作业4 不等式&作业5 函数-【创新教程·微点特训】2023-2025三年高考数学真题分类特训

　　　　　　　　　作业４　不等式 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 　　不等式是高中数学的一个重要内容,而基本不等式是不等式中的核心,是解决最值问题 的一个重要工具,也是高考常考的一个知识点． 基本不等式在新高考中常以多选题形式考查,题目难度为中等,在备考中应以中等难度 题型为主,训练思维的灵活性,同时注意三个正数的算数－几何平均不等式这一题型,在备考 中要注意与函数知识相结合． ◆不等式的性质与解法 １．(２０２５􀅰全国二卷,４)不等式x－４x－１≥２ 的解集是 (　　) A．{x|－２≤x≤１}　　　　　　　　　　　B．{x|x≤－２} C．{x|－２≤x＜１} D．{x|x＞１} ２．(２０２５􀅰天津卷,１５)若a,b∈R,∀x∈[－２,２],均有(２a＋b)x２＋bx－a－１≤０恒成立,则２a＋ b的最小值为　　　　． ３．(２０２５􀅰上海卷,２)不等式x－１x－３＜０ 的解集为　　　． ４．(２０２４􀅰上海卷,３)不等式x２－２x－３＜０的解集为　　　　． ５．(２０２３􀅰上海卷,１)不等式|x－２|＜１的解集为　　　　． ◆基本不等式 １．(２０２５􀅰北京卷,６)已知a＞０,b＞０,则 (　　) A．a２＋b２＞２ab B．１a＋ １ b≥ １ ab C．a＋b＞ ab D．１a＋ １ b≤ ２ ab ２．(２０２５􀅰上海卷,８)设a,b＞０,a＋１b＝１ ,则b＋１a 的最小值为　　　． ３１ 作业４　不等式 　 　　　　　　　　作业５　函数 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　 　　函数作为高中数学内容的一条主线,对整个高中数学有重要意义,每年高考卷都将其作 为必考题,题目分布在选择题和填空题．本专题常以基本函数、基本函数组成的复合函数以及 抽象函数为载体,对函数内容和性质进行考查,考查函数的定义域、值域,函数的表示方法及 性质(单调性、对称性、周期性)、图象等,常与导数、不等式、方程等知识交汇命题,考查数形结 合、分类讨论、转化与化归及函数与方程等思想方法． 考点１　函数的概念及其表示 ◆函数的定义域 (２０２２􀅰北京卷,１１)函数f(x)＝１x＋ １－x 的定义域是　　　　． ◆分段函数 (２０２４􀅰 上 海 卷,２)已 知 函 数 f(x)＝ x,x＞０ １,x≤０{ ,则f(３)＝　　　　． ◆函数的值域与最值 (２０２３􀅰 上 海 卷,５)已 知 函 数 f(x)＝ １,x≤０ ２x,x＞０ ì î í ï ï ïï ,则f(x)的值域为　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 考点２　指、对、幂函数 ◆指、对、幂的计算 (２０２４􀅰全国甲卷(理),１５)已知a＞１且 １ log８a － １loga４ ＝－５２ ,则a＝　　　　． ◆比较大小 １．(２０２５􀅰全国一卷,８)已知２＋log２x＝３＋ log３y＝５＋log５z,则x,y,z的大小关系不可 能是 (　　) A．x＞y＞z　　　　B．x＞z＞y C．y＞x＞z D．y＞z＞x ２．(２０２４􀅰天津卷,５)若a＝４．２－０．３,b＝４．２０．３,c＝ log４．２０．２,则a,b,c的大小关系为 (　　) A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a ３．(２０２４􀅰北京卷,９)已知 (x１,y１),(x２,y２) 是函数y＝２x 图象上不同的两点,则下列正 确的是 (　　) A．log２ y１＋y２ ２ ＜ x１＋x２ ２ B．log２ y１＋y２ ２ ＞ x１＋x２ ２ C．log２ y１＋y２ ２ ＜x１＋x２ D．log２ y１＋y２ ２ ＞x１＋x２ ４．(２０２３􀅰全国甲卷(文),１１)已知函数f(x) ＝e－(x－１) ２ ．记a＝f ２２ æ è ç ö ø ÷,b＝f ３２ æ è ç ö ø ÷,c＝ f ６２ æ è ç ö ø ÷,则 (　　) A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b ５．(２０２３􀅰 天津卷,３)若 a＝１．０１０．５,b＝ １．０１０．６,c＝０．６０．５,则a,b,c的大小关系为 (　　) A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．a＞b＞c D．b＞a＞c 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ４１ 数学 考点３　函数的基本性质 ◆函数的单调性 １．(２０２５􀅰上海卷,１４)设a＞０,s∈R,下列各 项中,能推出as＞a的一项是 (　　) A．a＞１,且s＞０　　B．a＞１,且s＜０ C．０＜a＜１,且s＞０ D．０＜a＜１,且s＜０ ２．(２０２４􀅰新课标Ⅰ卷,６)已知函数f(x)＝ －x２－２ax－a,x＜０ ex＋ln(x＋１),x≥０{ 在R上单调递增,则a 的取值范围是 (　　) A．(－∞,０] B．[－１,０] C．[－１,１] D．[０,＋∞) ３．(２０２３􀅰新课标Ⅰ卷,４)设函数f(x)＝ ２x(x－a)在区间(０,１)单调递减,则a的取值 范围是 (　　) A．(－∞,－２] B．[－２,０) C．(０,２] D．[２,＋∞) ４．(２０２５􀅰北京卷,１５)已知函数f(x)的定义 域为R,则下列说法正确的有　　　　． ①存在在 R上单调递增的函数f(x)使得 f(x)＋f(２x)＝－x恒成立; ②存在在 R上单调递减的函数f(x)使得 f(x)＋f(２x)＝－x恒成立; ③使得f(x)＋f(－x)＝cosx恒成立的函 数f(x)存在且有无穷多个; ④使得f(x)－f(－x)＝cosx恒成立的函 数f(x)存在且有无穷多个． ◆函数的奇偶性 １．(２０２５􀅰全国二卷,１０)(多选)已知f(x)是 定义在R上的奇函数,且当x＞０时,f(x) ＝(x２－３)ex＋２,则 (　　) A．f(０)＝０ B．当x＜０时,f(x)＝－(x２－３)e－x－２ C．f(x)≥２当且仅当x≥ ３ D．x＝－１是f(x)的极大值点 ２．(２０２４􀅰天津卷,４)下列函数是偶函数的是 (　　) A．f(x)＝e x－x２ x２＋１ B．f(x)＝cosx＋x ２ x２＋１ C．f(x)＝e x－x x＋１ D．f (x)＝sinx＋４x e|x| ３．(２０２３􀅰新课标Ⅱ卷,４)若f(x)＝ (x＋a)ln２x－１２x＋１ 为偶函数,则a＝ (　　) A．－１ B．０ C．１２ D．１ ４．(２０２３􀅰全国乙卷(理),４)已知f(x)＝ xex eax－１ 是偶函数,则a＝ (　　) A．－２ B．－１ C．１ D．２ ５．(２０２４􀅰上海卷,４)已知f(x)＝x３＋a,且 f(x)是奇函数,则a＝　　　　． ６．(２０２３􀅰全国甲卷(理),１３)若f(x)＝(x－１)２ ＋ax＋sinx＋π２ æ è ç ö ø ÷为偶函数,则a＝　　　　． ◆函数的对称性 (２０２３􀅰天津卷,５)已知函数f(x)图象的一 条对称轴为直线x＝２,f(x)的一个周期为 ４,则f(x)的解析式可能为 (　　) A．f(x)＝sin π２x æ è ç ö ø ÷ B．f(x)＝cos π２x æ è ç ö ø ÷ C．f(x)＝sin π４x æ è ç ö ø ÷ D．f(x)＝cos π４x æ è ç ö ø ÷ ◆函数性质的综合应用 １．(２０２５􀅰全国一卷,５)已知f(x)是定义在R 上且周期为２的偶函数,当２≤x≤３时, f(x)＝５－２x,则f －３４ æ è ç ö ø ÷＝ (　　) A．－１２ B．－ １ ４ C．１４ D． １ ２ ２．(２０２４􀅰新课标Ⅰ卷,８)已知函数f(x)的定 义域为R,f(x)＞f(x－１)＋f(x－２),且当 x＜３时,f(x)＝x,则下列结论中一定正确 的是 (　　) A．f(１０)＞１００ B．f(２０)＞１０００ C．f(１０)＜１０００ D．f(２０)＜１００００ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ５１ 作业５　函数 ３．(２０２４􀅰新课标Ⅱ卷,８)设函数f(x)＝(x＋ a)ln(x＋b)．若f(x)≥０．则a２＋b２ 的最小 值为 (　　) A．１８ B． １ ４ C．１２ D．１ ４．(２０２３􀅰新课标Ⅰ卷,１１)(多选)已知函数 f(x)的定义域为 R,f(xy)＝y２f(x)＋ x２f(y),则 (　　) A．f(０)＝０ B．f(１)＝０ C．f(x)是偶函数 D．x＝０为f(x)的极小值点 ５．(２０２４􀅰上海卷,１８)已知函数f(x)＝logax (a＞０,a≠１)． (１)若函数f(x)的图象过点(４,２),求不等 式f(２x－２)＜f(x)的解集; (２)若存在x使得f(x＋１),f(ax),f(x＋ ２)依次成等差数列,求实数a的取值范围． ６．(２０２３􀅰上海卷,１８)(本题满分１４分)本题 共有２个小题,第１小题满分６分,第２小 题满分８分． 函数f(x)＝x ２＋(３a＋１)x＋c x＋a (a,c∈R) (１)当a＝０时,求f(x)的定义域,并判断是 否存在c使得f(x)是奇函数,说明理由． (２)若函数y＝f(x)的图象过点(１,３),且函 数f(x)与x负半轴有两个不同的交点,求c 的值和a的取值范围． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ６１ 数学 考点４　函数的图象 １．(２０２５􀅰北京卷,４)为得到函数y＝９x 的图 象,只需把函数y＝３x 的图象上的所有点 (　　) A．横坐标变成原来的１２ 倍,纵坐标不变 B．横坐标变成原来的２倍,纵坐标不变 C．纵坐标变成原来的１３ 倍,横坐标不变 D．纵坐标变成原来的３倍,横坐标不变 ２．(２０２５􀅰天津卷,３)已知函数y＝f(x)的图 象如图,则f(x)的解析式可能为 (　　) A．f(x)＝ x１－|x|　　　B．f (x)＝ x|x|－１ C．f(x)＝ |x|１－x２ D．f(x)＝ |x|x２－１ ３．(２０２４􀅰全国甲卷(理),７)函数y＝－x２＋ (ex－e－x)sinx在区间[－２．８,２．８]的图象 大致为 (　　) ４．(２０２４􀅰北京卷,１０)已知 M＝{(x,y)|y＝x ＋t(x２－x),１≤x≤２,０≤t≤１}是平面直角 坐标系中的点集．设d 是M 中两点间的距 离的最大值,S是M 表示的图形的面积,则 (　　) A．d＝３,S＜１ B．d＝３,S＞１ C．d＝ １０,S＜１ D．d＝ １０,S＞１ ５．(２０２３􀅰天津卷,４)函数 f(x)的图象如图所示, 则f(x)的解析式可能 为 (　　) A．f(x)＝５ (ex－e－x) x２＋２ B．f(x)＝５sinxx２＋１ C．f(x)＝５ (ex＋e－x) x２＋２ D．f(x)＝５cosxx２＋１ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 考点５　函数与方程 １．(２０２５􀅰天津卷,７)函数f(x)＝０．３x－ x的 零点所在区间是 (　　) A．(０,０．３)　　　B．(０．３,０．５) C．(０．５,１) D．(１,２) ２．(２０２４􀅰新课标Ⅱ卷,６)设函数f(x)＝a(x ＋１)２－１,g(x)＝cosx＋２ax．当x∈(－１, １)时,曲线y＝f(x)与y＝g(x)恰有一个交 点,则a＝ (　　) A．－１ B．１２ C．１ D．２ ３．(２０２３􀅰天津卷,１５)若函数f(x)＝ax２－２x －|x２－ax＋１|有且仅有两个零点,则a的 取值范围为　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 考点６　函数模型 (２０２３􀅰上海卷,１１)公园欲修建一段斜坡, 假设斜坡起点在水平面上,斜坡与水平面的 夹角为θ,斜坡终点距离水平面的垂直高度 为４米,游客每走一米消耗的体能为(１．０２５ －cosθ),要使游客从斜坡底走到斜坡顶端 所消耗的总体能最少,则θ＝　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ７１ 作业５　函数 １２．A　由题意可得∁UN＝{２,４,８}, 则 M∪∁UN＝{０,２,４,６,８}．故选 A． １３．A　由∁UB＝{３,５},而 A＝{１,３},所 以∁UB∪A＝ {１,３,５}．故选 A． １４．解析:本题考查了补集的运算,∵U＝{x|２≤x≤５},A ＝{x|２≤x＜４} ∴􀭿A＝{x|４≤x≤５}． 答案:{x|４≤x≤５} １５．解析:根据补集的定义可得 􀭿A＝{１,３,５} 答案:{１,３,５} ◆集合的含义及表示 １．C　８－３＝５,选 C． ２．A　由 M＝{x|x∈P 且x∉Q}知,M＝{１}． ◆含参集合 B　若a－２＝０,则a＝２,此时 A＝{０,－２},B＝{１,０, ２},不满足题意;若２a－２＝０,则a＝１,此时A＝{０,－１},B ＝{１,－１,０},满足题意．故选B． ◆集合的新概念问题 A　取S＝{１,２,４},则T＝{２,４,８},S∪T＝{１,２,４,８}, ４个元素,排除 C; S＝{２,４,８},则T＝{８,１６,３２},S∪T＝{２,４,８,１６,３２}, ５个元素,排除 D; S＝{２,４,８,１６},则T＝{８,１６,３２,６４,１２８},S∪T＝{２, ４,８,１６,３２,６４,１２８},７个元素,排除B;故选 A． 考点２　常用逻辑用语 ◆简单的逻辑联结词 A　由已知可得命题p为真命题,命题q为真命题,所以 p∧q为真命题,故选 A． ◆全称量词与存在量词 B　由x＝０不 成 立 知p 假,x＝１时 成 立 知q真,所 以 选B． ◆充分条件与必要条件 １．A　本题考查了命题的充要条件,由x＝０⇒sin２x＝sin０ ＝０,由sin２x＝０⇒２x＝kπ,x＝kπ２ ,k∈Z不一定为x＝０ ∴sin２x＝０⇒/x＝０ ∴x＝０是sin２x＝０的充分不必要条件． ２．A　由函数值域的概念结合特例,再根据充分条件、必要 条件的概念即可求解． 若函数f(x)的值域为 R,则对任意 M∈R,一定存在x１ ∈D,使得|f(x１)|＝|M|＋１, 取x０＝x１,则|f(x０)|＝|M|＋１＞M,充分性成立; 取f(x)＝２x,D＝R,则对任意 M∈R,一定存在x１∈D, 使得f(x１)＝|M|＋１, 取x０＝x１,则|f(x０)|＝|M|＋１＞M,但此时函数f(x) 的值域为(０,＋∞),必要性不成立; 所以“函数f(x)的值域为 R”是“对任意 M∈R,存在x０ ∈D,使得|f(x０)|＞M”的充分不必要条件．故选:A． ３．C　若a⊥b,则x(x＋１)＋２x＝０, 即x２＋３x＝０,解得x＝０或x＝－３, ∴A错,C对;若a∥b,则２(x＋１)－x２＝０,即x２－２x－２ ＝０, 解得x＝１± ３,故B、D错． ４．C　根据立方的性质和指数函数的性质,a３＝b３⇒a＝b⇒ ３a＝３b,３a＝３b⇒a＝b⇒a３＝b３,所以二者互为充要条件． ５．B　∵(a＋b)􀅰(a－b)＝０,∴a２－b２＝０,∴a２＝b２,则|a|＝ |b|,不能得到a＝b或a＝－b,充分性不成立;若a＝b或 a＝－b,则(a＋b)􀅰(a－b)＝０成立,必要性成立．所以 “(a＋b)􀅰(a－b)＝０”是“a＝－b或a＝b”的必要不充分 条件． ６．B　甲 等 价 于 sin２α＝１－sin２β＝cos ２ β,等 价 于 sinα＝ ±cosβ,所以由甲不能推导出sinα＋cosβ＝０,所以甲不是 乙的充分条件;由sinα＋cosβ＝０,得sinα＝－cosβ,平方可 得sin２α＝cos２β＝１－sin ２ β,即sin ２α＋sin２β＝１,所以由乙可以 推导出甲,则甲是乙的必要条件．综上．故选B． 作业４　不等式 ◆不等式的性质与解法 １．C 　 由 x－４x－１ ≥ ２ ⇔ －x－２ x－１ ≥ ０ ⇔ x＋２ x－１ ≤ ０ ⇔ (x－１)(x＋２)≤０ x－１≠０{ ⇔－２≤x＜１． ２．解析:取x＝－１２ ,得１ ４ (２a＋b)－１２ (２a＋b)－１≤０,即 ２a＋b≥－４． 另一方面,取２a＋b＝－４,－ b２(２a＋b)＝－ １ ２ ,此时b＝ －４,a＝０, (２a＋b)x２＋bx－a－１≤０即－４x２－４x－１≤０,亦即(２x ＋１)２≥０,显然恒成立,符合题意．故２a＋b的最小值为 －４． 答案:－４ ３．解析:本题考查了分式不等式的解法． ∵x－１x－３＜０ ∴(x－３)(x－１)＜０ ∴１＜x＜３ ∴原不等式的解集为{x|１＜x＜３},即(１,３)． 答案:(１,３) ４．解析:将不等式分解因式得(x－３)(x＋１)＜０,解得－１ ＜x＜３． 答案:(－１,３) ５．解析:|x－２|＜１⇒－１＜x－２＜１⇒１＜x＜３． 答案:(１,３) ◆基本不等式 １．C　由基本不等式结合特例即可判断． 对于 A,当a＝b时,a２＋b２＝２ab,故 A 错误;对于 B、D, 取a＝１２ ,b＝１４ ,此时 １ a ＋ １ b ＝２＋４＝６＜ １ １ ２× １ ４ ＝８ ＝１ab ,１ a＋ １ b ＝２＋４＝６＞ ２ １ ２× １ ４ ＝４ ２＝ ２ ab ,故 B、D错误;对于C,由基本不等式可得a＋b≥２ ab＞ ab, 故C正确．故选:C． ２．解析:∵a＞０,b＞０,a＋１b＝１ ,∴０＜a＜１,b＞１,∴a＝１－１b ＝b－１b ＞０ , ∴b＋１a＝b＋ b b－１＝b－１＋ １ b－１＋２≥ ２ (b－１) １b－１( ) ＋２＝４． 当且仅当 １ b－１＝b－１ ,即b＝２,a＝１２ 时,等号成立． 答案:４ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ９８ 详解详析 作业５　函数 考点１　函数的概念及其表示 ◆函数的定义域 解析:依题意 x≠０, １－x≥０,{ 解得x∈(－∞,０)∪(０,１]． 答案:(－∞,０)∪(０,１] ◆分段函数 解析:f(３)＝ ３． 答案:３ ◆函数的值域与最值 解析:当x＞０时,y＝２x＞１,当x≤０时,y＝１,故值域为[１, ＋∞)． 答案:[１,＋∞) 考点２　指、对、幂函数 ◆指、对、幂的计算 解析:因 为 １ log８a － １loga４ ＝ ３log２a － １２log２a＝－ ５ ２ ,所 以 (log２a＋１)(log２a－６)＝０,而a＞１,故log２a＝６,a＝６４． 答案:６４ ◆比较大小 １．B　设２＋log２x＝３＋log３y＝５＋log５z＝t,则x＝２t－２,y＝ ３t－３,z＝５t－５,取t＝０,易知x＞y＞z,排除 A;取t＝５,易知y ＞x＞z,排除C;取t＝８,易知y＞z＞x,排除D;故选B． ２．B　因为y＝４．２x 在R上递增,且－０．３＜０＜０．３,所以０＜ ４．２－０．３＜４．２０＜４．２０．３, 所以０＜４．２－０．３＜１＜４．２０．３,即０＜a＜１＜b, 因为y＝log４．２x在(０,＋∞)上递增,且０＜０．２＜１, 所以log４．２０．２＜log４．２１＝０,即c＜０, 所以b＞a＞c． ３．B　log２ y１＋y２ ２ ＝log２ ２x１＋２x２ ２ ≥log２ ２ x１􀅰２x２ ＝ log２２ x１＋x２ ２ ＝ x１＋x２ ２ ,∵x１≠x２,∴等号取不到,即 log２ y１＋y２ ２ ＞ x１＋x２ ２ ． ４．A　令g(x)＝－(x－１)２,则g(x)图象开口向下,对称轴 为x＝１, 因为 ６ ２－１－ １－ ３ ２ æ è ç ö ø ÷＝ ６＋ ３２ － ４ ２ , 而(６＋ ３)２－４２＝９＋６ ２－１６＝６ ２－７＞０, 所以 ６ ２－１－ １－ ３ ２ æ è ç ö ø ÷＝ ６＋ ３２ － ４ ２＞０ , 即 ６ ２－１＞１－ ３ ２ , 由二次函数性质知g ６２ æ è ç ö ø ÷＜g ３２ æ è ç ö ø ÷, 因为 ６ ２－１－ １－ ２ ２ æ è ç ö ø ÷＝ ６＋ ２２ － ４ ２ , 而(６＋ ２)２－４２＝８＋４ ３－１６＝４ ３－８ ＝４(３－２)＜０, 即 ６ ２－１＜１－ ２ ２ ,所以g ６２ æ è ç ö ø ÷＞g ２２ æ è ç ö ø ÷, 综上,g ２２ æ è ç ö ø ÷＜g ６２ æ è ç ö ø ÷＜g ３２ æ è ç ö ø ÷, 又y＝ex 在 R上为增函数,故a＜c＜b, 即b＞c＞a．故选 A． ５．D　由y＝１．０１x 在 R上递增, 则a＝１．０１０．５＜b＝１．０１０．６, 由y＝x０．５在(０,＋∞)上递增,则a＝１．０１０．５＞c＝０．６０．５． 所以b＞a＞c．故选 D． 考点３　函数的基本性质 ◆函数的单调性 １．D　本题考查了指数函数的单调性． 由题意知,当a＞１时,若as＞a,则s＞１, 当０＜a＜１时,若as＞a,则s＜１,D正确． ２．B　由题意知f(x)在 R上单调递增,令h(x)＝－x２－ ２ax－a,则h(x)的对称轴必大于等于０,否则与题意不 符,即－a≥０⇒a≤０,排除 C、D 项;又因为当x＝０时, f(x)＝１,所以当x＝０时,h(x)≤１⇒－x２－２ax－a≤１, 代入x＝０,得－a≤１⇒a≥－１,所以－１≤a≤０,故a的 取值范围是[－１,０]．故选择:B． ３．D　由题意易得,a２≥１ ,所以a的取值范围是[２,＋∞)． 故选 D． ４．解析:利用反证法可判断①④的正误,构造函数并验证 后可判断②③的正误． 对于①,若存在 R上的增函数f(x),满足f(x)＋f(２x) ＝－x, 则f(０)＋f(２×０)＝－０即f(０)＝０, 故x＞０时,f(４x)＞f(２x)＞f(x)＞０,故f(４x)＋f(２x) ＞f(x)＋f(２x), 故－２x＞－x即x＜０,矛盾,故①错误; 对于②,取f(x)＝－ １３x ,该 函 数 为 R 上 的 减 函 数 且 f(x)＋f(２x)＝－x, 故该函数符合,故②正确; 对于③,取f(x)＝１２cosx＋mx ,m∈R, 此时f(x)＋f(－x)＝cosx,由 m∈R可得f(x)有无穷 多个, 故③正确; 对于④,若存在f(x),使得f(x)－f(－x)＝cosx, 令x＝０,则０＝cos０,但cos０＝１,矛盾, 故满足f(x)－f(－x)＝cosx 的 函 数 不 存 在,故 ④ 错误． 答案:②③ ◆函数的奇偶性 １．ABD　由奇函数的性质可知,因为f(x)的定义域为 R, f(０)＝０,所以 A正确; 当x＜０时,－x＞０,f(－x)＝(x２－３)e－x＋２,又因为 f(－x)＝－f(x),所以f(x)＝－(x２－３)e－x－２,所以B 正确; 当x＞０时,f′(x)＝(x＋３)(x－１)ex,所以f(x)在(０,１) 上单调递减,在(１,＋∞)上单调递增 x→０时,f(x)→－１,f(１)＝－２e＋２＜０,f( ３) ＝２＞ ０,所以f(x)的图象大致为 因为２e－２＞２,所以 C错误,由奇函数图象关于原点对 称可知 D正确． ２．B　对 A,设f(x)＝e x－x２ x２＋１ ,函数定义域为 R,但f(－１) ＝e －１－１ ２ ,f(１)＝e－１２ ,则f(－１)≠f(１),故 A 错误;对 B,f(x)＝cosx＋x ２ x２＋１ ,函 数 定 义 域 为 R,且 f(－x)＝ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ０９ 数学 cos(－x)＋(－x)２ (－x)２＋１ ＝cosx＋x ２ x２＋１ ＝f(x),则f(x)为偶函 数,故B正确;对C,设h(x)＝e x－x x＋１ ,函数定义域为{x|x ≠－１},不关于原点对称,则h(x)不是偶函数,故 C错 误;对 D,设φ(x)＝ sinx＋４x e|x| ,函数定义域为 R,因为φ (－x)＝sin (－x)＋４(－x) e|－x| ＝－sinx＋４x ex ＝－φ(x),则 φ(x)为奇函数,φ(x)不是偶函数,故 D错误． ３．B　由题意知g(x)＝ln２x－１２x＋１ 是奇函数,而f(x)＝(x＋ a)g(x)为偶函数,有f(－x)＝(－x＋a)g(－x)＝－(－x ＋a)g(x)＝(x＋a)g(x)＝f(x),故x－a＝x＋a,则a＝０． 故选B． ４．D　因为f(x)＝ xe x eax－１ 为偶函数,则f(x)－ f(－x)＝ xe x eax－１ － (－x)e－x e－ax－１ ＝x [ex－e(a－１)x] eax－１ ＝０,又因 为x不恒为０, 可得ex－e(a－１)x＝０,即ex＝e(a－１)x, 则x＝(a－１)x,即１＝a－１,解得a＝２．故选 D． ５．解析:由题意可知,F(０)＝０,则a＝０． 答案:０ ６．解析:由y＝(x－１)２＋ax＋sin x＋π２( ) ＝x ２＋(a－２)x ＋１＋cosx为偶函数,所以a＝２． 答案:２ ◆函数的对称性 B　由函数的解析式考查函数的最小周期性: A选项中T＝２ππ ２ ＝４,B选项中T＝２ππ ２ ＝４, C选项 中 T＝２ππ ４ ＝８,D 选 项 中 T＝２ππ ４ ＝８,排 除 选 项 CD． 对于 A选项,当x＝２时,函数值sin π２×２( ) ＝０,故(２, ０)是函数的一个对称中心,排除选项 A, 对于B选项,当x＝２时,函数值cos π２×２( )＝－１, 故x＝２是函数的一条对称轴．故选B． ◆函数性质的综合应用 １．A　f －３４( )＝f ３ ４( ) ＝f ２＋ ３ ４( ) ＝５－２ ２＋ ３ ４( ) ＝ －１２ ,故选 A． ２．B　由题意可知,当x＜３时,f(x)＝x,所以可知f(１)＝ １,f(２)＝２, 又因为∀x∈R,f(x)＞f(x－１)＋f(x－２),所以f(３) ＞f(１)＋f(２)＝３,f(４)＞f(２)＋f(３)＞５,同理可得, f(５)＞８,f(６)＞１３,f(７)＞２１,f(８)＞３４,f(９)＞５５, f(１０)＞８９,f(１５)＞９８７,f(１６)＞１５９７,􀆺􀆺,故 选 择:B． ３．C　当x＜－a时x＋a＜０,当x＞－a时x＋a＞０,当x ＜１－b时ln(x＋b)＜０, 当x＞１－b时ln(x＋b)＞０,所以要f(x)恒非负,必须 －a＝１－b,即b－a＝１, 所以a２＋b２＝ (a－b)２＋(a＋b)２ ２ ≥ １ ２ , 当a＝－１２ ,b＝１２ 时取等． ４．ABC　对于 A,令x＝y＝０,则f(０)＝０×f(０)＋０×f(０),则 f(０)＝０,故 A正确; 对于B,令x＝y＝１,则f(１)＝１×f(１)＋１×f(１), 则f(１)＝０,故B正确; 对于 C,令x＝y＝－１,则f(１)＝(－１)２×f(－１)＋ (－１)２×f(－１),则f(－１)＝０, 再令y＝－１,则f(－x)＝(－１)２f(x)＋x２f(－１), 即f(－x)＝f(x),故 C正确; 对于 D,当x＝０时,f(０)＝y２f(０),无极值．故 D 错误． 故选 ABC． ５．解:(１)由y＝f(x)过(４,２)可得loga４＝２,则４＝a２⇒a＝ ±２,又a＞０,故a＝２,因为f(x)＝log２x在(０,＋∞)上 是严格增函数,f(２x－２)＜f(x)⇒０＜２x－２＜x⇒１＜x ＜２,所以解集为(１,２)． (２)因为f(x＋１)、f(ax)、f(x＋２)成等差数列,所以f (x＋１)＋f(x＋２)＝２f(ax), 即loga(x＋１)＋loga(x＋２)＝２loga(ax)有解,化简可得 loga(x＋１)(x＋２)＝loga(ax)２, 得(x＋１)(x＋２)＝(ax)２ 且 x＋１＞０ x＋２＞０ ax＞０ a＞０,a≠１ ì î í ïï ï ⇒x＞０,则a２＝ (x＋１)(x＋２) x２ 在(０,＋∞)上 有 解,又 (x＋１)(x＋２) x２ ＝ ２ x２ ＋ ３x ＋１＝２ １ x＋ ３ ４( ) ２ － １８ ,故 在 (０,＋ ∞)上, (x＋１)(x＋２) x２ ＞２ ０＋３４( ) ２ －１８＝１ ,即a２＞１⇒a＜－１ 或a＞１,又a＞０,所以a＞１． ６．解:(１)当a＝０时,f(x)＝x ２＋x＋c x ＝x＋ c x ＋１ ,定义域 x≠０,∵y＝x＋cx 为奇函数, ∴f(x)＝x＋cx ＋１ 不为奇函数,故不存在实数c,使得 f(x)为奇函数． (２)f (１)＝ ３a＋２＋c１＋a ＝ ３ ⇒ c ＝ １ ,f (x)＝ x２＋(３a＋１)x＋１ x＋a ＝０ ,x２＋(３a＋１)x＋１＝０,∴Δ＝(３a ＋１)２－４＞０且 两 根 之 和 －(３a＋１)＜０,∴a＞ １３ ,若 x＋a＝０即x＝－a是方程x２＋(３a＋１)x＋１＝０的解,得 a＝１２ 或a＝－１,故实数a的取值范围为a＞１３ 且a≠１２． 考点４　函数的图象 １．A　由y＝９x＝３２x,根据平移法则即可解出． 因为y＝９x＝３２x,所以将函数y＝３x 的图象上所有点的 横坐标变成原来的１ ２ 倍,纵坐标不变,即可得到函数y＝ ９x 的图象,故选:A． ２．D　本题考查了函数的图象,考查函数的性质,奇偶性, 对称性．由图象可知,图象关于y轴对称．A 中,f(x)＝ x １－|x|＝－ x |x|－１＝－f (－x)(x≠±１)为奇函数,其 图象关于原点对称,故排除 A;B中,f(－x)＝ －x|－x|－１ ＝－ x|x|－１＝－f (x)(x≠±１)为奇函数,故排除 B;C 中,f(－x)＝ |－x|１－(－x)２ ＝ |x| １－x２ ＝f(x)为偶函数,当x ＝２时,f(２)＝ ２１－４＝－ ２ ３＜０ ,故排除 C． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １９ 详解详析 ３．B　令f(x)＝－x２＋(ex－e－x)sinx, 则f(－x)＝－(－x)２＋(e－x－ex)sin(－x) ＝－x２＋(ex－e－x)sinx＝f(x) ∴y＝f(x)为偶函数,排除 A,C; f π２( )＝－ π２ ４＋e π ２ －e－ π ２ ＝e π ２ －e－ π ２ －π ２ ４＞０ , 故排除 D,B正确． ４．C　∵１≤x≤２,∴x２－x∈[０,２],∴y ＝x＋(x２－x)t,０≤t≤１可看作关于t 的一次函数,则y关于t单调递增或y 是关于t的常数函数． 又∵y＝tx２＋(１－t)x,１≤x≤２,∴函 数y＝tx２＋(１－t)x 图象的对称轴为 直线x＝１２－ １ ２t≤０ ,∴y关于x 的函 数在[１,２]上单调递增,又t,x均为非 负数． ∴当t,x 均取最小值与t,x 均取最大值时 M 中两点间 的距离为最大值即d 取最大值,即 M 中点(１,１)和(２,４) 间的距离最大,得d＝ １０． M 表示的图形如图阴影所示,利用大长方形的面积减去 小正方形及两个梯形的面积,可得S＜１． ５．D　由题图知:函数图象关于y轴对称,其为偶函数,且 f(－２)＝f(２)＜０, 由５sin(－x)(－x)２＋１ ＝－５sinx x２＋１ 且定义域为 R,即选项 B中函数 为奇函数,排除; 当x＞０时,５ (ex－e－x) x２＋２ ＞０、５ (ex＋e－x) x２＋２ ＞０,即选项 A、 C,在(０,＋∞)上的函数值为正,排除．故选 D． 考点５　函数与方程 １．B　本题考查了函数的零点存在定理,f(x)＝０．３x－ x (x＞０)在(０,＋∞)上单调递减． ∵f(０．３)＝０．３０．３－ ０．３＝０．３０．３－０．３０．５＞０． f(０．５)＝０．３０．５－ ０．５＝０．３０．５－０．５０．５＜０, ∴f(x)的零点在区间(０．３,０．５)上． ２．D　f(x)＝g(x)⇒a＝１＋cosx１＋x２ ,注意右边是偶函数,所 以若只有一个交点就只能是在x＝０处相切,于是直接 代x＝０得a＝２． ３．解析:(１)当x２－ax＋１≥０时,f(x)＝０⇔(a－１)x２＋(a －２)x－１＝０, 即[(a－１)x－１](x＋１)＝０, 若a＝１时,x＝－１,此时x２－ax＋１≥０成立; 若a≠１时,x＝ １a－１ 或x＝－１, 若方程有一根为x＝－１,则１＋a＋１≥０,即a≥－２且a ≠１; 若方程有一根为x＝ １a－１ ,则 １ a－１( ) ２ －a× １a－１＋１≥ ０,解得a≤２且a≠１; 若x＝ １a－１＝－１ 时,a＝０,此时１＋a＋１≥０成立． (２)当x２－ax＋１＜０时,f(x)＝０⇔(a＋１)x２－(a＋２)x ＋１＝０, 即[(a＋１)x－１](x－１)＝０, 若a＝－１时,x＝１,显然x２－ax＋１＜０不成立; 若a≠－１时,x＝１或x＝ １a＋１ , 若方程有一根为x＝１,则１－a＋１＜０,即a＞２; 若方程有一根为x＝ １a＋１ ,则 １ a＋１( ) ２ －a× １a＋１＋１＜ ０,解得a＜－２; 若x＝ １a＋１＝１ 时,a＝０,显然x２－ax＋１＜０不成立; 综上可知,当a＜－２时,零点为 １a＋１ ,１ a－１ ; 当－２≤a＜０时,零点为 １a－１ ,－１; 当a＝０时,只有一个零点－１; 当０＜a＜１时,零点为 １a－１ ,－１; 当a＝１时,只有一个零点－１; 当１＜a≤２时,零点为 １a－１ ,－１; 当a＞２时,零点为１,－１． 所以当函数有两个零点时,a≠０且a≠１． 点睛:本题的解题关键是根据定义去掉绝对值,求出方 程的根,再根据根存在的条件求出对应的范围,然后根 据范围讨论根(或零点)的个数,从而得解． 答案:(－∞,０)∪(０,１)∪(１,＋∞) 考点６　函数模型 解 析:所 消 耗 的 总 体 能 y ＝ ４ (１．０２５－cosθ) sinθ ＝４．１－４cosθsinθ , y′＝４sin ２θ－(４．１－４cosθ)cosθ sin２θ ＝４－４．１cosθ sin２θ ＝０⇒cos θ＝４０４１⇒θ＝arccos ４０ ４１． 答案:arccos４０４１ 作业６　导数及其应用 考点１　导数的运算与导数的几何意义 ◆导数的运算 B　f′(x)＝ax － b x２ ,由条件,得 f(１)＝b＝－２ f′(１)＝a－b＝０{ ,所以 a＝b＝－２,即f′(x)＝－２x＋ ２ x２ , 所以f′(２)＝－２２＋ ２ ２２ ＝－１２． 故选B． ◆导数的几何意义 １．A　∵f(x)＝e x＋２sinx １＋x２ , ∴f′(x) ＝ (ex＋２cosx)(１＋x２)－(ex＋２sinx)􀅰２x (１＋x２)２ ＝ (x－１)２ex＋２(１＋x２)cosx－４xsinx (１＋x２)２ 则f′(０)＝３ ∴y＝f(x)在点(０,１)处的切线方程为y－１＝３(x－０), 即３x－y＋１＝０ 令x＝０,得y＝１, 令y＝０,得x＝－１３ , ∴y＝f(x)在点(０,１)处的切线与两坐标轴所围成的三 角形的面积为S＝１２× － １ ３ ×１＝ １ ６． ２．C　设曲线y＝ e x x＋１ 在点 １,e２( ) 处的切线方程为y－ e ２＝k (x－１), 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２９ 数学