精品解析：广西玉林市2024-2025学年高二下学期期末教学质量监测数学试卷

2025年春季期高二期末教学质量监测 数学 （试卷总分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、学校、班级、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 一.单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1. 已知集合，，则（ ） A B. C. D. 2. 设是一个离散型随机变量，其分布列为： -1 0 1 则等于（ ） A. B. C. 1 D. 3. 展开式的常数项为（ ） A. 20 B. 90 C. 40 D. 120 4. 某学校安排了A，B，C，D共4场线上讲座，其中讲座B和C必须相邻，则不同的安排方法种数是（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 16 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 为了研究某市高中生的脚长（单位：cm）和身高（单位：cm）的关系，市卫健委从该市随机抽取若干名高中生做调查，经统计，所调查数据的，根据最小二乘法算得脚长和身高的经验回归方程为．已知被调查的某学生的脚长为25cm，身高180cm，则该样本点的残差为（ ） A. 1cm B. cm C. 4cm D. cm 7. 若对任意的，，且，，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 某商店店庆，每个在店内消费到一定额度的顾客都可以参与抽奖活动.组织方准备了个盲盒，其中有个盲盒内有奖品.抽奖规则为：抽奖者从这个盲盒中随机抽取1个盲盒，兑奖后组织方会再补回一个相同的盲盒，充分混合后，再由下一位抽奖者抽奖.抽奖者甲先拿起了一个盲盒，在犹豫是否打开时，组织方拿走了一个没有奖品的盲盒，最终甲选择了另外一个盲盒打开，记甲中奖的概率为.抽奖者乙在选盲盒时不小心碰掉了一个盲盒，并且发现摔裂的盲盒内没有奖品，随后乙从剩下的盲盒中选定一个盲盒打开，记乙中奖的概率为，则（ ） A. B. C. D. 无法确定与的大小关系 二.多项选择题（共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求.） 9. 以下说法正确的是（ ） A. ， B. “”是“”的必要不充分条件 C. “，”的否定是“，” D. 若函数定义域为，则函数的定义域为 10. 下列命题正确的有（ ） A. 已知函数在上可导，若，则 B. 若，则 C. 已知函数，若，则 D. 11. 已知是上连续函数，满足有，且．则下列说法中正确的是（ ） A. B. 为偶函数 C. 的一个周期为6 D. 是的一个对称中心 三.填空题（共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 设随机变量服从正态分布，若，则____________. 13. 已知函数，则在处的导数是______． 14. 已知函数，若，，且，则的最小值是______ 四.解答题（共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 某机器人商店出售的机器人中，甲品牌的占40%，合格率为95%；乙品牌的占30%，合格率为90%；丙品牌的占30%，合格率为90%，在该商店随机买一台机器人. （1）求该机器人是甲品牌合格品的概率； （2）求该机器人是合格品的概率. 16. 已知函数. （1）若，求实数的值； （2）若函数有极小值，且极小值小于0，求实数的取值范围. 17. 为了了解高中学生课后自主学习数学时间（分钟/每天）和他们的数学成绩（分）的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据. 编号 1 2 3 4 5 学习时间 30 40 50 60 70 数学成绩 55 68 75 94 108 （1）请根据表中的数据，求出关于的经验回归方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为100分钟时的数学成绩. （2）基于上述调查，某校提倡学生周末在校自主学习.经过一学期的实施后，抽样调查了220位学生.按照是否参与周末在校自主学习以及成绩是否有进步统计，得到列联表.依据表中数据及小概率值的独立性检验，分析周末在校自主学习与成绩进步是否有关. 没有进步 有进步 合计 参与周末在校自主学习 35 130 165 未参与周末不校自主学习 25 30 55 合计 60 160 220 经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为， ， . 0.10 005 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18. 设函数. （1）讨论的单调区间. （2）已知直线是曲线在点处的切线. （i）求直线的方程； （ii）判断直线是否经过点. 19. 在足球比赛中，有时需通过点球决定胜负． （1）扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将(也称为守门员)也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑到点球的个数的分布列和期望； （2）好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲､乙､丙三名前锋队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外人中的 人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外人中的人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第次传球之前球在甲脚下的概率为，易知． ① 试证明：为等比数列； ② 设第次传球之前球在乙脚下的概率为，比较与的大小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年春季期高二期末教学质量监测 数学 （试卷总分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、学校、班级、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 一.单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由补集定义即可得解. 【详解】因为集合，， 所以. 故选：D 2. 设是一个离散型随机变量，其分布列为： -1 0 1 则等于（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由概率和为1即可求解. 【详解】由离散型随机变量的分布列知：，解得. 故选：A. 3. 展开式常数项为（ ） A. 20 B. 90 C. 40 D. 120 【答案】A 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项公式赋值即可求出． 【详解】展开式的通项公式为， 令，解得， 所以常数项为． 故选：A． 4. 某学校安排了A，B，C，D共4场线上讲座，其中讲座B和C必须相邻，则不同的安排方法种数是（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据相邻排列，先排再将他们与作全排，即可得. 【详解】先安排有种排法，再把作为整体与作全排列有种排法， 所以共有种. 故选：C 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 分析】先由函数定义域和奇偶性排除AB； 【详解】由题可得函数定义域为，， 所以函数为奇函数，故排除AB； 时，，， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 又当时，故排除C. 故选：D 6. 为了研究某市高中生的脚长（单位：cm）和身高（单位：cm）的关系，市卫健委从该市随机抽取若干名高中生做调查，经统计，所调查数据的，根据最小二乘法算得脚长和身高的经验回归方程为．已知被调查的某学生的脚长为25cm，身高180cm，则该样本点的残差为（ ） A. 1cm B. cm C. 4cm D. cm 【答案】D 【解析】 【分析】根据回归方程必过点求出，即可得到回归方程，再根据残差的定义计算可得. 【详解】因为，又经验回归方程必过点， 所以，解得，所以， 当时， 所以该样本点的残差为. 故选：D 7. 若对任意的，，且，，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意易知，变形可得，故构造函数，根据函数单调性的定义可得函数在上单调递减，由即可得解. 【详解】对任意的，，且，，易知， 则，所以， 即． 令，则函数在上单调递减． 因为，由，可得， 所以函数的单调递减区间为， 所以，故， 即实数的取值范围为． 故选：C． 8. 某商店店庆，每个在店内消费到一定额度的顾客都可以参与抽奖活动.组织方准备了个盲盒，其中有个盲盒内有奖品.抽奖规则为：抽奖者从这个盲盒中随机抽取1个盲盒，兑奖后组织方会再补回一个相同的盲盒，充分混合后，再由下一位抽奖者抽奖.抽奖者甲先拿起了一个盲盒，在犹豫是否打开时，组织方拿走了一个没有奖品的盲盒，最终甲选择了另外一个盲盒打开，记甲中奖的概率为.抽奖者乙在选盲盒时不小心碰掉了一个盲盒，并且发现摔裂的盲盒内没有奖品，随后乙从剩下的盲盒中选定一个盲盒打开，记乙中奖的概率为，则（ ） A. B. C. D. 无法确定与的大小关系 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用全概率公式求出，利用古典概率求出，再比较大小即可. 【详解】设事件为“抽奖者甲中奖”，事件为“甲最初选中的盲盒有奖”，则， 在组织方拿走无奖的盲盒后，若先选中的有奖，则剩余个盲盒中有个奖品， 甲更换盲盒后， 若甲先选中的盲盒无奖，则剩余个盲盒中有个奖品，则更换盲盒后， 因此， 由乙碰掉的盲盒无奖，则所有个盲盒中有个奖品，且每个盲盒被抽到的可能性相同，则， 于是，所以. 故选：A. 二.多项选择题（共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求.） 9. 以下说法正确的是（ ） A. ， B. “”是“”的必要不充分条件 C. “，”的否定是“，” D. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由指数性质即可直接判断；对于B，解不等式并结合充分和必要条件定义即可判断；对于C，直接由命题的否定即可得解判断；对于D，由题设得不等式，解不等式即可得解判断. 【详解】对于A，，，故A正确； 对于B，解不等式得或， 所以“”是“”充分不必要条件，故B错误； 对于C，“，”的否定是“，”，故C正确； 对于D，若函数的定义域为，则对函数有， 所以函数的定义域为，故D正确； 故选：ACD 10. 下列命题正确的有（ ） A. 已知函数在上可导，若，则 B. 若，则 C. 已知函数，若，则 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，由导数定义公式计算即可求解；对于B，求出导函数即可求解判断；对于C，求出导函数再根据等式即可求解判断；对于D，直接根据导数公式和导数运算法则计算即可. 【详解】对于选项A，，故A正确； 对于选项B，若，则，所以，故B正确 对于选项C，因为，令，解得，故C正确； 对于选项D，因为，故D错误； 故选：ABC 11. 已知是上的连续函数，满足有，且．则下列说法中正确的是（ ） A. B. 为偶函数 C. 的一个周期为6 D. 是的一个对称中心 【答案】BCD 【解析】 【分析】令，解得判断A，再令结合偶函数定义分析判断B；计算得出对称中心判断D，再分析可知是以6为周期的周期函数判断C. 【详解】因为，且的定义域为，关于原点对称， 对于选项A：令，则，解得或， 若，令时，， 这与矛盾，故，故A错误； 对于选项B：令，则， 即，可知是偶函数，故B正确； 对于选项D：因为，，当时，，故， 当时，，故， 当时，，又，故， 当时，， 所以，是的一个对称中心，故D正确； 对于选项C：因为，即，即，则， 所以，故是以6为周期的周期函数，故C正确； 故选：BCD. 三.填空题（共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 设随机变量服从正态分布，若，则____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据正态曲线的对称性计算可得. 【详解】因为且， 所以，解得. 故答案为： 13. 已知函数，则在处的导数是______． 【答案】## 【解析】 【分析】求导可得，则，求出即可求解. 【详解】由题意知，， 令，得，解得， 所以在的导数为. 故答案为： 14. 已知函数，若，，且，则的最小值是______ 【答案】8 【解析】 【分析】由函数奇偶性的定义可知为奇函数，根据单调性可知，然后结合基本不等式即可求解. 【详解】函数的定义域为，且， 所以为奇函数，又，所以函数单调递增， 又，所以， 所以，即， 所以， 当且仅当，即，，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 四.解答题（共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 某机器人商店出售的机器人中，甲品牌的占40%，合格率为95%；乙品牌的占30%，合格率为90%；丙品牌的占30%，合格率为90%，在该商店随机买一台机器人. （1）求该机器人是甲品牌合格品的概率； （2）求该机器人是合格品的概率. 【答案】（1）0.38 （2）0.92 【解析】 分析】（1）由题意结合概率乘法公式即可计算求解； （2）由全概率公式即可计算求解. 【小问1详解】 用表示机器人是甲品牌，用表示机器人是合格品， 甲品牌的占40%，合格率为95%，则，， 所以该机器人是甲品牌合格品的概率； 【小问2详解】 用表示机器人是乙品牌，用表示机器人是丙品牌， 甲品牌的占40%，合格率为95%；乙品牌的占30%，合格率为90%；丙品牌的占30%，合格率为， . 16. 已知函数. （1）若，求实数的值； （2）若函数有极小值，且极小值小于0，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，由给定的导数值求出. （2）按分类讨论并确定函数的极值情况求解. 【小问1详解】 函数，求导得， 又，得， 所以. 【小问2详解】 函数的定义域为，， 当时，成立，函数上单调递增，无极值； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 则在处取得极小值，由，解得， 所以实数的取值范围为. 17. 为了了解高中学生课后自主学习数学时间（分钟/每天）和他们的数学成绩（分）的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据. 编号 1 2 3 4 5 学习时间 30 40 50 60 70 数学成绩 55 68 75 94 108 （1）请根据表中的数据，求出关于的经验回归方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为100分钟时的数学成绩. （2）基于上述调查，某校提倡学生周末在校自主学习.经过一学期的实施后，抽样调查了220位学生.按照是否参与周末在校自主学习以及成绩是否有进步统计，得到列联表.依据表中数据及小概率值的独立性检验，分析周末在校自主学习与成绩进步是否有关. 没有进步 有进步 合计 参与周末在校自主学习 35 130 165 未参与周末不在校自主学习 25 30 55 合计 60 160 220 经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为， ， . 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1），146 （2）有关 【解析】 【分析】（1）由最小二乘法结合题设即可求回归方程，再将代入回归方程即可得预测值； （2）先进行零假设，接着计算的值，再结合独立性检验思想即可得解. 【小问1详解】 由题得，， 所以， ， ，， 故，所以当时，， 故预测每天课后自主学习数学时间达到100分钟时的数学成绩为146； 【小问2详解】 零假设：周末在校自主学习与成绩进步无关， 根据数据，计算得到： 因为，，所以依据的独立性检验，不成立， 即可以认为“周末自主学习与成绩进步”有关，且该推断犯错误的概率不超过0.001. 18. 设函数. （1）讨论的单调区间. （2）已知直线是曲线在点处的切线. （i）求直线的方程； （ii）判断直线是否经过点. 【答案】（1）答案见解析； （2）（i）；（ii）不经过. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，再按和分类求出的单调区间. （2）（i）由（1）结合导数的几何意义求出切线的方程；（ii）令，求出的值并判断与2的大小. 【小问1详解】 函数的定义域为，求导得， 当时，，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，，则恒有，函数在上单调递增， 所以当时，函数的单调递减区间是，单调递增区间是； 当时，函数的单调递增区间是，无递减区间. 【小问2详解】 （i）由（1）知，，而， 则直线的方程为，即. （ii）由（i）知，直线的方程为， 当时，， 令，而， 求导得，函数在上单调递增， 因此，即，，而，于是， 所以直线不经过点. 19. 在足球比赛中，有时需通过点球决定胜负． （1）扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将(也称为守门员)也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑到点球的个数的分布列和期望； （2）好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲､乙､丙三名前锋队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外人中的 人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外人中的人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第次传球之前球在甲脚下的概率为，易知． ① 试证明：为等比数列； ② 设第次传球之前球在乙脚下的概率为，比较与的大小． 【答案】（1）分布列见解析，数学期望为； （2）①证明见解析；②. 【解析】 【分析】（1）解法一：由题意可得，然后根据二项分布的概率公式求解概率，从而可求出分布列和期望；解法二：的所有可能取值为，且在一次扑球中，扑到点球的概率，然后分别求出各自对应的概率，从而可求出分布列和期望； （2）①由题意可得第次传球之前球在甲脚下的概率为，第次传球之前球不在甲脚下的概率为，则，化简变形后可证得结论；②分别表示出，化简后与比较大小可得结论. 【小问1详解】 解法一：依题意可得，门将每次可以扑到点球的概率为， 门将在前三次扑到点球的个数可能的取值为 易知， 所以 故的分布列为： 0 1 2 3 所以的数学期望． 解法二：的所有可能取值为 在一次扑球中，扑到点球的概率， 所以 所以的分布列如下： 0 1 2 3 所以的数学期望： 【小问2详解】 ①第次传球之前球在甲脚下的概率为， 则当时，第次传球之前球在甲脚下的概率为， 第次传球之前球不在甲脚下的概率为， 则 即，又， 所以是以为首项，公比为的等比数列． ②由①可知，所以， 所以， 故． 【点睛】关键点点睛：此题考查二项分布的分布列和期望，考查等比数列的证明，第（2）问解题的关键是根据题意用表示出，考查理解能力和计算能力，属于较难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$