1.3集合的基本运算11题型分类（讲+练）-2025-2026学年《解题秘籍》高一数学暑假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册）

2025-2026学年《解题秘籍》高一数学暑假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 1.3 集合的基本运算11题型分类 课程标准 学习目标 ①理解并集、交集的概念，能进行交、并的混合运算. ②理解全集与补集的意义，能求在给定全集下任何子集的补集 1．能综合运用集合的运算性质，并能正确地进行交、并、补集的综合运算. 2． 理解集合运算的思想，能运用补集思想解题. 一、并集 【思考1】“x∈A或x∈B”包含哪几种情况？ “x∈A或x∈B”这一条件包括下列三种情况：x∈A，但x∉B；x∈B，但x∉A；x∈A，且x∈B.用Venn图表示如图所示． 【思考2】集合A∪B的元素个数是否等于集合A与集合B的元素个数和？ 不等于，A∪B的元素个数小于或等于集合A与集合B的元素个数和． 二、交集 【特别提醒】 交集有下列运算性质：A∩B＝B∩A；A∩A＝A；A∩∅＝∅。 三、全集 1.定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． 2.记法：全集通常记作 U. 【思考】全集一定是实数集R吗？ 全集是一个相对概念，因研究问题的不同而变化，如在实数范围内解不等式， 全集为实数集R，而在整数范围内解不等式，则全集为整数集Z. 四、补集 自然语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁UA 符号语言 ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 图形语言 【特别提醒】 (1)补集是相对于全集而言的，它与全集不可分割．一方面，若没有定义全集，则不存在补集的说法；另一方面，补集的元素逃不出全集的范围． (2)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A为全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的． (3)符号∁UA有三层意思： ①A是U的子集，即A⊆U； ②表示一个集合，且()⊆U； ③是U中不属于A的所有元素组成的集合，即＝{x|x∈U，且x∉A}． (4)若x∈U，则x∈A或x∈，二者必居其一． 五、运算律 (1) 交换律 ，； (2) 结合律 ，； (3) 分配律 ，； (4) 德摩根律 ，. （一） 并集的运算 1、求集合并集的方法 (1)两集合用列举法给出：①依定义，直接观察求并集；②借助Venn图写并集． (2)两集合用描述法给出：①直接观察，写出并集；②借助数轴，求出并集． (3)一个集合用描述法，另一个用列举法：①直接观察，找出并集；②借助图形，观察写出并集． 2、集合并集运算应注意： (1)对于描述法给出的集合，应先看集合的代表元素是什么，然后将集合化简，再按定义求解． (2)求解时要注意集合元素的互异性这一属性的应用，重复的元素只能算一个． (3)无限集进行并集运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值能否取到． 题型1：求两个集合的并集 1．（25-26高一·全国·假期作业）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合集合并集的概念与运算，即可求解. 【解析】由集合， 根据集合并集的运算，可得， 故选：D. 2．（25-26高一·全国·假期作业）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】借助并集定义计算即可得. 【解析】因为集合，，所以. 故选：B. 3．（2025高二·云南昭通·期末）已知集合{高，考，必，胜}，{昭，通，必，胜}，则（    ） A．{昭，通，必，胜} B．{必，胜} C．{金，榜，题，名} D．{昭，通，高，考，必，胜} 【答案】D 【分析】根据并集的含义即可得到答案. 【解析】根据并集的含义得{昭，通，高，考，必，胜}. 故选：D. 4．（2025高二·天津和平·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据并集的定义即可求解. 【解析】因为集合， 所以. 故选：D. 5．（2025高三·天津月考）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用并集的定义可求得集合． 【解析】因为，， 则． 故选：A． 题型2：利用并集运算求参数 6．（25-26高一·全国月考）设集合，，若，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【解析】，且B为A的子集．当时，，解得．当时，若，即，此时的解为，即，符合题意．若，即，当，即时，此时，即，解得，即，不符合题意；当，即时，由此时集合，得，解得，与矛盾，不符合题意．综上所述，实数a的取值范围为． 7．（2025·吉林长春模拟预测）已知集合，，，则（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据并集的结果，分类讨论当、时集合A、B的情况，即可求解. 【解析】， 当即时，，不符合题意； 当即时，，此时. 所以. 故选：B. 8．（2025高一·陕西渭南月考）已知集合，，若，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题知，再根据集合关系求解即可. 【解析】解：因为，所以， 因为，， 所以，解得， 所以，实数的取值范围是 故选：D 9．（2025高三·上海闵行月考）已知集合，且，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据集合并集运算，结合数轴即可得到结果. 【解析】由题意知，可得. 故答案为： 10．（2025高一·上海月考）已知集合若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据并集结果得到，分和两种情况，得到不等式，求出答案. 【解析】因为，所以 ①若，则， ②若，则 综上 故答案为： 11．（2025高二·北京西城月考）已知集合，若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】把转化为，借助数轴即可求出实数的取值范围. 【解析】因为，所以， 因为，所以， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 12．（2025高二·宁夏银川·期中）已知集合，若，则实数的取值范围为 【答案】 【分析】根据，即，可得实数的取值范围. 【解析】根据，可得， 即，故实数的取值范围为. 故答案为： （二） 交集的运算 1、求两个集合的交集的方法 (1)对于元素个数有限的集合，逐个挑出两个集合的公共元素即可． (2)对于元素个数无限的集合，一般借助数轴求交集，两个集合的交集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共范围，要注意端点值的取舍．　 2、求集合A∩B的步骤： (1)搞清集合A，B的代表元素是什么； (2)把所求交集的集合用集合符号表示出来； (3)把集合A，B的所有公共元素都写出来即可(若无公共元素，则所求交集为∅) 题型3：求两个集合的交集 13．（2025高一·全国月考）考察下面的问题，集合C与集合A、B之间有什么关系吗？ （1）. （2）是立德中学今年在校的女同学｝，是立德中学今年在校的高一年级同学｝，是立德中学今年在校的高一年级女同学｝. 【答案】（1）集合C是由那些既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的. （2）集合C是由那些既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的. 【分析】利用交集的定义求解即可. 【解析】（1）集合交集的含义求解，知集合C是由那些既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的. （2）利用交集的含义求解，知集合C是由那些既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的. 14．（25-26高一·全国月考）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意得，集合中的元素满足，，，，，，则的可能取值为0，1，2，3，4，8，即，所以． 15．（2025高二·湖南·学业考试）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由交集的定义求解， 【解析】由题意得， 故选：A 16．（2025高一·天津和平·期中）若集合，，则 . 【答案】 【分析】由题意得，4，2，，再求即可． 【解析】，1，3，， ，，4，2，， 故，， 故答案为：，． 17．（2025高一·广东月考）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题中条件，由交集的概念，可直接得出结果. 【解析】集合，，所以集合． 故选：D. 18．（广东省深圳市2025-2026学年高一学期期末调研考试数学试卷）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解出集合B，再求交集即可. 【解析】因为， 所以， 故选：B. 19．（2025高二·陕西西安·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出集合，再结合交集的定义求解即可. 【解析】由，得，解得， 又，所以， 所以，又， 所以. 故选：A. 20．（2025高一·湖南怀化·期末）设集合，集合，则的元素个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，求出集合，再利用集合的运算得，即可求解. 【解析】因为，，则， 所以，则的元素个数为个. 故选：B. 21．（2025高二·江西·期末）若集合，，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，求出集合，再利用集合的运算，即可求解. 【解析】因为集合， 又，所以． 故选：C． 22．（2025高一·云南曲靖·期中）已知集合，，则的真子集个数是（    ） A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】C 【分析】利用交集定义求出集合的元素个数，再根据真子集个数的公式即可求得结果. 【解析】因为集合，，则，则集合的元素个数为3， 所以的真子集个数是， 故选：C. 题型4：利用交集运算求参数 23．（2025高二·北京·期中）已知集合，集合，若，则可以为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据交集结果求出的范围，一一对照选项即可. 【解析】由题意得若，则，比较选项知C选项满足题意， 故选：C. 24．（2025高一·湖北月考）已知全集，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意求全集，再结合集合的交集和并集分析求解. 【解析】由题意可得：， 因为，所以. 故选：A. 25．（2025高一·安徽月考）已知集合，，若，则实数a取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意知，分别讨论和两种情况，即可得出结果. 【解析】由，知，因为，， 若，则方程无解，所以； 若，，则， 因为，所以，则； 故实数取值集合为. 故选：D. 26．（2025高二·云南临沧·期末）已知集合，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由集合的包含关系可得，再分与时解不等式可得. 【解析】由条件得，又因为， 所以，即有． 当，有，解得：； 当，有，解得：． 综上，实数的取值范围为：． 故选：C． 27．（2025高二·重庆月考）已知集合，，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由求出，进而得集合，根据集合的并集运算即可求解. 【解析】因为，所以， 所以， 所以，所以.         故选：D. 28．（2025·重庆沙坪坝模拟预测）已知集合. 若，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用给定的交集的结果，结合元素与集合的关系列式求解. 【解析】依题意，，则， 所以的取值范围为. 故答案为： （三） 补集的基本运算 求集合补集的基本方法及处理技巧 (1)基本方法：定义法． (2)两种处理技巧： ①当集合用列举法表示时，可借助Venn图求解； ②当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解． 题型5：求两个集合的补集 29．（2025高一·全国月考）高一(1)班参加足球队的同学，高一(1)班没有参加足球队的同学高一(1)班的同学． (1)集合有何关系？ (2)中元素与和有何关系？ 【答案】(1)； (2)中的元素在中，不在中. 【分析】（1）根据全集的概念即可判断； （2）根据全集与子集的概率即可判断. 【解析】（1）高一班参加足球队的同学和高一班没有参加足球队的同学合起来即为高一(1)班的同学， 故. （2）集合是集合的子集，集合与集合无关， 故集合中的元素在集合中，不在集合中. 30．（2025高一·四川眉山·期末）设全集，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据补集的定义计算即可. 【解析】因为，， 所以， 故选：C. 31．（2025高二·云南昆明·期中）设全集或，则＝（    ） A．或 B．或 C． D．{0，1，2，3，4，5，6} 【答案】D 【分析】根据集合的并运算即可求解. 【解析】由于或，所以， 故选：D 32．（2025高二·贵州月考）已知集合，，则（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】利用补集的定义可求得集合. 【解析】因为集合，，故或. 故选：B. 题型6：利用补集运算求参数 33．（25-26高一·全国月考）设集合，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，． 34．（2025·全国一卷）设全集，集合，则中元素个数为（   ） A．0 B．3 C．5 D．8 【答案】C 【分析】根据补集的定义即可求出． 【解析】因为，所以， 中的元素个数为， 故选：C． 35．（2025高二·云南昭通·期中）设全集，集合A满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全集及补集写出集合A即可. 【解析】由题知， 由，得． 故选：C 36．（2025高一·安徽滁州月考）设全集，且，若，则 . 【答案】4 【分析】根据补集概念得到，故1，4是方程的两根，由韦达定理求出答案. 【解析】，故， 即1，4是方程的两根，由根与系数的关系可得. 故答案为：4 37．（2025高三·全国月考）设全集，集合满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全集及补集写出集合A即可. 【解析】由题知， 由，得． 故选：C 38．（2025·辽宁鞍山模拟预测）设全集，集合，，则实数的值为（    ） A．0 B．-1 C．2 D．0或2 【答案】A 【分析】利用给定条件，结合元素的互异性直接列式计算作答. 【解析】由集合知，，即，而，全集， 因此，，解得，经验证满足条件， 所以实数的值为0. 故选：A 39．（2025高一·浙江温州月考）已知集合，，求实数的值. 【答案】 【分析】根据题意得或，再解方程求解即可. 【解析】解：由题意得： ①当时，解得： 代入检验，得，，满足条件 ②当时，无解 综上所述，. （四） 集合交、并、补集的综合运算 1、解决集合交、并、补运算的技巧 （1）如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解.在解答过程中常常借助于Venn图来求解. （2）如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算.解答过程中要注意边界问题. 2、涉及“B⊆A”或“且A≠∅”的问题，一定要分B＝∅和B≠∅两种情况进行讨论，其中B＝∅的情况易被忽略，应引起足够的重视． 3、求解含参数的集合运算问题首先要借助数轴的直观性求参数的范围，再者还要注意参数的端点值是否能够取到. 题型7：利用集合的交并补运算求集合 40．（2025高一·福建漳州·期末）已知集合则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用集合并集和补集概念求解. 【解析】因为,所以， 故选:A. 41．（山西省大同市2025-2026学年高一学期期末数学试题）已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的补集、交集运算即可. 【解析】因为集合，，， 所以，所以. 故选：C. 42．（2025·海南海口模拟预测）设全集，，，则（    ） A．{1，2} B． C． D． 【答案】D 【分析】由交集和补集的定义求解即可. 【解析】因为所以， ∴. 故选：D. 43．（2025高一·江苏南通·期末）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的交并补运算即可求解. 【解析】,,,, 故选:C 44．（2025高一·云南红河·期中）已知全集，则 . 【答案】 【分析】利用补集、并集的定义直接求解. 【解析】全集，则， 所以. 故答案为： 45．（2025高一·广东广州月考）已知全集，集合，，求，. 【答案】，或 【分析】直接利用集合交集的运算、集合补集与并集的运算求解即可. 【解析】因为集，集合，， 所以 或 或 46．（2025高一·广东惠州月考）已知集合 ， (1)若，求， (2)若集合是集合的真子集，求实数的取值范围． 【答案】(1)，． (2)． 【分析】（1）求出集合，然后结合集合运算可得； （2）根据包含关系，分集合是否为空集讨论即可得解 【解析】（1）若，，， 所以，． （2）集合是集合的真子集， 当时，此时，即； 当时，此时，即， 则，且两个不等式不能同时取等，解得， 综上，实数的取值范围为． 47．（2025高一·四川眉山·期中）已知为实数，集合，全集. (1)若，求； (2)若，求实数的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）先根据，分别得出集合，进而应用交集，并集，补集定义计算求解； （2）分和求出集合，再由得，列方程求解即可. 【解析】（1）因为，所以，，， 所以. （2）当时，，满足，所以成立； 当时，，可得且且， 得，且，且， 因为满足，所以， 所以或，得或或（舍去）， 所以或； 综上，或或； 题型8：利用集合的交并补集运算求参数范围 48．（2025·湖南邵阳模拟预测）已知全集，，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先确定全集，再根据集合的运算，确定集合. 【解析】由条件可知，，且， 所以. 故选：B 49．（2025高一·四川绵阳月考）已知或，，若，则m的取值范围是 . 【答案】 【分析】求出，由建立不等式即可得解. 【解析】由或，可得， 因为，， 所以且， 解得， 故答案为： 50．（25-26高一·全国月考）已知集合，且，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由得或．又，所以，故． 51．（25-26高一·全国月考）已知集合． (1)若，求实数a的值； (2)从条件①②③中选择一个作为已知条件，求实数a的取值范围． 条件：①；②；③． 【答案】(1) (2)答案见解析 【解析】解：（1）由于，所以解得． （2）若选①，由得． 当时，则，解得，满足条件； 当时，则解得． 综上，实数a的取值范围是． 若选②，． 当时，，解得，满足条件： 当时，或，则解得． 综上，实数a的取值范围是． 若选③，． 当时，，解得，满足条件； 当时，或，则解得． 综上，实数a的取值范围是． 52．（2025高一·山东菏泽月考），，，，则 . 【答案】 【分析】首先分析，，，，再由，对分类讨论，即可得解. 【解析】因为， 因为，所以，，，， ，所以，，，， ，则， 若，，即，，经检验符合题意； 若，，即，，则，矛盾，不符合题意； 若，，即，，则，矛盾，不符合题意； 综上可得，. 故答案为： （五） Venn图的应用及集合的新定义问题 1、韦恩图的应用 韦恩(Venn)图能更直观地表示集合之间的关系，先分析集合关系，化简集合，再由韦恩(Venn)图所表示的集合关系进行运算．对复杂的集合关系问题，或相关的数学应用问题，可通过构造韦恩(Venn)图进行求解． 2、集合新定义问题的求解思路 (1)遇到新定义问题，先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到解题的过程中，这是解答新定义型问题的关键所在； (2)集合的性质是解答集合新定义问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些条件． 题型9：韦恩图的应用 53．（2025·山东济南模拟预测）已知全集，则图中阴影部分代表的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据Venn图，由集合运算可解. 【解析】由题意，而阴影部分为. 故选：C 54．（2025高一·浙江月考）设全集，则图中阴影部分对应的集合是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】图中阴影部分表示，由交集的补集的定义求解即可. 【解析】图中阴影部分表示，，则或， 因为 所以， 故选：D． 55．（重庆市（康德卷）2025-2026学年高二学期期末联合检测数学试题）已知全集，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由不等式求得集合元素，根据Vnne图以及集合的交并补，可得答案. 【解析】由题意，由解得，所以集合， 因为函数的值域为，所以， 图中阴影部分所表示的集合是. 故选：C． 56．（2025高二·上海杨浦·期末）如图，已知集合，，则图中阴影部分所表示的集合 ．    【答案】 【分析】根据集合的交集以及补集的运算，可得答案. 【解析】由题意可得，. 故答案为：. 57．（2025高一·全国·课前预习）已知表示集合和关系的Venn图如图所示，则阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先通过识别Venn图得知阴影部分表示的是集合，然后根据交集的内涵进行判断即可. 【解析】由题中Venn图得，阴影部分表示的集合是， 因为， 所以． 故选：A. 58．（2025高二·河北邯郸月考）如图所示的Venn图中阴影部分所表示的集合为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合交并补的含义即可得到答案. 【解析】由题意.图中阴影部分所表示的集合为. 故选：B. 59．（25-26高一·全国月考）设为全集，，，都是它的子集，则下图中阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】阴影在，内，而不在内，即在内，故阴影表示的集合是． 题型10：容斥原理 60．（2025高一·上海月考）向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A，B都不赞成的学生数比对A，B都赞成的学生数的三分之一多1人．问对A，B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？ 【答案】对A，B都赞成的学生和都不赞成的学生分别有21人、8人. 【分析】设对事件A、B都赞成的学生人数为x，利用图列方程求解x即可. 【解析】赞成A的人数为，赞成B的人数为， 记50名学生组成的集合为U，赞成事件A的学生全体为集合M，赞成事件B的学生全体为集合N， 设对事件A、B都赞成的学生人数为x，则对A、B都不赞成的人数为，赞成A而不赞成B的人数为，赞成B而不赞成A的人数为，作出图如下所示，    依题意可得，解得， 所以对A、B都赞成的学生有21人，都不赞成的有8人. 【点睛】本题考查集合的应用、利用图进行集合的运算，属于中档题. 61．（2025高三·云南昆明月考）某班一个课外调查小组调查了该班同学对物理和历史两门学科的兴趣爱好情况，其中该班同学对物理或历史感兴趣的同学占90％，对物理感兴趣的占56％，对历史感兴趣的占74％，则既对物理感兴趣又对历史感兴趣的同学占该班学生总数的比例是（    ） A．70％ B．56％ C．40％ D．30％ 【答案】C 【分析】根据公式列方程求解即可. 【解析】对物理感兴趣的同学占56％，对历史感兴趣的同学占74％， 这两组的比例数据都包含了既对物理感兴趣又对历史感兴趣的同学的比例， 设既对物理感兴趣又对历史感兴趣的同学占该班学生总数的比例为x， 则对物理或历史感兴趣的同学的比例是56％＋74％－x， 所以56％＋74％－x＝90％， 解得％， 故选：C. 62．（2025高一·上海·假期作业）学校举办秋季趣味运动会，高一（6）班共42名学生报名参加，已知报名参加跑步的有16人，参加跳绳的有24人，参加踢毽子的有12人，其中有8人兼报了两个项目，则兼报三个项目的共 人． 【答案】1． 【分析】利用容斥原理，结合总人数和恰好参加两个项目的人数，求解兼报三个项目的人数． 【解析】解：由题意可知，兼报三个项目的人数为人． 故答案为：1． 63．（2025高三·全国月考）某小学对小学生的课外活动进行了调查．调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有人，参加唱歌课外活动的有人，参加体育课外活动的有人，三种课外活动都参加的有人，选择两种课外活动参加的有人，不参加其中任何一种课外活动的有人．则接受调查的小学生共有（    ） A．人 B．人 C．人 D．人 【答案】A 【分析】作出韦恩图，将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合、、表示，不妨设总人数为，选择舞蹈和唱歌的人数为，选择舞蹈和体育的人数为，选择唱歌和体育的人数为，利用容斥原理可求得的值，即为所求. 【解析】如图所示，用Venn图表示题设中的集合关系， 不妨将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合、、表示， 则，，，．    不妨设总人数为，选择舞蹈和唱歌的人数为，选择舞蹈和体育的人数为，选择唱歌和体育的人数为， 则，，，． 由三个集合的容斥关系公式得， 解得，故接受调查的小学生共有人． 故选：A. 64．（2025高一·四川眉山·期中）高三1班有12名同学读过《牡丹亭》，有8名同学读过《醒世恒言》，两者都读过的同学有4名，则该班学生中至少读过《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的学生有（    ） A．16人 B．18人 C．20人 D．24人 【答案】A 【分析】根据集合的容斥原理即可求解. 【解析】设集合“高三1班读过《牡丹亭》的学生”，其元素个数记为； 集合“高三1班读过《醒世恒言》的学生”，其元素个数记为； 则， 则. 故该班学生中至少读过《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的学生有16人. 故选：A. 65．（2025高一·全国月考）某单位周一、周二开车上班的职工人数分别是14， .若这两天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这两天中一天开车一天不开车上班的职工人数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的交集、并集运算求解即可. 【解析】设仅第一天开车人数为 ，仅第二天开车人数为 ，两天都开车人数为 ， 则由图知 ， ， 两式相减得 ， . 故选：C. 66．（2025高一·全国月考）为弘扬红色文化、传承文化精神，某校在假期来临之际布置了一项红色文化学习的社会实践活动作业，并在开学后随机抽查了100名学生的完成情况（每个同学至少参加一项活动），其中有52人观看了红色电影，43人参观了烈士陵园，49人参观了红色教育基地，既观看红色电影又参观烈士陵园的有24人，既观看红色电影又参观红色教育基地的有20人，既参观烈士陵园又参观红色教育基地的有17人，则三项活动都参加的人数为 ． 【答案】17 【分析】根据集合中元素个数求法以及容斥原理计算可得结果. 【解析】设集合，集合， 集合， 设三项活动都参加的人数为， 则， 则由题意可得， 即， 解得． 故答案为：17 题型11：集合新定义问题 67．（2025高一·黑龙江哈尔滨月考）对于任意两集合A，B，定义且，记，则 ． 【答案】或 【分析】根据条件中的新定义，先求和，再求. 【解析】，，． 故答案为：或 68．（25-26高一·全国月考）已知A，B是非空集合，若，且满足，则称a，b是集合A，B的一对“基因元”．若集合，则A，B的“基因元”的对数是 ． 【答案】13 【解析】，当a取2时，分别为1，1，4，6，共3对；当a取3时，分别为2，0，3，5，共3对；当a取5时，分别为4，2，1，3，共3对；当a取9时，分别为8，6，3，1，共4对．． 69．（2025高一·广东惠州月考）对于集合，，定义且，，设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题设定义求出和，再求出即可． 【解析】对于集合，，定义且，， 设，， 则，， 所以. 故选：C． 一、单选题 1．（2025高一·江西赣州·期中）定义运算：.若集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用集合的新定义和交集运算即可. 【解析】由题意得， 所以. 故选：C. 2．（2025高一·湖南长沙·期末）已知集合，则中元素的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】化简集合，根据交集的概念求出，从而可得答案. 【解析】因为，， 所以或或或或或或， 所以, 因为、、、满足， 所以， 所以中元素的个数为. 故选：C 3．（2025高一·山东临沂·期末）我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，用表示有限集合中元素的个数.例如，，则.容斥原理告诉我们，如果被计数的事物有三类，那么，.某校初一四班学生46人，寒假参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球排球都参加的有12人，足球游泳都参加的有9人，排球游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人？（教材阅读与思考改编）（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据题意设参加各类活动的学生的集合，找出各类运动的人数，然后代入定义中解出即可. 【解析】设集合{参加足球队的学生}， 集合{参加排球队的学生}， 集合{参加游泳队的学生}， 则， 设三项都参加的有人，即，， 所以由 即， 解得， 三项都参加的有4人， 故选：C. 4．（2025高三·浙江温州月考）已知全集，则（    ） A．{1} B．{3} C．{4} D．{1，3，4} 【答案】A 【分析】根据交并补的定义求解. 【解析】由题意得，所以； 故选：A. 5．（2025·河南郑州模拟预测）已知全集，集合A满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全集和集合在全集中的补集易得集合，逐一判断选项即可. 【解析】由，，可得或 则，，，，故B项正确，A,C,D项均是错误的. 故选：B. 6．（2025高一·全国月考）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先化简集合A，然后根据补集的定义即可求解. 【解析】根据集合的定义，绝对值的意义可知，逐一带入到中， 只有符合，于是，所以. 故选：D. 7．（2025高一·浙江绍兴·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先确定集合中元素，然后由补集定义求解． 【解析】，又， ∴． 故选：C． 8．（2025高一·江苏宿迁·期末）已知集合，，则的子集的个数为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】根据交集的运算可得. 【解析】由集合，得，故子集的个数为， 故选：C 9．（2025·四川成都模拟预测）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据交集的定义计算可得. 【解析】因为，又， 所以. 故选：C 10．（2025高一·广东汕头·期中）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出集合，然后根据并集的定义可求得结果. 【解析】由，得， 因为， 所以， 故选：B 11．（2025高一·湖南·期中）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出集合，再结合交集的定义求解即可. 【解析】因为，， 所以. 故选：D． 12．（2025高一·广东惠州月考）设全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图可得阴影部分表示的集合为，利用补集运算求出，由交集运算求出． 【解析】由图知所求阴影部分的集合为， ，， 又， ． 故选：D． 13．（2025高一·广东广州月考）已知集合，，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出集合，利用交集的定义可求得集合. 【解析】因为集合，， 因此，. 故选：B. 14．（2025高一·江西赣州·周测）集合且，，，且，，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件利用Venn图进行求解即可． 【解析】作出Venn图如图所示， 则，． 故选：C． 15．（2025高一·江西南昌·期中）已知全集，集台和的关系如图所示，则阴影部分表示的集合的元素共有（    ） A．个 B．个 C．个 D．无穷多个 【答案】B 【分析】由韦恩图可得阴影部分表示的集合为，由交集，补集的概念可得结果. 【解析】由题意，集合， ，所以阴影部分表示的集合为， 有个元素. 故选：B 16．（2025·广西南宁模拟预测）设全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察出图中阴影部分表示的集合为，结合交集的定义即可求解. 【解析】由得， 图中阴影部分表示的集合是，故. 故选：A 17．（2025高一·安徽阜阳月考）若全集，，，则集合等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意结合集合间的运算逐项分析判断． 【解析】因为全集，，， 因为，，，， ，， 则集合 ， 故A、B、C错误，D正确. 故选：D． 18．（2025·河南驻马店模拟预测）已知全集，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据题意，结合集合交集的概念及运算，即可求解. 【解析】由集合，， 因为，可得. 故选：B. 19．（2025·湖南郴州模拟预测）已知集合，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据得可得答案. 【解析】因为，所以，所以. 故选：B． 20．（2025·浙江模拟预测）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求得集合，根据集合的交集运算可得答案. 【解析】由题意得，， 故， 故选：C 21．（2025高一·云南昆明·期中）已知集合，，则（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】由求解即可. 【解析】因为，，所以， 所以或， 故选：. 22．（2025高一·广东惠州月考）对于集合，，定义且，，设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题设定义求出和，再求出即可． 【解析】对于集合，，定义且，， 设，， 则，， 所以. 故选：C． 23．（25-26高一·全国月考）已知集合，，若，且，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】若，且，则，即. 24．（2025高一·广东广州月考）下列五个写法，其中错误写法的个数为（    ） ①；②；③；④；⑤ A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据元素与集合之间的关系、集合与集合之间的关系进行逐一判断. 【解析】对于①，“”是用于元素与集合的关系，①错，应该是. 对于②，是任意非空集合的真子集，②对. 对于③，集合是它本身的子集，③对. 对于④，“”是用于元素与集合的关系，④错. 对于⑤，是用于集合与集合的关系的，⑤错. 所以错误的写法有①④⑤，共3个. 故选：C. 25．（2025·甘肃白银模拟预测）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合中的元素确定集合的关系，结合集合的运算性质，逐项判断即可得答案. 【解析】因为集合，集合， 所以，则，故A，B，D项错误，C项正确. 故选：C. 26．（2008·天津）设集合，，，则 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以，选A． 27．（25-26高一·全国月考）中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二.问：物几何？”现有如下表示：已知，，，若，则下列选项中不符合题意的整数x为（    ） A．23 B．38 C．128 D．233 【答案】B 【解析】解法1  因为，所以，故A符合；因为，所以，故B不符合；因为，所以，故C符合；，所以，故D符合. 解法2  因为，所以且，则且（k，），所以，即，所以.又，所以（c，），即，即，所以.当时，；当时，；当时，. 二、多选题 28．（2025·河南模拟预测）对于的两个非空子集，定义运算，则（    ） A． B． C．若，则 D．表示一个正方形区域 【答案】BC 【分析】由集合的普通运算结合集合新定义逐一判断每个选项即可求解. 【解析】由题意知，表示以数集中的数为横坐标，数集中的数为纵坐标的点的集合，故，故A错误； 因为， 又， 所以，则B正确； 若，则，故C正确； 若，集合只包含一个点，故D错误． 故选：BC． 29．（25-26高一·全国月考）［多选题］已知集合，，若，则实数p的可能取值为（   ） A． B． C．0 D．2 【答案】CD 【分析】解法一可先将p的值逐个代入集合再化简集合求交集看是否符合条件；解法二对集合进行分类讨论，结合二次方程的判别式和韦达定理及题意计算出p的取值范围即可. 【解析】解法一：若，因为，故方程有两个根，又因为两根之积为所以两根同号，且两根之和为故方程有两个正根，故不满足，A错误； 若，则，不满足，B错误； 若，则，满足，C正确； 若，则，满足，D正确. 解法二： 当时，，所以，满足； 当时，此时， 若方程有两个相同实数根，则， 显然当时，方程根为，此时不满足， 当时，方程根为，此时满足， 若方程有两个不同实数根，，此时，所以，同号，且，所以且，所以． 综上可知，实数p的取值范围是；故CD正确 故选：CD 30．（25-26高一·全国月考）已知U为全集，集合M，N是U的子集，若，则下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】根据题意画出图，如图所示，由图可知． 三、填空题 31．（2025高一·全国月考）已知集合，则 ． 【答案】 【解析】因为，所以． 32．（25-26高一·全国月考）已知集合和，满足，，则实数 ． 【答案】 【解析】由题知，但；，但．将和分别代入集合，中，得即解得 33．（2025高一·江苏·假期作业）已知.若，则实数m的取值范围为 . 【答案】或. 【分析】根据，分和两种情况讨论求解. 【解析】已知集合，且， 或 当时，，解得，符合题意； 当时，且， 则或，解得， 综上：实数的取值范围为或. 故答案为：或. 34．（2025高三·全国月考）已知集合，，且，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分析可知，分、两种情况讨论，根据可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围. 【解析】因为，则. 当时，即当时，，满足题意； 当时，即当时，， 由可得，解得，此时. 综上所述，. 故答案为：. 35．（2025高一·四川绵阳月考）已知或，，若，则m的取值范围是 . 【答案】 【分析】求出，由建立不等式即可得解. 【解析】由或，可得， 因为，， 所以且， 解得， 故答案为： 四、解答题 36．（2025高一·湖南月考）为完成一项实地测量任务，夏令营的同学们成立了一支“测绘队”，需要24人参加测量，20人参加计算，16人参加绘图．测绘队的成员中很多同学是多面手，有8人既参加了测量又参加了计算，有6人既参加了测量又参加了绘图，有4人既参加了计算又参加了绘图，另有若干人三项工作都参加了．试问这支测绘队至少有多少人？ 【答案】43 【分析】借助韦恩图分析可解. 【解析】记集合是参加测量的学生，是参加计算的学生， 是参加绘图的学生，则由已知可得如下韦恩图. 所以 已知，故这支测绘队至少有43人. 37．（2025高一·上海宝山月考）设集合，， (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由可知，代入集合分类讨论的取值即可得； （2）根据并集结果可得，再对集合是否为空集进行分类讨论即可得出实数的取值范围. 【解析】（1）由集合可得， 由可得， 故，解得或， 当时，，此时不满足题意，舍去， 当时，，满足题意， 故； （2）由得， 当时，即时，满足题意； 当时，即时，满足题意； 当时，即时，，解得， 综上可得，或； 即实数的取值范围为. 38．（2025高一·湖南张家界月考）已知集合，或． (1)若全集，求、； (2)若全集，求； 【答案】(1)或；或 (2) 【分析】（1）根据题意，由集合的运算即可得到结果； （2）根据题意，由集合的交集，补集运算即可得到结果. 【解析】（1）由题意可得，或 且或，则或 （2）根据题意，且，则可得 则 39．（2025高一·江苏月考）已知集合，，.求： (1)集合； (2)集合； (3)集合，. 【答案】(1)或. (2)或. (3)，或. 【分析】（1）由补集的定义求解即可； （2）由补集和交集的定义求解即可； （3）由交集和并集的定义求解即可. 【解析】（1）借助数轴可得    ∴或. （2）∵，    ∴＝或.    或. （3），    或. 40．（2025高一·江西南昌月考）设集合, (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1); (2). 【分析】（1）根据并集的定义运算即得； （2）由题可得，分类讨论进而可得不等式即得. 【解析】（1）当时，，； （2）， 当时，满足题意，此时，解得； 当时，解得， 实数m的取值范围为. 41．（25-26高一·全国月考）已知集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的值； (3)若，求实数的取值范围； (4)若将题干中集合，变为集合， 或．若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) (4)． 【分析】（1）由，结合数轴即可求解； （2）结合数轴即可求解； （3）由条件得到或，进而可求解； （4）由和两种情况讨论即可. 【解析】（1）因为，所以，画出数轴如图： 所以，解得，故实数的取值范围是． （2）画出数轴如图，因为， 所以，解得． （3）因为，所以或． 又因为，所以或． 故实数的取值范围是． （4）①若，则，所以． ②若，因为，所以，解得． 综上所述，实数的取值范围是． 42．（25-26高一·全国月考）对于非空数集A，若其最大元素为M，最小元素为m，则称集合A的幅值为，若集合A中只有一个元素，则. (1)若，求； (2)若，，，，求的最大值，并写出取最大值时的一组，，. 【答案】(1)3 (2)18，，， 【解析】（1）由集合，知，，所以. （2）因为，，，，由此可知集合，，中各有3个元素，且完全不相同，根据定义要让取到最大值，则只需，，中元素不同且7，8，9分布在3个集合中，4，5，6分布在3个集合中，1，2，3分布在3个集合中，这样差值才会最大，总体才会有最大值，所以的最大值为，所以有一组，，满足题意. 43．（2025高一·福建三明月考）已知集合．若，求实数a的取值范围． 【答案】 【分析】由已知可得，分和两种情况列不等式分别求解即可. 【解析】因为，所以， 当时，则，解得，符合题意； 当时，则，解得； 综上，实数a的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2025-2026学年《解题秘籍》高一数学暑假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 1.3 集合的基本运算11题型分类 课程标准 学习目标 ①理解并集、交集的概念，能进行交、并的混合运算. ②理解全集与补集的意义，能求在给定全集下任何子集的补集 1．能综合运用集合的运算性质，并能正确地进行交、并、补集的综合运算. 2． 理解集合运算的思想，能运用补集思想解题. 一、并集 【思考1】“x∈A或x∈B”包含哪几种情况？ “x∈A或x∈B”这一条件包括下列三种情况：x∈A，但x∉B；x∈B，但x∉A；x∈A，且x∈B.用Venn图表示如图所示． 【思考2】集合A∪B的元素个数是否等于集合A与集合B的元素个数和？ 不等于，A∪B的元素个数小于或等于集合A与集合B的元素个数和． 二、交集 【特别提醒】 交集有下列运算性质：A∩B＝B∩A；A∩A＝A；A∩∅＝∅。 三、全集 1.定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． 2.记法：全集通常记作 U. 【思考】全集一定是实数集R吗？ 全集是一个相对概念，因研究问题的不同而变化，如在实数范围内解不等式， 全集为实数集R，而在整数范围内解不等式，则全集为整数集Z. 四、补集 自然语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁UA 符号语言 ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 图形语言 【特别提醒】 (1)补集是相对于全集而言的，它与全集不可分割．一方面，若没有定义全集，则不存在补集的说法；另一方面，补集的元素逃不出全集的范围． (2)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A为全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的． (3)符号∁UA有三层意思： ①A是U的子集，即A⊆U； ②表示一个集合，且()⊆U； ③是U中不属于A的所有元素组成的集合，即＝{x|x∈U，且x∉A}． (4)若x∈U，则x∈A或x∈，二者必居其一． 五、运算律 (1) 交换律 ，； (2) 结合律 ，； (3) 分配律 ，； (4) 德摩根律 ，. （一） 并集的运算 1、求集合并集的方法 (1)两集合用列举法给出：①依定义，直接观察求并集；②借助Venn图写并集． (2)两集合用描述法给出：①直接观察，写出并集；②借助数轴，求出并集． (3)一个集合用描述法，另一个用列举法：①直接观察，找出并集；②借助图形，观察写出并集． 2、集合并集运算应注意： (1)对于描述法给出的集合，应先看集合的代表元素是什么，然后将集合化简，再按定义求解． (2)求解时要注意集合元素的互异性这一属性的应用，重复的元素只能算一个． (3)无限集进行并集运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值能否取到． 题型1：求两个集合的并集 1．（25-26高一·全国·假期作业）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一·全国·假期作业）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025高二·云南昭通·期末）已知集合{高，考，必，胜}，{昭，通，必，胜}，则（    ） A．{昭，通，必，胜} B．{必，胜} C．{金，榜，题，名} D．{昭，通，高，考，必，胜} 4．（2025高二·天津和平·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 5．（2025高三·天津月考）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 题型2：利用并集运算求参数 6．（25-26高一·全国月考）设集合，，若，则实数a的取值范围为 ． 7．（2025·吉林长春模拟预测）已知集合，，，则（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 8．（2025高一·陕西渭南月考）已知集合，，若，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 9．（2025高三·上海闵行月考）已知集合，且，则实数的取值范围是 . 10．（2025高一·上海月考）已知集合若，则实数的取值范围是 . 11．（2025高二·北京西城月考）已知集合，若，则实数的取值范围是 . 12．（2025高二·宁夏银川·期中）已知集合，若，则实数的取值范围为 （二） 交集的运算 1、求两个集合的交集的方法 (1)对于元素个数有限的集合，逐个挑出两个集合的公共元素即可． (2)对于元素个数无限的集合，一般借助数轴求交集，两个集合的交集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共范围，要注意端点值的取舍．　 2、求集合A∩B的步骤： (1)搞清集合A，B的代表元素是什么； (2)把所求交集的集合用集合符号表示出来； (3)把集合A，B的所有公共元素都写出来即可(若无公共元素，则所求交集为∅) 题型3：求两个集合的交集 13．（2025高一·全国月考）考察下面的问题，集合C与集合A、B之间有什么关系吗？ （1）. （2）是立德中学今年在校的女同学｝，是立德中学今年在校的高一年级同学｝，是立德中学今年在校的高一年级女同学｝. 14．（25-26高一·全国月考）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 15．（2025高二·湖南·学业考试）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 16．（2025高一·天津和平·期中）若集合，，则 . 17．（2025高一·广东月考）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 18．（广东省深圳市2025-2026学年高一学期期末调研考试数学试卷）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 19．（2025高二·陕西西安·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 20．（2025高一·湖南怀化·期末）设集合，集合，则的元素个数为（   ） A． B． C． D． 21．（2025高二·江西·期末）若集合，，（    ） A． B． C． D． 22．（2025高一·云南曲靖·期中）已知集合，，则的真子集个数是（    ） A．3 B．4 C．7 D．8 题型4：利用交集运算求参数 23．（2025高二·北京·期中）已知集合，集合，若，则可以为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 24．（2025高一·湖北月考）已知全集，，若，则（    ） A． B． C． D． 25．（2025高一·安徽月考）已知集合，，若，则实数a取值集合为（    ） A． B． C． D． 26．（2025高二·云南临沧·期末）已知集合，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 27．（2025高二·重庆月考）已知集合，，若，则（ ） A． B． C． D． 28．（2025·重庆沙坪坝模拟预测）已知集合. 若，则的取值范围为 . （三） 补集的基本运算 求集合补集的基本方法及处理技巧 (1)基本方法：定义法． (2)两种处理技巧： ①当集合用列举法表示时，可借助Venn图求解； ②当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解． 题型5：求两个集合的补集 29．（2025高一·全国月考）高一(1)班参加足球队的同学，高一(1)班没有参加足球队的同学高一(1)班的同学． (1)集合有何关系？ (2)中元素与和有何关系？ 30．（2025高一·四川眉山·期末）设全集，，则（    ） A． B． C． D． 31．（2025高二·云南昆明·期中）设全集或，则＝（    ） A．或 B．或 C． D．{0，1，2，3，4，5，6} 32．（2025高二·贵州月考）已知集合，，则（    ） A． B．或 C．或 D．或 题型6：利用补集运算求参数 33．（25-26高一·全国月考）设集合，，，则（   ） A． B． C． D． 34．（2025·全国一卷）设全集，集合，则中元素个数为（   ） A．0 B．3 C．5 D．8 35．（2025高二·云南昭通·期中）设全集，集合A满足，则（   ） A． B． C． D． 36．（2025高一·安徽滁州月考）设全集，且，若，则 . 37．（2025高三·全国月考）设全集，集合满足，则（    ） A． B． C． D． 38．（2025·辽宁鞍山模拟预测）设全集，集合，，则实数的值为（    ） A．0 B．-1 C．2 D．0或2 39．（2025高一·浙江温州月考）已知集合，，求实数的值. （四） 集合交、并、补集的综合运算 1、解决集合交、并、补运算的技巧 （1）如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解.在解答过程中常常借助于Venn图来求解. （2）如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算.解答过程中要注意边界问题. 2、涉及“B⊆A”或“且A≠∅”的问题，一定要分B＝∅和B≠∅两种情况进行讨论，其中B＝∅的情况易被忽略，应引起足够的重视． 3、求解含参数的集合运算问题首先要借助数轴的直观性求参数的范围，再者还要注意参数的端点值是否能够取到. 题型7：利用集合的交并补运算求集合 40．（2025高一·福建漳州·期末）已知集合则（    ） A． B． C． D． 41．（山西省大同市2025-2026学年高一学期期末数学试题）已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 42．（2025·海南海口模拟预测）设全集，，，则（    ） A．{1，2} B． C． D． 43．（2025高一·江苏南通·期末）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 44．（2025高一·云南红河·期中）已知全集，则 . 45．（2025高一·广东广州月考）已知全集，集合，，求，. 46．（2025高一·广东惠州月考）已知集合 ， (1)若，求， (2)若集合是集合的真子集，求实数的取值范围． 47．（2025高一·四川眉山·期中）已知为实数，集合，全集. (1)若，求； (2)若，求实数的值. 题型8：利用集合的交并补集运算求参数范围 48．（2025·湖南邵阳模拟预测）已知全集，，则集合（    ） A． B． C． D． 49．（2025高一·四川绵阳月考）已知或，，若，则m的取值范围是 . 50．（25-26高一·全国月考）已知集合，且，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 51．（25-26高一·全国月考）已知集合． (1)若，求实数a的值； (2)从条件①②③中选择一个作为已知条件，求实数a的取值范围． 条件：①；②；③． 52．（2025高一·山东菏泽月考），，，，则 . （五） Venn图的应用及集合的新定义问题 1、韦恩图的应用 韦恩(Venn)图能更直观地表示集合之间的关系，先分析集合关系，化简集合，再由韦恩(Venn)图所表示的集合关系进行运算．对复杂的集合关系问题，或相关的数学应用问题，可通过构造韦恩(Venn)图进行求解． 2、集合新定义问题的求解思路 (1)遇到新定义问题，先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到解题的过程中，这是解答新定义型问题的关键所在； (2)集合的性质是解答集合新定义问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些条件． 题型9：韦恩图的应用 53．（2025·山东济南模拟预测）已知全集，则图中阴影部分代表的集合为（    ） A． B． C． D． 54．（2025高一·浙江月考）设全集，则图中阴影部分对应的集合是（    ）    A． B． C． D． 55．（重庆市（康德卷）2025-2026学年高二学期期末联合检测数学试题）已知全集，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 56．（2025高二·上海杨浦·期末）如图，已知集合，，则图中阴影部分所表示的集合 ．    57．（2025高一·全国·课前预习）已知表示集合和关系的Venn图如图所示，则阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 58．（2025高二·河北邯郸月考）如图所示的Venn图中阴影部分所表示的集合为（      ） A． B． C． D． 59．（25-26高一·全国月考）设为全集，，，都是它的子集，则下图中阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 题型10：容斥原理 60．（2025高一·上海月考）向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A，B都不赞成的学生数比对A，B都赞成的学生数的三分之一多1人．问对A，B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？ 61．（2025高三·云南昆明月考）某班一个课外调查小组调查了该班同学对物理和历史两门学科的兴趣爱好情况，其中该班同学对物理或历史感兴趣的同学占90％，对物理感兴趣的占56％，对历史感兴趣的占74％，则既对物理感兴趣又对历史感兴趣的同学占该班学生总数的比例是（    ） A．70％ B．56％ C．40％ D．30％ 62．（2025高一·上海·假期作业）学校举办秋季趣味运动会，高一（6）班共42名学生报名参加，已知报名参加跑步的有16人，参加跳绳的有24人，参加踢毽子的有12人，其中有8人兼报了两个项目，则兼报三个项目的共 人． 63．（2025高三·全国月考）某小学对小学生的课外活动进行了调查．调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有人，参加唱歌课外活动的有人，参加体育课外活动的有人，三种课外活动都参加的有人，选择两种课外活动参加的有人，不参加其中任何一种课外活动的有人．则接受调查的小学生共有（    ） A．人 B．人 C．人 D．人 64．（2025高一·四川眉山·期中）高三1班有12名同学读过《牡丹亭》，有8名同学读过《醒世恒言》，两者都读过的同学有4名，则该班学生中至少读过《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的学生有（    ） A．16人 B．18人 C．20人 D．24人 65．（2025高一·全国月考）某单位周一、周二开车上班的职工人数分别是14， .若这两天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这两天中一天开车一天不开车上班的职工人数是（   ） A． B． C． D． 66．（2025高一·全国月考）为弘扬红色文化、传承文化精神，某校在假期来临之际布置了一项红色文化学习的社会实践活动作业，并在开学后随机抽查了100名学生的完成情况（每个同学至少参加一项活动），其中有52人观看了红色电影，43人参观了烈士陵园，49人参观了红色教育基地，既观看红色电影又参观烈士陵园的有24人，既观看红色电影又参观红色教育基地的有20人，既参观烈士陵园又参观红色教育基地的有17人，则三项活动都参加的人数为 ． 题型11：集合新定义问题 67．（2025高一·黑龙江哈尔滨月考）对于任意两集合A，B，定义且，记，则 ． 68．（25-26高一·全国月考）已知A，B是非空集合，若，且满足，则称a，b是集合A，B的一对“基因元”．若集合，则A，B的“基因元”的对数是 ． 69．（2025高一·广东惠州月考）对于集合，，定义且，，设，，则（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（2025高一·江西赣州·期中）定义运算：.若集合，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025高一·湖南长沙·期末）已知集合，则中元素的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（2025高一·山东临沂·期末）我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，用表示有限集合中元素的个数.例如，，则.容斥原理告诉我们，如果被计数的事物有三类，那么，.某校初一四班学生46人，寒假参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球排球都参加的有12人，足球游泳都参加的有9人，排球游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人？（教材阅读与思考改编）（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（2025高三·浙江温州月考）已知全集，则（    ） A．{1} B．{3} C．{4} D．{1，3，4} 5．（2025·河南郑州模拟预测）已知全集，集合A满足，则（    ） A． B． C． D． 6．（2025高一·全国月考）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 7．（2025高一·浙江绍兴·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 8．（2025高一·江苏宿迁·期末）已知集合，，则的子集的个数为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 9．（2025·四川成都模拟预测）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 10．（2025高一·广东汕头·期中）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 11．（2025高一·湖南·期中）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 12．（2025高一·广东惠州月考）设全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ）    A． B． C． D． 13．（2025高一·广东广州月考）已知集合，，那么（    ） A． B． C． D． 14．（2025高一·江西赣州·周测）集合且，，，且，，，则（       ） A． B． C． D． 15．（2025高一·江西南昌·期中）已知全集，集台和的关系如图所示，则阴影部分表示的集合的元素共有（    ） A．个 B．个 C．个 D．无穷多个 16．（2025·广西南宁模拟预测）设全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 17．（2025高一·安徽阜阳月考）若全集，，，则集合等于（    ） A． B． C． D． 18．（2025·河南驻马店模拟预测）已知全集，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 19．（2025·湖南郴州模拟预测）已知集合，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 20．（2025·浙江模拟预测）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 21．（2025高一·云南昆明·期中）已知集合，，则（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 22．（2025高一·广东惠州月考）对于集合，，定义且，，设，，则（    ） A． B． C． D． 23．（25-26高一·全国月考）已知集合，，若，且，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 24．（2025高一·广东广州月考）下列五个写法，其中错误写法的个数为（    ） ①；②；③；④；⑤ A． B． C． D． 25．（2025·甘肃白银模拟预测）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 26．（2008·天津）设集合，，，则 A． B． C． D． 27．（25-26高一·全国月考）中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二.问：物几何？”现有如下表示：已知，，，若，则下列选项中不符合题意的整数x为（    ） A．23 B．38 C．128 D．233 二、多选题 28．（2025·河南模拟预测）对于的两个非空子集，定义运算，则（    ） A． B． C．若，则 D．表示一个正方形区域 29．（25-26高一·全国月考）［多选题］已知集合，，若，则实数p的可能取值为（   ） A． B． C．0 D．2 30．（25-26高一·全国月考）已知U为全集，集合M，N是U的子集，若，则下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 31．（2025高一·全国月考）已知集合，则 ． 32．（25-26高一·全国月考）已知集合和，满足，，则实数 ． 33．（2025高一·江苏·假期作业）已知.若，则实数m的取值范围为 . 34．（2025高三·全国月考）已知集合，，且，则实数m的取值范围是 ． 35．（2025高一·四川绵阳月考）已知或，，若，则m的取值范围是 . 四、解答题 36．（2025高一·湖南月考）为完成一项实地测量任务，夏令营的同学们成立了一支“测绘队”，需要24人参加测量，20人参加计算，16人参加绘图．测绘队的成员中很多同学是多面手，有8人既参加了测量又参加了计算，有6人既参加了测量又参加了绘图，有4人既参加了计算又参加了绘图，另有若干人三项工作都参加了．试问这支测绘队至少有多少人？ 37．（2025高一·上海宝山月考）设集合，， (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 38．（2025高一·湖南张家界月考）已知集合，或． (1)若全集，求、； (2)若全集，求； 39．（2025高一·江苏月考）已知集合，，.求： (1)集合； (2)集合； (3)集合，. 40．（2025高一·江西南昌月考）设集合, (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围． 41．（25-26高一·全国月考）已知集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的值； (3)若，求实数的取值范围； (4)若将题干中集合，变为集合， 或．若，求实数的取值范围． 42．（25-26高一·全国月考）对于非空数集A，若其最大元素为M，最小元素为m，则称集合A的幅值为，若集合A中只有一个元素，则. (1)若，求； (2)若，，，，求的最大值，并写出取最大值时的一组，，. 43．（2025高一·福建三明月考）已知集合．若，求实数a的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$