知识点，根据等式的性质对等式进行变形成为解题的关键． 由可得，然后对进行变形并将代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选D． 10．（23-24六年级上·山东威海·期末）整式的值随取值的变化而变化，下表是当取不同值时对应的整式的值，则关于的方程的解为（    ） 0 1 2 3 0 4 8 A． B． C． D． 【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义，等式的性质等知识．根据表格得到当时，，再根据等式性质进行变形即可求解． 【详解】解：由表格得当时，， 等式两边同乘，得， 所以关于的方程的解为． 故选：A． 二、填空题 11．（24-25七年级下·甘肃天水·期中）由，用含x的代数式表示y，得 ． 【分析】根据等式的性质计算判断即可． 本题考查了等式的性质，熟练掌握性质，正确变形是解题的关键． 【详解】解：由方程可得到 ． 故答案为： 12．（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）已知方程，用含x的式子表示y，则 ． 【分析】本题考查了方程的定义、等式的性质，正确运用等式的性质是解题的关键．根据等式的性质即可求解． 【详解】解：， ， ．故答案为：． 13．（24-25七年级下·全国·随堂练习）用适当的数或整式填空，使所得结果仍是等式． （1）如果，那么 ； （2）如果，那么 ； （3）如果，那么 ； （4）如果，那么 ． 【分析】本题考查了等式的基本性质，根据等式的基本性质逐项判断即可，解题的关键是正确理解等式性质：、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；、等式的两边同时乘以或除以同一个不为数或字母，等式仍成立． 【详解】解：（）如果，根据等式的性质：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式，那么； （）如果，根据等式的性质：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式，那么； （）如果，根据等式的性质：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式，那么； （）如果，根据等式的性质：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式，那么； 故答案为：；；；． 14．（24-25七年级上·福建莆田·期末）如图，标有相同字母的物体的质量相同，若的质量为20克，则当的质量为 克时，天平处于平衡． 【分析】本题主要考查了等式的性质，由题意得，，则，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∵的质量为20克， ∴的质量为10克， 故答案为：10． 15．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）已知， （1）若，则与的等量关系是 ． （2）若，则 ．（用含，的代数式表示） 【分析】本题考查了等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键． （1）根据题意列出等式，然后利用等式的性质即可得出答案； （2）根据题意列出等式，然后利用等式的性质即可得出答案． 【详解】解：（1）∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16．（24-25七年级下·福建泉州·期中）整式的值随着x的取值的变化而变化，如表是当x取不同的值时对应的整式的值： x 0 1 2 3 0 4 8 则关于x的方程的解是 ． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解知识点，掌握等式的性质成为解题的关键．将变形为，观察表格数据可得答案． 【详解】解：∵ ， ∴， 由表可知，当时，， ∴关于x的方程的解是． 故答案为：． 17．（24-25七年级上·陕西安康·期末）已知，利用等式的性质比较m与n的大小关系：m n．（填“”“”或“”） 【分析】本题考查了等式的性质，以及作差法比较大小，解题的关键在于理解两个数的差大于0，被减数大于减数；两个数的差等于0，被减数和减数相等；两个数的差小于0，被减数小于减数．把等式变形为m减n等于多少的形式，再进行判断，即可解题． 【详解】解：， ， ， ， ， ，故答案为：． 18．（24-25七年级上·四川自贡·期末）下面表示解方程的流程． ① ② 第①步变形的依据是 ； 【分析】本题主要考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键．根据等式的性质进行判断即可． 【详解】解：两边同时加上或减去一个数，等式仍然成立， 故第①步变形的依据是等式的性质1． 故答案为：等式的性质1． 19．（24-25七年级上·新疆巴音郭楞·期末）如图，用两种方法在两个天平的左右两边分别放入“■”“●”“▲”三种物体，两个天平都保持平衡若“■”与“●”的质量分别为x，y，则x，y之间的数量关系是 ． 【分析】本题考查了等式的性质，首先设“▲”的质量是，根据两个天秤可得两个等式，，等量代换可得与的关系． 【详解】解：设“▲”的质量是， 根据第一个天秤可得：， 根据第二个天秤可得：，即 把代入， 得到：， 故答案为：． 20．（24-25七年级上·内蒙古乌兰察布·期末）下列变形：①如果，那么；②如果，那么；③如果那么；④如果，那么．其中正确的是 ．（填序号） 【分析】本题考查了等式的基本性质，正确掌握等式的性质是解题的关键．根据等式的性质逐项分析即可． 【详解】解：①如果，那么当时，，故①不正确； ②如果，那么，故②正确； ③如果那么，故③正确； ④如果，那么，故④正确． 故答案为：②③④． 三、解答题 21. 利用等式的基本性质将方程化为的形式 解：两边同减1，得：， ， 两边同除以，得： ， ， 解： 两边同除以，得：， ， 解：两边同除以，得： 解得： 解：化简得： 两边同除以，得： 解：两边同加上5，得： ， 化简，得： ， 两边同乘，得： ， 解得 解：两边同加上2，得： ， 化简，得： ， 两边同除以4，得： ， 解得 解：两边都减，得 ， 两边都除以，得 解：两边都加，得 ， 两边都除以，得 解：两边同时加上4，得 解：两边同时除以，得 解：方程两边同加上10，得， 两边同时除以5，得 解：两边同时减去1，得， 两边同时除以3，得 解：方程两边减2x，得， 解：方程两边同加上3，得 方程两边同乘2，得 解：，即， ， 解得 解：方程两边同加上5，得 方程两边同乘，得 解得 解：方程两边同减2，得，， 方程两边同乘－2，得， 解得 解：两边同时加5，得 解：两边同时加4，得， 两边同时除以2，得 解：两边同时加，得，两边同时除以3，得 解：两边同时加2，得， 两边同时乘，得 解：等式两边同时减去，得： 化简，得： 等式两边同时除以，得： 解：等式两边同时加，得： 化简，得： 两边同时除以5，得： 解：方程两边都加上7，得，即 方程两边同时除以4得： 22．（24-25七年级上·陕西安康·阶段练习）已知，若规定表示不超过的最大整数，例，请在此规定下求的值． 【分析】本题考查了新定义的运算，等式的性质．由已知利用等式的性质求得，再根据规定求得的值即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴． 23．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知等式，你能比较和的大小吗？ 【分析】此题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解本题的关键．根据等式的性质进行变形，最后得到m与n的差，根据差的正负即可进行判断． 【详解】解：能，理由： 等式两边同时加4，得， 等式两边同时减去，得， 等式两边同时除以3，得， ∴． 24．（2024七年级上·全国·专题练习）用适当的数或者式子填空，使所得结果仍是等式，并说明变形是根据等式的哪一条性质以及怎样变形的． (1)若，则 ， ； (2)若，则 ， ； (3)若，则 ， ； (4)若，则 ， ． 【分析】此题主要考查了等式的基本性质． （1）根据等式的性质1，等式两边同时减5（或加）； （2）根据等式的性质2，等式两边同除以（或同乘）； （3）根据等式的性质1，等式两边同时加； （4）根据等式的性质2，等式两边同乘3． 【详解】（1）解：若，则， 根据等式的性质1，等式两边同时减5， 故答案为：，根据等式的性质1，等式两边减5； （2）解：若，则， 根据等式的性质2，等式两边除以， 故答案为：，根据等式的性质2，等式两边除以； （3）解：，则， 根据等式的性质1，等式两边加， 故答案为：，根据等式的性质1，等式两边加； （4）解：，则， 根据等式的性质2，等式两边乘3， 故答案为：18，根据等式的性质2，等式两边乘3． 25．（2024七年级上·全国·专题练习）在下列各题的横线上填上适当的数或整式，使所得结果仍是等式，并说明根据的是等式的哪条基本性质及是怎样变形的． (1)如果，那么 ， 理由：根据 ， 在等式两边 ； (2)如果，那么 ， 理由：根据 ， 在等式两边 ； (3)如果，那么 ， 理由：根据 ， 在等式两边 ． 【分析】本题考查等式的基本性质，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键． （1）根据等式的基本性质1即可解答； （2）根据等式的基本性质2即可解答； （3）根据等式的基本性质1即可解答． 【详解】（1）解：如果，那么， 理由：根据等式的基本性质1， 在等式两边都加5； 故答案为：8，等式的基本性质1，都加5； （2）解：如果，那么， 理由：根据等式的基本性质2， 在等式两边都除以； 故答案为：－4，等式的基本性质2，都除以； （3）解：如果，那么， 理由：根据等式的基本性质1， 在等式两边都减． 故答案为：7，等式的基本性质1，都减． 26．（2024七年级上·浙江·专题练习）在将等式变形时，小明的变形过程如下： 因为， 所以，（第一步） 所以．（第二步） (1)上述过程中，第一步的依据是什么？ (2)小明第二步的结论正确吗？请说明原因． 【分析】此题考查了等式性质的应用能力． （1）运用等式的性质1进行求解； （2）根据等式的性质2进行解答． 【详解】（1）解：∵， ∴根据等式的性质1，两边都加上， 得， ∴第一步的依据是：等式的性质1； （2）解：小明第二步的结论不正确，理由如下： ∵根据等式的性质2，等式两边同时除以不为0的两个数，等式仍然成立， ∴当时，等式的两边都除以x，等式不成立， ∴小明第二步的结论不正确． 27．（2025·安徽安庆·模拟预测）今年4月24日是第十个“中国航天日”，以“海上生明月，九天揽星河”为主题，某校以此来激励同学们参加航空航天知识学习，积极参加学校飞行社团的学习．截止4月底，参加“固定翼”社团的人数比去年同期增加，参加“旋翼”社团的人数比去年同期增加 ，设去年4月底参加“固定翼”社团学习的有人，“旋翼”社团学习的有人． (1)今年参加“固定翼”和“旋翼”社团的总人数为_____人（用含，的代数式表示）； (2)若今年参加“固定翼”和“旋翼”社团的总人数比去年增加，求的值． 【分析】本题主要考查了列代数式，等式的性质，正确求出今年参加“固定翼”和“旋翼”社团的总人数是解题的关键． （1）分别求出今年参加“固定翼”和“旋翼”社团的人数，二者求和即可得到答案； （2）根据题意可得，据此求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，今年参加“固定翼”社团的人数为人，今年参加“旋翼”社团的人数为人， ∴今年参加“固定翼”和“旋翼”社团的总人数为人； （2）解：由题意得，， ∴， ∴， ∴． 28．（24-25七年级下·全国·随堂练习）老师在黑板上写了一个等式：．王聪说：“．”刘敏说：“不一定，当时，这个等式也可能成立．”你认为他俩的说法正确吗？用等式的性质说明理由． 【分析】本题考查了等式的基本性质，利用等式的基本性质即可求解，利用讨论得出是解题的关键． 【详解】解：王聪的说法错误，刘敏的说法正确， 理由如下：当时，为任意数； 当时，． 18 学科网（北京）股份有限公司 $$