作业7 三角函数-【创新教程·微点特训】2023-2025三年高考数学真题分类特训

　 　　　　　　　作业７　三角函数 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 　　三角函数作为高考的必考内容,在高考中选择、填空、解答三种题型都会涉及,大部分是 考查基础知识和基本方法,也是历年来考试的热点,考查内容涉及三角函数定义、诱导公式、 同角三角函数基本关系式、图象变换、正弦型函数或余弦型函数的图象和性质、三角恒等变 换,解三角形,主要考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力．是考生得分的重要知识板块． 考点１　三角函数的概念 ◆象限角 (２０２０􀅰全国Ⅱ卷(理),２)若α为第四象限 角,则 (　　) A．cos２α＞０ B．cos２α＜０ C．sin２α＞０ D．sin２α＜０ ◆三角函数的概念 (２０１８􀅰北京卷(文),７)在平面直角坐标系 中,AB ︵ ,CD ︵ ,EF ︵ ,GH ︵ 是圆x２＋y２＝１上的 四段弧(如图),点P 在其中一段上,角α以 Ox为始边,OP 为终边,若tanα＜cosα＜ sinα,则P 所在的圆弧是 (　　) A．AB ︵ B．CD ︵ C．EF ︵ D．GH ︵ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 考点２　三角恒等变换 ◆同角三角函数的基本关系式、诱导公式 (２０２３􀅰全国乙卷(文),１４)若θ∈ ０,π２ æ è ç ö ø ÷, tanθ＝１２ ,则sinθ－cosθ＝　　　　． ◆三角恒等变换 １．(２０２５􀅰全国二卷,８)已知０＜α＜π,cosα２ ＝ ５５ ,则sinα－π４ æ è ç ö ø ÷＝ (　　) A．２１０　　　　　　　　B． ２ ５ C．３ ２１０ D． ７ ２ １０ ２．(２０２４􀅰新课标Ⅰ卷,４)已知cos(α＋β)＝ m,tanαtanβ＝２,则cos(α－β)＝ (　　) A．－３m B．－m３ C．m３ D．３m ３．(２０２４􀅰全国甲卷(理),８)已知 cosαcosα－sinα ＝ ３,则tanα＋π４ æ è ç ö ø ÷＝ (　　) A．２ ３＋１ B．２ ３－１ C．３２ D．１－ ３ ４．(２０２３􀅰新课标Ⅰ卷,８)已知sin(α－β)＝ １ ３ ,cosαsinβ＝ １ ６ ,则cos(２α＋２β)＝ (　　) A．７９ B． １ ９ C．－１９ D．－ ７ ９ ５．(２０２３􀅰新课标Ⅱ卷,７)已知α为锐角,cosα ＝１＋ ５４ ,则sinα２＝ (　　) A．３－ ５８ B． －１＋ ５ ８ C．３－ ５４ D． －１＋ ５ ４ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ８２ 数学 ６．(２０２５􀅰北京卷,１３)已知α,β∈[０,２π],且 sin(α＋β)＝sin(α－β),cos(α＋β)≠cos(α－ β),写出满足条件的一组(α,β)＝　　　　． ７．(２０２４􀅰新课标Ⅱ卷,１３)已知α为第一象限角,β 为第三象限角,tanα＋tanβ＝４,tanαtanβ＝ ２ ＋１,则sin(α＋β)＝　　　　． ８．(２０２３􀅰上海卷,４)已知tanα＝３,则tan２α ＝　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 考点３　三角函数的图象与性质 ◆三角函数的图象 (２０２４􀅰新课标Ⅰ卷,７)当x∈[０,２π]时,曲 线y＝sinx与y＝２sin３x－π６ æ è ç ö ø ÷的交点个数 为 (　　) A．３ B．４ C．６ D．８ ◆三角函数的性质:周期 １．(２０２４􀅰北京卷,６)设函数f(x)＝sinωx(ω ＞０),已知f(x１)＝－１,f(x２)＝１,且|x１－ x２|的最小值为 π ２ ,则ω＝ (　　) A．１ B．２ C．３ D．４ ２．(２０２４􀅰上海卷,１４)下列函数中,最小正周 期是２π的是 (　　) A．y＝sinx＋cosx B．y＝sinxcosx C．y＝sin２x＋cos２x D．y＝sin２x－cos２x ◆三角函数的性质:最值 １．(２０２４􀅰天津卷,７)已知函数f(x)＝sin３ ωx＋π３ æ è ç ö ø ÷的最 小 正 周 期 为 π,则 f(x)在 －π１２ ,π ６ é ë êê ù û úú的最小值为 (　　) A．－ ３２ B．－ ３ ２ C．０ D．３２ ２．(２０２５􀅰上海卷,５)函数y＝cosx在 [ －π２, π ４ ] 上的值域为　　　． ３．(２０２４􀅰全国甲卷(文),１３)函数f(x)＝sinx－ ３cosx在[０,π]上的最大值是　　　　． ４．(２０２４􀅰北京卷,１２)在平面直角坐标系xOy 中,角α与角β均以Ox 为始边,它们的终边 关于原点对称．若α∈ π６ ,π ３ é ë êê ù û úú,则cosβ的最 大值为　　　　． ◆三角函数的性质:单调 (２０２３􀅰全国乙卷(理),６)已知函数f(x)＝ sin(ωx＋φ)在区间 π ６ ,２π ３ æ è ç ö ø ÷ 单调递增,直线 x＝π６ 和x＝２π３ 为函数y＝f(x)的图象的两 条相邻对称轴,则f －５π１２ æ è ç ö ø ÷＝ (　　) A．－ ３２ B．－ １ ２ C．１２ D． ３ ２ ◆三角函数的性质:对称 (２０２５􀅰全国一卷,４)已知点(a,０)(a＞０)是 函数y＝２tanx－π３ æ è ç ö ø ÷的图象的一个对称中 心,则a的最小值为 (　　) A．π６ B． π ３ C．π２ D． ４ ３π 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ９２ 作业７　三角函数 ◆三角函数图象和性质的综合应用 １．(２０２５􀅰北京卷,８)设函数f(x)＝sin(ωx) ＋cos(ωx)(ω＞０),若f(x＋π)＝f(x)恒成 立,且f(x)在 [０,π４ ]上存在零点,则ω的最 小值为 (　　) A．８　　　B．６　　　C．４　　　D．３ ２．(２０２５􀅰天津卷)f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞０, －π＜φ＜π),在 － ５π １２ ,π １２ é ë êê ù û úú上单调递增,且x ＝π１２ 为f(x)图象的一条对称轴,π３ ,０ æ è ç ö ø ÷ 是 f(x)图 象 的 一 个 对 称 中 心,当 x ∈ ０,π２ é ë êê ù û úú时,f(x)的最小值为 (　　) A．－ ３２ B．－ １ ２ C．－１ D．０ ３．(２０２４􀅰新课标Ⅱ卷,９)(多选)对于函数 f(x)＝sin２x和g(x)＝sin２x－π４ æ è ç ö ø ÷,下列 说法正确的有 (　　) A．f(x)与g(x)有相同的零点 B．f(x)与g(x)有相同最大值 C．f(x)与g(x)有相同的最小正周期 D．f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴 ４．(２０２３􀅰全国甲卷(理),１０)已知f(x)为函 数y＝cos２x＋π６ æ è ç ö ø ÷向左平移π ６ 个单位所得 函数,则y＝f(x)与y＝１２x－ １ ２ 的交点个 数为 (　　) A．１ B．２ C．３ D．４ ５．(２０２３􀅰新课标Ⅰ卷,１５)已知函数f(x)＝ cosωx－１(ω＞０)在区间[０,２π]有且仅有３个 零点,则ω的取值范围是　　　　． ６．(２０２３􀅰新课标Ⅱ卷, １６)已知函数f(x)＝ sin(ωx＋φ),如图,A, B是直线y＝１２ 与曲 线y＝f(x)的两个交点,若|AB|＝π６ ,则f(π) ＝　　　　． ７．(２０２５􀅰全国二卷,１５)已知函数f(x)＝ cos(２x＋φ)(０≤φ＜π),f(０)＝ １ ２． (１)求φ; (２)设函数g(x)＝f(x)＋f x－π６ æ è ç ö ø ÷,求 g(x)的值域和单调区间． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ０３ 数学 ５．解:(１)当a＝－１时, f(x)＝ １x－１( )ln(x＋１), 则f′(x)＝－１x２ ×ln(x＋１)＋ １x－１( )× １ x＋１ , 据此可得f(１)＝０,f′(１)＝－ln２, 函数在(１,f(１))处的切线方程为 y－０＝－ln２(x－１), 即(ln２)x＋y－ln２＝０． (２)由函数的解析式可得f １x( )＝(x＋a)ln １ x＋１( ) , 函数的定义域满足１ x＋１＝ x＋１ x ＞０ ,即函数的定义域为 (－∞,－１)∪(０,＋∞), 定义域关于直线x＝－１２ 对称,由题意可得b＝－１２ , 由对称性可知f －１２＋m( ) ＝f －１２－m( ) m＞ １ ２( ) , 取m＝３２ 可得f(１)＝f(－２), 即(a＋１)ln２＝(a－２)ln １２ ,则a＋１＝２－a,解 得a ＝１２ , 经检验a＝１２ ,b＝－１２ 满足题意,故a＝１２ ,b＝－１２． 即存在a＝１２ ,b＝－１２ 满足题意． (３)由函数的解析式可得f′(x)＝ － １ x２( )ln(x＋１)＋ １ x＋a( ) １ x＋１ , 由f(x)在区间(０,＋∞)上存在极值点, 则f′(x)在区间(０,＋∞)上存在变号零点; 令 －１x２( )ln(x＋１)＋ １ x＋a( ) １ x＋１＝０ , 则－(x＋１)ln(x＋１)＋(x＋ax２)＝０, 令g(x)＝ax２＋x－(x＋１)ln(x＋１), f(x)在区间(０,＋∞)存在极值点,等价于g(x)在区间 (０,＋∞)上存在变号零点, g′(x)＝２ax－ln(x＋１),g″(x)＝２a－ １x＋１ 当a≤０ 时,g′(x)＜０,g(x)在 区 间 (０,＋∞)上 单 调 递减, 此时g(x)＜g(０)＝０,g(x)在区间(０,＋∞)上无零点, 不合题意; 当a≥１２ ,２a≥１时,由于 １x＋１＜１ ,所以g″(x)＞０,g′(x) 在区间(０,＋∞)上单调递增, 所以g′(x)＞g′(０)＝０,g(x)在区间(０,＋∞)上单调递 增,g(x)＞g(０)＝０, 所以g(x)在区间(０,＋∞)上无零点,不符合题意; 当０＜a＜１２ 时,由g″(x)＝２a－ １x＋１＝０ 可得x＝１２a－１ , 当x∈ ０,１２a－１( ) 时,g″(x)＜０,g′(x)单调递减, 当x∈ １２a－１ ,＋∞( ) 时,g″(x)＞０,g′(x)单调递增, 故g′(x)的最小值为g′ １２a－１( )＝１－２a＋ln２a, 令m(x)＝１－x＋lnx(０＜x＜１),则 m′(x)＝－x＋１x ＞０, 函数m(x)在定义域内单调递增,m(x)＜m(１)＝０, 据此可得１－x＋lnx＜０恒成立, 则g′ １２a－１( )＝１－２a＋ln２a＜０, 令h(x)＝lnx－x２＋x(x＞０),则h′(x)＝－２x ２＋x＋１ x , 当x∈(０,１)时,h′(x)＞０,h(x)单调递增, 当x∈(１,＋∞)时,h′(x)＜０,h(x)单调递减, 故h(x)≤h(１)＝０,即lnx≤x２－x(取相等时条件为x ＝１), 所以g′(x)＝２ax－ln(x＋１)＞２ax－[(x＋１)２－(x＋ １)]＝２ax－(x２＋x), g′(２a－１)＞２a(２a－１)－[(２a－１)２＋(２a－１)]＝０,且 注意到g′(０)＝０, 根据零点存在性定理可知:g′(x)在区间(０,＋∞)上存 在唯一零点x０． 当x∈(０,x０)时,g′(x)＜０,g(x)单调递减, 当x∈(x０,＋∞)时,g′(x)＞０,g(x)单调递增, 所以g(x０)＜g(０)＝０． 令n(x)＝lnx－１２ x－ １ x( ) , 则n′(x)＝１x－ １ ２ １＋ １ x２( )＝ －(x－１)２ ２x２ ≤０, 则n(x)单调递减,注意到n(１)＝０, 故当x∈(１,＋∞)时,lnx－１２ x－ １ x( ) ＜０,从而有lnx ＜１２ x－ １ x( ) , 所以g(x)＝ax２＋x－(x＋１)ln(x＋１)＞ax２＋x－(x＋ １)×１２ (x＋１)－ １x＋１[ ]＝ a－ １ ２( )x ２＋１２ , 令 a－１２( )x ２＋１２＝０ 得x１．２＝± １ １－２a (负值舍去), 所以g １１－２a æ è ç ö ø ÷＞０, 所以函数g(x)在区间(０,＋∞)上存在变号零点,符合 题意． 综合上面可知:实数a得取值范围是 ０,１２( )． 作业７　三角函数 考点１　三角函数的概念 ◆象限角 D　∵－π２ ＋２kπ＜α＜２kπ (k∈Z),∴－π＋４kπ＜２α＜ ４kπ(k∈Z),∴２α是第三或第四象限角或y 轴负半轴上 角,∴sin２α＜０． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２０１ 数学 ◆三角函数的概念 C　由三角函数律性质得:有向线 段OM 为 余 弦 线,有 向 线 段 MP 为正弦 线,有 向 线 段 AT 为 正 切 线,A 选 项:如 图 ①,点 P 在 AB ︵ 上, cosα＝x,sinα＝y,∴cosα＞ sinα,故 A 选项错误;B选项:如 图②,点P 在CD ︵ 上, cosα＝x,sinα＝y,tanα＝yx tanα＞sinα＞cosα,故 B选项错 误;C 选 项:如 图 ③,点 P 在 EF ︵ 上, cosα＝x,sinα＝y,tanα＝yx 由图可得:sinα＞cosα＞tanα,故 C选项正确;D 选项:点 P 在GH ︵ 上且GH ︵ 在 第 三 象 限,tanα＞０, sinα＜０,cosα＜０,故 D 选 项 错误． 考点２　三角恒等变换 ◆同角三角函数的基本关系式、诱导公式 解析:因为θ∈ ０,π２( ) ,则sinθ＞０,cosθ＞０, 又因为tanθ＝sinθcosθ＝ １ ２ ,则cosθ＝２sinθ, 且cos２θ＋sin２θ＝４sin２θ＋sin２θ＝５sin２θ＝１, 解得sinθ＝ ５５ 或sinθ＝－ ５５ (舍去), 所以sinθ－cosθ＝sinθ－２sinθ＝－sinθ＝－ ５５． 答案:－ ５５ ◆三角恒等变换 １．D　由０＜α＜π可知０＜α２＜ π ２ ,因为cosα２＝ ５ ５ ,所以 sinα２＝ ２ ５ ５ ,所以sinα＝２sin α２cos α ２＝２× ５ ５× ２ ５ ５ ＝４５ , cosα＝cos２ α２－sin ２ α ２＝ ( ５ ５ ) ２ － (２ ５５ ) ２ ＝－３５ ,所 以sin(α－π４ ) ＝sinαcos π ４－cosαsin π ４ ＝４５× ２ ２－ ( － ３ ５ ) × ２ ２＝ ７ ２ １０ ． ２．A　由tanαtanβ＝２,得sinαsinβ＝２cosαcosβ,cos(α＋β)＝ cosαcosβ－sinαsinβ＝－cosαcosβ＝m,故cosαcosβ＝－m, 所以cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝３cosαcosβ＝－３m． 故选择:A． ３．B　 因 为 cosαcosα－sinα＝ ３ ,所 以 tanα＝１－ ３３ ,tan α＋π４( )＝ tanα＋１ １－tanα＝２ ３－１． ４．B　因为sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝ １ ３ , cosαsinβ＝ １ ６ ,则sinαcosβ＝ １ ２． 故sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝ １ ２＋ １ ６＝ ２ ３． 即cos(２α＋２β)＝１－２sin ２(α＋β)＝１－２× ２ ３( ) ２ ＝１９． 故选B． ５．D　由半角公式可知sin２ α２ ＝ １－cosα ２ ,解得sinα２ ＝ ５－１ ４ ． 故选 D． ６．解析:由sin(α＋β)＝sin(α－β),即 sinαcosβ＋cosαsinβ＝sinαcosβ－cosαsinβ, 得cosαsinβ＝０,故cosα＝０或sinβ＝０; 同理,由cos(α＋β)≠cos(α－β), 可得sinαsinβ≠０,故sinα≠０且sinβ≠０ 则必有cosα＝０且sinβ≠０ 故取α＝π２ ,β＝ π ６ 可满足题设要求． 答案: π ２ ,π ６( )(答案不唯一) ７．解析:sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ ＝cosαcosβ(tanα＋tanβ) ＝４cosαcosβ＝ －４ １＋tan２α １＋tan２β ＝ －４ (tanα＋tanβ) ２＋(tanαtanβ－１) ２ ＝ －４ ４２＋２ ＝ －２ ２３ ． 答案:－２ ２３ ８．解析:tan２α＝ ２tanα １－tan２α ＝ ６１－９＝－ ３ ４． 答案:－３４ 考点３　三角函数的图象与性质 ◆三角函数的图象 C　由题意可得:y＝２sin ３x－π６( ) 可知最小正周期T＝ ２π ３ ,所以y＝２sin ３x－π６＋ ２π ３( ) ＝２cos３x,画出y＝sinx 和y＝２cos３x在[０,２π]上的函数图象,观察即可得到６ 个交点． 故选择:C． ◆三角函数的性质:周期 １．B　由题意可知:x１ 为f(x)的最小值,x２ 为f(x)的最大 值点, 则|x１－x２|min＝ T ２＝ π ２ ,即T＝π, 且ω＞０,所以ω＝２πT＝２． ２．A　对于 A,sinx＋cosx＝ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ３０１ 详解详析 ２ ２ ２sinx＋ ２ ２cosx æ è ç ö ø ÷＝ ２sin x＋π４( ) ,则 T＝２π,满 足条件,故 A正确; 对于B,sinxcosx＝ １２sin２x ,则 T＝２π２ ＝π ,不满足条 件,故B错误; 对于 C,sin２x＋cos２x＝１,为常值函数,则不存在最小正 周期,不满足条件,故 C错误; 对于 D,sin２x－cos２x＝－cos２x,则T＝２π２＝π ,不满足 条件,故 D错误,故答案选 A． ◆三角函数的性质:最值 １．A　f(x)＝sin３ ωx＋π３( ) ＝sin(３ωx＋π)＝－sin３ωx, 由T＝２π３ω＝π 得ω＝２３ , 即 f (x)＝ － sin ２x,当 x ∈ －π１２ ,π ６[ ] 时,２x ∈ －π６ ,π ３[ ] , 画出 f(x)＝ －sin２x 图 象, 如图, 由图 可 知,f(x)＝－sin２x 在 －π１２ ,π ６[ ] 上递减, 所以,当x＝ π６ 时,f(x)min＝－ sinπ３＝－ ３ ２． ２．解析:本题考查了余弦函数的值域． ∵y＝cosx,x∈ －π２ ,π ４[ ] ,由余弦函数的图象可知x ＝－π２ 时,ymin＝０, 当x＝０时,ymax＝１．故y＝cosx 在 － π ２ ,π ４[ ] 上的值 域为[０,１]． 答案:[０,１] ３．解析:由题意知f(x)＝sinx－ ３cosx＝２sin x－π３( ) , 当x∈[０,π]时,x－π３∈ － π ３ ,２π ３[ ] , ∴sin x－π３( ) ∈ － ３ ２ ,１[ ] ,于是f(x)∈[－ ３,２],故 f(x)在[０,π]上的最大值为２． 答案:２ ４．解析:∵α∈ π６ ,π ３[ ] ,∴cos π ３≤cosα≤cos π ６ ,即１ ２≤ cosα≤ ３２ ,又β－α＝π＋２kπ,k∈Z,∴cosβ＝cos(α＋π＋ ２kπ)＝cos(α＋π)＝－cosα,∴－ ３２≤cosβ≤－ １ ２ , ∴cosβ的最大值为－ １ ２． 答案:－１２ ◆三角函数的性质:单调 D　因为f(x)＝sin(ωx＋φ)在区间 π ６ ,２π ３( ) 单调递增, 所以T ２＝ ２π ３－ π ６＝ π ２ ,且ω＞０,则T＝π,ω＝２πT＝２ , 当x＝π６ 时,f(x)取得最小值,则２􀅰 π６＋φ＝２kπ－ π ２ , k∈Z,则φ＝２kπ－ ５π ６ ,k∈Z, 不妨取k＝０,则f(x)＝sin ２x－５π６( ) , 则f －５π１２( )＝sin － ５π ３( )＝ ３ ２． 故选 D． ◆三角函数的性质:对称 B　依题知a－π３＝ kπ ２ ,即a＝kπ２＋ π ３ ,其中k∈Z,又a ＞０,所以当k＝０时,a取得最小值 π３ ,故选B． ◆三角函数图象和性质的综合应用 １．C　由辅助角公式化简函数解析式,再由正弦函数的最 小正周期与零点即可求解． 函数f(x)＝sin(ωx)＋cos(ωx)＝ ２sin(ωx＋ π４ )(ω＞ ０), 设函数f(x)的最小正周期为 T,由f(x＋π)可得kT＝ π,(k∈N∗ ), 所以T＝２πω＝ π k (k∈N∗ ),即ω＝２k,(k∈N∗ ); 又 函 数 f (x)在 ０,π４[ ] 上 存 在 零 点,且 当 x ∈ ０,π４[ ] 时,ωx＋ π ４∈ π ４ ,πω ４＋ π ４[ ] , 所以πω ４＋ π ４≥π ,即ω≥３; 综上,ω的最小值为４．故选:C． ２．A　依题可知πω１２＋φ＝２kπ＋ π ２ ,πω ３ ＋φ＝nπ ,其中k,n ∈Z． 两式相减,得ω＝４(n－２k)－２＝４t－２,t∈Z． 又因为T ２ ＝ π ω ≥ π １２－ － ５π １２( ) ＝ π ２ ,所 以ω≤２,故ω ＝２． 从而φ＝２kπ＋ π ３ ,结合－π＜φ＜π得φ＝ π ３． 显然f(x)＝sin ２x＋π３( ) 在 ０, π ２[ ] 上的最小值为 f π２( )＝sin ４π ３＝－ ３ ２． ３．BC　A错,代x＝０便知;B显然对,两者值域相同;C显 然对,两者最小正周期都为 π;D 错,前者对称轴为x＝ π ２＋kπ ,后者是x＝３π８＋kπ． ４．C　因为y＝cos ２x＋π６( ) 向左平移 π ６ 个单位所得函数 为y＝cos ２ x＋π６( )＋ π ６[ ]＝ cos２x＋π２( )＝－sin２x,所以f(x)＝－sin２x, 而y＝１２x－ １ ２ 显然过 ０,－１２( ) 与(１,０)两点, 作出f(x)与y＝１２x－ １ ２ 的部分大致图象如下, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ４０１ 数学 考虑２x＝－３π２ ,２x＝３π２ ,２x＝７π２ ,即x＝－３π４ ,x＝３π４ ,x ＝７π４ 处f(x)与y＝１２x－ １ ２ 的大小关系, 当x＝－３π４ 时,f －３π４( )＝－sin － ３π ２( )＝－１, y＝１２× － ３π ４( )－ １ ２＝－ ３π＋４ ８ ＜－１ ; 当x＝３π４ 时,f ３π４( ) ＝－sin ３π ２＝１ ,y＝１２× ３π ４ － １ ２＝ ３π－４ ８ ＜１ ; 当x＝７π４ 时,f ７π４( ) ＝－sin ７π ２＝１ ,y＝１２× ７π ４ － １ ２＝ ７π－４ ８ ＞１ ; 所以由图可知,f(x)与y＝１２x－ １ ２ 的交点个数为３．故 选 C． ５．解析:令f(x)＝cosωx－１＝０,得cosωx＝１,又x∈[０, ２π],则ωx∈[０,２ωπ],所以４π≤２ωπ＜６π,即２≤ω＜３． 故ω的取值范围是[２,３)． 答案:[２,３) ６．解析:设A x１, １ ２( ) ,B x２, １ ２( ) ,则ωx１＋φ＝ π ６ ,ωx２＋ φ＝ ５π ６ ,又x２－x１＝ π ６ ,所以ω＝４,由曲线y＝f(x)过 ２π ３ ,０( ) ,所以４×２π３＋φ＝２π,即φ＝－ ２π ３ ,所以f(x)＝ sin ４x－２π３( ) ,f(π)＝sin ４π－ ２π ３( ) ＝－sin２π３＝－ ３ ２． 答案:－ ３２ ７．解:(１)因为f(０)＝cosφ＝ １ ２ 且０≤φ＜π, 所以φ＝ π ３ (２)由(１)得f(x)＝cos ２x＋π３( ) 所以g(x)＝cos ２x＋π３( )＋ cos ２ x－π６( )＋ π ３[ ] ＝cos ２x＋π３( )＋cos２x ＝３２cos２x－ ３ ２sin２x ＝ ３cos ２x＋π６( ) 因为x∈R,所以g(x)的值域为[－ ３,３], 令－π＋２kπ≤２x＋π６≤２kπ ,k∈Z, 得－７１２π＋kπ≤x≤－ π １２＋kπ ,k∈Z, 令２kπ≤２x＋π６≤π＋２kπ ,k∈Z, 得－π１２＋kπ≤x≤ ５ １２π＋kπ ,k∈Z, 所以g(x)单调增区间为 －７１２π＋kπ ,－π１２＋kπ[ ] ,k∈Z 单调递减区间为 －π１２＋kπ ,５ １２π＋kπ[ ] ,k∈Z 作业８　平面向量 考点１　平面向量的概念及运算 ◆平面向量的线性运算及平面向量基本定理 A　本题考查平面向量的线性运算．因为 D 是AB 的中 点,所以AD → ＝DB → ．所以CB → ＝CD → ＋DB → ＝CD → ＋AD → ＝CD → ＋(CD → －CA →)＝２CD→－CA→．故选 A． ◆平面向量的坐标运算 １．D　因为b⊥(b－４a),所以b􀅰(b－４a)＝０,则４＋x２－ ４x＝０,解得x＝２．故选择:D． ２．D　(a＋λb)􀅰(a＋μb)＝a ２＋(λ＋μ)(a􀅰b)＋λμb ２ ＝２(１＋λμ)＝０,所以λμ＝－１．故选 D． ３．B　因为a＝(３,１),b＝(２,２), 所以a＋b＝(５,３),a－b＝(１,－１), 则|a＋b|＝ ５２＋３２＝ ３４,|a－b|＝ １＋１＝ ２,(a ＋b)􀅰(a－b)＝５×１＋３×(－１)＝２, 所以cos‹a＋b,a－b›＝ (a＋b)􀅰(a－b) |a＋b||a－b| ＝ ２ ３４× ２ ＝ １７ １７ ． 故选B． ４．解析:由题意可知,２k＝５×６,则k＝１５． 答案:１５ ５．解析:a􀅰b＝－２×１＋３×２＝４． 答案:４ 考点２　平面向量的数量积及应用 ◆平面向量的数量积 B　以{AB →,AD→}为基底向量,可知|AB→|＝|AD→|＝２,AB→ 􀅰AD → ＝０ 则EC → ＝EB → ＋BC → ＝１２AB → ＋AD →,ED→＝EA→＋AD→＝ －１２AB → ＋AD →, 所 以EC → 􀅰ED→＝ １２AB → ＋AD → ( ) 􀅰 －１２AB → ＋AD → ( ) ＝ －１４AB →２＋AD→ ２ ＝－１＋４＝３．故选B． ◆平面向量的夹角 C　 由 已 知 有c＝(３＋t,４),cos‹a,c›＝cos‹b,c›,故 ９＋３t＋１６ |c|􀅰５ ＝ ３＋t |c|􀅰１ ,解得t＝５,故选 C． ◆平面向量的模 １．B　将条件|a＋２b|＝２平方得１＋４a􀅰b＋４b２＝４,由(b －２a)⊥b得b２－２a􀅰b＝０,所以b２＝１２ ,|b|＝ ２２． ２．解析:因为a－b＝(x,１)－(x－１,２x)＝(１,１－２x),又a ⊥(a－b) 所以a􀅰(a－b)＝x＋１－２x＝１－x＝０,解得x＝１ 所以|a|＝ １２＋１２＝ ２ 答案:２ ３．解析:由|a＋b|＝|２a－b|,得a２＝２a􀅰b; 由|a－b|＝ ３,得a２－２a􀅰b＋b２＝３,即b２＝３, |b|＝ ３． 答案:３ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ５０１ 详解详析