【第三章 一次方程（组） 01讲 等量关系和方程】暑假小升初衔接2025-2026学年七年级上册数学（新版湘教版专用）

第三章 一次方程（组） 01讲 等量关系和方程 目录 【知识点1. 方程及方程的解】…………………………………………………… 1 【知识点2. 一元一次方程】……………………………………………………… 2 【题型1. 方程及解的辨析】……………………………………………………… 4 【题型2. 一元一次方程及解的辨析】…………………………………………… 4 【题型3. 列方程】………………………………………………………………… 5 【题型4. 方程求参问题】………………………………………………………… 6 【课后作业】………………………………………………………………………… 7 知识清单 1、方程及方程的解 1）方程的定义：含有未知数的表示等量关系叫作方程． 注：在这一概念中要抓住方程定义的两个要点 ①等式；②含有未知数． 2）方程的解：一般地，使方程左、右两边的值相等的未知数的值 求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值的过程，叫作解方程． 规律方法总结：无论是给出方程的解求其中字母系数，还有判断某数是否为方程的解，这两个方向的问题，一般都采用代入计算是方法． 巩固基础 1．下列等式中，是方程的是（   ） A． B． C． D． 2．在①；②；③；④；⑤中，方程共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．下列各式是方程的有（   ） （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8） A．（1）（2）（4）（5）（8） B．（1）（2）（5）（7）（8） C．（1）（4）（5）（7）（8） D．8个都是 4．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中是方程的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．是下列哪个方程的解（   ） A． B． C． D． 6．下列方程中，解为的是（　　） A． B． C． D． 7．下列是方程的解的是（    ） A． B． C． D． 知识清单 2、一元一次方程 一元一次方程：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程． 3、方程的解：对于含有一个未知数x的方程，若x用一个数c代入能使方程左、右两边的值相等，这个数c就是这个方程的一个解，习惯上记作x=c. 一元一次方程的通常形式是ax+b=0（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）．这里a是未知数的系数，b是常数，x的次数必须是1． 一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0． 一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式． 巩固基础 1．下列四个方程中，是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．下列方程是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 3．下列式子中，是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 4．下列各式：①；②：③；④；⑤中，是一元一次方程有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．下列方程是一元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 6．下列方程为一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 7．下列是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 8．下列方程中是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 直击考点 题型1：方程及解的辨析 例1．下列式子不是方程的是（   ） A． B． C． D． 例2．下列各式中，属于方程的是（   ） A． B． C． D． 例3．下列式子是方程的是（    ） ①；②；③；④；⑤． A．②③⑤ B．①②③ C．②③④ D．②⑤ 变式1．下列各式中①，②，③，④，⑤，⑥．其中是方程的有（   ） A．①②④⑤ B．②③⑤⑥ C．②④⑤⑥ D．①②⑤⑥ 变式2．下面说法正确的是（ ）． A．方程的解是5 B．是方程 C．等式一定是方程 D．方程一定是等式 变式3．是下列哪个方程的解（    ） A． B． C． D． 变式4．下列方程中，解为的是（　　） A． B． C． D． 题型2：一元一次方程及解的辨析 例1．下列各式中是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 例2．下列方程是一元一次方程的是（） A． B． C． D． 例3．下列各式中，一元一次方程的个数有（   ） ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式1．下列各式中，是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 变式2．下列方程①；②；③；④；⑤；⑥．其中，一元一次方程的个数是（   ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 变式3．下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是一元一次方程的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 变式4． 方程 的解．（填“是”或“不是”） 题型3：列方程 例1．宋元时期，中国数学家创立了“天元术”，用“天元”表示未知数．首先要“立天元一”，相当于“设未知数x”，再根据问题给出的条件列出两个相等的代数式，进而得到一个等式．“天元术”指的是我们所学的（    ） A．函数 B．有理数 C．代数式 D．方程 例2．列等式表示：“的一半与10的和等于8”，下列正确的是（   ） A． B． C． D． 变式1．根据下列条件能列出方程的是（   ） A．a与5的和的3倍 B．甲数的3倍与乙数的2倍的和 C．a与b的差的 D．一个数的5倍是18 变式2．学校体育组有学生41人参加了篮球队或足球队，其中只参加篮球队的学生人数是只参加足球队的学生人数的1.5倍，两队都参加的有8人，设参加足球队的学生人数有x人，则下列方程中正确的是（    ） A． B． C． D． 变式3．在一次植树活动中，甲班植树的棵数比乙班多，乙班植树的棵数比甲班的一半多10棵．设乙班植树棵． (1)列两个不同的含的式子来表示甲班植树的棵数； (2)根据题意列出含未知数的方程； (3)检验乙班、甲班植树的棵数是不是分别为25棵和35棵． 题型4：方程求参问题 例1．若是关于x的一元一次方程 的解，则 的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 例2．若是方程的根，则的值为（   ） A．2024 B．2026 C．2028 D．2030 例3．如果是方程的解，则的值为 ． 变式1．如果关于x的方程无解，那么m的取值范围是（    ） A． B． C． D．任意实数 变式2．若关于的方程的解是，则a，b的关系为（   ） A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．乘积为-1 变式3．已知是关于的方程的解，则 ． 变式4．在方程中，已知，则 ． 变式5．如果关于的方程无解，那么实数 ． 课后作业 一、单选题 1．（24-25七年级下·福建泉州·期中）若是关于x的一元一次方程，则m等于（　　） A．2 B．0 C． D． 2．（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）已知3是关于的方程的解，则的值是（    ） A． B．12 C．14 D． 3．（24-25七年级下·山西临汾·阶段练习）若是方程的解，则的值为（    ） A． B．7 C． D．5 4．（24-25七年级上·广东广州·期末）若是关于x的方程的解，则a的值为（    ） A．2 B．0 C． D． 5．（24-25七年级下·四川眉山·阶段练习）若是关于x的一元一次方程的解，则m的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 6．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）如果方程是关于x的一元一次方程，那么m的值是（    ） A．0 B．2 C．     D．1 7．（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）下列选项中是一元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 8．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）下列方程中，是一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 9．（2025·湖南岳阳·模拟预测）关于的一元一次方程的解为，则的值为（   ） A． B． C． D． 10．（24-25七年级下·甘肃天水·阶段练习）下列一元一次方程的解是的是（  ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（2025·贵州遵义·三模）若是关于x的一元一次方程，则k的值不可能是 ． 12．（24-25七年级下·四川宜宾·期末）如果关于的方程是一元一次方程，则 ． 13．（24-25六年级上·上海·阶段练习）若关于的方程是一元一次方程，则 ． 14．（2025·四川广安·二模）已知是关于的一元一次方程的解，则的值为 ． 15．（24-25七年级下·山西临汾·期中）关于的整式与的值随取值的变化而变化，下表是当取不同值时对应的与的值 0 1 2 3 1 3 5 则关于的方程的解为 ． 16．（24-25七年级下·重庆·期中）若关于的方程的解为整数，则满足条件的所有整数的和为 ． 17．（24-25七年级下·山西吕梁·期中）若是关于的一元一次方程的解，则的值是 ． 18．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）已知方程，▲处被墨水盖住了，若该方程的解是，那么▲处的数字是 ． 19．（24-25七年级下·甘肃武威·开学考试）若是方程的解，则 ． 20．（23-24七年级上·广东广州·期中）已知方程是关于x的一元一次方程，则m的值是 ． 三、解答题 21．（24-25七年级上·河南商丘·阶段练习）判断下列方程后面所给出的数，哪些是方程的解． (1)，（，）； (2)，（，）． 22．（24-25七年级上·全国·课后作业）一件衬衫先按成本加价元标价，再以折出售，仍可获利元，这件衬衫的成本是多少元？设这件衬衫的成本为元 (1)填写表格（用含的代数式表示）： 成本/元 标价/元 售价/元 (2)根据相等关系列出方程． 23．（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）如果是关于的方程的解，求的值． 24．（23-24七年级上·全国·单元测试）已知关于的方程是一元一次方程，求的值． 25．（23-24七年级上·浙江台州·期中）若不论k取什么实数，关于x的方程(是常数)的解总是，求的值． 26．（22-23六年级上·全国·单元测试）根据下列题干设未知数列方程，并判断它是不是一元一次方程． (1)一个数的倍比它的倍多，求这个数． (2)从长的木条上截去段同样长的木条还剩下长的短木条，截去的木条每段长多少 (3)如图，小颖种了一株树苗，开始时树苗高为，栽种后每周长高约，大约几周后树苗长高到？ 18 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 一次方程（组） 01讲 等量关系和方程 目录 【知识点1. 方程及方程的解】…………………………………………………… 1 【知识点2. 一元一次方程】……………………………………………………… 2 【题型1. 方程及解的辨析】……………………………………………………… 4 【题型2. 一元一次方程及解的辨析】…………………………………………… 4 【题型3. 列方程】………………………………………………………………… 5 【题型4. 方程求参问题】………………………………………………………… 6 【课后作业】………………………………………………………………………… 7 知识清单 1、方程及方程的解 1）方程的定义：含有未知数的表示等量关系叫作方程． 注：在这一概念中要抓住方程定义的两个要点 ①等式；②含有未知数． 2）方程的解：一般地，使方程左、右两边的值相等的未知数的值 求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值的过程，叫作解方程． 规律方法总结：无论是给出方程的解求其中字母系数，还有判断某数是否为方程的解，这两个方向的问题，一般都采用代入计算是方法． 巩固基础 1．下列等式中，是方程的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查方程的定义．根据方程的定义：含有未知数的等式，进行判断即可． 【详解】解：A、，不是方程，不符合题意； B、，不含未知数，不符合题意； C、，不是方程，不符合题意； D、，是方程，符合题意； 故选D． 2．在①；②；③；④；⑤中，方程共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据含有未知数的等式叫做方程，判断解答即可． 本题考查了方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：①，没有未知数，不是方程，此选项不符合题意； ②，有未知数，是等式，是方程，此选项符合题意； ③，有未知数，是等式，是方程，此选项符合题意； ④，有未知数，是等式，是方程，此选项符合题意； ⑤，有未知数，不是等式，不是方程，此选项不符合题意； 故选：C． 3．下列各式是方程的有（   ） （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8） A．（1）（2）（4）（5）（8） B．（1）（2）（5）（7）（8） C．（1）（4）（5）（7）（8） D．8个都是 【分析】本题主要考查方程的定义，掌握方程的定义是解题的关键．根据含有未知数的等式，叫做方程，进行判断即可． 【详解】解：（1），符合方程的定义，故本小题符合题意； （2），不含有未知数，不是方程，故本小题符合题意； （3），不是等式，故本小题不符合题意； （4），符合方程的定义，故本小题符合题意； （5），符合方程的定义，故本小题符合题意； （6），不是等式，故本小题不符合题意； （7），符合方程的定义，故本小题符合题意； （8），符合方程的定义，故本小题符合题意． 是方程的有（1）（4）（5）（7）（8）， 故选：C． 4．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中是方程的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】此题考查方程的概念，解题关键在于掌握含有未知数的等式叫做方程． 由方程的概念可知，是方程则需满足以下条件：①方程中必须含有未知数；②是等式． 依据方程的概念对所给式子逐一进行判断，从而得出正确答案的． 【详解】解：①不含未知数，故①不是方程； ③④不是等式，故③④不是方程； ②⑤⑥⑦中含有未知数且是等式，符合方程的概念，故②⑤⑥⑦是方程． 综上所述，所给式子中是方程的有②⑤⑥⑦，共4个． 故选：C． 5．是下列哪个方程的解（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查方程的解的定义，熟练掌握使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解是解题的关键． 把分别代入各方程左右两边，判断是否相等，即可得出答案． 【详解】解：A、把代入方程，左边，右边，左边右边，∴不是方程的解，故此选项不符合题意； B、把代入方程，左边，右边，左边右边，∴不是方程的解，故此选项不符合题意； C、把代入方程，左边，右边，左边右边，∴不是方程的解，故此选项不符合题意； D、把代入方程，左边，右边，左边右边，∴是方程的解，故此选项符合题意； 故选：D． 6．下列方程中，解为的是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查方程的解，根据方程的解的定义，把分别代入各方程，若方程左右两边相等，即可为方程的解． 【详解】解：A、把代入方程，左边右边，所以不是方程的解； B、把代入方程，左边，右边，左边≠右边，所以不是方程的解； C、把代入方程，左边右边，所以是方程的解； D、把代入方程，左边，右边，左边≠右边，所以不是方程的解． 故选：C 7．下列是方程的解的是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了一元一次方程的解，能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值即为一元一次方程的解，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、当时，则，因为，则不是的解，故该选项不符合题意； B、当时，则，因为，则是的解，故该选项符合题意； C、当时，则，因为，则不是的解，故该选项不符合题意； D、当时，则，因为，则不是的解，故该选项不符合题意； 故选：B． 知识清单 2、一元一次方程 一元一次方程：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程． 3、方程的解：对于含有一个未知数x的方程，若x用一个数c代入能使方程左、右两边的值相等，这个数c就是这个方程的一个解，习惯上记作x=c. 一元一次方程的通常形式是ax+b=0（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）．这里a是未知数的系数，b是常数，x的次数必须是1． 一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0． 一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式． 巩固基础 1．下列四个方程中，是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程，据此可得答案． 【详解】解：由一元一次方程的定义可知，四个方程中，只有方程是一元一次方程， 故选：C． 2．下列方程是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查一元一次方程的定义，含有一个未知数，且未知数的次数是1的方程是一元一次方程，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、方程中x的次数是2，故它不是一元一次方程，此选项不符合题意； B、方程中含有一个未知数x，且未知数x的次数是1，故它是一元一次方程，此选项符合题意； C、不是等式，故它不是一元一次方程，此选项不符合题意； D、含有两个未知数，故它不是一元一次方程，此选项不符合题意． 故选：B． 3．下列式子中，是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，理解定义“含有个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程，叫做一元一次方程．”是解题的关键． 【详解】解：A.符合一元一次方程的定义，故符合题意； B.是代数式不是方程，故不符合题意； C.是分式方程，故不符合题意； D.未知数的最高次数是，故不符合题意； 故选：A． 4．下列各式：①；②：③；④；⑤中，是一元一次方程有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】本题考查了一元一次方程的定义：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1的整式方程，叫一元一次方程．根据一元一次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：①是一元一次方程， ②有2个未知数，不是一元一次方程， ③是等式，不是一元一次方程， ④是代数式，不是一元一次方程， ⑤是一元一次方程， 所以一元一次方程有2个， 故选：B． 5．下列方程是一元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，正确掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做一元一次方程，根据定义判断即可． 【详解】解：A、含有两个未知数，不符合一元一次方程的定义，即该选项不符合题意， B、未知数的次数不是1，不符合一元一次方程的定义，即该选项不符合题意， D、属于一元一次方程，符合一元一次方程的定义，即该选项符合题意， C、不是整式方程，不符合一元一次方程的定义，即该选项不符合题意， 故选：C． 6．下列方程为一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的定义解题的关键． 根据“只含有一个未知数，且未知数的高次数是1，等号两边都是整式，这样的方程叫作一元一次方程”逐项进行判断作答即可． 【详解】解：A．，中有两个未知数，不是一元一次方程，故此选项不符合题意； B．，是一元一次方程，故此选项符合题意； C．，不是等式，不是一元一次方程，故此选项不符合题意； D．，未知数的次数是2．不是一元一次方程，故此选项不符合题意； 故选：B． 7．下列是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查一元一次方程，解题的关键是正确运用一元一次方程的定义，本题属于基础题型．一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的整式方程叫一元一次方程．根据定义即可求出答案． 【详解】解：A、是代数式，不符合题意； B、有2个未知数，不符合题意； C、未知数的最高次为2，不符合题意； D、是一元一次方程，符合题意； 故选：D． 8．下列方程中是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义逐一判断即可，掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：A、中含有两个未知数，故选项不符合题意； B、分母中含有未知数，方程左边不是整式，故选项不符合题意； C、是一元一次方程，故选项符合题意； D、中含有两个未知数，故选项不符合题意； 故选：C． 直击考点 题型1：方程及解的辨析 例1．下列式子不是方程的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了方程的定义．含有未知数的等式叫做方程．方程有两个特征：（1）方程是等式；（2）方程中必须含有字母（未知数）．方程就是含有未知数的等式，依据定义即可判断． 【详解】解：A、不是方程，故本选项符合题意； B、符合方程的定义，故本选项不符合题意； C、符合方程的定义，故本选项符合题意； D、符合方程的定义，故本选项不符合题意； 故选：A． 例2．下列各式中，属于方程的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了方程的定义，解题的关键是掌握方程的定义：含有未知数的等式是方程． 根据方程的定义：含有未知数的等式是方程，即可进行解答． 【详解】解：A、不含未知数，不是方程，不符合题意； B、不是等式，故不是方程，不符合题意； C、是含有未知数的等式，是方程，符合题意； D、不是等式，故不是方程，不符合题意． 故选：C． 例3．下列式子是方程的是（    ） ①；②；③；④；⑤． A．②③⑤ B．①②③ C．②③④ D．②⑤ 【分析】本题考查方程的定义，根据方程的定义“含有未知数的等式叫方程”逐个判断即可得到答案，熟记方程的定义是解决问题的关键． 【详解】解：①不是等式，不是方程，不符合题意； ②是方程，符合题意； ③是方程，符合题意； ④不含未知数，不是方程，不符合题意； ⑤是方程，符合题意； 综上所述，②③⑤是方程， 故选：A． 变式1．下列各式中①，②，③，④，⑤，⑥．其中是方程的有（   ） A．①②④⑤ B．②③⑤⑥ C．②④⑤⑥ D．①②⑤⑥ 【分析】本题考查了方程的识别，根据含有未知数的等式是方程逐一进行判断即可． 【详解】解：①是方程， ②是方程， ③，不是等式，故不是方程． ④不是方程， ⑤是方程， ⑥是方程． 综上：①②⑤⑥， 故选：D． 变式2．下面说法正确的是（ ）． A．方程的解是5 B．是方程 C．等式一定是方程 D．方程一定是等式 【分析】本题考查了方程的定义和方程的解，熟练掌握方程的定义是解题的关键； 根据方程的概念：含有未知数的等式．所以方程必须具备两个条件：①含有未知数；②等式；方程的解，据此判断即可． 【详解】A．方程的解是，该选项的说法是错误的，故选项不符合题意； B．，含有未知数，但不是等式，因此不是方程，该选项的说法是错误的，故选项不符合题意； C．等式不一定含有未知数，只有含有未知数的等式才是方程，该选项的说法是错误的，故选项不符合题意； D．方程必须具备两个条件：①含有未知数；②等式，因此方程一定是等式，该选项的说法是正确的，故选项符合题意． 故选：D． 变式3．是下列哪个方程的解（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查方程的解，解题的关键在于正确理解方程的解的概念． 将代入各选项计算，根据若方程的左右两边相等，则是该方程的解，若方程的左右两边不相等，则不是该方程的解，即可解题． 【详解】解：将代入下列方程有： A. 因为，所以不是该方程的解，不符合题意； B. 因为，所以是该方程的解，符合题意； C. 因为，所以不是该方程的解，不符合题意； D. 因为，所以不是该方程的解，不符合题意； 故选：B． 变式4．下列方程中，解为的是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查了方程的解的概念，使得方程等式成立的未知数的值叫做方程的解．将分别代入到四个选项中的方程中，看方程左右两边是否相等，进行判断即可． 【详解】A、，故该选项不正确，不符合题意； B、，故该选项不正确，不符合题意； C、，故该选项不正确，不符合题意； D、，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 题型2：一元一次方程及解的辨析 例1．下列各式中是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了一元一次方程，只含有一个未知数，并且未知数的次数是的整式方程是一元一次方程，据此判断即可求解，掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：、方程中未知数的次数是，不是一元一次方程，该选项不合题意； 、方程不是整式方程，不是一元一次方程，该选项不合题意； 、方程含有个未知数，不是一元一次方程，该选项不合题意； 、方程是一元一次方程，该选项符合题意； 故选：． 例2．下列方程是一元一次方程的是（） A． B． C． D． 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握和运用一元一次方程的定义是解决本题的关键．根据一元一次方程的定义，即只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程，叫做一元一次方程，即可判定． 【详解】解：A．，中未知数的最高次数为2，不是一元一次方程，故选项不符合题意； B．，中含有两个未知数，不是一元一次方程，故选项不符合题意； C．，符合一元一次方程的定义，是一元一次方程，故选项符合题意； D．，分母中含有未知数，不是整式方程，不是一元一次方程，故选项不符合题意； 故选：C． 例3．下列各式中，一元一次方程的个数有（   ） ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数且未知数最高次数是1的整式方程是一元一次方程，逐个判断即可． 【详解】解：①不是整式，故不是一元一次方程，不符合题意； ②符合一元一次方程定义，符合题意； ③中含有两个未知数，不是一元一次方程，不符合题意； ④符合一元一次方程定义，符合题意； ⑤中未知数最高次数是2，不是一元一次方程，不符合题意， 因此是一元一次方程的是②，④，一共2个． 故选：B． 变式1．下列各式中，是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键； 根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为的整式方程叫做一元一次方程，即可得出答案； 【详解】解：A、不是等式，该选项错误； B、不是整式方程，不是一元一次方程，选项错误； C、不是一元一次方程，选项错误； D、该选项为一元一次方程，选项正确； 故选：D 变式2．下列方程①；②；③；④；⑤；⑥．其中，一元一次方程的个数是（   ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】本题考查了一元一次方程的定义“只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程”，熟记一元一次方程的定义是解题关键．根据一元一次方程的定义逐个判断即可得． 【详解】解：方程中的不是整式，则方程①不是一元一次方程； 不是等式，则②不是一元一次方程； 方程中的的次数是2，则方程④不是一元一次方程； 方程中含有两个未知数，则方程⑥不是一元一次方程； 方程③和⑤都是一元一次方程； 所以一元一次方程的个数是2个， 故选：A． 变式3．下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是一元一次方程的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，熟知一元一次方程的定义是解题的关键．根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程，逐个判断即可． 【详解】解：①是一元一次方程； ②等号右边不是整式，不是一元一次方程； ③含有两个未知数，不是一元一次方程； ④未知数的最高次数是2，不是一元一次方程； ⑤是一元一次方程； ⑥不是等式，不是一元一次方程； ∴只有①⑤两个方程是一元一次方程． 故选：A． 变式4． 方程 的解．（填“是”或“不是”） 【分析】本题考查方程的解，关键是掌握：方程的解是指使方程两边相等的未知数的值． 把分别代入方程的左右两边计算，再比较两边值是否相等即可判断． 【详解】解：把，，代入方程， ∵方程左边，右边， ∴方程左边≠右边， ∴不是方程的解． 故答案为：不是． 题型3：列方程 例1．宋元时期，中国数学家创立了“天元术”，用“天元”表示未知数．首先要“立天元一”，相当于“设未知数x”，再根据问题给出的条件列出两个相等的代数式，进而得到一个等式．“天元术”指的是我们所学的（    ） A．函数 B．有理数 C．代数式 D．方程 【分析】本题主要考查了数学常识和方程的概念，利用题干中的信息结合数学常识解答即可． 【详解】解：∵用“天元”表示未知数，解题先要“立天元为某某”，相当于“设x为某某”， 又∵含有未知数的等式是方程， ∴“天元术”是中国数学史上的一项杰出创造，它指的是我们所学的方程． 故选：D． 例2．列等式表示：“的一半与10的和等于8”，下列正确的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查列方程，根据题意，列出方程即可． 【详解】解：由题意，可列方程为：； 故选B． 变式1．根据下列条件能列出方程的是（   ） A．a与5的和的3倍 B．甲数的3倍与乙数的2倍的和 C．a与b的差的 D．一个数的5倍是18 【分析】本题主要考查了列代数式和列方程，正确理解题意列出对应的式子或方程是解题的关键． 【详解】解：A、a与5的和的3倍可以列式为，不能得到方程，不符合题意； B、甲数的3倍与乙数的2倍的和可以列式为（a、b分别代表甲、乙），不能得到方程，不符合题意； C、a与b的差的可以列式为，不能得到方程，不符合题意； D、一个数的5倍是18可以列式为（m代表这个数），能得到方程，符合题意； 故选：D． 变式2．学校体育组有学生41人参加了篮球队或足球队，其中只参加篮球队的学生人数是只参加足球队的学生人数的1.5倍，两队都参加的有8人，设参加足球队的学生人数有x人，则下列方程中正确的是（    ） A． B． C． D． 【分析】设参加足球队的学生人数有x人，则只参加足球队的人数有人，只参加篮球队的人数有人，再根据体育组有学生41人参加了篮球队或足球队即可解答． 【详解】解：设参加足球队的学生人数有x人，则只参加足球队的人数有人，只参加篮球队的人数有人 根据体育组有学生41人参加了篮球队或足球队可得：． 故选D． 变式3．在一次植树活动中，甲班植树的棵数比乙班多，乙班植树的棵数比甲班的一半多10棵．设乙班植树棵． (1)列两个不同的含的式子来表示甲班植树的棵数； (2)根据题意列出含未知数的方程； (3)检验乙班、甲班植树的棵数是不是分别为25棵和35棵． 【分析】（1）根据多、一半的含义列出式子即可； （2）直接列出等式即可； （3）利用代入法进行检验即可． 【详解】（1）根据甲班植树的棵数比乙班多， 得甲班植树的棵数为棵；根据乙班植树的棵数比甲班的一半多10棵， 得甲班植树的棵数为棵． （2）． （3）把分别代入（2）中方程的左边和右边， 得左边， 右边． 因为左边右边， 所以是方程的解， 即乙班植树的棵数是25棵． 由上面的检验过程可得甲班植树的棵数是30棵，而不是35棵 题型4：方程求参问题 例1．若是关于x的一元一次方程 的解，则 的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【分析】本题考查了一元一次方程的解，代数式求值，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 把代入方程中，得到，再代入计算即可． 【详解】解：∵是关于x的一元一次方程的解， ∴， ∴．故选：C． 例2．若是方程的根，则的值为（   ） A．2024 B．2026 C．2028 D．2030 【分析】本题考查一元二次方程的解以及代数式求值，把代入已知方程，并求得，然后将其整体代入所求的代数式进行求值即可，运用整体代入思想是解决此问题的关键． 【详解】解：∵a是方程的根， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 例3．如果是方程的解，则的值为 ． 【分析】本题考查一元一次方程解的意义，有理数的乘方，熟练掌握一元一次方程的解的概念是解决问题的关键． 根据一元一次方程的解的意义，把代入方程，从而得到关于a的一元一次方程，求解该方程，再代入代数式即可求解． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 解得， 时，； 故答案为：15． 变式1．如果关于x的方程无解，那么m的取值范围是（    ） A． B． C． D．任意实数 【分析】本题考查根据方程的解的情况，求参数的值，根据方程无解，得到未知数的系数为0，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴；故选：C． 变式2．若关于的方程的解是，则a，b的关系为（   ） A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．乘积为-1 【分析】本题考查了方程的解、相反数的定义，由方程的解得，由相反数的定义，即可求解；理解方程的解是解题的关键． 【详解】解：方程的解是， ， ， a，b的关系为互为相反数， 故选：B． 变式3．已知是关于的方程的解，则 ． 【分析】本题考查了一元一次方程的解，代数式求值；把代入，得到，然后整体代入代数式，即可求解． 【详解】解：把代入得， ∴， ∴， 故答案为：． 变式4．在方程中，已知，则 ． 【分析】此题考查方程解的定义．所谓方程的解，即能够使方程左右两边相等的未知数的值． 将已知的x、y的值代入方程中，即可求出z的值． 【详解】解：将，代入方程中， 得， ∴， 即z的值为4． 故答案为：4． 变式5．如果关于的方程无解，那么实数 ． 【分析】本题考查了一元一次方程的解，对于方程，当且时，方程无解．据此求解即可． 【详解】解：∵方程无解， ∴，， ∴，故答案为：1． 课后作业 一、单选题 1．（24-25七年级下·福建泉州·期中）若是关于x的一元一次方程，则m等于（　　） A．2 B．0 C． D． 【分析】此题主要考查了一元一次方程的定义，绝对值，解题的关键是根据一元一次方程的未知数的次数是及其系数不为零这两个条件； 根据一元一次方程的定义可知未知项的次数是1，未知项的系数不能等于零，即可列出，，从而确定的取值范围． 【详解】解：因为方程是关于x的一元一次方程， 所以，， 解得． 故选：C． 2．（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）已知3是关于的方程的解，则的值是（    ） A． B．12 C．14 D． 【分析】本题考查了方程的解的定义，理解定义是关键．把代入方程即可得到一个关于a的方程，解方程求得a的值． 【详解】解：把代入方程，得： ， 解得：． 故选：B． 3．（24-25七年级下·山西临汾·阶段练习）若是方程的解，则的值为（    ） A． B．7 C． D．5 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程得到，由，利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， ∴， 故选：A． 4．（24-25七年级上·广东广州·期末）若是关于x的方程的解，则a的值为（    ） A．2 B．0 C． D． 【分析】本题考查了一元一次方程的解，把代入已知方程后，列出关于a的新方程，再解新方程求a的值即可． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴， 解得：， 故选：C． 5．（24-25七年级下·四川眉山·阶段练习）若是关于x的一元一次方程的解，则m的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【分析】本题考查了一元一次方程的解，将代入原方程，可得出，解之即可得出m的值． 【详解】解：将代入原方程得：， 解得：． 故选：C． 6．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）如果方程是关于x的一元一次方程，那么m的值是（    ） A．0 B．2 C．     D．1 【分析】本题主要考查一元一次方程的定义，掌握等式两边是只含有一个未知数且未知数的次数为1的整式的方程叫一元一次方程成为解题的关键． 直接根据一元一次方程的定义列式求解即可解答． 【详解】解：∵方程是关于x的一元一次方程， ∴，解得：． 故选B． 7．（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）下列选项中是一元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 【分析】此题主要考查了一元一次方程的定义．根据只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程可得答案． 【详解】解：A、方程含有两个未知数，故不是一元一次方程，故此选项不符合题意； B、方程不是整式方程，所以不是一元一次方程，故此选项不符合题意； C、方程不含未知数，所以不是一元一次方程，故此选项不符合题意； D、方程，是一元一次方程，故此选项符合题意； 故选：D． 8．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）下列方程中，是一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，解答关键是按照定义进行判断． 根据一元一次方程的定义回答即可． 【详解】解：A、有两个未知数，故不是一元一次方程，故A错误； B、分母中有字母，是分式方程，故不是一元一次方程，故B错误； C、不是等式，故不是一元一次方程，故C错误； D、符合一元一次方程的特点，是一元一次方程，故D正确．故选：D． 9．（2025·湖南岳阳·模拟预测）关于的一元一次方程的解为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了一元一次方程的解，把代入一元一次方程，得到关于的一元一次方程，解方程求出的值即可． 【详解】解：把代入一元一次方程， 可得：， 解得：． 故选：A． 10．（24-25七年级下·甘肃天水·阶段练习）下列一元一次方程的解是的是（  ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了一元一次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键．将分别代入各项，计算左右两边是否相等，即可得到答案． 【详解】解：A、，则不是方程的解，不符合题意； B、，则不是方程的解，不符合题意； C、，则是方程的解，符合题意； D、，则不是方程的解，不符合题意； 故选：C． 二、填空题 11．（2025·贵州遵义·三模）若是关于x的一元一次方程，则k的值不可能是 ． 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，解题的关键是掌握只含有一个未知数，且未知数最高次为1的整式方程，是一元一次方程，据此即可解答． 【详解】解：∵是关于x的一元一次方程， ∴， ∴， ∴k的值不可能是6， 故答案为：6． 12．（24-25七年级下·四川宜宾·期末）如果关于的方程是一元一次方程，则 ． 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键．根据一元一次方程的一般形式为只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，得到且，解之即可得到答案． 【详解】解：关于的方程是一元一次方程， 且，即且， 解得， 故答案为：． 13．（24-25六年级上·上海·阶段练习）若关于的方程是一元一次方程，则 ． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵关于的方程是一元一次方程， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（2025·四川广安·二模）已知是关于的一元一次方程的解，则的值为 ． 【分析】本题考查了一元一次方程的解即使方程左右两边相等的未知数的值，正确运用解的定义是解题的关键．把代入求解即可． 【详解】解∶∵是关于的一元一次方程的解， ∴， ∴， 故答案为：． 15．（24-25七年级下·山西临汾·期中）关于的整式与的值随取值的变化而变化，下表是当取不同值时对应的与的值 0 1 2 3 1 3 5 则关于的方程的解为 ． 【分析】本题主要考查一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解是解题的关键；因此此题可根据表格中的数据进行求解即可． 【详解】解：由表格中数据可知：当时，，， ∴关于的方程的解为； 故答案为：． 16．（24-25七年级下·重庆·期中）若关于的方程的解为整数，则满足条件的所有整数的和为 ． 【分析】本题主要考查了解一元一次方程、一元一次方程的解等知识点，掌握方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值成为解题的关键． 先通过解一元一次方程用a表示出方程的解，然后根据方程的解为整数确定a的可能取值，最后求和即可． 【详解】解： ， ∵该方程的解为整数，是质数， ∴或， ∴a的值为， ∴满足条件的所有整数的和为． 故答案为． 17．（24-25七年级下·山西吕梁·期中）若是关于的一元一次方程的解，则的值是 ． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，代数式求值，掌握方程的解，代数式求值是解题的关键．先把是代入方程得，再将代数式变形得，然后代入计算即可． 【详解】解：是关于的一元一次方程的解， ， ， ， 故答案为：． 18．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）已知方程，▲处被墨水盖住了，若该方程的解是，那么▲处的数字是 ． 【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义，熟练掌握一元一次方程的解是解题的关键； 把代入方程，可列出关于▲的方程，解该方程即可求出答案． 【详解】解：把代入方程，得 ， 解得：，故答案为：2． 19．（24-25七年级下·甘肃武威·开学考试）若是方程的解，则 ． 【分析】本题考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 把代入方程得出，再求出方程的解即可． 【详解】解：把代入方程得： ， 解得：， 故答案为：． 20．（23-24七年级上·广东广州·期中）已知方程是关于x的一元一次方程，则m的值是 ． 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，绝对值的意义，根据一元一次方程的定义可得，且，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵方程是关于x的一元一次方程， ∴，且， 解得：， 故答案为：． 三、解答题 21．（24-25七年级上·河南商丘·阶段练习）判断下列方程后面所给出的数，哪些是方程的解． (1)，（，）； (2)，（，）． 【分析】本题考查的是方程的解的含义，判断方程的解； （1）把，分别代入，由方程左右两边的值是否相等可得答案； （2）把，分别代入，由方程左右两边的值是否相等可得答案； 【详解】（1）解：（1）将代入原方程， ∵左边，右边， ∴左边≠右边， ∴不是原方程的解； 将代入原方程， ∵左边，右边， ∴左边＝右边， ∴是原方程的解； 将代入原方程， ∵左边，右边， ∴左边＝右边， ∴是原方程的解； 将代入原方程， ∵左边，右边， ∴左边≠右边， ∴不是原方程的解； （2）解：将代入原方程， ∵左边，右边， ∴左边≠右边， ∴不是原方程的解； 将代入原方程， ∵左边，右边， ∴左边＝右边， ∴是原方程的解； 将代入原方程， ∵左边，右边， ∴左边≠右边， ∴不是原方程的解； 将代入原方程， ∵左边，右边， ∴左边＝右边， ∴是原方程的解． 22．（24-25七年级上·全国·课后作业）一件衬衫先按成本加价元标价，再以折出售，仍可获利元，这件衬衫的成本是多少元？设这件衬衫的成本为元 (1)填写表格（用含的代数式表示）： 成本/元 标价/元 售价/元 (2)根据相等关系列出方程． 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，代数式，理解成本价、标价、销售价，以及利润、成本、售价之间的关系是解本题的关键． （1）设这件衬衫的成本是元，根据题意：标价成本价，售价标价，由此即可解决问题． （2）设这件衬衫的成本是元，根据：利润销售价成本，即可列出方程． 【详解】（1）解：根据题意可得： 标价为：， 售价为：； （2）根据题意可得：． 23．（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）如果是关于的方程的解，求的值． 【分析】本题考查了一元一次方程的解，代数式求值．熟练掌握一元一次方程的解，整体代入是解题的关键．由题意知，，整理得，，根据，代值求解即可． 【详解】解：由题意知，， 整理得，， ∴． 24．（23-24七年级上·全国·单元测试）已知关于的方程是一元一次方程，求的值． 【分析】本题主要考查的是一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 根据只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程，列出方程与不等式，求解即可． 【详解】解：由题意，得，且， 所以，且， 所以． 25．（23-24七年级上·浙江台州·期中）若不论k取什么实数，关于x的方程(是常数)的解总是，求的值． 【分析】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 把代入方程计算，求出与的值，即可求出的值． 【详解】解：把代入方程得： 去分母得：， 整理得：， ∵不论取什么实数，关于的方程(是常数的解总是， ∴， 解得：， 则． 26．（22-23六年级上·全国·单元测试）根据下列题干设未知数列方程，并判断它是不是一元一次方程． (1)一个数的倍比它的倍多，求这个数． (2)从长的木条上截去段同样长的木条还剩下长的短木条，截去的木条每段长多少 (3)如图，小颖种了一株树苗，开始时树苗高为，栽种后每周长高约，大约几周后树苗长高到？ 【分析】（1）设这个数为，根据题意列出方程即可； （2）设截去的木条每段长为，根据题意列出方程即可， （3）设周后树苗长高到，根据题意列出方程即可． 【详解】（1）解：设这个数为，依题意得， ，是一元一次方程， （2）解：设截去的木条每段长为，根据题意得， ，是一元一次方程， （3）解：设周后树苗长高到，根据题意得， ，是一元一次方程． 18 学科网（北京）股份有限公司 $$