67个数列裂项求和技巧 讲义-2026届高三数学一轮复习

67 个数列裂项求和技巧 一、含负数幂型裂项放缩 二、含根式型裂项放缩 三、含指数型裂项放缩 1、指数型裂项 5 类型 2、指数型数列放缩 四、含阶乘型裂项 五、含组合数、二项式定理型裂项放缩 六、等差等比型裂项 七、对数型裂项 八、糖水不等式 九、伯努利不等式 十、三角函数型裂项 十一、反三角函数型裂项 十二、不一样的裂项模型 一、含负数幂型裂项放缩 (1) (2) (3) (4) 注: 凡是分母上是某个等差数列相邻或相隔固定项相乘的形式都可以进行裂项. 在此基础上, 完全平方形式的分母可以通过加减固定数(平方数、公差的倍数等)以放大或缩小,达到放缩的效果 (5) (6) (7) (8) (9) 二、含根式型裂项放缩 (10) , (11) 综合(10)(11),则 (12) (13) (14) (15) , (16) (17) (18) (19) 或 (20) 三、含指数型裂项放缩 1、指数型裂项 5 类型 【指数型裂项类型 1】形如 ,可进行如下裂项 例如, (21) (22) (23) (24) (25) 【指数型裂项类型 2】设 为等差数列,公差为 ,则形如 ,可进行如下裂项 例如, (26) (27) (28) 【指数型裂项类型 3】形如 ,可进行如下裂项 例如, (29) 【指数型裂项类型 4】设 为等差数列,公差为 ,则形如 ,可进行如下裂项 例如, (30) 【指数型裂项类型 5】设 为等差数列,则形如 ,可进行如下裂项 例如, (31) (32) (33) 注: 类型 5 也可以表述为对于形如 的式子,当 时, 可裂项. 2、指数型数列放缩 (34) 注: 因为 (35) (36)当 时 (37) 当 时, (38) 当 时, 四、含阶乘型裂项 (39) (40) (41) 五、含组合数、二项式定理型裂项放缩 (42) (43) (44) (45) 注: 事实上,当 存在极限,极限值为自然数 . (46) 设 是二项式 展开的第 项,则 (47) 注:因为 所以 (48) 注: 因为 (49) 注: 因为 六、等差等比型裂项 (50) 等差乘等比若 ,则 其中, 七、对数型裂项 (51) 其中, 为整数. (52)设 是等差数列, 为公差,则 ,其中, 0 为整数. 八、糖水不等式 (53) ① 若 ,则 ； ② 若 ,则 ； 九、伯努利不等式 (54) 设 ,则当 时,有 . 由伯努利不等式可知, ,其中 且为整数. 十、三角函数型裂项 (55)设 为等差数列,公差为 ,则 例如 注: 此裂项利用的是正弦差角公式, (56) 注: 此裂项利用的是正弦和角公式, 由 得 所以 (57) 注: 此裂项利用的是余弦和角公式, 由 [footnoteRef:2] [2: ] 故 (58)设 为等差数列,公差为 ,则 例如, 注:此裂项利用的是正切差角公式, (59) 注: 此裂项利用的是积化和差公式, (60) 注: 此裂项利用的是积化和差公式, (61) 注: 此裂项利用的是余弦的二倍角公式, (62) 注: 此裂项利用的是余切的二倍角公式, (63) 注: 此裂项利用的是正弦三倍角公式, 十一、反三角函数型裂项 【反三角函数型裂项类型 1】设 为等差数列,公差为 ,则 例如, (64) 注: 此裂项利用的是余切的差角公式, 【反三角函数型裂项类型 2】 (65) 注:此裂项利用的是正切的差角公式, 十二、不一样的裂项模型 (66)设 为等差数列,则 进而, (67)设 为等差数列,公差为 ,则 学科网（北京）股份有限公司 $$