专题 1-4 集合的基本运算【10类题型】- 【赢在暑假】2025-2026学年新高一暑假衔接衔接培优讲义（人教A版）

【赢在暑假】2025-2026学年新高一暑假衔接衔接培优讲义（人教A版） 专题1-4 集合的基本运算 总览 题型·解读 模块一 重点题型梳理 【题型1】交集的概念与运算 【题型2】 并集的概念与运算 【题型3】补集的概念与运算 【题型4】利用Venn图求集合 【题型5】交、并、补混合运算 模块二 中档题突破 【题型6】容斥原理(Venn图的实际应用) 【题型7】根据集合运算结果求参数 【题型8】根据集合运算结果得出包含关系求参数 【题型9】集合运算结果为空集或实数集求参数范围 【题型10】集合混合运算的结果确定参数的范围 模块三 【课后训练】 题型汇编 知识梳理与常考题型 模块一 重点题型梳理 【题型1】交集的概念与运算 基础知识 1、交集的概念 自然语言 由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作A∩B，读作“A交B” 符号语言 A∩B＝{x|x∈A且x∈B} 图形语言 2、交集的运算性质 性质 定义 满足交换律 空集与任何集合的交集都是空集 集合与集合本身的交集仍为集合本身 多个集合的交集满足结合律 多个集合的综合运算满足分配律 若，则 交集关系与子集关系的转化 两个集合的交集是其中任一集合的子集 3、知识点诠释： （1）并不是任何两个集合都有公共元素，当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是． （2）概念中的“所有”两字的含义是，不仅“A∩B中的任意元素都是A与B的公共元素”，同时“A与B的公共元素都属于A∩B”． （3）两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有公共元素组成的集合． 【例题1】（2025·全国二卷·高考真题）已知集合则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出集合后结合交集的定义可求. 【详解】，故， 【例题2】若集合或，则 【答案】或 【解析】因为或， 所以或， 故答案为：或. 【巩固练习1】（2023·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，，， 根据交集的运算可知，.故选：A 【巩固练习2】（2024·全国甲卷·高考真题）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的定义先算出具体含有的元素，然后根据交集的定义计算. 【详解】依题意得，对于集合中的元素，满足， 则可能的取值为，即， 于是. 【巩固练习3】已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 【题型2】 并集的概念与运算 基础知识 1、并集的概念 自然语言 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集，记作A∪B，读作“A并B” 符号语言 A∪B＝{x|x∈A或x∈B} 图形语言 2、并集的运算性质 性质 定义 满足交换律 任何集合与其本身的并集等于这个集合本身 任何集合与空集的并集等于这个集合本身 多个集合的并集满足结合律 , 任何集合都是该集合与另一个集合并集的子集 任何集合与它子集的并集都是它本身，反之亦然 3、知识点诠释： （1）“xA，或xB”包含三种情况：“”；“”；“”． （2）两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合（重复元素只出现一次）． 【例题1（2024·北京·高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得. 【例题2】设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，， 所以故选：C. 【巩固练习1】设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为集合， 所以.故选：A. 【巩固练习2】设集合，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，.故选：D. 【题型3】补集的概念与运算 基础知识 1、全集的概念 自然语言 一般地，如果一个集合包含所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记为U. 符号语言 若，则为全集. 图形语言 2、补集的概念 自然语言 若集合A是全集U的一个子集，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作. 符号语言 图形语言 3、补集的运算性质 性质 定义 任何集合与其补集的并集为全集 任何集合与其补集的交集为空集 任何集合补集的补集为集合本身 全集的补集为空集，空集的补集为全集 4、知识点诠释： （1）理解补集概念时，应注意补集是对给定的集合和相对而言的一个概念，一个确定的集合，对于不同的集合U，补集不同． （2）全集是相对于研究的问题而言的，如我们只在整数范围内研究问题，则为全集；而当问题扩展到实数集时，则为全集，这时就不是全集． （3）表示U为全集时的补集，如果全集换成其他集合（如）时，则记号中“U”也必须换成相应的集合（即）． 【例题1】（2025·天津·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，则，集合，故 【例题2】已知集合，则 【答案】或 【解析】全集为实数R，集合；故或. 【例题3】已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得，又因为，所以， 【巩固练习1】（2025·全国一卷·高考真题）设全集，集合，则中元素个数为（   ） A．0 B．3 C．5 D．8 【答案】C 【分析】根据补集的定义即可求出． 【详解】因为，所以， 中的元素个数为 【巩固练习2】已知全集，集合，则（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【解析】因为，，所以.故选：D. 【巩固练习3】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得，又因为，所以，故选：C. 【题型4】利用Venn图求集合 基础知识 用平面上封闭曲线的内部来代表集合，这个图形就叫做Venn图，集合中图形语言具有直观形象的特点，将集合问题图形化，利用Venn图的直观性，可以深刻理解集合有关概念、运算公式，而且有助于显示集合间的关系， 【例题1】已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】阴影部分表示的集合为，故求出后可求交集. 【详解】根据题意，图中阴影部分区域表示为， 因为，，则或， 则， 【例题2】如图所示，U是全集，A，B是U的子集，则阴影部分所表示的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题中韦恩图结合集合间运算分析判断. 【详解】图中阴影部分表示的集合为. 【巩固练习1】设全集，集合，那么图中的白色部分所表示的集合是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意， 那么图中的白色部分所表示的集合是.故选：C. 【巩固练习2】（24-25高一上·重庆·期中）已知全集，集合，，给出下列4种方式表示图中阴影部分：①②③④，正确的有几个？（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据阴影部分对应的集合分别判断①②③④即可. 【详解】由图可知阴影部分所表示的集合为，，故②③正确； 因为，， 所以，故①正确；，故④错误. 所以正确的有3个. 【巩固练习3】（高一上·四川眉山·开学考试）（多选）图中矩形表示集合U，两个椭圆分别表示集合M，N，则图中的阴影部分可以表示为（    ）    A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】 选项A，，则，故A正确； 选项B，，则，故B错误； 选项C，，，则，故C错误； 选项D，，， 则，故D正确.故选：AD 【题型5】交、并、补混合运算 基础知识 德摩根定律：设集合U为全集，A、B为U的子集，则有 （1） ，即“补之并”等于“交之补”； （2），即“补之交”等于“并之补”． 【摩根定律的记忆方法】提“CU”，再变号. 【例题1】（2024·全国甲卷·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由集合的定义求出，结合交集与补集运算即可求解. 【详解】因为，所以， 则， 【例题2】已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【分析】根据集合的基本运算即可求解． 【解答】解：∵A={x|-3＜x＜2}， ∴CRA={x|x≤-3或x≥2}， ∵B={x|x＜-3或x＞1}， ∴（CRA）∩B=（-∞，-3）∪[2，+∞）． 故选：B． 【例题3】（24-25高一上·福建福州·阶段练习）已知全集为，集合，满足，则下列运算结果为的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合间的基本关系及集合的基本运算，借助Venn图即可求解. 【详解】由得当Ü时，Ü，故选项A不正确； ，当时，Ü，故选项B不正确； 当Ü时，Ü，故选项C不正确； 因为，所以，故选项D正确. 故选：D. 【巩固练习1】（2023·全国乙卷·高考真题）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得，则.故选：A. 【巩固练习2】（24-25高一上·广东梅州·开学考试）（多选）设U为全集，下面三个命题中为真命题的是（    ） A．若，则； B．若，则； C．若，则； D．若，则. 【答案】ABD 【分析】利用集合间的基本关系及交并补的概念与运算计算即可. 【详解】对于A，若，则成立，即A正确； 对于B，若，则成立，即B正确； 对于C，不妨设，有，但不成立，即C错误； 对于D，若，则集合A、集合B中均没有元素，即D正确. 【巩固练习3】如图，全集为U，集合A，B是U的两个子集，则阴影部分可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】根据图中阴影可知，符合题意， 又，∴也符合题意．故选：AC 【巩固练习4】已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于集合中的元素， 当，时，；当，时，， 所以或或， 故.故选：B． 模块二 中档题突破 【题型6】容斥原理(Venn图的实际应用) 基础知识 容斥原理：在部分有限集中，我们经常遇到有关集合中元素的个数问题，常用Venn图表示两集合的交、并、补。如果用card表示有限集合元素的个数，即card（A）表示有限集A的元素个数，则有如下结论： （1） （2） 【例题1】学校举办运动会，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，则只参加游泳比赛的人数是 ，只参加田径一项比赛的人数是 . 【答案】 9 2 【解析】如图所示： 设U={参加比赛的学生}，A={参加游泳比赛的学生}，B={参加田径比赛的学生}，C={参加球类比赛的学生}， 依题意，，， 于是，解得， 所以只参加游泳比赛的人数为， 只参加田径比赛的人数. 【例题2】（24-25高一上·重庆·期中）国庆节期间，重庆复旦中学全体学生进行了选修课报名，据统计，高一某班共45名同学在语文类、数学类和物理类三类选修课具有报名意向，其中有21人想报名语文类选修课，有29人想报名数学类选修课，有28人想报名物理类选修课，同时想报名语文和数学选修课的有10人，同时想报名数学和物理选修课的有15人，没有三类选修课都想报名的同学，则只想报名物理选修课的同学有 人． 【答案】 【分析】设只想报名物理选修课的同学有人，求得同时想报名语文和物理选修课的有人，只想报名语文选修课的同学有人，只想报名数学选修课的同学有人，由题意画出Venn图，再由该班共有人数，列出方程，即可求解. 【详解】设只想报名物理选修课的同学有人， 因为有人想报名物理类选修课， 所以同时想报名语文和物理选修课的有人， 因为有21人想报名语文类选修课， 则只想报名语文选修课的同学有人， 因为有29人想报名数学类选修课，同时想报名语文和数学选修课的有10人， 同时想报名数学和物理选修课的有15人，则只想报名数学选修课的同学有人， 又没有三类选修课都想报名的同学， 由题意画出Venn图，如图所示：    因为该班共45名同学， 所以，解得， 所以只想报名物理选修课的同学有人. 【例题3】学校举办运动会时，高一某班共有30名同学参加，有15人参加游泳比赛，有9人参加田径比赛，有13人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有2人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，只参加球类一项比赛的有（ ）人． A．2 B．6 C．8 D．9 【答案】C 【分析】利用韦恩图进行求解，设出未知数，列出方程组，求出只参加球类一项比赛的人数. 【详解】如图所示：设只参加球类一项比赛的人数为x，同时参加田径和球类的人数为y，只惨叫田径的人数为z， 则， 解得：， 所以只参加球类一项比赛的人数为8. 【巩固练习1】2021年是中国共产党成立100周年，电影频道推出“经典频传：看电影，学党史”系列短视频，传扬中国共产党的伟大精神，为广大青年群体带来精神感召.现有《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三支短视频，某大学社团有50人，观看了《青春之歌》的有21人，观看了《建党伟业》的有23人，观看了《开国大典》的有26人.其中，只观看了《青春之歌》和《建党伟业》的有4人，只观看了《建党伟业》和《开国大典》的有7人，只观看了《青春之歌》和《开国大典》的有6人，三支短视频全观看了的有3人，则没有观看任何一支短视频的人数为 . 【答案】3 【解析】把大学社团50人形成的集合记为全集U，观看了《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三 支短视频的人形成的集合分别记为A，B，C，依题意，作出韦恩图，如图， 观察韦恩图：因观看了《青春之歌》的有21人，则只看了《青春之歌》的有(人)， 因观看了《建党伟业》的有23人，则只看了《建党伟业》的有(人)， 因观看了《开国大典》的有26人，则只看了《开国大典》的有(人)， 因此，至少看了一支短视频的有(人)， 所以没有观看任何一支短视频的人数为. 【巩固练习2】疫情期间，某社区因疫情防控需要招募志愿者进行连续3天的核酸采样工作，第一天有19人参加，第二天有13人参加，第三天有18人参加，其中，前两天都参加的有3人，后两天都参加的有4人.则这三天参加的人数最少为 . 【答案】29 【解析】记第一天，第二天，第三天参加志愿者的人员分别构成集合A，B，C， 设三天都参加的志愿者人数为，第一天和第三天均参加的志愿者人数为， 根据题意可作维恩图如图： 依题意必有均为自然数， 所以，， 故这三天参加的志愿者总人数为： 当时，总人数最少，最少人数为. 【巩固练习3】（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）一群学生参加学科夏令营，每名同学参加至少一个学科考试．已知有80名学生参加了数学考试，50名学生参加了物理考试，45名学生参加了化学考试，学生总数是只参加一门考试学生数的2倍，也是参加三门考试学生数的4倍，则学生总数为（    ） A．100名 B．108名 C．120名 D．前三个答案都不对 【答案】A 【分析】分别设出只参加一科，只参加两科和三科都参加的学生数，按照条件列出等式计算，可得出结果. 【详解】设只参加了数学、物理、化学考试的学生数分别为，，； 参加了两门学科考试的同学中参加了数学和物理、物理和化学、化学和数学的学生数分别为，，； 同时参加了三门学科考试的学生数为，如图． 根据题意，有， 前面三个等式相加，可得． 由第四个等式可得，， 因此， 解得．因此学生总数为． 【巩固练习4】（24-25高一上·湖北·期中）学校举办运动会时，高一（1）班共有名同学参加比赛，有人参加游泳比赛，有人参加田径比赛，有人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有人，同时参加田径比赛和球类比赛的有人，没有人同时参加三项比赛.同时参加游泳和球类比赛的有 人. 【答案】 【分析】设高一（1）班参加游泳、田径、球类比赛的学生分别构成集合、、，设同时参加游泳和球类比赛的学生人数为人，作出韦恩图，根据题意可得出关于的方程，解出的值即可. 【详解】设高一（1）班参加游泳、田径、球类比赛的学生分别构成集合、、， 设同时参加游泳和球类比赛的学生人数为人，由题意作出如下韦恩图， 由题意可得，解得. 因此，同时参加游泳和球类比赛的有人. 【巩固练习5】（24-25高一上·陕西榆林·阶段练习）为了丰富学生的课余生活，某校开设了篮球社团、AI社团、围棋社团，高一某班学生共有30人参加了学校社团，其中有15人参加篮球社团，有8人参加AI社团，有14人参加围棋社团，同时参加篮球社团和AI社团的有3人，同时参加篮球社团和围棋社团的有3人，没有人同时参加三个社团，只参加围棋社团的人数为(    ). A．10 B．9 C．7 D．4 【答案】A 【分析】由题意，根据容斥原理，结合集合的运算即可求解. 【详解】有15人参加篮球社团，同时参加篮球社团和AI社团的有3人，同时参加篮球社团和围棋 社团的有3人，没有人同时参加三个社团，所以只参加篮球社团的9人； 设同时参加AI社团和围棋社团有人，因为有8人参加AI社团， 同时参加篮球社团和AI社团的有3人，所以只参加AI社团的有人； 又因为有14人参加围棋社团，同时参加篮球社团和围棋社团的有3人， 所以只参加围棋社团的有人.综上所述，共有30人参加了学校社团， 所以，解得， 故只参加围棋社团的人数为人. 故选：A. 【题型7】根据集合运算结果求参数 【例题1】（2024·高一·广东珠海·期中）已知集合，，若，求的值 【解析】集合，，， 则由交集的定义可知，且，解得. 【例题2】（24-25高一上·浙江绍兴·阶段练习）设集合，，或. (1)当时，求； (2)若中只有一个整数，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，写出集合，利用交集的定义可得出集合； （2）分析可知，结合题意可知集合中的唯一的整数为，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】（1）解：当时，， 又因为，则. （2）解：因为，或， 因为只有一个整数，则，所以，解得， 由题意可知，且， 则集合中的唯一的整数为，所以，解得. 因此，实数的取值范围是. 【巩固练习1】（高一上·江苏南通·开学考试）设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】因为，由集合相等的定义即可列出方程求出的值，但要注意集合元素具有互异性，所以求出的值之后还要回代到具体集合中验证是否满足元素之间互异. 【详解】由题意集合，， 又因为，且全集， 所以，解得， 但当时，集合违背了元素之间的互异性， 而当时，集合，，满足题意, 综上所述：. 【巩固练习2】（24-25高一上·广东珠海·阶段练习）已知集合，若中有且仅有一个元素，则实数的取值范围为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】依题意中一定含有元素0，即可得，可得实数的取值范围. 【详解】易知，所以中有且仅有一个元素一定为0， 所以，因此可得或， 即实数的取值范围为或. 【巩固练习3】已知，且，则的值为（    ） A．4 B． C． D．5 【答案】C 【解析】因为，，所以，得到， 当时，由，解得或，所以， 故，得到，所以，故选：C. 【巩固练习4】（24-25高一上·湖北·期中）设集合. (1)若，求的取值； (2)记，若集合的非空真子集有6个，求实数的取值范围. 【答案】(1)或或 (2) 【分析】（1）通过和两类情况讨论即可； （2）确定中元素个数，由（1）即可确定. 【详解】（1） 若，则此时 若则，当时；当且时 ，即，解得或，， 由若可知有或或 （2）若集合的非空真子集有6个，则，可得， 即中的元素只有3个，又 由（1）知，且且即且且 故实数的取值所构成的集合为 【题型8】根据集合运算结果得出包含关系求参数 基础知识 1、基本方法 方法一：根据集合运算结果确定集合对应区间的端点值之间的大小关系，从而确定参数的取值范围方法二：(1)化简所给集合； (2)用数轴表示所给集合； (3)根据集合端点间关系列出不等式(组)； (4)解不等式(组)； (5)检验 2、易错点 (1)确定不等式解集的端点之间的大小关系时，需检验能否取“=”； (2)千万不要忘记考虑空集， 3、集合基本运算的一些结论 若A∩B=A，则，反之也成立 若A∪B=B，则，反之也成立 若x（A∩B），则xA且xB 若x（A∪B），则xA，或xB 求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法． 4、区间及相关概念 1、一般区间的表示：设a，b是两个实数，而且a<b，我们规定：这里的实数叫做区间的端点. 在用区间表示连续的数集时，包含端点的那一端用中括号表示，不包含端点的那一端用小括号表示. 定义 名称 符号 数轴表示 闭区间 开区间 半开半闭区间 半开半闭区间 2、实数集R 可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”， “－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”． 3、特殊区间的表示 定义 符号 数轴表示 ≥ ≤ 【例题1】（高一上·湖北·期中）已知集合，若，则的值是（    ） A．0 B．3 C． D．3，0 【答案】D 【分析】根据，可得，分类讨论即可. 【详解】因为，所以， 当时，此时，，符合题意； 当时，解得或， 当时，，符合题意； 当时，与集合元素的互异性矛盾，不符合题意， 综上：或 【例题2】（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）设全集，集合，． (1)当时，求，； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1), (2) 【分析】（1）由集合的交并补混合运算求解即可； （2）若，则是的子集，分集合是否是空集进行讨论即可. 【详解】（1）全集，集合， 当时，， ，或，. （2） 若，则是的子集， 情形一：若是空集，则显然满足题意，此时，解得； 情形二：若不是空集，此时， 若是的子集，则，解得，即此时满足题意的的范围是； 综上所述，满足题意的的取值范围是. 【巩固练习1】（24-25高二下·浙江杭州·期末）已知集合，，若，则实数的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】依题意可得，则或，求出的值，再检验即可. 【详解】因为，且， 所以，则或， 解得或或， 当或时，此时集合不满足集合元素的互异性，故舍去； 当时，，满足，符合题意. 【巩固练习2】（高一上·浙江宁波·阶段练习）（多选）若集合，，且，则的值为（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】ABC 【分析】利用，写出的子集，求出各个子集对应的的值. 【详解】因为，所以， 所以，, 当时，， 当时，， 当时，， 故的值是0,1，-1. 【巩固练习3】（24-25高一上·湖北武汉·月考）已知集合或． (1)当时，求；(2)若，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由补集和交集的运算求解即可； （2）由并集的运算求解即可； 【详解】（1）当时，， ， 所以. （2）若，所以，则解得；或 所以a的取值范围为. 【巩固练习4】（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）设全集，集合，集合 (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由交集、并集运算即可求解； （2）由，列出不等式求解即可. 【详解】（1）当时，， ， . （2）因为，所以， 又 ，， 即 ， 解得， 故实数的取值范围为. 【题型9】集合运算结果为空集或实数集求参数范围 【例题1】已知集合，，，若，求的取值范围. 【解析】由于，若，则. 【例题2】已知集合，集合，若，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】由题意分集合是否为空集进行讨论，结合，列出相应的不等式（组），从而即可得解. 【详解】集合，集合，且， 若，则，即，此时满足，即满足题意； 若，则，即，此时若要使得， 则还需或，解得或， 注意到此时，从而此时满足题意的的范围为或； 综上所述，实数的取值范围为. 【例题3】（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知集合，，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，，求实数的值. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）由题意通过，或，或，或四种情况逐个判断即可； （2）确定，通过和讨论即可. 【详解】（1）因为，所以. 又因为，， 所以，或，或，或 当时，，解得； 当时，，无解； 当时，，解得； 当时，，解得. 综上，实数的取值范围为. （2）因为，， ，且，， 所以， 所以，所以. 当时，，此时，不合题意，舍去； 当时，，此时，合乎题意. 综上，实数的取值为. 【巩固练习1】已知集合，，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，且，故.故选：D. 【巩固练习2】（24-25高一上·江苏·期中）若或，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据并集的运算进行求解即可. 【详解】由或，则，解得 【巩固练习3】（24-25高一上·广东·期中）已知集合，. (1)若，求的值；(2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出，运用集合相等概念解题； （2）交集为空集表示没有公共部分，得到不等式，解题即可. 【详解】（1），因为，所以，，所以. （2）因为，显然， 所以或， 解得，或，所以的取值范围是 【巩固练习4】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合. (1)若求实数的取值范围;(2)若求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）需要分为空集和非空集两种情况，根据子集的定义来确定实数的取值范围； （2）先求解集合，再根据来确定实数的取值范围. 【详解】（1） 若 若 综上： （2） 若则 若则 若，不符 综上： 【巩固练习5】（24-25高一上·河南平顶山·阶段练习）已知全集，集合，，. (1)若，求的取值范围；(2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求得集合，由题意，得到，分和，两种情况讨论，结合集合的包含关系，列出不等式，即可求解； （2）先求得集合，结合，分类讨论求得实数的范围，进而求得时，实数的取值范围，得到答案. 【详解】（1）由集合，， 因为，可得， 当时，即，解得，此时满足； 当时，要使得，则满足，解得， 综上可得，实数的取值范围为. （2）由集合，， 当时，即，解得，此时； 当时，要使得，则满足或， 解得或， 综上可得，若时，实数的取值范围为， 所以，若时，可得实数的取值范围为. 【巩固练习6】已知集合，. (1)若，求实数的取值范围；(2)若，求实数的取值范围； 【答案】(1)，(2) 【分析】（1）先得到，再根据包含关系列不等式求解； （2）直接根据列不等式求解； 【详解】（1）若，则， 又， 所以，解得； （2）因为，所以或或， 解得或或， 所以 【巩固练习7】（高一上·浙江杭州·期中）设集合，，. (1)若，求实数的值；(2)若且，求实数的值. 【答案】(1)5；(2) 【分析】（1）由题意得出，再利用韦达定理求得参数值； （2）由题意得出，求得值后，再代入检验． 【详解】（1）由题可得，由，得. 从而2，3是方程的两个根，即，解得. （2）因为，. 因为，又，所以， 即，，解得或. 当时，，则，不符合题意； 当时，，则且，故符合题意， 综上，实数的值为. 【题型10】集合混合运算的结果确定参数的范围 已知集合，，若，求m的取值范围. 【解析】因为， 所以或， 因为，所以， 因为， 所以或， 得或， 所以m的取值范围为或. （高一·广东珠海·期中）已知集合，，若，求实数的取值范围. 【解析】当，即时，，符合题意； 当，即时，，符合题意； 当，即时，或， 若，则，解得， 综上，实数的取值范围是. （24-25高一上·四川达州·期中）已知集合，．若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据得到，当时满足，求出的取值范围，当时，列出不等式组求出的取值范围，结合两种情况求出的取值范围. 【详解】因为，所以， 因为，且满足，， 所以当时满足， 此时，解得， 当时，则有， 解得,综上，， 即实数的取值范围为． （24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）已知集合，且，则集合B的子集个数为（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】C 【分析】根据，可确定，分别讨论1，2是方程还是的根，从而确定集合. 【详解】因为，所以. 由或， 若，则2一定是方程的根，所以， 此时，所以或， ，所以集合有个子集； 若，则1一定是方程的根，所以， 此时，所以或， ，所以集合有个子集； 若且，则1，2必是方程的根， 此时，所以集合有个子集. 综上可知：集合有个子集. （24-25高一上·浙江杭州·期中）已知集合． (1)若，求； (2)根据不同情况求实数的范围 ①若，求实数的取值范围； ②若，求实数的取值范围； ③若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依次求集合和其补集，再利用交集运算即得； （2）若选①，由题设得，就参数分类讨论，借助于数轴表示即可求得的范围；若选②，先求，就参数分类讨论，借助于数轴表示即可求得的范围；若选③，就参数分类讨论，借助于数轴表示即可求得的范围》 【详解】（1）当时，， 则，则． （2）①，，可得，则. 当时，，由，可得，故； 当时，，由，可得，故. 综上，实数的取值范围为. ②，因或，又，则. 当时，，需使，故； 当时，，需使，解得. 综上，实数的取值范围为. ③，因为， 当时，，，不合题意； 当时，，需使，故； 当时，，需使，解得. 综上，实数的取值范围为． 【巩固练习1】高一·浙江·期中）已知全集，集合，，若，求实数的取值范围. 【解析】由得，得解得， 所以，故实数的取值范围为 【巩固练习2】已知全集，集合，若，求实数的取值范围． 【解析】∵，∴， 若，则，则，满足题意； 若，则，解得，∴， 综上，的取值范围是． 【巩固练习3】设集合，集合，若，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】先得到，从而由交集为空集得到的取值范围. 【详解】由题意得，故， 因为，所以，故的取值范围是. 【巩固练习4】（24-25高一上·福建福州·期中） 设全集，集合，或 (1)求图中阴影部分表示的集合； (2)已知集合，若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由Venn图阴影部分可用集合表示，再由集合的交集与补集运算可得； （2）先将条件转化为，再按集合是否为空集分类讨论，结合包含关系求解参数的范围. 【详解】（1）图中阴影部分可用集合表示. 因为，或， 所以， 则图中阴影部分表示． （2）因为，或， 由，得， 所以当时，，解得，符合题意； 当时，或， 此时不等式组无解， 不等式组的解集为， 综上，的取值范围为． 【巩固练习5】设集合，，全集，且，求实数的取值范围． 【解析】法一：(直接法)：由，得． 因为，， 所以，即， 所以m的取值范围是． 法二(集合间的关系)：由可知， 又，， 结合数轴： 得，即. 模块三 【课后训练】 1． 已知集合，集合，则（　　） A．{2，3} B．{（2，3）} C．{x=2，y=3} D．（2，3） 【答案】B 【解答】解：由，解得， 因为集合A={（x，y）|x+y=5}，集合B={（x，y）|x-y=-1}，所以A∩B={（2，3）}． 故选：B． 2． （24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）（多选）设，，若，则实数a的值可以是（    ） A．0 B． C． D．3 【答案】ABC 【分析】解方程，写出集合A的所有元素，根据集合A和集合B的关系，分析集合B中的元素的可能情况，解出相应的. 【详解】∵， 又∵，∴ 所以当时，此时；当时，此时； 当时，此时；时，此时不存在； 综上可得：实数a的值可以是， 3． （24-25高一上·河南·期中）8月11日，第33届夏季奥林匹克运动会在巴黎法兰西体育场落下帷幕.中国体育代表团在巴黎奥运会获得40金、27银、24铜共91枚奖牌，取得了我国1984年全面参加夏季奥运会以来境外参赛历史最好成绩.小明统计了班级60名同学对游泳、跳水、乒乓球这三类体育项目的喜欢情况，其中有20名同学同时喜欢这三类体育项目，18名同学不喜欢乒乓球，20名同学不喜欢跳水，16名同学不喜欢游泳，且每人至少喜欢一类体育项目，则至少喜欢两类体育项目的同学的人数为（   ） A．26 B．46 C．28 D．48 【答案】B 【分析】根据给定条件，画出韦恩图，利用容斥原理列式计算即得. 【详解】设只喜欢游泳、跳水、乒乓球的同学的人数分别为，喜欢游泳和跳水两样的同学的人数为， 喜欢游泳和乒乓球两样的同学的人数为，喜欢跳水和乒乓球两样的同学的人数为，如图， 则，②+③+④得⑤，①⑤得， 所以至少喜欢两类体育项目的同学的人数为. 故选：B 4． 已知集合，，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，则集合中最小元素应在集合中，即可得到的取值范围. 【详解】由题意，再由，所以集合中最小元素应在集合中， 所以，即的取值范围是. 5． （高一上·山东青岛·期中）设集合，，全集，且，则实数m的取值范围为 ； 【答案】 【解析】由已知的：，则， 因为，且， 如图： 则，即，则实数m的取值范围为. 6． 高一班共有28名同学非常喜欢数学，有15人学习必修一，有8人学习必修二，有14人学习选修一，同时学习必修一和必修二的有3人，同时学习必修一和选修一的有3人，没有人同时学习三本书.同时学习必修二和选修一的有（    ）人，只学习必修一的有（    ）人. A．9，3 B．11，3 C．9，12 D．3，9 【答案】D 【解析】设同时学习必修二和选修一的有x人， 则，解得， 即同时学习必修二和选修一的有3人， 则只学习必修一的有（人），故选：D. 7． （24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）由题意可得：，分和两种情况，结合包含关系列式求解即可； （2）分和两种情况，结合交集运算列式求解即可； 【详解】（1）因为，则， 当时，则，解得，符合题意； 当时，则 ，解得； 综上所述：实数的取值范围是或. （2）因为， 当时，由（1）知； 当时，可得或，解得或； 综上所述：实数的取值范围是或. 8． （高一上·浙江·期中）已知全集，集合，. （1）当时，求，； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）；；（2） 【解析】（1）因为，所以，， 所以， （2）由得， 得解得，所以， 故实数的取值范围为 9． （24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）已知或． (1)若，求； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)或， (2) 【分析】（1）由交集，并集，补集的运算性质求解即可. （2）利用给定条件建立不等式组，求解参数范围即可. 【详解】（1）当时，则， 则或． 或， ． （2）或， ，解得．故所求的取值范围为． 10． （高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知集合. (1)求； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用集合的并集，补集和交集运算求解； （2）根据求解. 【详解】（1）解：因为， 所以， 由或，则； （2）因为，且， 所以，所以的取值范围是. 11． （24-25高一上·广东佛山·期中）在“①，②”这两个条件中任选一个，补充在下列横线中，求解下列问题：已知集合． (1)若，求； (2)若__________（在①，②这两个条件中任选一个），求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据并集的知识求得正确答案. （2）先选择条件，然后根据所选条件列不等式来求得的取值范围. 【详解】（1）当时，； 所以. （2）若选①，， 当时，，解得， 当时，或，解得：或， 综上：实数的取值范围． 若选②，， 则， 即，解得：， 所以实数的取值范围． 12． （高一上·浙江金华·阶段练习）已知集合．． (1)若，求实数m的取值范围： (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由分类讨论、，分别列不等式求的范围，取并集即可. （2）由条件知，讨论、，分别列不等式求的范围，取并集即可. 【详解】（1）时，知： 当时，得； 当时，或， 解得； 综上，∴的取值范围为； （2）因为，所以，所以， 当时，得； 当时，解得； 综上可得，即m的取值范围是 7 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在暑假】2025-2026学年新高一暑假衔接衔接培优讲义（人教A版） 专题1-4 集合的基本运算 总览 题型·解读 模块一 重点题型梳理 【题型1】交集的概念与运算 【题型2】 并集的概念与运算 【题型3】补集的概念与运算 【题型4】利用Venn图求集合 【题型5】交、并、补混合运算 模块二 中档题突破 【题型6】容斥原理(Venn图的实际应用) 【题型7】根据集合运算结果求参数 【题型8】根据集合运算结果得出包含关系求参数 【题型9】集合运算结果为空集或实数集求参数范围 【题型10】集合混合运算的结果确定参数的范围 模块三 【课后训练】 题型汇编 知识梳理与常考题型 模块一 重点题型梳理 【题型1】交集的概念与运算 基础知识 1、交集的概念 自然语言 由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作A∩B，读作“A交B” 符号语言 A∩B＝{x|x∈A且x∈B} 图形语言 2、交集的运算性质 性质 定义 满足交换律 空集与任何集合的交集都是空集 集合与集合本身的交集仍为集合本身 多个集合的交集满足结合律 多个集合的综合运算满足分配律 若，则 交集关系与子集关系的转化 两个集合的交集是其中任一集合的子集 3、知识点诠释： （1）并不是任何两个集合都有公共元素，当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是． （2）概念中的“所有”两字的含义是，不仅“A∩B中的任意元素都是A与B的公共元素”，同时“A与B的公共元素都属于A∩B”． （3）两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有公共元素组成的集合． 【例题1】（2025·全国二卷·高考真题）已知集合则（   ） A． B． C． D． 【例题2】若集合或，则 【巩固练习1】（2023·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（2024·全国甲卷·高考真题）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【题型2】 并集的概念与运算 基础知识 1、并集的概念 自然语言 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集，记作A∪B，读作“A并B” 符号语言 A∪B＝{x|x∈A或x∈B} 图形语言 2、并集的运算性质 性质 定义 满足交换律 任何集合与其本身的并集等于这个集合本身 任何集合与空集的并集等于这个集合本身 多个集合的并集满足结合律 , 任何集合都是该集合与另一个集合并集的子集 任何集合与它子集的并集都是它本身，反之亦然 3、知识点诠释： （1）“xA，或xB”包含三种情况：“”；“”；“”． （2）两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合（重复元素只出现一次）． 【例题1（2024·北京·高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【例题2】设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】设集合，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】设集合，，则等于（    ） A． B． C． D． 【题型3】补集的概念与运算 基础知识 1、全集的概念 自然语言 一般地，如果一个集合包含所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记为U. 符号语言 若，则为全集. 图形语言 2、补集的概念 自然语言 若集合A是全集U的一个子集，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作. 符号语言 图形语言 3、补集的运算性质 性质 定义 任何集合与其补集的并集为全集 任何集合与其补集的交集为空集 任何集合补集的补集为集合本身 全集的补集为空集，空集的补集为全集 4、知识点诠释： （1）理解补集概念时，应注意补集是对给定的集合和相对而言的一个概念，一个确定的集合，对于不同的集合U，补集不同． （2）全集是相对于研究的问题而言的，如我们只在整数范围内研究问题，则为全集；而当问题扩展到实数集时，则为全集，这时就不是全集． （3）表示U为全集时的补集，如果全集换成其他集合（如）时，则记号中“U”也必须换成相应的集合（即）． 【例题1】（2025·天津·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【例题2】已知集合，则 【例题3】已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（2025·全国一卷·高考真题）设全集，集合，则中元素个数为（   ） A．0 B．3 C．5 D．8 【巩固练习2】已知全集，集合，则（    ） A． B． C．或 D． 【巩固练习3】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【题型4】利用Venn图求集合 基础知识 用平面上封闭曲线的内部来代表集合，这个图形就叫做Venn图，集合中图形语言具有直观形象的特点，将集合问题图形化，利用Venn图的直观性，可以深刻理解集合有关概念、运算公式，而且有助于显示集合间的关系， 【例题1】已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【例题2】如图所示，U是全集，A，B是U的子集，则阴影部分所表示的集合是（   ） A． B． C． D． 【巩固练习1】设全集，集合，那么图中的白色部分所表示的集合是（    ）    A． B． C． D． 【巩固练习2】（24-25高一上·重庆·期中）已知全集，集合，，给出下列4种方式表示图中阴影部分：①②③④，正确的有几个？（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【巩固练习3】（高一上·四川眉山·开学考试）（多选）图中矩形表示集合U，两个椭圆分别表示集合M，N，则图中的阴影部分可以表示为（    ）    A． B． C． D． 【题型5】交、并、补混合运算 基础知识 德摩根定律：设集合U为全集，A、B为U的子集，则有 （1） ，即“补之并”等于“交之补”； （2），即“补之交”等于“并之补”． 【摩根定律的记忆方法】提“CU”，再变号. 【例题1】（2024·全国甲卷·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【例题2】已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【例题3】（24-25高一上·福建福州·阶段练习）已知全集为，集合，满足，则下列运算结果为的是（    ）. A． B． C． D． 【巩固练习1】（2023·全国乙卷·高考真题）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（24-25高一上·广东梅州·开学考试）（多选）设U为全集，下面三个命题中为真命题的是（    ） A．若，则； B．若，则； C．若，则； D．若，则. 【巩固练习3】如图，全集为U，集合A，B是U的两个子集，则阴影部分可表示为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习4】已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 模块二 中档题突破 【题型6】容斥原理(Venn图的实际应用) 基础知识 容斥原理：在部分有限集中，我们经常遇到有关集合中元素的个数问题，常用Venn图表示两集合的交、并、补。如果用card表示有限集合元素的个数，即card（A）表示有限集A的元素个数，则有如下结论： （1） （2） 【例题1】学校举办运动会，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，则只参加游泳比赛的人数是 ，只参加田径一项比赛的人数是 . 【例题2】（24-25高一上·重庆·期中）国庆节期间，重庆复旦中学全体学生进行了选修课报名，据统计，高一某班共45名同学在语文类、数学类和物理类三类选修课具有报名意向，其中有21人想报名语文类选修课，有29人想报名数学类选修课，有28人想报名物理类选修课，同时想报名语文和数学选修课的有10人，同时想报名数学和物理选修课的有15人，没有三类选修课都想报名的同学，则只想报名物理选修课的同学有 人． 【例题3】学校举办运动会时，高一某班共有30名同学参加，有15人参加游泳比赛，有9人参加田径比赛，有13人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有2人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，只参加球类一项比赛的有（ ）人． A．2 B．6 C．8 D．9 【巩固练习1】2021年是中国共产党成立100周年，电影频道推出“经典频传：看电影，学党史”系列短视频，传扬中国共产党的伟大精神，为广大青年群体带来精神感召.现有《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三支短视频，某大学社团有50人，观看了《青春之歌》的有21人，观看了《建党伟业》的有23人，观看了《开国大典》的有26人.其中，只观看了《青春之歌》和《建党伟业》的有4人，只观看了《建党伟业》和《开国大典》的有7人，只观看了《青春之歌》和《开国大典》的有6人，三支短视频全观看了的有3人，则没有观看任何一支短视频的人数为 . 【巩固练习2】疫情期间，某社区因疫情防控需要招募志愿者进行连续3天的核酸采样工作，第一天有19人参加，第二天有13人参加，第三天有18人参加，其中，前两天都参加的有3人，后两天都参加的有4人.则这三天参加的人数最少为 . 【巩固练习3】（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）一群学生参加学科夏令营，每名同学参加至少一个学科考试．已知有80名学生参加了数学考试，50名学生参加了物理考试，45名学生参加了化学考试，学生总数是只参加一门考试学生数的2倍，也是参加三门考试学生数的4倍，则学生总数为（    ） A．100名 B．108名 C．120名 D．前三个答案都不对 【巩固练习4】（24-25高一上·湖北·期中）学校举办运动会时，高一（1）班共有名同学参加比赛，有人参加游泳比赛，有人参加田径比赛，有人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有人，同时参加田径比赛和球类比赛的有人，没有人同时参加三项比赛.同时参加游泳和球类比赛的有 人. 【巩固练习5】（24-25高一上·陕西榆林·阶段练习）为了丰富学生的课余生活，某校开设了篮球社团、AI社团、围棋社团，高一某班学生共有30人参加了学校社团，其中有15人参加篮球社团，有8人参加AI社团，有14人参加围棋社团，同时参加篮球社团和AI社团的有3人，同时参加篮球社团和围棋社团的有3人，没有人同时参加三个社团，只参加围棋社团的人数为(    ). A．10 B．9 C．7 D．4 【题型7】根据集合运算结果求参数 【例题1】（2024·高一·广东珠海·期中）已知集合，，若，求的值 【例题2】（24-25高一上·浙江绍兴·阶段练习）设集合，，或. (1)当时，求； (2)若中只有一个整数，求实数的取值范围. 【巩固练习1】（高一上·江苏南通·开学考试）设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（24-25高一上·广东珠海·阶段练习）已知集合，若中有且仅有一个元素，则实数的取值范围为（   ） A． B．或 C． D．或 【巩固练习3】已知，且，则的值为（    ） A．4 B． C． D．5 【巩固练习4】（24-25高一上·湖北·期中）设集合. (1)若，求的取值； (2)记，若集合的非空真子集有6个，求实数的取值范围. 【题型8】根据集合运算结果得出包含关系求参数 基础知识 1、基本方法 方法一：根据集合运算结果确定集合对应区间的端点值之间的大小关系，从而确定参数的取值范围方法二：(1)化简所给集合； (2)用数轴表示所给集合； (3)根据集合端点间关系列出不等式(组)； (4)解不等式(组)； (5)检验 2、易错点 (1)确定不等式解集的端点之间的大小关系时，需检验能否取“=”； (2)千万不要忘记考虑空集， 3、集合基本运算的一些结论 若A∩B=A，则，反之也成立 若A∪B=B，则，反之也成立 若x（A∩B），则xA且xB 若x（A∪B），则xA，或xB 求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法． 4、区间及相关概念 1、一般区间的表示：设a，b是两个实数，而且a<b，我们规定：这里的实数叫做区间的端点. 在用区间表示连续的数集时，包含端点的那一端用中括号表示，不包含端点的那一端用小括号表示. 定义 名称 符号 数轴表示 闭区间 开区间 半开半闭区间 半开半闭区间 2、实数集R 可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”， “－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”． 3、特殊区间的表示 定义 符号 数轴表示 ≥ ≤ 【例题1】（高一上·湖北·期中）已知集合，若，则的值是（    ） A．0 B．3 C． D．3，0 【例题2】（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）设全集，集合，． (1)当时，求，； (2)若，求实数的取值范围． 【巩固练习1】（24-25高二下·浙江杭州·期末）已知集合，，若，则实数的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【巩固练习2】（高一上·浙江宁波·阶段练习）（多选）若集合，，且，则的值为（    ） A． B． C．0 D．2 【巩固练习3】（24-25高一上·湖北武汉·月考）已知集合或． (1)当时，求；(2)若，求a的取值范围． 【巩固练习4】（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）设全集，集合，集合 (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围． 【题型9】集合运算结果为空集或实数集求参数范围 【例题1】已知集合，，，若，求的取值范围. 【例题2】已知集合，集合，若，则实数的取值范围为 . 【例题3】（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知集合，，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，，求实数的值. 【巩固练习1】已知集合，，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（24-25高一上·江苏·期中）若或，则实数的取值范围为 ． 【巩固练习3】（24-25高一上·广东·期中）已知集合，. (1)若，求的值；(2)若，求的取值范围. 【巩固练习4】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合. (1)若求实数的取值范围;(2)若求实数的取值范围. 【巩固练习5】（24-25高一上·河南平顶山·阶段练习）已知全集，集合，，. (1)若，求的取值范围；(2)若，求的取值范围. 【巩固练习6】已知集合，. (1)若，求实数的取值范围；(2)若，求实数的取值范围； 【巩固练习7】（高一上·浙江杭州·期中）设集合，，. (1)若，求实数的值；(2)若且，求实数的值. 【题型10】集合混合运算的结果确定参数的范围 已知集合，，若，求m的取值范围. （高一·广东珠海·期中）已知集合，，若，求实数的取值范围. （24-25高一上·四川达州·期中）已知集合，．若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． （24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）已知集合，且，则集合B的子集个数为（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 （24-25高一上·浙江杭州·期中）已知集合． (1)若，求； (2)根据不同情况求实数的范围 ①若，求实数的取值范围； ②若，求实数的取值范围； ③若，求实数的取值范围． 【巩固练习1】高一·浙江·期中）已知全集，集合，，若，求实数的取值范围. 【巩固练习2】已知全集，集合，若，求实数的取值范围． 【巩固练习3】设集合，集合，若，则的取值范围为 . 【巩固练习4】（24-25高一上·福建福州·期中） 设全集，集合，或 (1)求图中阴影部分表示的集合； (2)已知集合，若，求的取值范围. 【巩固练习5】设集合，，全集，且，求实数的取值范围． 模块三 【课后训练】 1． 已知集合，集合，则（　　） A．{2，3} B．{（2，3）} C．{x=2，y=3} D．（2，3） 2． （24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）（多选）设，，若，则实数a的值可以是（    ） A．0 B． C． D．3 3． （24-25高一上·河南·期中）8月11日，第33届夏季奥林匹克运动会在巴黎法兰西体育场落下帷幕.中国体育代表团在巴黎奥运会获得40金、27银、24铜共91枚奖牌，取得了我国1984年全面参加夏季奥运会以来境外参赛历史最好成绩.小明统计了班级60名同学对游泳、跳水、乒乓球这三类体育项目的喜欢情况，其中有20名同学同时喜欢这三类体育项目，18名同学不喜欢乒乓球，20名同学不喜欢跳水，16名同学不喜欢游泳，且每人至少喜欢一类体育项目，则至少喜欢两类体育项目的同学的人数为（   ） A．26 B．46 C．28 D．48 4． 已知集合，，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5． （高一上·山东青岛·期中）设集合，，全集，且，则实数m的取值范围为 ； 6． 高一班共有28名同学非常喜欢数学，有15人学习必修一，有8人学习必修二，有14人学习选修一，同时学习必修一和必修二的有3人，同时学习必修一和选修一的有3人，没有人同时学习三本书.同时学习必修二和选修一的有（    ）人，只学习必修一的有（    ）人. A．9，3 B．11，3 C．9，12 D．3，9 7． （24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 8． （高一上·浙江·期中）已知全集，集合，. （1）当时，求，； （2）若，求实数的取值范围. 9． （24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）已知或． (1)若，求； (2)若，求的取值范围． 10． （高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知集合. (1)求； (2)若，求的取值范围. 11． （24-25高一上·广东佛山·期中）在“①，②”这两个条件中任选一个，补充在下列横线中，求解下列问题：已知集合． (1)若，求； (2)若__________（在①，②这两个条件中任选一个），求实数的取值范围． 12． （高一上·浙江金华·阶段练习）已知集合．． (1)若，求实数m的取值范围： (2)若，求实数m的取值范围． 7 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $$