专题01 集合（12大题型+思维导图+知识清单+课后提升练）（寒假复习讲义）-2026年高一数学寒假预科讲义（人教A版）

专题01 集合 【人教A版】 【知识清单1 集合的概念】 1．元素与集合的概念及表示 (1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示． (2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示． (3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的． 2．元素的特性 (1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”． (2)互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”． (3)无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”． 【注】：集合的判断从元素的三要素入手，考察确定性的问题一般出现在自然语言表示的集合，要注意题目中不明确的词语，例如：“很大”、“著名”等；考察互异性的问题一般是针对数字类的题目，注意同一个数字不同的表示方法. 【知识清单2 元素与集合的关系】 1．元素与集合的关系 (1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A． (2)不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A． 【注】符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换. 2．常用的数集及其记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 【知识清单3 集合的表示法】 1．列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 【注】：(1)元素与元素之间必须用“，”隔开． (2)集合中的元素必须是明确的． (3)集合中的元素不能重复． (4)集合中的元素可以是任何事物． 2．描述法 (1)定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． (2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 3．图示法 图示法，又称韦恩图法、韦氏图法，是一种利用二维平面上的点集表示集合的方法.一般用平面上的矩形或圆形表示一个集合，是集合的一种直观的图形表示法. 【知识清单4 集合的子集】 1．子集的概念 定义 一般地，对于两个集合A,B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，称集合A为集合B的子集 记法 与读法 记作(或)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 或 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即； (2)对于集合A,B,C，若，且，则 2．真子集的概念 定义 如果集合，但存在元素，且，我们称集合A是集合B的真子集 记法 记作(或) 图示 结论 (1)且，则； (2)，且，则 【注】(1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B. (2)不能把“”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B. (3)特殊情形：如果集合A中存在着不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集合A. (4)对于集合A，B，C，若，，则；任何集合都不是它本身的真子集. (5)若，且，则. (6)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n-1个，非空子集有2n-1个，非空真子集有2n-2个. 【知识清单5 集合相等与空集】 1．集合相等的概念 如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A⊆B且B⊆A，则A＝B. 2．空集的概念 (1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅. (2)规定：空集是任何集合的子集. 【注】注意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集. 3．Venn图的优点及其表示 (1)优点：形象直观. (2)表示：通常用封闭曲线的内部表示集合. 【知识清单6 集合间关系的性质】 1．集合间关系的性质 (1)任何一个集合都是它本身的子集，即AA. (2)对于集合A，B，C， ①若AB，且BC，则AC； ②若AB，B=C，则AC. (3)若AB，A≠B，则AB. 【知识清单7 交集、并集与补集】 1．并集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”) A∪B={x|x∈ A,或x∈ B} 2．交集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”) A∩B={x|x∈ A,且x∈ B} 【注】(1)两个集合的并集、交集还是一个集合． (2)对于A∪B，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素． (3)A∩B是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成． 3．全集 (1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)符号表示：全集通常记作U. 4．补集 定义 文字 语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA 符号 语言 ∁UA={x|x∈U,且x∉A} 图形 语言 性质 (1) (2) 【注】∁UA的三层含义： (1)∁UA表示一个集合； (2)A是U的子集，即A⊆U； (3)∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合． 5．集合关系的转化 A∩B=A等价于A是B的子集；A∪B=A等价于B是A的子集. 6．集合的运算性质 (1)A∩A=A，A∩∅=∅，A∩B=B∩A. (2)A∪A=A，A∪∅=A，A∪B=B∪A. 【知识清单8 Venn图表达集合的关系和运算】 1．Venn图表达集合的运算 如图所示的阴影部分是常用到的含有两个集合运算结果的Venn图表示. 2．Venn图的应用 在部分有限集中，我们经常遇到元素个数的问题，常用Venn图表示两个集合的交、并、补集，借助于Venn图解决集合问题，直观简捷，事半功倍.用Card表示有限集中元素的个数，即Card(A)表示有限集A的元素个数. 【题型1 对集合概念的理解】 【例1】（25-26高一上·贵州·期中）下列能够构成一个集合的是（    ） A．不超过9的所有正整数 B．高中数学书上的难题 C．与2接近的数 D．高一学生中的篮球高手 【变式1.1】（25-26高一上·广东深圳·期中）下列各组对象能组成集合的是（    ） A．深圳中学高中园2025级羽毛球打得好的学生 B．深圳中学高中园2025级幽默的学生 C．深圳中学高中园2025级所有女生 D．深圳中学高中园2025级学生感兴趣的学科 【变式1.2】（25-26高一上·天津和平·月考）下列各组对象不能构成集合的是（   ） A．所有的正方形 B．方程的整数解 C．我国较长的河流 D．出席十九届四中全会的全体中央委员 【变式1.3】（25-26高一上·天津·月考）下列集合的表示法正确的是（   ） A．自然数集可表示为 B．由、、、、构成的集合是 C．满足的构成的集合是 D．二次函数上的所有点的坐标构成的集合是 【题型2 元素与集合的关系】 【例2】（25-26高一上·天津武清·期中）给出下列关系：①；②；③；④；⑤.其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2.1】（25-26高一上·海南海口·月考）已知集合，若，则（   ） A． B． C．或 D．1或 【变式2.2】（25-26高一上·广东清远·期中）下列关系中，正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式2.3】（25-26高一上·重庆·期中）已知集合，且，则（    ） A． B．或 C．3 D． 【题型3 集合中元素的个数问题】 【例3】（25-26高一上·天津滨海新·月考）集合中的元素个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3.1】（25-26高一上·江西九江·月考）集合，若集合中恰有5个元素，则（   ） A． B． C． D． 【变式3.2】（25-26高一上·贵州·期中）已知集合，．则集合中的元素个数是（   ） A．9 B．8 C．7 D．6 【变式3.3】（25-26高一上·湖南长沙·月考）如果集合 中只有一个元素，则实数的所有可能值的和为（   ） A．5 B．4 C．3 D．1 【题型4 有限集合子集、真子集的确定】 【例4】（25-26高一上·全国·月考）已知集合，则集合的真子集个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式4-1】（25-26高一上·广东·期末）设集合，则的子集个数有（    ） A．16 B．64 C．128 D．212 【变式4-2】（25-26高一上·江苏苏州·期中）利用列举法求集合的子集的过程中，含有三个元素的子集共有（    ） A．8个 B．9个 C．10个 D．11个 【变式4-3】（25-26高一上·云南红河·期中）已知集合，，则B的子集个数为（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 【题型5 判断集合间的关系】 【例5】（25-26高一上·天津河北·月考）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D．与没有包含关系 【变式5-1】（25-26高一上·天津河北·月考）下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥，正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式5-2】（25-26高一上·山东济宁·月考）若集合，则A，B，C之间的关系是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（25-26高一上·重庆·月考）已知集合 ，，则的关系满足（   ） A． B． C． D． 【题型6 根据集合间的关系求参数】 【例6】（25-26高一上·广东·期末）设集合，，满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25高一下·湖南衡阳·月考）已知集合，已知，若，则实数m的取值范围（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26高一上·海南·期中）已知集合. (1)若，求； (2)若，求的取值集合. 【变式6-3】（2025高一·全国·专题练习）已知集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【题型7 交集、并集、补集运算】 【例7】（25-26高一上·云南玉溪·月考）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26高一上·山东聊城·月考）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26高一上·重庆·期中）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】（25-26高一上·山东潍坊·期中）已知集合，则中元素的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型8 交、并、补集的混合运算】 【例8】（25-26高一上·湖南益阳·月考）已知全集， 集合，则（   ） A． B． C． D． 【变式8.1】（25-26高一上·福建厦门·期中）已知全集，那么是（    ） A． B． C． D． 【变式8.2】（25-26高一上·四川·月考）已知全集，，. (1)求； (2)求. 【变式8.3】（25-26高一上·天津滨海新·月考）已知集合， (1)求；． (2)若全集，求及． 【题型9 集合运算中的求参问题】 【例9】（25-26高一上·江苏无锡·月考）已知集合，集合，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（25-26高一上·福建三明·月考）已知集合，，若，则的取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（25-26高一上·广西南宁·期中）已知集合或． (1)当时，求； (2)若，求的取值范围． 【变式9-3】（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合． (1)若，求实数a的值； (2)从条件①②③中选择一个作为已知条件，求实数a的取值范围． 条件：①；②；③． 【题型10 Venn图表达集合的关系和运算】 【例10】（25-26高一上·安徽芜湖·月考）如图，已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【变式10-1】（25-26高一上·山东烟台·月考）如图，全集，，，则图中阴影部分所表示的集合为（    ）    A． B． C． D． 【变式10-2】（24-25高一上·福建福州·期中） 设全集，集合，或 (1)求图中阴影部分表示的集合； (2)已知集合，若，求的取值范围. 【变式10-3】（25-26高一上·重庆永川·月考）已知，.    (1)求和； (2)若记符号且，在图中把表示“集合”的部分用阴影涂黑，并求出. 【题型11 容斥原理的应用】 【例11】（25-26高一上·江苏宿迁·期中）高一（1）班45名同学中有10人参加了物理兴趣小组，14人参加了化学兴趣小组.已知都未参加的有25人，则同时参加的人数为（    ） A．2 B．4 C．1 D．3 【变式11-1】（25-26高一上·陕西咸阳·期中）某班学生积极参加学校组织的体育特色课堂，课堂分为球类项目、径赛项目、其他健身项目．该班有25名同学选择球类项目，20名同学选择径赛项目，18名同学选择其他健身项目；其中有6名同学同时选择和，4名同学同时选择和，3名同学同时选择和．若全班同学每人至少选择一类项目且有2名同学同时选择三类项目，则这个班同学人数是（   ） A．52 B．51 C．50 D．49 【变式11-2】（25-26高一上·四川广安·月考）某班共48人，其中25人喜爱篮球运动，20人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为（   ） A．17 B．22 C．15 D．20 【变式11-3】（25-26高一上·河北沧州·月考）“量子计算机原型机‘九章三号’”“可重复使用试验航天器”“新一代人工智能大模型‘紫东太初3.0’”是2025年我国三大前沿科技成果，某校高一（1）班共有28名同学，每名同学至少关注一项科技成果，其中有15人关注了“九章三号”，有8人关注了“可重复使用试验航天器”，有14人关注了“紫东太初3.0”，有3人同时关注了“九章三号”和“可重复使用试验航天器”，有3人同时关注了“九章三号”和“紫东太初3.0”，没有人同时关注这三大科技成果.则只关注了“紫东太初3.0”的人数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【题型12 集合中的新定义问题】 【例12】（25-26高一上·江西宜春·月考）设、是非空集合，定义且，若，，则等于（   ） A．，或 B．，或 C． D． 【变式12.1】（2025高三·全国·专题练习）设，是两个非空集合，定义与的差集，则等于（    ） A．P B． C． D．M 【变式12.2】（25-26高一上·上海·期中）设是由有限个正整数组成的集合，定义．如果，称是“好集”．例如，时，，所以不是“好集”． (1)判断是否为“好集”，并说明理由； (2)求所有的集合，使得①；②是“好集”；③不存在“好集”，使得是的真子集． 【变式12.3】（25-26高一上·山东聊城·期中）设集合是至少含有两个元素的数集，若中存在两个元素，满足它们的积，则称为可积数集. (1)设集合，试判断是否为可积数集？并说明理由； (2)设集合，若为可积数集，求实数的取值集合； (3)设集合，若不是可积数集，求实数的取值范围. 一、单选题 1．（25-26高一上·重庆·月考）下列各组对象中，能构成集合的是（   ） A．2025年重庆市高考数学全国II卷中的难题 B．重庆市某高级中学高一年级身高较高的学生 C．人教A版《数学》必修第一册课本中的所有习题 D．美丽的小鸟 2．（25-26高一上·湖南长沙·月考）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·山东·期中）已知，则满足条件的集合的个数为（    ） A．1 B．3 C．4 D．7 4．（25-26高一上·安徽·期中）已知集合，若，则满足条件的实数的个数为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·湖南·月考）已知全集，集合，则如图所示的阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·重庆·期中）定义，若，则中元素个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知全集，若，则实数的值为（    ） A．1 B．3 C．-1或-3 D．1或3 8．（2025高一·上海·专题练习）设集合，集合，若，实数取值的集合，则下列命题正确的为（    ） A． B． C．集合的子集有7个 D．集合的真子集为6个 二、多选题 9．（25-26高一上·浙江·期中）已知集合，且，则的值可以为（    ） A．3 B． C．-3 D． 10．（25-26高一上·安徽黄山·期中）设集合，若，则实数的值可以为（    ） A． B． C． D．0 11．（25-26高一上·江西赣州·期中）设集合，，则（   ） A．当时， B．当时，有4个元素 C．当时， D． 三、填空题 12．（25-26高一上·上海·期中）集合可用列举法表示为 ． 13．（25-26高一上·福建龙岩·期中）已知集合，，若，则 . 14．（25-26高一上·天津河北·月考）已知全集，、均为的子集，，，则集合的真子集的个数为 ． 四、解答题 15．（25-26高一上·全国·课堂例题）用描述法表示下列集合： (1)不等式的解组成的集合； (2)正偶数组成的集合； (3)函数的图像上所有的点组成的集合． 16．（24-25高一上·广东中山·月考）已知集合. (1)若中有两个元素，求实数的取值范围； (2)若中至多有一个元素，求实数取值范围. 17．（25-26高一上·宁夏银川·月考）设集合，已知． (1)求集合； (2)写出集合的所有子集： (3)设集合，若，求实数的取值范围． 18．（25-26高一上·陕西西安·期中）已知集合，. (1)若，求； (2)从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并进行解答. 问题：若选__________，求实数的取值范围. 19．（24-25高一上·云南玉溪·期末）设是正整数，是的非空子集（至少有两个元素），如果对于中的任意两个元素，，都有，则称具有性质． (1)试判断集合是否具有性质？并说明理由； (2)若集合，证明不可能具有性质； (3)若集合具有性质和，中最多有几个元素，并说明理由． 第 1 页 共 29 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 集合 【人教A版】 【知识清单1 集合的概念】 1．元素与集合的概念及表示 (1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示． (2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示． (3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的． 2．元素的特性 (1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”． (2)互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”． (3)无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”． 【注】：集合的判断从元素的三要素入手，考察确定性的问题一般出现在自然语言表示的集合，要注意题目中不明确的词语，例如：“很大”、“著名”等；考察互异性的问题一般是针对数字类的题目，注意同一个数字不同的表示方法. 【知识清单2 元素与集合的关系】 1．元素与集合的关系 (1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A． (2)不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A． 【注】符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换. 2．常用的数集及其记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 【知识清单3 集合的表示法】 1．列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 【注】：(1)元素与元素之间必须用“，”隔开． (2)集合中的元素必须是明确的． (3)集合中的元素不能重复． (4)集合中的元素可以是任何事物． 2．描述法 (1)定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． (2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 3．图示法 图示法，又称韦恩图法、韦氏图法，是一种利用二维平面上的点集表示集合的方法.一般用平面上的矩形或圆形表示一个集合，是集合的一种直观的图形表示法. 【知识清单4 集合的子集】 1．子集的概念 定义 一般地，对于两个集合A,B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，称集合A为集合B的子集 记法 与读法 记作(或)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 或 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即； (2)对于集合A,B,C，若，且，则 2．真子集的概念 定义 如果集合，但存在元素，且，我们称集合A是集合B的真子集 记法 记作(或) 图示 结论 (1)且，则； (2)，且，则 【注】(1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B. (2)不能把“”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B. (3)特殊情形：如果集合A中存在着不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集合A. (4)对于集合A，B，C，若，，则；任何集合都不是它本身的真子集. (5)若，且，则. (6)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n-1个，非空子集有2n-1个，非空真子集有2n-2个. 【知识清单5 集合相等与空集】 1．集合相等的概念 如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A⊆B且B⊆A，则A＝B. 2．空集的概念 (1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅. (2)规定：空集是任何集合的子集. 【注】注意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集. 3．Venn图的优点及其表示 (1)优点：形象直观. (2)表示：通常用封闭曲线的内部表示集合. 【知识清单6 集合间关系的性质】 1．集合间关系的性质 (1)任何一个集合都是它本身的子集，即AA. (2)对于集合A，B，C， ①若AB，且BC，则AC； ②若AB，B=C，则AC. (3)若AB，A≠B，则AB. 【知识清单7 交集、并集与补集】 1．并集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”) A∪B={x|x∈ A,或x∈ B} 2．交集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”) A∩B={x|x∈ A,且x∈ B} 【注】(1)两个集合的并集、交集还是一个集合． (2)对于A∪B，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素． (3)A∩B是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成． 3．全集 (1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)符号表示：全集通常记作U. 4．补集 定义 文字 语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA 符号 语言 ∁UA={x|x∈U,且x∉A} 图形 语言 性质 (1) (2) 【注】∁UA的三层含义： (1)∁UA表示一个集合； (2)A是U的子集，即A⊆U； (3)∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合． 5．集合关系的转化 A∩B=A等价于A是B的子集；A∪B=A等价于B是A的子集. 6．集合的运算性质 (1)A∩A=A，A∩∅=∅，A∩B=B∩A. (2)A∪A=A，A∪∅=A，A∪B=B∪A. 【知识清单8 Venn图表达集合的关系和运算】 1．Venn图表达集合的运算 如图所示的阴影部分是常用到的含有两个集合运算结果的Venn图表示. 2．Venn图的应用 在部分有限集中，我们经常遇到元素个数的问题，常用Venn图表示两个集合的交、并、补集，借助于Venn图解决集合问题，直观简捷，事半功倍.用Card表示有限集中元素的个数，即Card(A)表示有限集A的元素个数. 【题型1 对集合概念的理解】 【例1】（25-26高一上·贵州·期中）下列能够构成一个集合的是（    ） A．不超过9的所有正整数 B．高中数学书上的难题 C．与2接近的数 D．高一学生中的篮球高手 【答案】A 【解题思路】由集合元素的确定性即可判断. 【解答过程】对于A：符合集合元素的确定性，正确； 对于BCD，都不符合集合元素的确定性，错误， 故选：A. 【变式1.1】（25-26高一上·广东深圳·期中）下列各组对象能组成集合的是（    ） A．深圳中学高中园2025级羽毛球打得好的学生 B．深圳中学高中园2025级幽默的学生 C．深圳中学高中园2025级所有女生 D．深圳中学高中园2025级学生感兴趣的学科 【答案】C 【解题思路】根据集合的概念判断即可． 【解答过程】对于ABD，羽毛球打得好，幽默的学生，学生感兴趣的学科， 都没有一个标准，对象不确定，故ABD错误； 对于C，2025级所有女生是确定的，可以组成集合，故C正确． 故选：C． 【变式1.2】（25-26高一上·天津和平·月考）下列各组对象不能构成集合的是（   ） A．所有的正方形 B．方程的整数解 C．我国较长的河流 D．出席十九届四中全会的全体中央委员 【答案】C 【解题思路】根据集合元素的特性，判断每个选项，即可得答案. 【解答过程】对于A，所有的正方形，对象是明确的，元素具有确定性，可以构成集合，A不符合题意； 对于B，方程一旦给定，它的解的情况是确定的，若方程有整数解， 具有确定性，能构成集合；若方程无整数解，将为空集，B不符合题意； 对于C，我国较长的河流，对象不明确，元素不确定，故不能构成集合，C符合题意； 对于D，出席十九届四中全会的全体中央委员是确定的，对象明确，元素具有确定性， 能构成集合，D不符合题意； 故选：C. 【变式1.3】（25-26高一上·天津·月考）下列集合的表示法正确的是（   ） A．自然数集可表示为 B．由、、、、构成的集合是 C．满足的构成的集合是 D．二次函数上的所有点的坐标构成的集合是 【答案】A 【解题思路】利用常用数集的表示可判断A选项；利用集合元素的互异性可判断B选项；利用集合的表示法可判断CD选项. 【解答过程】对于A选项，自然数集可表示为，A对； 对于B选项，由、、、、构成的集合是，B错； 对于C选项，满足的构成的集合是，C错； 对于D选项，二次函数上的所有点的坐标构成的集合是，D错. 故选：A. 【题型2 元素与集合的关系】 【例2】（25-26高一上·天津武清·期中）给出下列关系：①；②；③；④；⑤.其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】利用常用数集的范围和元素与集合的关系即可判断. 【解答过程】因为，，，分别表示正整数集，整数集，有理数集，实数集； 是正整数，即，故①错误；是整数，即，故②错误； 是无理数，故③错误；是实数，故④正确；是有理数，故⑤正确. 故选：B. 【变式2.1】（25-26高一上·海南海口·月考）已知集合，若，则（   ） A． B． C．或 D．1或 【答案】B 【解题思路】分和讨论即可. 【解答过程】若，则①，解得，此时，不满足集合互异性，舍去； ②，解得或（舍去）， 当时，，满足题意， 则. 故选：B. 【变式2.2】（25-26高一上·广东清远·期中）下列关系中，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由数集字母表示可得答案. 【解答过程】表示正整数集，表示有理数集，表示非负整数集，表示整数集. 对于A，因为不是正整数，所以，故A错误； 对于B，因为是无理数，所以，故B错误； 对于C，因为2是自然数，所以，故C正确； 对于D，因为不是整数，所以，故D错误. 故选：C. 【变式2.3】（25-26高一上·重庆·期中）已知集合，且，则（    ） A． B．或 C．3 D． 【答案】D 【解题思路】根据元素与集合的关系及元素的互异性求解即可. 【解答过程】由题意， 是集合 的元素，则 或 ，解得 或 . 根据集合元素的互异性检验：当 时， 且 ，集合 中出现重复元素，故舍去； 当 时，，，集合 ，符合题意. 综上，. 故选：. 【题型3 集合中元素的个数问题】 【例3】（25-26高一上·天津滨海新·月考）集合中的元素个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解题思路】讨论的值，从而得到的值即可求解. 【解答过程】因为集合，所以，， 当时，，满足条件； 当时，，满足条件； 当时，不是整数，不满足条件； 当时，，满足条件； 综上：共有3个元素； 故选：C. 【变式3.1】（25-26高一上·江西九江·月考）集合，若集合中恰有5个元素，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据集合的元素可求得的范围. 【解答过程】若集合中恰有5个元素，则， 所以. 故选：C. 【变式3.2】（25-26高一上·贵州·期中）已知集合，．则集合中的元素个数是（   ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，利用列举法求出集合即可. 【解答过程】集合，，则集合， 所以集合中的元素个数是7. 故选：C. 【变式3.3】（25-26高一上·湖南长沙·月考）如果集合 中只有一个元素，则实数的所有可能值的和为（   ） A．5 B．4 C．3 D．1 【答案】B 【解题思路】分和两种情况讨论求解即得． 【解答过程】当，即时，方程为有唯一解为，符合题意； 当，即时，由集合有且只有一个元素， 可得判别式，解得， 综上可知或， 故实数的所有可能值的和为4. 故选：B． 【题型4 有限集合子集、真子集的确定】 【例4】（25-26高一上·全国·月考）已知集合，则集合的真子集个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解题思路】先得到集合，再根据集合真子集个数计算即可． 【解答过程】已知集合，则集合的真子集个数为． 故选：C． 【变式4-1】（25-26高一上·广东·期末）设集合，则的子集个数有（    ） A．16 B．64 C．128 D．212 【答案】C 【解题思路】根据题意，求得集合，结合子集的个数的计算方法，即可求解. 【解答过程】由集合， 所以集合的子集个数有． 故选：C． 【变式4-2】（25-26高一上·江苏苏州·期中）利用列举法求集合的子集的过程中，含有三个元素的子集共有（    ） A．8个 B．9个 C．10个 D．11个 【答案】C 【解题思路】列举出集合含有三个元素的子集即可求出答案. 【解答过程】集合含有三个元素的子集有，，，，，，，，，. 所以集合含有三个元素的子集共有个. 故选：C. 【变式4-3】（25-26高一上·云南红河·期中）已知集合，，则B的子集个数为（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】B 【解题思路】根据题意求得B，再求解子集个数即可. 【解答过程】由题意，B中的元素包括，即，故. 故B的子集个数为. 故选：B. 【题型5 判断集合间的关系】 【例5】（25-26高一上·天津河北·月考）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D．与没有包含关系 【答案】A 【解题思路】根据集合的子集的定义即可求解. 【解答过程】由，因为，所以， 又，所以， 故选：A. 【变式5-1】（25-26高一上·天津河北·月考）下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥，正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解题思路】运用集合的基本关系与概念：集合间的包含关系（子集、相等集合）；空集的定义与性质；元素与集合、集合与集合的区别. 【解答过程】①： 子集的定义是：若集合的所有元素都属于集合，则， 中的元素属于，因此是的子集，①正确； ②： 集合具有“无序性”，和是同一个集合；而任何集合都是自身的子集，故②正确； ③： 空集的性质：空集是任何集合的子集，因此是的子集，③正确； ④： 空集是“不含任何元素的集合”，而是包含元素的集合，二者元素不同，因此，④错误； ⑤： 是“包含两个数、的集合”，而是“包含一个有序数对的集合”，元素类型不同，因此，⑤错误； ⑥： 是“元素”，是“包含元素的集合”，元素和集合不能相等，因此⑥错误. 故选C. 【变式5-2】（25-26高一上·山东济宁·月考）若集合，则A，B，C之间的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】分别将集合表示为，和即可得结果. 【解答过程】∵， ， 显然， 故选：B. 【变式5-3】（25-26高一上·重庆·月考）已知集合 ，，则的关系满足（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】将集合中的元素的性质表达式化简成统一的形式，通过其表示的数集的范围即可判断集合之间的关系. 【解答过程】对于，； 对于，； 对于，. 因，则，则表示偶数，故易得. 故选：D. 【题型6 根据集合间的关系求参数】 【例6】（25-26高一上·广东·期末）设集合，，满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据集合间的关系求出参数范围即可. 【解答过程】由题意知，要满足，则有，所以． 故选：A． 【变式6-1】（24-25高一下·湖南衡阳·月考）已知集合，已知，若，则实数m的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由题意可得，分类讨论当、时解的情况，即可求解． 【解答过程】当时，，解得； 当时，，解得， 综上，，即实数m的取值范围为 故选：C. 【变式6-2】（25-26高一上·海南·期中）已知集合. (1)若，求； (2)若，求的取值集合. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据两个集合相等得出一元二次方程有两个实数根代入联立方程组解出检验即可； （2）由，分与讨论分析即可. 【解答过程】（1）若，则和是方程的两个实数根， 所以， 解得，代入中得：， 解得：或，满足， 所以. （2）当时，，满足， 当且时，或， 当时，，                         当时，，                          故的取值构成的集合为. 【变式6-3】（2025高一·全国·专题练习）已知集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用集合间的关系，计算参数范围即可； （2）利用集合间的关系，分类讨论计算参数范围即可 【解答过程】（1）当时，如图，此时． 则，即，因此的取值范围为． （2）当时，如图， 此时，解得，此时无解； 当时，由，解得． 综上可得：的取值范围为． 【题型7 交集、并集、补集运算】 【例7】（25-26高一上·云南玉溪·月考）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用交集的运算求解. 【解答过程】，，. 故选：A. 【变式7-1】（25-26高一上·山东聊城·月考）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据并集的定义计算可得. 【解答过程】因为，又， 所以. 故选：C. 【变式7-2】（25-26高一上·重庆·期中）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】结合补集的定义即可得解. 【解答过程】， ， 故选：B. 【变式7-3】（25-26高一上·山东潍坊·期中）已知集合，则中元素的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解题思路】根据题意求，即可得元素的个数. 【解答过程】因为集合， 则，共3个元素. 故选：C. 【题型8 交、并、补集的混合运算】 【例8】（25-26高一上·湖南益阳·月考）已知全集， 集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据集合的交集与补运算即可. 【解答过程】全集， 集合， 则，所以 . 故选：B. 【变式8.1】（25-26高一上·福建厦门·期中）已知全集，那么是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由集合的运算逐项判断可得. 【解答过程】 对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：D. 【变式8.2】（25-26高一上·四川·月考）已知全集，，. (1)求； (2)求. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）先确定集合和，再根据交集运算求交集； （2）先求集合和的并集，再求其在全集中的补集. 【解答过程】（1），因为， 解方程，得或，所以. 所以. （2）因为，，所以. 因为全集，所以. 【变式8.3】（25-26高一上·天津滨海新·月考）已知集合， (1)求；． (2)若全集，求及． 【答案】(1)， (2)， 【解题思路】（1）直接根据集合的交集、并集运算求解即可； （2）根据集合的交集、并集、补集运算求解即可. 【解答过程】（1）因为集合 所以， ； （2）全集，， 所以或， 或， 或， 或或或. 【题型9 集合运算中的求参问题】 【例9】（25-26高一上·江苏无锡·月考）已知集合，集合，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用集合关系列出不等式组求解即可. 【解答过程】因为，所以， 当时，则，解得， 当时，则，解得：． 综上所述，的取值范围为. 故选：A． 【变式9-1】（25-26高一上·福建三明·月考）已知集合，，若，则的取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先由题设得到，接着分和求出B，结合分析求解即可. 【解答过程】因为，所以， 当时，，满足； 当时，，则或，解得或， 综上所述，a的所有取值构成的集合为. 故选：D. 【变式9-2】（25-26高一上·广西南宁·期中）已知集合或． (1)当时，求； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据集合的补集、交集运算即可； （2）根据交集补集运算可得，分类讨论，，列不等式得的取值范围即可. 【解答过程】（1）当时，，因为或， 所以， 故； （2）由（1）知， 若，则， 当时，则，解得，满足题意； 当时，由题意可得，解得． 综上所述，，即a的取值范围为． 【变式9-3】（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合． (1)若，求实数a的值； (2)从条件①②③中选择一个作为已知条件，求实数a的取值范围． 条件：①；②；③． 【答案】(1) (2)答案见解析 【解题思路】（1）根据集合的交集运算，求解即可； （2）分别选取①②③三个条件，逐一进行求解即可. 【解答过程】解：（1）由于，所以解得． （2）若选①，由得． 当时，则，解得，满足条件； 当时，则解得． 综上，实数a的取值范围是． 若选②，． 当时，，解得，满足条件： 当时，或，则解得． 综上，实数a的取值范围是． 若选③，． 当时，，解得，满足条件； 当时，或，则解得． 综上，实数a的取值范围是． 【题型10 Venn图表达集合的关系和运算】 【例10】（25-26高一上·安徽芜湖·月考）如图，已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求得全集，利用补集与交集的意义求得即可. 【解答过程】，，， 由图可知阴影部分所表示的集合为. 故选：B. 【变式10-1】（25-26高一上·山东烟台·月考）如图，全集，，，则图中阴影部分所表示的集合为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】图中阴影部分表示，再根据交集和补集的定义计算即可得出答案. 【解答过程】根据已知条件有：图中阴影部分表示， ，所以， 所以图中阴影部分所表示的集合为：. 故选：B. 【变式10-2】（24-25高一上·福建福州·期中） 设全集，集合，或 (1)求图中阴影部分表示的集合； (2)已知集合，若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由Venn图阴影部分可用集合表示，再由集合的交集与补集运算可得； （2）先将条件转化为，再按集合是否为空集分类讨论，结合包含关系求解参数的范围. 【解答过程】（1）图中阴影部分可用集合表示. 因为，或， 所以， 则图中阴影部分表示． （2）因为，或， 由，得， 所以当时，，解得，符合题意； 当时，或， 此时不等式组无解， 不等式组的解集为， 综上，的取值范围为． 【变式10-3】（25-26高一上·重庆永川·月考）已知，.    (1)求和； (2)若记符号且，在图中把表示“集合”的部分用阴影涂黑，并求出. 【答案】(1)， (2)阴影涂黑见解析过程， 【解题思路】（1）根据集合交集、补集、并集的定义进行求解即可； （2）根据集合的描述性质，结合集合交集和补集的定义进行求解即可. 【解答过程】（1）因为，， 所以，或，， 因此， . （2）因为且， 所以“集合”的部分用阴影涂黑如下图所示：    . 【题型11 容斥原理的应用】 【例11】（25-26高一上·江苏宿迁·期中）高一（1）班45名同学中有10人参加了物理兴趣小组，14人参加了化学兴趣小组.已知都未参加的有25人，则同时参加的人数为（    ） A．2 B．4 C．1 D．3 【答案】B 【解题思路】根据容斥原理求解. 【解答过程】设同时参加的人数有人， 则由容斥原理可得：， 解得， 故选：B. 【变式11-1】（25-26高一上·陕西咸阳·期中）某班学生积极参加学校组织的体育特色课堂，课堂分为球类项目、径赛项目、其他健身项目．该班有25名同学选择球类项目，20名同学选择径赛项目，18名同学选择其他健身项目；其中有6名同学同时选择和，4名同学同时选择和，3名同学同时选择和．若全班同学每人至少选择一类项目且有2名同学同时选择三类项目，则这个班同学人数是（   ） A．52 B．51 C．50 D．49 【答案】A 【解题思路】根据选择三类项目的人数，得出选择两类项目和一类项目的人数，求和可得答案. 【解答过程】因为有2名同学同时选择三类项目，所以只选择和两个项目的同学有4人， 只选择和两个项目的同学有2人，只选择和两个项目的同学有1人， 只选择一个项目的同学有17人，只选择一个项目的同学有13人，只选择一个项目的同学有13人，如图， 所以班级人数为：. 故选：A. 【变式11-2】（25-26高一上·四川广安·月考）某班共48人，其中25人喜爱篮球运动，20人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为（   ） A．17 B．22 C．15 D．20 【答案】D 【解题思路】设喜欢篮球运动为集合，喜欢乒乓球运动为集合，全班学生为集合，设即喜欢篮球和乒乓球的人数为，作出图即可求解. 【解答过程】设喜欢篮球运动为集合，喜欢乒乓球运动为集合，全班学生为集合， 设即喜欢篮球和乒乓球的人数为，作出图如下， 所以， 所以喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为. 故选：D. 【变式11-3】（25-26高一上·河北沧州·月考）“量子计算机原型机‘九章三号’”“可重复使用试验航天器”“新一代人工智能大模型‘紫东太初3.0’”是2025年我国三大前沿科技成果，某校高一（1）班共有28名同学，每名同学至少关注一项科技成果，其中有15人关注了“九章三号”，有8人关注了“可重复使用试验航天器”，有14人关注了“紫东太初3.0”，有3人同时关注了“九章三号”和“可重复使用试验航天器”，有3人同时关注了“九章三号”和“紫东太初3.0”，没有人同时关注这三大科技成果.则只关注了“紫东太初3.0”的人数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【解题思路】设关注了“九章三号”的同学构成集合，关注了“可重复使用试验航天器” 的同学构成集合，关注了“紫东太初3.0” 的同学构成集合，利用韦恩图求解. 【解答过程】设关注了“九章三号”的同学构成集合，关注了“可重复使用试验航天器” 的同学构成集合， 关注了“紫东太初3.0” 的同学构成集合， 由题可得，，，，，， 如图，可得 ， ，即得， 所以只关注了“紫东太初3.0”的人数为. 故选：C. 【题型12 集合中的新定义问题】 【例12】（25-26高一上·江西宜春·月考）设、是非空集合，定义且，若，，则等于（   ） A．，或 B．，或 C． D． 【答案】A 【解题思路】解出集合，利用交集和并集的定义得出集合和，然后利用题中的定义可得出集合. 【解答过程】解不等式，即，解得，则集合. 所以，根据集合的定义可得或. 故选：A. 【变式12.1】（2025高三·全国·专题练习）设，是两个非空集合，定义与的差集，则等于（    ） A．P B． C． D．M 【答案】A 【解题思路】根据题目当中给出的定义，画出韦恩图，进行集合的运算即可. 【解答过程】当时，由韦恩图知，为下图中的阴影部分，则显然为P．    当时，， 则 故选：A． 【变式12.2】（25-26高一上·上海·期中）设是由有限个正整数组成的集合，定义．如果，称是“好集”．例如，时，，所以不是“好集”． (1)判断是否为“好集”，并说明理由； (2)求所有的集合，使得①；②是“好集”；③不存在“好集”，使得是的真子集． 【答案】(1)是“好集”，理由见解析 (2)，，，， 【解题思路】（1）根据好集的定义判断即可； （2）判断包含于的好集的特征，再求得满足条件的集合A. 【解答过程】（1）由，得. 因为，所以是“好集”． （2）由于所以同时含有1，2；或2，4；或1，3，4；或1，4，5；或2，3，5的集合均不是好集； 那么，包含于的“好集”就只可能是空集，单元素子集，除和以外的双元素子集，以及三元素子集，，根据定义验证，这些集合都是“好集”． 又因为条件③，所以集合不是其它包含于的“好集”的真子集. 因为空集及单元素好集都是其它双元素好集的真子集，所以空集及单元素好集均不满足条件； 因为好集和的真子集均不满足条件， 所以满足条件的就只能是，，，，． 【变式12.3】（25-26高一上·山东聊城·期中）设集合是至少含有两个元素的数集，若中存在两个元素，满足它们的积，则称为可积数集. (1)设集合，试判断是否为可积数集？并说明理由； (2)设集合，若为可积数集，求实数的取值集合； (3)设集合，若不是可积数集，求实数的取值范围. 【答案】(1)不是可积数集，理由见解析 (2) (3)或 【解题思路】（1）根据可积数集得定义判断； （2）由新定义可得，或，或， 或，或，或，讨论求解； （3）由题意可得，，分，，讨论求解. 【解答过程】（1）因为，，， 所以中任意两个元素的积都不是中的元素，即不是可积数集. （2）若为可积数集，则，或，或， 或，或，或. 若，则；若，则；若，则； 若，则，或，或，或， 解得，或，或（舍），或； 若，则，或，或，或， 解得，或，或，或； 若，则，或，或，或， 解得，或，或，或， 综上，实数的取值集合为. （3）若不是可积数集，则，. 当，即时，，此时，满足题意； 当时，，因为，所以若，则， 即，解得，或，此时满足题意； 当，即时，，，不满足题意，舍去. 综上，所求实数的取值范围为或. 一、单选题 1．（25-26高一上·重庆·月考）下列各组对象中，能构成集合的是（   ） A．2025年重庆市高考数学全国II卷中的难题 B．重庆市某高级中学高一年级身高较高的学生 C．人教A版《数学》必修第一册课本中的所有习题 D．美丽的小鸟 【答案】C 【解题思路】根据集合的概念逐项分析即可得结论. 【解答过程】对于A，“难题”是不确定的概念，所以“2025年重庆市高考数学全国II卷中的难题”不能构成集合，故A不符合； 对于B，“身高较高”不确定的概念，所以“重庆市某高级中学高一年级身高较高的学生”不能构成集合，故B不符合； 对于C，“人教A版《数学》必修第一册课本中的所有习题”能确定元素是否在给定的整体里面，所以这个整体能够构成集合，故C符合； 对于D，“美丽的”是不确定的概念，所以“美丽的小鸟”不能构成集合，故D不符合. 故选：C. 2．（25-26高一上·湖南长沙·月考）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由交集运算即可求解. 【解答过程】由集合，集合， 则 ， 故选：C. 3．（25-26高一上·山东·期中）已知，则满足条件的集合的个数为（    ） A．1 B．3 C．4 D．7 【答案】B 【解题思路】由题意可知,集合中一定有1,2两个元素,且中最少三个元素,从而可求得满足题意的集合． 【解答过程】由题意,当集合中有四个个元素时,集合, 当集合中有三个元素时, 集合或， 即满足条件的集合的个数为3． 故选：B． 4．（25-26高一上·安徽·期中）已知集合，若，则满足条件的实数的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据集合包含关系的定义，由可知集合中的元素必在集合中，因此分情况讨论求解的值. 【解答过程】因为且，所以，又因为，所以或， 当时，，此时满足，该情况成立； 当时，或： 若，则，此时满足，该情况成立； 若，则，此时满足，该情况成立； 所以满足条件的的个数为3个. 故选：C. 5．（25-26高一上·湖南·月考）已知全集，集合，则如图所示的阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意，求得和，结合补集的运算，即可求得阴影部分表示的集合. 【解答过程】由全集，集合， 可得，所以阴影部分表示的集合为. 故选：C. 6．（25-26高一上·重庆·期中）定义，若，则中元素个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解题思路】根据给定定义求出中的所有元素即可. 【解答过程】，当时，； 当时，；时，， 因此，所以中元素个数为5. 故选：C. 7．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知全集，若，则实数的值为（    ） A．1 B．3 C．-1或-3 D．1或3 【答案】D 【解题思路】求出A中方程的解确定A，再由A的补集与B的交集为空集，确定A与B的包含关系进行分类讨论，即可确定m的值. 【解答过程】因为方程的判别式， 所以， 根据题意得到集合，， 即，， 因为，所以， 所以或， 若，则，解得， 若，则，解得， 所以或. 故选：D. 8．（2025高一·上海·专题练习）设集合，集合，若，实数取值的集合，则下列命题正确的为（    ） A． B． C．集合的子集有7个 D．集合的真子集为6个 【答案】A 【解题思路】先求出集合，根据分、讨论求得，进而判断各选项即可. 【解答过程】由题可得：，因为， 当时，； 当时，，则或，解得：或， 所以实数取值的集合，则，故A正确；B错误； 集合的子集为个，真子集为7个，故C错误，D错误； 故选：A. 二、多选题 9．（25-26高一上·浙江·期中）已知集合，且，则的值可以为（    ） A．3 B． C．-3 D． 【答案】ABD 【解题思路】由题得到或，求出参数m，再由集合元素互异性检验即可. 【解答过程】集合，且， 所以或，解得或， 当时，，符合； 当时，，符合； 当时，，符合. 故的值可以为. 故选：ABD. 10．（25-26高一上·安徽黄山·期中）设集合，若，则实数的值可以为（    ） A． B． C． D．0 【答案】BCD 【解题思路】根据题意，分和，两种情况讨论，结合，即可求解. 【解答过程】由集合， 当时，即，满足； 当时，即，满足； 当时，即，满足， 综上可得，实数的值可以为或或. 故选：BCD. 11．（25-26高一上·江西赣州·期中）设集合，，则（   ） A．当时， B．当时，有4个元素 C．当时， D． 【答案】ABD 【解题思路】根据交集和并集运算判断AB，举反例判断C，结合元素的互异性和子集关系，分类讨论判断不成立，即可判断D. 【解答过程】A选项：当时，，，所以，正确； B选项：当时，或即， 当时，，，，有4个元素； 当时，，，，有4个元素；正确； C选项：由A选项可知当时，，， ，符合，但是不满足，错误； D选项：当时，，则，， 根据集合中元素满足互异性，得到，所以， 当时，，，不满足； 当即时，，，不满足； 当，即或（舍去），即时，，，不满足； 当，即或（舍去），即时，，，不满足； 综上，不存在，使得，所以，正确； 故选：ABD. 三、填空题 12．（25-26高一上·上海·期中）集合可用列举法表示为 ． 【答案】 【解题思路】由集合的描述，应用列举法写出集合即可. 【解答过程】由. 故答案为：. 13．（25-26高一上·福建龙岩·期中）已知集合，，若，则 . 【答案】 【解题思路】根据集合相等求参数值，注意验证集合元素的互异性，即可得. 【解答过程】由题意，或，所以或， 当时，集合中两个元素均为1，不符合集合中元素的互异性，舍， 当时，，满足题意， 所以. 故答案为：. 14．（25-26高一上·天津河北·月考）已知全集，、均为的子集，，，则集合的真子集的个数为 ． 【答案】15 【解题思路】确定U的元素，根据题意作出韦恩图，确定集合B的元素，即可求得答案. 【解答过程】由题意知， ，， 作出韦恩图如图： 则，故集合的真子集的个数为， 故答案为：15. 四、解答题 15．（25-26高一上·全国·课堂例题）用描述法表示下列集合： (1)不等式的解组成的集合； (2)正偶数组成的集合； (3)函数的图像上所有的点组成的集合． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】利用集合的描述法来表示集合. 【解答过程】（1）集合中的元素是数，设代表元素为x， 则x满足，所以，即． （2）正偶数组成的集合是； （3）函数的图像上所有的点组成的集合是. 16．（24-25高一上·广东中山·月考）已知集合. (1)若中有两个元素，求实数的取值范围； (2)若中至多有一个元素，求实数取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【解题思路】（1）转化为关于的方程的方程有两个不等的实数根，用判别式即可求解； （2）分，两种情况讨论，当时用判别式即可求解. 【解答过程】（1）由于中有两个元素， 关于的方程有两个不等的实数根， ，且，即，且. 故实数的取值范围是或； （2）当时，方程为，集合只有一个元素； 当时，若关于的方程有两个相等的实数根，则中只有一个元素， 即，， 若关于的方程没有实数根，则中没有元素， 即. 综上可知，实数的取值范围是. 17．（25-26高一上·宁夏银川·月考）设集合，已知． (1)求集合； (2)写出集合的所有子集： (3)设集合，若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)，，，. (3) 【解题思路】（1）由，可求得，即可求解； （2）由，即可求出相应的子集； （3）由，结合（2）分别对进行讨论，从而求解. 【解答过程】（1）由，所以，得， 则，解得或， 所以. （2）由， 所以集合的子集为：，，，. （3）由，由集合的子集为：，，，. 当时，即，解得； 当时，则，解得； 当时，则，解得； 当时，则，无解； 综上：实数的取值范围为. 18．（25-26高一上·陕西西安·期中）已知集合，. (1)若，求； (2)从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并进行解答. 问题：若选__________，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 【解题思路】（1）当时，求出集合，利用补集和交集的定义可求得集合； （2）根据所选条件可得出，分、两种情况讨论，求出集合，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围. 【解答过程】（1）当时，，则， 故. （2）若选①，，可得，则. 当时，，由，可得，故； 当时，，由，可得，故. 综上，实数的取值范围为； 若选②，因，可得，则. 当时，，由，可得，故； 当时，，由，可得，故. 综上，实数的取值范围为； 若选③，因为，可得，则. 当时，，由，可得，故； 当时，，由，可得，故. 综上，实数的取值范围为. 19．（24-25高一上·云南玉溪·期末）设是正整数，是的非空子集（至少有两个元素），如果对于中的任意两个元素，，都有，则称具有性质． (1)试判断集合是否具有性质？并说明理由； (2)若集合，证明不可能具有性质； (3)若集合具有性质和，中最多有几个元素，并说明理由． 【答案】(1)具有性质，理由见解析 (2)证明见解析 (3)至多只有5个，理由见解析 【解题思路】（1）根据新定义判断是否具有性质即可； （2）利用反证法，假设具有性质，可得集合中最多有3个元素，与集合中含有4个元素矛盾，从而得证； （3）分①5，6，7同时选，②5，6，7选2个，③5，6，7中只选1个，三种情况讨论，分别利用新定义求解即可. 【解答过程】（1）∵，，，，， ∴具有性质． （2）假设具有性质，那么有1不能有4，有2不能有5，有3不能有6， 那么集合中最多有3个元素，与集合中含有4个元素矛盾， ∴不可能具有性质． （3）．将这11个数分为，，，，，，，7个集合， ①5，6，7同时选，因为具有性质和，所以选5则不选1，9；选6则不选2，10； 选7则不选3，11；则只剩4，8，又不能同时选，故1，2，3．．．，11中属于集合的元素个数不超过5个． ②5，6，7选2个， 若选5，6，则1，2，9，10，7不可选， 又只能选一个元素，故1，2，3⋯，11中属于集合的元素个数不超过5个． 若选5，7，则1，3，9，11，6不可选， 又只能选一个元素，故1，2，3⋯，11中属于集合的元素个数不超过5个． 若选6，7，则2，3，10，11，5不可选， 又只能选一个元素，故1，2，3⋯，11中属于集合的元素个数不超过5个． ③5，6，7中只选1个，又四个集合，，，每个集合至多选1个元素，故1，2，3⋯，11中属于集合的元素个数不超过5个， 由上可知，属于集合的元素至多只有5个. 第 1 页 共 29 页 学科网（北京）股份有限公司 $