作业12 平面解析几何-【创新教程·微点特训】2023-2025三年高考数学真题分类特训

　 　　　　　　作业１２　平面解析几何 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 　　平面解析几何一直是高考的高频考点,是高考的热点．从近年的高考数学来看,本专题考 查内容覆盖直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线,突出考查考生理性思维、数学应用、数学探索等学 科素养． (１)高考中对解析几何的基础知识考查全面且综合,如直线和圆的方程、圆锥曲线定义和 几何性质、直线与曲线位置关系等,而且不回避热点,如求圆的方程问题、椭圆和双曲线离心 率问题、弦长问题等．仔细对比可以发现,每年的高考试题大都由课本习题改编而来,源于课 本,又高于课本． (２)解析几何的试题一般入口较宽,很容易找到解决问题的思路,但是不同解法间运算量 的差异很大,有的是“可望而不可及”．为此,在复习过程中要特别注重对不同方法的分析、比 较,研究图形的几何特征,以掌握处理代数式的一般方法,明确不同方法的差异和联系,找到 自己最擅长的方法．要达到这样的目的,关键是对问题本质的把握．只有多角度审视,看清问 题的实质,才能发现最佳的突破口． 解析几何问题是中学数学的综合应用问题．对于逻辑思维能力和运算求解能力要求较 高．好的思路是通过一定的运算、推理等数学语言表达出来的．因此在平面解析几何专题复习 过程中,提升自身的逻辑思维能力和运算求解能力尤为重要． 考点１　直线与圆 ◆直线的方程、距离问题 (２０２０􀅰全国Ⅲ卷(文),８)点(０,－１)到直线 y＝k(x＋１)距离的最大值为 (　　) A．１ B．２ C．３ D．２ ◆圆的方程 １．(２０２３􀅰全国乙卷(文),１１)已知实数x,y满 足x２＋y２－４x－２y－４＝０,则x－y的最大 值是 (　　) A．１＋３ ２２ B．４ C．１＋３ ２ D．７ ２．(２０２３􀅰上海卷,７)已知圆C:x２＋y２－４y－ m＝０的面积为π,则m＝　　　　． ◆直线与圆的位置关系 １．(２０２５􀅰全国一卷,７)已知圆x２＋(y＋２)２ ＝r２(r＞０)上到直线y＝ ３x＋２的距离为１ 的点有且仅有两个,则r的取值范围是 (　　) A．(０,１)　　　　B．(１,３) C．(３,＋∞) D．(０,＋∞) ２．(２０２４􀅰全国甲卷(理),１２)已知b是a,c的 等差中项,直线ax＋by＋c＝０与圆x２＋y２ ＋４y－１＝０交于A,B 两点,则|AB|的最小 值为 (　　) A．１ B．２ C．４ D．２ ５ ３．(２０２４􀅰北京卷,３)圆x２＋y２－２x＋６y＝０ 的圆心到x－y＋２＝０的距离为 (　　) A．２ B．２ C．３ D．３ ２ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ８５ 数学 ４．(２０２３􀅰全国甲卷(理),８)已知双曲线C:x ２ a２ －y ２ b２ ＝１(a＞０,b＞０)的离心率为 ５,C 的一 条渐近线与圆(x－２)２＋(y－３)２＝１交于 A,B 两点,则|AB|＝ (　　) A．５５ B． ２ ５ ５ C．３ ５５ D． ４ ５ ５ ５．(２０２３􀅰新课标Ⅰ卷,６)过点(０,－２)与圆 x２＋y２－４x－１＝０相切的两条直线的夹角 为α,则sinα＝ (　　) A．１ B．１５４ C．１０４ D． ６ ４ ６．(２０２３􀅰天津卷,１２)过原点O 的一条直线 与圆C:(x＋２)２＋y２＝３相切,交曲线y２＝ ２px(p＞０)于点P,若|OP|＝８,则p 的值为 　　　　． ７．(２０２２􀅰全国甲卷(理),１４)若双曲线y２－ x２ m２ ＝１(m＞０)的渐近线与圆x２＋y２－４y＋ ３＝０相切,则m＝　　　　． ◆圆与圆的位置关系 (２０１６􀅰山东卷(文),７)已知圆 M:x２＋y２－ ２ay＝０(a＞０)截直线x＋y＝０所得线段的 长度是２ ２．则圆 M 与圆N:(x－１)２＋(y －１)２＝１的位置关系是 (　　) A．内切 B．相交 C．外切 D．相离 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 考点２　椭圆 ◆椭圆的定义及标准方程 １．(２０２４􀅰新课标Ⅱ卷,５)已知曲线C:x２＋y２ ＝１６(y＞０),从C 上任意一点P 向x 轴作 垂线段PP′,P′为垂足,则线段PP′的中点 M 的轨迹方程为 (　　) A．x ２ １６＋ y２ ４＝１ (y＞０) B．x ２ １６＋ y２ ８＝１ (y＞０) C．y ２ １６＋ x２ ４＝１ (y＞０) D．y ２ １６＋ x２ ８＝１ (y＞０) ２．(２０２３􀅰全国甲卷(文),７)设F１,F２ 为椭圆 C:x ２ ５＋y ２＝１的两个焦点,点P 在C 上,若 PF１ → 􀅰PF２ → ＝０,则|PF１|􀅰|PF２|＝ (　　) A．１ B．２ C．４ D．５ ◆椭圆的几何性质 １．(２０２３􀅰新课标Ⅰ卷,５)设椭圆C１: x２ a２ ＋y２ ＝１(a＞１),C２: x２ ４＋y ２＝１的离心率分别为 e１,e２,若e２＝ ３e１,则a＝ (　　) A．２ ３３ B．２ C．３ D．６ ２．(２０２３􀅰全国甲卷(理),１２)已知椭圆x ２ ９＋ y２ ６ ＝１,F１、F２ 为两个焦点,O 为原点,P 为椭 圆上一点,cos∠F１PF２＝ ３ ５ ,则|PO|＝ (　　) A．２５ B． ３０ ２ C．３５ D． ３５ ２ ◆直线与椭圆的位置关系 １．(２０２３􀅰新课标Ⅱ卷,５)已知椭圆C:x ２ ３＋y ２ ＝１的左、右焦点分别为F１,F２,直线y＝x ＋m 与C 交于A,B 两点,若△F１AB 面积 是△F２AB 面积的２倍,则m＝ (　　) A．２３ B． ２ ３ C．－ ２３ D．－ ２ ３ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ９５ 作业１２　平面解析几何 ２．(２０２５􀅰天津卷,１８)已知椭圆x ２ a２ ＋y ２ b２ ＝１(a ＞b＞０)的左焦点为F,右顶点为A,P 为x ＝a 上 一 点,且 直 线 PF 的 斜 率 为 １３ , △PFA 的面积为３２ ,离心率为１ ２． (１)求椭圆的方程; (２)过点P 的直线与椭圆有唯一交点B(异 于点A),求证:PF平分∠AFB． ３．(２０２４􀅰新课标Ⅰ卷,１６)(１５分)已知A(０, ３)和P ３,３２ æ è ç ö ø ÷为椭圆C:x ２ a２ ＋y ２ b２ ＝１(a＞b＞ ０)上两点． (１)求C的离心率; (２)若过 P 的直线l 交C 于另一点B,且 △ABP 的面积为９,求l的方程． ４．(２０２４􀅰全国甲卷(理),２０)(１２分)设椭圆 C:x ２ a２ ＋y ２ b２ ＝１(a＞b＞０)的右焦点为F,点 M １,３２ æ è ç ö ø ÷在C上,且 MF⊥x轴． (１)求C的方程; (２)过点P(４,０)的直线交C 于A,B 两点, N 为线段FP 的中点,直线 NB 交直线MF 于点Q．证明:AQ⊥y轴． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ０６ 数学 ５．(２０２４􀅰北京卷,１９)(１５分)已知椭圆方程 C:x ２ a２ ＋y ２ b２ ＝１(a＞b＞０),焦点和短轴端点 构成边长为２的正方形,过 (０,t)(t＞ ２)的 直线l与椭圆交于A,B,C(０,１),连接AC 交椭圆于D． (１)求椭圆E 的方程和离心率; (２)若直线BD 的斜率为０,求t． ６．(２０２３􀅰天津卷,１８)(１５分)已知椭圆x ２ a２ ＋y ２ b２ ＝１(a＞b＞０)的左、右顶点分别为A１,A２,右 焦点为F,已知|A１F|＝３,|A２F|＝１． (１)求椭圆的方程和离心率e; (２)已知点P 是椭圆上一动点(不与端点重 合),直线 A２P 交y 轴于点Q,若三角形 A１PQ 的面积是三角形A２FP 面积的二倍, 求直线A２P 的方程． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １６ 作业１２　平面解析几何 考点３　双曲线 ◆双曲线的定义及标准方程 (２０２１􀅰北京卷,５)双曲线Cx ２ a２ －y ２ b２ ＝１(a ＞０,b＞０)过点(２,３),且离心率为２,则 该双曲线的标准方程为 (　　) A．x２－y ２ ３＝１ B． x２ ３－y ２＝１ C．x２－ ３３y ２＝１ D．３３x ２－y２＝１ ◆双曲线的几何性质 １．(２０２５􀅰全国一卷,３)已知双曲线C 的虚轴 长是实轴长的 ７倍,则C的离心率为 (　　) A．２ B．２ C．７ D．２ ２ ２．(２０２５􀅰北京卷,３)双曲线x２－４y２＝４的离 心率为 (　　) A．３２ B． ５ ２ C．５４ D．５ ３．(２０２５􀅰上海卷,１５)已知A(０,１),B(１,２), C 在Γ:x２ －y２ ＝１(x≥１,y≥０)上,则 △ABC的面积 (　　) A．有最大值,但没有最小值 B．没有最大值,但有最小值 C．既有最大值,也有最小值 D．既没有最大值,也没有最小值 ４．(２０２４􀅰全国甲卷(理),５)已知双曲线的两 个焦点分别为F１(０,４),F２(０,－４),点 P (－６,４)在该双曲线上,则该双曲线的离心 率为 (　　) A．４　　　B．３　　　C．２　　　D．２ ５．(２０２４􀅰天津卷,８)双曲线x ２ a２ －y ２ b２ ＝１(a＞０, b＞０)的左、右焦点分别为F１、F２,P 是双曲 线右支上一点,且直线 PF２ 的斜率为 ２, △PF１F２ 是面积为８的直角三角形,则双曲 线的方程为 (　　) A．x ２ ８－ y２ ２＝１ B． x２ ８－ y２ ４＝１ C．x ２ ２－ y２ ８＝１ D． x２ ４－ y２ ８＝１ ６．(２０２４􀅰新课标Ⅰ卷,１２)设双曲线C:x ２ a２ － y２ b２ ＝１(a＞０,b＞０)的左、右焦点分别为F１, F２,过F２ 作平行于y轴的直线交C 于A,B 两点．若|F１A|＝１３,|AB|＝１０,则C 的离 心率为　　　　． ７．(２０２３􀅰新课标Ⅰ卷,１６)已知双曲线C:x ２ a２ －y ２ b２ ＝１(a＞０,b＞０)的左、右焦点分别为F１,F２．点 A在C上,点B在y轴上,F１A → ⊥F１B → ,F２A → ＝ －２３F２B → ,则C的离心率为　　　　． ◆直线与双曲线的位置关系 (２０２４􀅰北京卷,１３)若直线y＝k(x－３)与 双曲线x ２ ４－y ２＝１只有一个公共点,则k的 一个取值为　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２６ 数学 考点４　抛物线 ◆抛物线的定义及标准方程 １．(２０２５􀅰北京卷,１１)抛物线y２＝２px(p＞０) 的顶点到焦点的距离为３,则p＝　　　　． ２．(２０２４􀅰北京卷,１１)已知抛物线y２＝１６x, 则焦点坐标为　　　　． ３．(２０２４􀅰上海卷,７)已知抛物线y２＝４x上有 一点P 到准线的距离为９,那么点P 到x 轴 的距离为　　　　． ４．(２０２３􀅰全国乙卷(理),１３)已知点 A(１, ５),在抛物线C:y２＝２px(p＞０)上,则A 到C 的准线的距离为　　　　． ◆抛物线的几何性质 １．(２０２５􀅰全国二卷,６)设抛物线C:y２＝２px (p＞０)的焦点为F,点A 在C 上,过点A 作 C的准线的垂线,垂足为B,若直线BF的方 程为y＝－２x＋２,则|AF|＝ (　　) A．３　　　　　　　　B．４ C．５ D．６ ２．(２０２５􀅰全国一卷,１０)(多选)设抛物线C: y２＝６x的焦点为F,过F的直线交C 于A、 B 两点,过A 作直线l:x＝－３２ 的垂线．垂 足为D,过F 作垂直于AB 的直线交l 于 E,则 (　　) A．|AD|＝|AF| B．|AE|＝|AB| C．|AB|≥６ D．|AE|􀅰|BE|≥１８ ３．(２０２４􀅰新课标Ⅱ卷,１０)(多选)抛物线C: y２＝４x的准线为l,P 为C 上的动点．过P 作☉A:x２＋(y－４)２＝１的一条切线,Q 为 切点．过P 作l的垂线,垂足为B．则(　　) A．l与☉A 相切 B．当P,A,B 三点共线时,|PQ|＝ １５ C．当|PB|＝２时,PA⊥AB D．满足|PA|＝|PB|的点P 有且仅有２个 ４．(２０２４􀅰天津卷,１２)(x－１)２＋y２＝２５的圆 心与抛物线y２＝２px(p＞０)的焦点F重合, A 为两曲线的交点,则原点到直线AF 的距 离为　　　　． ◆直线与抛物线的位置关系 １．(２０２３􀅰新课标Ⅱ卷,１０)(多选)设O 为坐 标原点,直线y＝－ ３(x－１)过抛物线C: y２＝２px(p＞０)的焦点,且与C 交于M,N 两点,l为C 的准线,则 (　　) A．p＝２ B．|MN|＝８３ C．以 MN 为直径的圆与l相切 D．△OMN 为等腰三角形 ２．(２０２３􀅰新课标Ⅰ卷,２２)(１２分)在直角坐 标系xOy中,点P 到x 轴的距离等于点P 到点 ０,１２ æ è ç ö ø ÷的距离,记动点P 的轨迹为W． (１)求W 的方程; (２)已知矩形 ABCD 有三个顶点在 W 上, 证明:矩形ABCD 的周长大于３ ３． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ３６ 作业１２　平面解析几何 考点５　圆锥曲线的综合问题 ◆圆锥曲线的标准方程和几何性质 １．(２０２５􀅰全国二卷,１１)(多选)双曲线C:x ２ a２ － y２ b２ ＝１(a＞０,b＞０)的左、右焦点分别是F１, F２,左、右顶点分别为A１,A２,以F１F２ 为直 径的圆与C的一条渐近线交于M,N 两点, 且∠NA１M＝ ５π ６ ,则 (　　) A．∠A１MA２＝ π ６ B．|MA１|＝２|MA２| C．C的离心率为 １３ D．当a＝２时,四边形NA１MA２ 的面积为８ ３ ２．(２０２３􀅰上海卷,１６)对于平面上的一条曲线 C,若在平面上存在点 M,使得C 上任意一 点P,都存在C上的一点Q,使得 MP􀅰MQ ＝１．则称C为“自相关曲线”． ①任一椭圆都是“自相关曲线”　②存在一 条双曲线是“自相关曲线” 下列说法正确的是 (　　) A．①是假命题,②是真命题 B．①是真命题;②是假命题 C．①②都是真命题 D．①②都是假命题 ３．(２０２４􀅰新课标Ⅱ卷,１９)(１７分)已知双曲 线C:x２－y２＝m(m＞０),点P１(５,４)在C 上,k为常数,０＜k＜１,按照如下方式依次 构造点Pn(n＝２,３,􀆺),过点Pn－１作斜率为 k的直线与C 的左支交于点Qn－１,令Pn 为 Qn－１关于y 轴的对称点．记 Pn 的坐标为 (xn,yn)． (１)若k＝１２ ,求x２,y２; (２)证明:数列{xn－yn}是公比为 １＋k １－k 的等 比数列; (３)设Sn 为△PnPn＋１Pn＋２的面积,证明:对 于任意正整数n,Sn＝Sn＋１． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ４６ 数学 ◆离心率问题 １．(２０２５􀅰天津卷,９)双曲线x ２ a２ －y ２ b２ ＝１(a＞０, b＞０)的左、右焦点分别为F１,F２,以右焦点 F２ 为焦点的抛物线y２＝２px(p＞０)与双曲 线在第一象限的交点为P,若|PF１|＋|PF２ |＝３|F１F２|,则双曲线的离心率e＝ (　　) A．２　　　　　　　　B．５ C．２＋１２ D． ５＋１ ２ ２．(２０１９􀅰天津卷(理),５)已知拋物线y２＝４x 的焦点为F,准线为l．若l与双曲线x ２ a２ －y ２ b２ ＝１(a＞０,b＞０)的两条渐近线分别交于点 A 和点B,且|AB|＝４|OF|(O 为原点),则 双曲线的离心率为 (　　) A．２ B．３ C．２ D．５ ◆取值范围及最值问题 １．(２０２５􀅰全国一卷,１８)已知椭圆C:x ２ a２ ＋y ２ b２ ＝１(a＞b＞０)的离心率为２ ２３ ,下顶点为 A,右顶点为B,|AB|＝ １０． (１)求C的方程; (２)已知动点P 不在y 轴上,点R 在射线 AP 上,且满足|AP|􀅰|AR|＝３ (ⅰ)设 P(m,n),求 R 的坐标(用 m,n 表 示); (ⅱ)设O为坐标原点,Q 是C 上的动点,直 线OR 的斜率是直线OP 的斜率的３倍,求 |PQ|的最大值． ２．(２０２５􀅰上海卷,２０)已知椭圆Γ:x ２ a２ ＋y ２ ５＝１ (a＞ ５),M(０,m)(m＞０),A 是Γ 的右 顶点． (１)若Γ的焦点是(２,０),求Γ的离心率e; (２)若a＝４,且Γ上存在一点P,满足PA → ＝ ２MP → ,求m; (３)若AM 中垂线l的斜率为２,l与Γ 交于 C、D 两 点,∠CMD 为 钝 角,求a 的 取 值 范围． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ５６ 作业１２　平面解析几何 ３．(２０２４􀅰天津卷,１８)(本小题１５分)已知椭 圆x ２ a２ ＋y ２ b２ ＝１(a＞b＞０)的离心率e＝１２ ,左 顶点为A,下顶点为B,C 是线段OB 的中 点,其中S△ABC＝ ３ ３ ２ ． (１)求椭圆的方程． (２)过点 ０,－３２ æ è ç ö ø ÷的动直线与椭圆有两个交 点P,Q．在y轴上是否存在点T 使得TP →􀅰 TQ → ≤０．若存在,求出点T 纵坐标的取值范 围,若不存在,请说明理由． ４．(２０２４􀅰上海卷,２０)(１８分)本题共有３个 小题,第１小题满分４分,第２小题满分６ 分,第３小题满分８分． 已知双曲线Γ:x２－y ２ b２ ＝１,(b＞０),左、右顶 点分别为A１,A２,过点 M(－２,０)的直线交 双曲线Γ于P、Q 两点． (１)若Γ的离心率为２,求b． (２)若b＝２ ６３ ,△MA２P 为等腰三角形,且 点P 在第一象限,求点P 的坐标． (３)连接QO(O 为坐标原点)并延长交Γ于 点R,若A１R →􀅰A２P → ＝１,求b的取值范围． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ６６ 数学 ５．(２０２３􀅰全国甲卷(理),２０)(１２分)设抛物 线C:y２＝２px(p＞０),直线x－２y＋１＝０ 与C交于A,B 两点,且|AB|＝４ １５． (１)求p的值; (２)设C 的焦点为F,M,N 为C 上两点, MF → 􀅰NF → ＝０,求△MNF面积的最小值． ６．(２０２３􀅰上海卷,２０)(本题满分１８分)第１ 小题满分４分,第２小题满分６分．第３小 题满分８分． 已知抛物线Γ:y２＝４x上有一点A,A 的纵 坐标为a＞０． (１)若A 到Γ 的准线的距离为３,求a的值; (２)若a＝４,点B 在x轴上,AB 的中点在Γ 上,求点B坐标和坐标原点O到直线AB的距 离; (３)若对于C 上第一象限的任一不与A 重 合的点P,设直线AP 与直线l:x＝－３交 于点Q,作PH⊥l于H,都有|QH|＞４恒 成立,求a的取值范围． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ７６ 作业１２　平面解析几何 ◆定点、定直线问题 １．(２０２３􀅰新课标Ⅱ卷,２１)(１２分)已知双曲 线C的中心为坐标原点,左焦点为(－２ ５, ０),离心率为 ５． (１)求C的方程; (２)记C 的左、右顶点分别为 A１,A２,过点 (－４,０)的直线与C 的左支交于 M,N 两 点,点 M 在第二象限,直线 MA１ 与 NA２ 交 于点P,证明:点P 在定直线上． ２．(２０２３􀅰全国乙卷(理),２０)(１２分)已知椭 圆C:y ２ a２ ＋x ２ b２ ＝１(a＞b＞０)的离心率为 ５３ , 点A(－２,０)在C上． (１)求C的方程． (２)过点(－２,３)的直线交C 于P,Q 两点, 直线AP,AQ 与y 轴的交点分别为M,N, 证明:线段 MN 的中点为定点． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ８６ 数学 ◆面积问题 １．(２０２５􀅰全国二卷,１６)已知椭圆C:x ２ a２ ＋y ２ b２ ＝１(a＞b＞０)的离心率为 ２２ ,长轴长为４, (１)求C的方程; (２)过点(０,－２)的直线l与C 交于A、B 两 点,O 为坐标原点．若△OAB 的面积为 ２, 求|AB|． ２．(２０２５􀅰北京卷,１９)已知椭圆E:x ２ a２ ＋y ２ b２ ＝１ (a＞b＞０),离心率为 ２２ ,椭圆上的点到两个 焦点的距离之和为４． (１)求椭圆E 的方程; (２)设O为原点,M(x０,y０)(x０≠０)为椭圆 上一点,直线x０x＋２y０y－４＝０与y＝２和 y＝ －２ 分 别 交 于 A,B 两 点．△OMA 与 △OMB的面积分别为S１,S２．猜想 S１ S２ 与|OA| |OB| 的数量关系并求证． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ９６ 作业１２　平面解析几何 数学 即(2k-6)°-4×2(k°-4k-4)≥0. D 化简得k2一2k一17≤0， 解得1一3√2≤k≤1+3√2 故x一y的最大值是32+1.故选：C 2.解析：x2+(y-2)2=m十4，r2=”=1,由题意m+4=1 →m=一3 答案：一3 ◆直线与圆的位置关系 2.解析：(1)取CB中点P,连接NP,MP, 1,B与直线y=√3.x十2距离为1的直线为l1:y=√3z+4 由N是B,G的中点：故NP/CG且NP=2CG 和l2:y=V3x,圆心M(0,一2)到1的距离为d,= 由M是DD,的中点，故D,M=DD,=CC,且 -2-4L=3,到12的距离为4：= 1一2一=1.依 √/1+(5) √/1+(3) D,M∥CC, 题可知圆与(1,1，的交点总个数为2，据草图可知圆应与 则有DM∥NP且D,M=NP, 相交，与14相离，故1<<3，选B. 故四边形D,MPN是平行四边形，故DN∥MP, 2.C因为a,b,c成等差数列.所以a一2h十c=0,直线a.r十by 又MPC平面CB,M,D,N￠平面CB,M, 十c=0恒过P(1,一2)，当PC⊥AB时，AB取得最小值，此 故D,N∥平面CB,M: 时1PC=1.AB=2√5-PC=4 (2)以A为原点建立如图所示空 3.D圆x2+y2-2x+6y=0的标准方程为(x-1)2+(y 间直角坐标系，有A(0,0,0)、B(2, 十3)2=10，圆心坐标为(1，一3)，因此圆心到直线x一y 0,0)、B,(2,0,2)、M(0,1,1) 十2=0的距离d= 1+3+2 =3② C(1,1,0)、C(1,1,2),则有CB √T+(-1)T =(1,-1.2)、CM=(-1,0.1) 4.D由=5，则=0=1+g=5, a" BB,=(0,0,2), 解得2=2， 设平面CB,M与平面BB,CC 的法向量分别为m=(x1·y，B 渐近线y=一2x与圆无法相交， )、n=(2y:2), 所以双曲线的一条渐近线不妨取y=2, 则有m·C=一+2，=0 期圆心(2,3)到渐近线的距离d=2X2-3到-5」 √2+1 m·CM=-x十≈=0 n·CB=x2一y4十2x:=0 所以孩长AB=2一-名百= 5 n·BB,=2=0 5.B由题可知，圆的方程可化为(x一2)十 分别取x1=2=1,则有y1=3、名1=1y2=1,2=0, y=5,故圆心B(2,0),A(0,-2),如图， 即m=(1,3,1),n=(1,1,0), 设切点为M,N,AB=2瓦，BM=√5，故 则cos《m,m》=mn=+9+·干市， m·n 1+3 222 AM=3,sin∠MBA=AM=点 故平面CB,M与平面BB,CC,的夹角的余弦值 ∠MBA= ,sin a=sin(-a)=sin/NBM= 为2恶， 22 in2∠MBA=2X5×5=压故选B (3)由BB.=(0,0,2),平面CB1M的法向量为m=(1,3, 2反224 1), 6.解析：由题知圆(x十2)2十y2=3和曲线y=2px关于x 剥有BB·m 轴对称，不妨设切线方程为y=kx,k>0, 2 2I √/1+9+1 11 所以121 √1+k =3,解得k=3,由小y-3x ly=2px' 即点B到平西CB,M的距离为2四 11 r= 2p 3 作业12 平面解析几何 解得∫r=0 23p 考点1直线与圆 3 ◆直线的方程、距离问题 B由直线y=k(x十1)过定点（一1,0），要使距离最大， 所以1oP()+(P--8. 则当y=k(x十1)与(0,1)和（一1,0）的连线垂直时可得 解得p=6.当k=一√3时，同理可得。 最大距离为(0,1)和（一1,0）两，点之间的距离d 答案：6 (0+1)+(1-0)=2,故选B. 7.解析：由圆心为(0,2)，半径为1的回与直线x=士my相 ◆圆的方程 1.C令x-y=k,则x=k十y, 切可得婴=1，解件m=得 √1+m 代入原式化简得2y2十(2k-6)y十”一-4=0， 因为存在实数y,则△>0. 答案号 详解详析 ◆圆与圆的位置关系 B由，x2+y2-2ay=0(a>0)得x2+（y-a)=a(a> 2.解：1由题意得Aa,0).F(-c,0),Pa,号(a十e),振 0),所以圆M的国心为(0，a),半径为r1=a,因为图M x(a+c(u+c)= 3 6 我直线x十y=0所得线段的长度是2V2,所以： 据已知条件列方程组 ,解之得 √+1 =2 a-22 a=2,c=1, 2 ,解得a=2.圆N的圆心为(1,1)，半径 所以6=a2-c2=4-1=3 为r2=1,所以|MN|=√/(0-1)+(2-1)=2，n1十r =3.n1-2=1,因为片一2<|MN<r1十，所以圆M 所以籍圆方程为子十苦司 与圆N相交，故选B. 考点2椭圆 (2)设B(),可知直线PB的方程为有宁x十营y =1, ◆椭圆的定义及标准方程 又：切线过P(2,1), 1.A设P点坐标为(x',y),中点M坐标为(x,y),则x +学=1+3 3 =x,y=2y,代入圆的方程为x2+4y=16,化为标准方 程为后+学-1>0. :点B(%)满足9+空=1， 3 2.B因为PF,·PF:=0,所以∠F,PF=90°，由椭圆方程 可知，c2=51=4→c=2, 3 =1 所以PE2+|PF2=F,F21=4=16, 又|PF,|+|PF2|=2a=2V5. x-3x+2=0, 平方得|PF,P+IPF2IF+2|PFI|PF:1=16+2|PF 解得x。=1或x6=2(舍)， 1PF2|=20,所以|PF1·|PF=2.故选B %=号 ◆椭圆的几何性质 A由题意易得6-曰后-得。已 B1,2 F(-1,0),P(2,1),A(2,0) 名，解得@=2数选A 3 :BP气-2+（层--汽， 2B设∠F,PF,=20.0<0K受 1BFI+D+(径-0）=号 所以Sar5-6am∠FPE=n. 2 ∴.|AP=1,PF1=(2+1D+(1-0)=√/10 由cos∠R,PF,=cos20=os9-sim0-1-tan20- :o∠BFp-EEP FPBPI=是而. cos'0+sin0 1+tan'0 2BF·FP 号，解得：am0=之 o∠AFP-LAFTAEE FFAPE-品而 2AF·FP 由椭圆方程可知，a2=9,b=6,c2=a2-6=3, .cos∠BFP=cos∠AFP,.∠BFP=∠AFP ∴PF平分∠AFB 所以.Sm5=号×1FRXx=之×2BX .解：1)由已知得b=3,将点P(3,受)及6=3代入C释 1n=6×2解得：听=3 9 4X写=1，则a=12,所以c2=2-6=3, 即场=9×(-音)=号，周此0P=+元 所以C的高心率：=S=三1 +-选 a252 (2)由已知得Sam=是PA1·dm= ◆直线与椭圆的位置关系 2 /y三x十m L.C将直线y=x十m与椭圆联立 传+=1道去y可 +(3-) Xd-=9,则d-川=125， 51 3 得4x2+6m.x+3m-3=0,则△=36m°-4×4(3m2 32 3)>0,解得-2<m<2, -3 2 lw:y=-2x十3，设过点B且与 由题意可知5地=25说精国号+矿=1的左、 PM平行的直线为1：y=一之十m 右焦点分别为F,F,到直线y=x十m的距离分别为 因为dn=125.所以3m=125,剥m=-3我 5 + 5 dd,所以有号·AB·d=2X空AB·d脚d =2d,将d=一巨+ml 9(舍去)，所以1：y=- 213 山，=2士m代入上式，解得m= 号我-3v参去. 联立1：y=--3和C方程+苦-1，得4=0， 2 故选C. =-3,所以B0,-3)减B(-3,-是） 5 数学 当B坐标为(0，-3)时1：y=多-3： 由题意△=16kr-8(2k+1)(t-2)=8(4k+2-1) >0,即k,1应满足4k十2-2>0，所以x1十x2= 当B坐标为(3，一号)时y= 异费 一4kr 4.解：(1)设F(c,0),由题设有c=1且公=3 若直线BD斜率为0，由椭國的对称性可设D(一12出)， 故。-号解得a=2,玫6=尽， 所以ADy=当兰(x一G)十，在直线AD方程中令 x1十r2 数精圆方粗为号+学一引 x=0, 得北=必十当 (2)直线AB的斜率必定有 x1十re 在，设AB:y=k(.x一4) =(kx,十)十x,(k红+) A(), x十x2 B(z2y2). _2k4++-4_2+1=2=1, 由(3x+4y2=12 x十无 y=(r-4,可得3 所以1=2， +4k2)x2-32k2x+64k-12=0, 此时有度满足（十2=极一2>0，即应满足k< k≠0 故△=1024k-4(3+4k)(64k2-12)>0, 2， 又x1十x 3+4软14-642-12 32k 综上所迷=2满足题意，此时<-巴或> 3+4k2 2 6.解：(1)如图，由题意得 N受0故直线BNy-”三() (a+c=3 (a-c=1' 3 解得a=2,c=1.所以6= -32 2-1下=3， 4一2 2x2-5 A 0 A 所以精圆的方程为父 所以y一y0=+2x,-5 33y =4X(2x-5)+3y 1青心率为一后- 2.x2-5 (②)由题意得直线A,P斜率存在，由椭圆的方程为 4 _k(x-4)×(2x-5)+3k(x2-4) 2m1-5 苦=1可得Ae.0. =k2工x-5(x1十)+8 2x2-5 设直线A,P的方程为y=k(x-2), 2×64-12-5×32 3+4k2 =k- 3+46+8 ,消去y整理得 2.re-5 y=k(x-2) 128k-24-160k+24+32k (3+4k2).x2-16kx+16k-12=0, 3+4k2 =k -=0, 2.xg-5 由韦达定理得工，·p=16一12。 3+4k 故y=y%,即AQ⊥y轴. 8k2-6 5.解：)由题意6=c=名=2，从而a=√6+=2. 所以一3十4拔 所以P张2-6.12 所以销司方粗为+号-1，高心率为：-号： (3+4k3+46Q0,-2k). (2)显然直线AB斜率存在，否 所以S4叫-号X4X10, 则B,D重合，直线BD斜率不 存在与题意不符，同样直线AB 斜率不为0，否则直线AB与椭 Sa4y=合×4Xn, 圆无交点，矛盾. 从而设AB:y=kx十t,(t> 所以Sao4,=SaA阳十SaAr=25aM,w+SA,与P 12k √②)，A(x1y),B(xy) 所以2y%=3ym,即21-2k=3 3+4k 展立传+兰化简并禁理得1十2)十子 解得=士受，所以直线AP的方权为 (y=k.x十t 242-4=0, 26 详解详析 考点3双曲线 由双曲线的定义可得：|PF,|一|PF:|=2a=2√2，a= ◆双曲线的定义及标准方程 2,b=√e-a=8, A由e=C=2,得c=2a,b=√3a,将点(23)代入双 南线方数，得号-忌--1故4-16=后，故风由 4 所以双由线的方程为号一苦-1。 6.解析：由题知：AF2|=5,|AF,|=13,|F,F:|=2c= √13-5=12，解得c=6,AF1|-|AF2|=2a=8,解 线方程为2-苦=1. 得a=4,所以e=后-受 ◆双曲线的几何性质 答案：是 1.D由题知b=√7a,则c=√7十1a=2√2a,所以离心率e =￡=22，故选D. 7.解析：由FA=-号FB,得 3 2.B先将双曲线方程化成标准方程，求出a,b,c,即可求 F,Al 2 出商心率，由2-4y=4得号-了=1，所以。=4,8 F,B 3 1,2=a2+6=5, 设|F,A=2x,F2B=3x, B 即4=2=5，所以=二=5，故选：B. 由对称性可得FB|=3x,由定义可得，|AF,|=2x十 a 2 3.A本题考查了双曲线的几 2a.A=5,设∠RA5,=0.别m0=器-号>os0 何性质.如图，因为双曲线的 =音=2士兰，解得工=：所以正引=和， 5.x 渐近线方程为y=x,k= =2u, 在△AF,F:中，由余孩定理可得cos0=16a+4a-4C 16a ,AB与渐近线平行，当C点 在无穷远处时无限逼近渐 =号脚5d=9r, 近线， ,∴，AB边上的高无限逼近渐 可得= 近线， ,.AB的高没有最小值，△ABC的面积没有最小值. 答案 当C位于(1,0)时，AB边上的高最大，此时△ABC的面 ◆直线与双曲线的位置关系 积最大， 解析：”双曲线号一y-1的渐近线方程为y=士乞工· 4.C设F(0,-4),F2(0,4)、P(-6,4), 直线y=k(x一3)过定点(3,0)，.只有当直线y=k(x 则F,F2|=2=8,|PF,|=√6+(4+4)=10，|PF2 3)与渐近线平行时，该直线与双曲线才只有一个公共 =√6+(4-4)=6， 点∴k的取值为士之（任答一个即可得分 则2a=|PFl-|PF21=10-6=4,则e= 答案：（成 5.C如图：由题可知，点P必落在 考点4抛物线 第四象限，∠F,PF2=90°，设 ◆抛物线的定义及标准方程 PF:=m. 1,解析：根据抛物线的几何性质可求p的值. ∠PFF=O,∠PFF=a,由 krr,=tan0=2,则得sina 因为抛物线的顶点到焦距的距离为号，故号=3，故力 =2 =6. 答案：6 2.解析：由题意抛物线的标准方程为y=2px,则p=8,所 因为∠FPF:=90,所以ke,·km,=一1，求得ke, 以其焦，点坐标为(4,0). -名即an4=之 答案：(4,0) 3.解析：设P点坐标为(x。),P到准线的距离为9，即x im儿，由正孩定理可得：PF:PE,：EF 十1=9，x。=8,代入抛物线方程，可得=士42，则P 到x轴的距离为4√2. =sin0tsin0,tsin90°=2：1：√5， 答案：4V2 4.解析：由题意可得：(5)2=2p×1,则2p=5,抛物线的方 则由1PF:|=m得|PF|=2m,|FF:|=2c=5m,由 程为y2=5.x, Sm5,=PR,·PR,=m·2m=8,得m= 准线方程为x=一号，点A到C的准线的矩离为1一 2√2， 则|PF,=22,|PFI=4W2,|F,F|=2c=2√10，d =√10， 答案：号 数学 ◆抛物线的几何性质 MM1十INNI,所以由稀形的中位线可知|PP|= 1.C由直线y=-2x+2知F1,0),所以号=1p=2,所 MMI+NN)=号MN1.所aP1=MP= 以抛物线方程为y=4x,准线为x=一1，所以B(一1,4)， |PN|,所以以MN为直径的国与1相切，故C正确，由图 所以=4，代入抛物线方程得A(4,4),所以AF1=号 观察可知，△OMN显然不是等腰三角形，故D错误.故 选AC +x=1十4=5. 2.ACD1恰为抛物线的准线，由 2.解：1)设P(,,则1yF十(-)，两边平方 抛物线定义可知A选项正确.设 ∠AFx=0,连接AE易知 并化简得y=+故w的轨達方程为y=+ △ADE≌△AFE,∴.∠DAE= (2)不妨设A,B,D三点在W上，且有BA⊥DA, ∠FAE-合∠FAD-号·对 设A0+）设直线BA.DM的斜率分别为6，一合， AEI=AFI 0 由对称性不妨设k≤1 0 c052 =+ 联立方程 0 y-k(x-a)+a+ 1·可得r-x+a-a (1-cos 0)cos2 AB=AF+BF=1一6sD十+Os)s品g选 p 2p =0,由韦达定理得xA十工u=k, 项B错误。 B长--a+） AB=器，>-6：速项C正瑞 AB=√1+klk-2a, AE·IBE 月理可得1AD1=气+尼-名-2a 0 0十 (1-cos 0)cos?(1+cos 0)cos2 ->1. +☆+2a 选项D正确.故本题正确选项为ACD. 3.ABDA显然正确：B正确，A(0,4),当P、A、B共线时 所以AB引+AD1=+及1k-2a+1+是 P(4,4),于是PQ=√PA-F=√4-1严=15：C 错，当PB=2时易知P(1,2),B(一1,2)，易知PA与AB g+2a≥ 并不垂直：D正确，焦点F(1,0),PB=PF,则PA=PB 等价于P在AF的中套钱上，该线的方程为y=十 + k-2a+ ≥+ 只易知它与抛物线有两文点。 (1十k)产 4.解析：周(x一1)+y2=25的国心为F1,0),故号=1即 设f代m)=1+m)=m㎡2+3m+上+3.可得f(m) p=2, 由红1+y=25,可得x+2红-24=0.故x=4或 2m+3-1=(2m-1)(m+1)2 {y2=4x x=一6（舍）， 可知八m)在(0，受)上为减画数，在（合1）上为增函 故A4,士4，故直线方程为y=士号（-1.即4红-3y 数，所以m在0上的最小雀为f(信）平。 -4=0或4.x+3y-4=0, 故原点到直线AF的距离为d=4= 所以1AB1+AD1=)≥3y3,由于两处取等的条件 2 5 5 不一致， 答案：号 所以矩形的周长为2(AB引+|AD)>33. ◆直线与抛物线的位置关系 考点5圆锥曲线的综合问题 1.AC直线y=-√3(.x-1)与x轴 ◆圆锥曲线的标准方程和几何性质 的交，点为(1,0)可知，抛物线的焦 1L.ACD根据双曲线的对称性可知A1A2与MN互相平 点的坐标为(1,0)，所以p=2,故A 分，所以四边形AMA,N是平行四边形，因为∠NAM 正确：由k=一√3可知直线MN M 的倾斜角为120°，所以|MN|= -警，所以∠A,MA,=吾A正确，以F,R,为直径的圆 品o=兰此B特送：进点MP 的方程为x2十y=c, 作准线1的垂线，交【于点M',过 不坊设渐近线y=么 . 点N作准线！的垂线，交（于点N x2+y2=c2 N',并取MN的中点为P,过点P 由/ ,设M(a,b),N(-a,-b), 作准线I的垂线，交l于点P',连接MP'、NP,由抛物线 的定义知MF|=|MMI,INF|=|NNI,所以MN= 又因为A:(a,0),所以MA2⊥A1A 详解详析 R△MAA,中.∠A,MA,=吾， 21(t2-1) =1十 (-92--)(-1) 所以|MA|：|MA.|=2:√3，所以B错误. 2"1 21 所以AM川=√/TAA2+MA2下 9r+t=19+ =1 =4a+b=√3a+c, k5a=kp心PPe∥PP ∴.5=S+1 由AM=2A1A,1得/3a+c=4a, ◆离心率问题 即c2=13a,即e=13,所以e=√13，所以C正确.因为 1.A如图所示，设PF:=m,M 3e-a 当a=√2，c2=26,从而b=24,即b=26,四边形 则|PFI=m+2a,|PM NA,MA2的面积为S= =m. 2X号×2E×26=85,所以D正确 由PF,|+IPF:|=3F,Fz 3c+a 可得m+(m+2a)=6c,所以 2.B①：椭圆是封闭的，总可以找到满足题意的M点； m=3c-a,过P作PM⊥ 3c-a ②：点P的任意性∴PM→十o∞，：QMm是国 MF1,交点为M. 定的，.无法对任意的P∈C,都存在Q∈C,使得|PM 从而lPF:=3+a,|F2H|= H ·IQM=1. IPMI-F F:|=c-a. c-a 3.解：(1)：P1(5,4)在C上，∴.25-16=m,m=9 由MFl,=|PH得(3c+a)2-(3c-a)2=(3c-a)2-(c 过P6,)盟针率=号的直线方程为y一4=（一5 1 -a)2. 即x-2y+3=0 所以12ac=8c2-4ac,整理即得c=2a,故离心率e=9 1x-2y+3=0 =3或r=5 =2. x2-y2=9y=0{y=4 ∴.Q(-3,0),P(3,0). 2D发由致号 方=1(u>0,b>0)的离心率e= (2)P(xyn)关于y轴的对称点是 Q。1(-xy）,而P.-(-1ym-) +(合 Q。1都在同一条斜率为k的直线上， x≠一x 1的方程为工=一1，双曲线的浙近线方程为y=士合 业一YL=k,:P1,Q都在双曲线上 -x。一tm-1 得A1,会)B(1,-台) 任90。 所以AB1=2,2=4,b=2a, aa ①-②→(x,-x-)(x,+x-,）=(y.-y。-1)(y。+ 所以e=二=B-5.故选D, 3y-t） 而y。一y。-1=一表(xn十x-1)圆，x。-x-1=一k(y.十 ◆取值范围及最值问题 y-1)④， ④-③户x。-y.-(x。-1-y,-1)=b(x,一y)十(xw1 L解：1)依题有V后+6=√0且0-6_2区 3 y-1） ∴.(1-k)(x.-y)=(1+k)(xw-1-ya-1), 解得u=3,6=1,故C的方程为号十y=1. 多 (2)(1)易知A(0,-1).设AR=1AP(t>0).则t= 3 3 即载列伍，-是公比为芒的学比：到。 AP下m+(n+1)' (3)要证：S=S+1,只需证明P+1P.+2∥PP.+1,即证 OR=OA+AR-=(0,-1)+(m,n+1)=(tm,t(n+1)-1) 3m 3(n+1) =(n+m+n+n+1一 记告0<1p>1 故，点R的坐标为 3m 3(n+1) -=)()= (m+(m+1)'m牛m+11 而x-y=9,x。十y,=9-", (i)由kR=3kr可知 ∴%=2（-1+9) 3(n十1)-m2-(+1)2_3m 3m m 1=二a=y2十"1-y1- 整理可得m十(n十4)=18，所以，点P在國心为N(0,一4)， 而安3之 yn+g一ya+i 半径r=32的圆上运动. 2"(t-1) =1+(-4+9+)-(-r+91 设Q,则号+=1，并中-1<y<1,故PQ≤ 2(1-1) 2 1PN+|NQ1=32+√+(%+4)=32 =1+-n-r4-D=1-90+7 十√9(1-)+（十4） L=4a十+2-y.- kePa y+一yn =3v2+/-8y。+8y+25 21-1(t2-1) =1+-+91-0)-(-t+91) =3厄-8-）+27<3E+3. 数学 取等条件为%=名，里P在线我QN延长俄上，故PQ (2)若过点(0，一是)的动直 的最大值为3V2+3V3. 线的斜率存在，则可设直线方 3 2.解：本题考查了椭回的离心率，直线与椭圆的位置关系· 程为y=kx一 以及向量与糖圆的综合应用 设P(x1y),Q(xy2),T(0, (1)由题意=2，故a=V5+4=3c=二=名 t), a 3. /3x2+4y=36 (2)由题意，A(4,0)不妨设P(xpyr), =红-是 由】 可得(3+4k).x2-12kx-27=0, .MP=(zp:yp-m),PA=(4-xp:-yp): 故△=144k2+108(3+4k)=324+5762>0且x十x 2 MP-PA..(2n-4- 12k 3十4西= 27 2y#-2n=-y 3十4k zr-3 而TP=(x1y-t),TQ=(xy-t),故TP·TQ= 3 +6=0g-0=+(是）e-号） P在周上.：位管 =+)西-（受+十）+（+）= 16 1,.m=√/10（负 根舍). +)×（3)-(2+）× (3)由题意，AM斜率为一 z10A1=21OM1,a (受+) =2m: -27-27-18w-121+3(是+）+3+20E 不均设AM中点Q(m:受)）设Cy),D 3十4 则1方程为y=21-m)十受-2一受… [3+2-121-451+3(2+-27 3 y=2x-立m 3十4 品+ 因为TP·TQ≤0， /(3+21)-121-45≤0 ∴.(16m+5).x2-24mx+9m-20m2=0,△>0， 3(号+)-270解得-8是 故 [x,十x-16m+5 24m 若过点(0，-昌)的动直线的斜率不存在， 9m-20m 则P(0,3),Q(0.-3)或P(0,一3)，Q(0,3) 16m2+5 MC=(1y-m)=（1…2.1- 5 2m, 此时需-31<3，两者结合可得-3<1<是 5 Mi=(2x-吾m 综上，存在T0)且-3<≤号，使得TP,TQ<0. :∠CMD为钝角， 4解：1因为2，即后-2，所以号=4 因为a2=1,所以c2=4. m+)+停d0, 因为：+=2，所以=3，所以b=5(负舍). (2)因为△MA2P为等腰三角形， 5· 9m-20m -5m· 24m2 25 16m”5+ m2= ①若MA:为底，尉点P在直线x=一子，与P在第一象 16m2+5 25m-25d 限矛盾，故舍去 ②若A,P为底，则MP=MA2,与MP>MA矛盾，故 <0, 16m+5 舍去， m<7 ③若MP为底，则MA:=PA: 2· 设P(xo·y),x>0…y>0. 即a=2m<W/17,:a>5,∴a∈(5，√17) 则√/(-1)+(y-0)=3,即(x。-1)2+y,2=9,又因 品解：(1)国为箱圈的高心率为=名，故a=2,6=c,共 为- -=1, 8 中c为半焦距， 3 ,故Sr= 得x,-10+(-1)×号=9，得1x-6红。-32=0， 得x=2,=2V2,即P点坐标为P(2,2√2). (3)由A(-1,0),A:(1,0),设P(x1y),Q(x2),则 解得c一，所以a-2.6=3,故精周方程为后十号 R(--为)，设直线1：=my-2气m>方 9 =1. 详解详析 x=my-2(m>） 联立 得(6m2-1)y2-46my+ (3)设P(作p小：A(保）直线AP:红-a+ =1 y+ap=0. y1十y= 46m 0(.2g)H(-p.1H0 3b=0,则 b'm1 3b2 y·为=6m-1 a十p A求=(-+1，-为，AP=(-1y)又由A求，A户 即(p-2)>4(a一2)对p∈(0，a)U(a,+o∞)恒成立， =1,得(-x2十1)(.x1一1)-yy=1. 当a=2时，p≠2，(b-2)>4(a-2)成立：当a-2<0 即(2-1)(x1-1)+yy=-1,即(m-3)(m,一3) 时，即a<2时，(p-2)>4(4-2)成立，此时0<a<2: +y1=-1. 4的取值范围为(0,2]. 化简后可得到(m+1)yy2一3m(y,十y)+10=0, ◆定点、定直线问题 所以362(m2+1)-12m6+10(6m2-1)=0,化荷6m +36-10=0. 1.解：(1)由题意c=25,e=5=￡， a e(o. 所以6=10 又m所以公 则a=2,6=16,双南线C的方程为气一若=1 10 1062 1 +3 30十得6≠3，所以6 (2)设过点B的直线x=y-4,联立 双曲线得(41-1)y2-321y+48 M ∈(03U(3,号]又6>0，故b的取值花国是(0 =0. 32t 48 u(,) 则y十为= -y头n 5.解：)设A(4w),B(由1=0可得. 则x1十x 8 ly=2pr 4r-' y2-4py+2p=0,所以yA+yn=4p,yym=2p 所以AB|=√(xA-x#)+(y一y)》= 设直线MA:二y=工一工 yx+2' 5%-m=5XA+yw)-4yym=4√15， 直线NA,:y二业=I一2 即2p2-p-6=0,因为p>0,解得：p=2. -2 (2)图为F(1,0),显然直线MN的针率不可能为零， 设直线MW:x=my十n.M(),N(x2), 联立消去得(+小=（号+1小， 由红可得.y-y-4n=0.所以.十头 代入韦达定理解得x=一1， x=my十 即P在直线x=一1上. 4m…y1=一4 △=16m2+16n>0→m2+n>0, h=2 因为MF·NF=0,所以(x1-1)(x:一1)+y1y2=0, 2.解析：(1)由题意可得口=+ 即(my十一1)(my十n-1)+y1y2=0, 亦即(m2+1)y1y2+m(1-1)(y1+y)+(n-1)=0. 3 将出十y=4m,yy:=一4n代入得， 4=3 4m2=n2-6n+1,4(m2+n)=(n-1)2>0. 解得 所以n≠1，且-6m+10,解得n≥3十2√2或m≤3-2√2. 设点F到直线MN的距离为d,所以d=”L C=5 √1+m 所以猫周方程为号+号-1 MN|=√x1-x2)》+(y-)于= (2)由题意可知：直线PQ的斜率 √1+mly-y2|=√1+m√16m+16m 存在，设PQ:y=(x十2)十3， M =√1+m√4(n-6n十1)十16n P(x),Q(). =21十m2n-1, 所以△MNF的面积S=号×1MN|Xd=号 y=k(x+2)+3 1 联立方程 ,消去 n-1L×2+mn-1=(u-1), 苦+号1 √1+m y得：(4k2+9)x2+8k(2k+3)x 而≥3十22或n≤3-2√2，所以， +16(k+3k)=0, 当n=3一2√2时，△MNF的面积 则△=64k(2k十3)2-64(4k+ Smm=(2-2v2)2=12-8√2. 9)(+3k)=-1728k>0,解 6.解：1)准线为x=-1x=2∴a=y%=22. 得k<0, （2A4,4,设B6.0),线段AB的中点为（生，2 可得工十x2= 8k(2k+3) 4k2+9 .4=2(4十b)→b=-2,即B(-2,0),∴直线AB为2x-3y 十4=0，原点0到直线AB的距离d=4=4国 1=16(k+36) 1313 4k+9 数学 因为A(-2,0),则直线AP:y= +2 所以直线xx十2yy-4=0与椭圆相切，M为切点， 设A(x1y1),B(x·y),易知，当，=x时，由对称性可 令x=0,解得y= -80 同理可得N(0,2坐) +2 设<，<，易知=AM=西五 2% 剥22+2+3十2+3 2w 联立十2y一4=0，解得，- 4-4y% ,y1=2, 1y=2 2 x+2 无十2 [kx+(2+3)](五+2)+[kx十(2k+3)](+2) 联主1十2)一4=0，解得4中4丝y=-2, (y=-2 (x+2)(x+2) 2k.十(4k+3)(x1十x2)+4(2k+3) 所以三西二 4一4纱一4-4y一 西1+2(x+x2)+4 S2 o-r2 4+4yx6-4y-4 32k(k+3)8k(4k+3)(2k+3》+4(2h+3) To- 4k+9 4k+9 2y8-4y。 16k+3)_16k(2k+32+4 2一0 2y%-4y2+y% 一 4k2+9 4k+9 所以线段MN的中点是定点(0,3). ◆面积问题 从而0-震 √+4 /(4-4%)+4 /(2-2)+4-2 1,解：G)由题意知2a=4,a=2,由e石=号得c=V②， V(4+4%)+4x元N(2+2y)2+4-2 6=。-=2,故号+号=1 祭房 =MB三干2·故S (2)①斜率不存在时合去 OA ②设1方程为y=kx-2,A(x1y),B(x2). OB' y=kx-2 联立x2 作业13计数原理 考点1排列组合 得(1十2k)x2一8k.x十4=0 l.B不妨记五名志愿者为a,b,c,d,e, 由4-6-16+发)0.得号表长-号 假设连续参加了两天社区服务，再从剩余的4人抽取 2 2人各参加星期六与星期天的社区服务，共有A=12种 8k 方法， 4 所以工+五=1十2F2=1+2次 同理：b,c,d,e连续参加了两天社区服务，也各有12种 方法， 所以1AB|=√+|x,一 所以恰有1人连续参加了两天社区服务的选择种数有5 28(k+1)(4k+2-4)4√(k+1)(2k-1) ×12=60种.故选B. 4k2+2 2k+1 2.C首先确定相同的读物，共有C种情况， O到AB的距离 然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读 2 d=- 物里，选出两种进行排列，共有A种， I 根据分步乘法公式，则共有C·A=120(种).故选C 所以Sm=是X 1 .4历+1)(2-1D 3.解析：本题考查了排列组合的应用. 1+k° 2k+1 首先安排两个家长在两端，然后再排中间四人，共有A ·A=288种. 1百-，解样发= 答案：288 2k+1 4.解析：由题意可知，集合A中每个元素都互异，且元素中 最多有一个奇数，剩余全是偶数. =5 先研究集合中无重复数字的三位偶数： (1)若个位为0，这样的偶数有A=72种： (2)若个位不为0，这样的偶数有C·C·C=256种： 2解：)依骑回定义知2公=4，而离心率=。=号，所以 所以集合元素个数最大值为256+72+1=329种. a 答案：329 4=2,c=区，6=公-2=2，桃周E的方程为号十号 5.解析：当从这8门课中选修2门课时，共有C·C=16: 当从这8门课中选修3门课时，共有C·C十C号·C= =1. 48:综上可知，共有64种不同的远课方案. xox+2yy-4=0 答案：64 *多 (2)联立x2 消去x得， 考点2二项式定理 ◆二项式定理的展开式及其通项 4-2y）+2y=4: L,解析：本题考查了二项式定理中项的系数的求法 x。 :(2x一1)°展开式的通项T,+1=C(2x).(-1)y= 整理得，(.xd+4y)y2-16yoy十16-4.x8=0①， (-1)'C2·x 又号+苦=1.所以2+4=816-4=80， 令5一r=3, 得r=2 故①式可化简为8y-16yoy十8y=0,即(y-y)=0, x的系数为：C2(-1)2=80 所以y=%· 答案：80