16个数列递推求通项技巧 讲义-2026届高三数学一轮复习

16 个数列递推求通项技巧 1、 型 2、 型 ( 与 的关系式) 型 4、 型 5、 型 6、 型 7、 型 8、 型 9、 型 10、 型 11、 型 12、 型 13、 型 14、 型 15、 型 16、 型 附二倍角、三倍角公式 正余弦函数 双曲正余弦函数 1、 型 处理方法: ... 上面左右两边累加得: 2、 型 处理方法: 上面左右两边累乘得 3、 ( 与 的关系式) 型 处理方法: 4、 型 处理方法: 此模型中 ,当 时, 为常数列; 当 时,该模型变为 (1); 利用待定系数, 可以构造 解得 所以数列 为等比数列,公比为 ,首项为 则 5、 型 处理方法: 1 当 时,即 等式两边同时除以 得 则 为等差数列,公差为 ,首项为 则 ② 当 时,等式两边同时除以 得 令 ,则 利用模型 (1) 即可得 则 6、 型 处理方法: 利用待定系数, 可以构造 化简移项得 比较系数得 解出 和 即可,所以 为等比数列,公比为 ,首项为 . 注: 此模型可以利用二阶线性递推式的特征方程来求解, 【二阶递推式】设已知数列 的项满足 ,则称这个数列的递推式为二阶线性递推式。 【定理 2】对于由递推公式 ,给出的数列 ,称方程 ,叫做数列 的特征方程。若 是特征方程的两个根, 则 (1) 当 时,数列 的通项为 ,其中 由 决定(即把 和 代入 ,得到关于 的方程组)； (2)当 时,数列 的通项为 ,其中 由决定(即把 , 和 代入,得到关于 的方程组)。 7、 型 处理方法: 此模型中 , 利用待定系数, 可以构造 化简移项得 比较系数得 解得 所以 为等比数列,公比为 ,首项为 则 8、 型 处理方法: 往下递推一项得 减去原式得 令 ,则 所以数列 满足模型( 6 ),求出数列 ,再利用( 1 )累加即可得数列 . 9、 型 处理方法: 此模型中 两边同时取对数可得 令 ,则 所以数列 满足模型 (4) 10、 型 处理方法: 对 等式两边同时取倒数得 ① 当 时,则 为等差数列,公差为 ,首项为 ② 当 时 令 ,则 所以数列 满足模型 (4) 11、 型 处理方法: 此模型中 利用待定系数,等式两边同时减去一个待定系数 ,即 令 ,即 ,设该方程的两根分别为 所以 式 可得 所以 为等比数列,公比为 ,首项为 . 注: 此模型可以利用分式递推式的特征方程来求解, 【定理 3】如果数列 满足下列条件:已知 的值且对于 ,都有 (其中 均为常数,且 ), 那么,可作特征方程 . (1)当特征方程有两个相同的根 (称作特征根)时 ① 若 ,则 ② 若 ,则 ,其中 . 特别地,当存在 ,使 时,数列 不存在. (2)当特征方程有两个相异的根 、 (称作特征根)时,则 ,其中 (其中 ) 12、 型 处理方法: 此模型中一般 , 等式两边同时除以 得 令 ,则 所以数列 满足模型 (4) 当 时,利用 (1) 累加求 数列 . 13、 型 处理方法: 往下递推一项得 减去原式得 则数列 和 是等差数列,即该模型是隔项成等差模型. 14、 型 处理方法: 往下递推一项得 除以原式得 则数列 和 是等比数列,即该模型是隔项成等比模型. 15、 型 处理方法: 此模型一般只适合可以配方的,即 配方可得 令 ,则 所以数列 满足模型 (9) 16、 型 处理方法: 此模型可以利用三角函数或双曲函数中的二倍角、三倍角公式 (1) 对于 ① 当 时, 可设 可取 ,则 ② 当 时, 可设 可取 ,则 (2)对于 ① 当 时, 可设 可取 ,则 ② 当 时, 可设 可取 ,则 注 1: 因为余弦函数 的值域有界( ),双曲余弦函数的值域也有界( ) ,所以需要讨论首项范围以确定 的范围。 注 2:以上两种是因为余弦函数和双曲余弦函数的二倍角、三倍角公式具有同样的结构！对于正弦函数以及双曲正弦函数的二倍角公式, 虽然结构相同, 但其展开项中含有余弦 (双曲余弦)而没有类似的数列递推对应；而正弦函数以及双曲正弦函数的三倍角公式,结构相似但不同, 因此不会有同一递推式因首项不同而出现两种通项的情况, 如下 ( 3 )对于 ① 当 时, 可设 可取 ,则 ② 当 时, 但无法表达出通项 ( 4 )对于 可设 可取 ,则 注: 同样因为正弦函数 的值域有界( ),所以需要讨论首项范围以确定 的范围。但双曲正弦函数 的值域无界( ),和 的范围一样,不需要讨论首项。 附二倍角、三倍角公式 正余弦函数 双曲正余弦函数 注 1: 双曲正余弦函数可以写成 sinh、cosh 或 sh、ch 注 2:有关三角函数和双曲函数二倍角、三倍角形式上有相同和不同但相似,仅仅正负号上 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( 第 1 页 共 4 页 ) 16个数列递推求通项技巧 1、 型 2、 型 3、 （ 与 的关系式）型 4、 型 5、 型 6、 型 7、 型 8、 型 9、 型 10、 型 11、 型 12、 型 13、 型 14、 型 15、 型 16、 ， 型 附二倍角、三倍角公式 正余弦函数 双曲正余弦函数 1、 型 处理方法： 2、 型 处理方法： 3、 （ 与 的关系式）型 处理方法： 4、 型 处理方法： 5、 型 处理方法： 6、 型 处理方法： 【二阶递推式】设已知数列 的项满足 ， ， ，则称这个数列的递推式为二阶线性递推式。 【定理2】） 对于由递推公式 ， ， ，给出的数列 ，称方程 ，叫做数列 的特征方程。若 ， 是特征方程的两个根，则 （1） 当 时，数列 的通项为 ，其中 ， 由 ， 决定（即把 ，，， 和 代入 ，得到关于 ， 的方程组）； （2） 当 时，数列 的通项为 ，其中 ， 由决定（即把 ，，， 和 代入，得到关于 ， 的方程组）。 7、 型 处理方法： 8、 型 处理方法： 9、 型 处理方法： 10、 型 处理方法： 11、 型 处理方法： 【定理3】） 如果数列 满足下列条件：已知 的值且对于 ，都有 （其中 、、、 均为常数，且 ， ， ），那么，可作特征方程 . （1） 当特征方程有两个相同的根 （称作特征根）时） ① 若 ，则 ， ② 若 ，则 ， ，其中 . 特别地，当存在 ，使 时，数列 不存在. （2） 当特征方程有两个相异的根 、（称作特征根）时，则 ， ，其中 （其中 ） 12、 型 处理方法： 13、 型 处理方法： 14、 型 处理方法： 15、 型 处理方法： 16、 ， 型 处理方法： （1） ① ② （2） ① ② 注1： 因为余弦函数 的值域有界（），双曲余弦函数的值域也有界（），所以需要讨论首项范围以确定 的范围。 注2： 以上两种是因为余弦函数和双曲余弦函数的二倍角、三倍角公式具有同样的结构！对于正弦函数以及双曲正弦函数的二倍角公式，虽然结构相同，但其展开项中含有余弦（双曲余弦）而没有类似的数列递推对应；而正弦函数以及双曲正弦函数的三倍角公式，结构相似但不同，因此不会有同一递推式因首项不同而出现两种通项的情况，如下 （3） ① ② （4） 注： 同样因为正弦函数 的值域有界（），所以需要讨论首项范围以确定 的范围。但双曲正弦函数 的值域无界（），和 的范围一样，不需要讨论首项。 附二倍角、三倍角公式 正余弦函数 双曲正余弦函数 注1： 双曲正余弦函数可以写成 、 或 、 注2： 有关三角函数和双曲函数二倍角、三倍角形式上有相同和不同但相似，仅仅正负号上存在差异的情况 未授权任何机构或个人转载、商用等，谨防上当受骗！ 学科网（北京）股份有限公司 $$