精品解析：湖南省邵阳市2024-2025学年高二下学期7月期末考试数学试题

2025年邵阳市高二联考试题卷 数学 本试卷共4页，19个小题．满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡上“贴条形码区”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 4．保持答题卡的整洁．考试结束后，只交答题卡，试题卷自行保存． 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，且，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 已知某市高中男生的身高X（单位：）近似服从正态分布，则从该市随机抽取一名高中男生，其身高位于到之间的概率约为（ ） 参考数据： A. B. C. D. 5. 的展开式中的系数为（ ） A. B. 4 C. 20 D. 6. 已知随机变量X的分布列如表，则的值为（ ） X 1 2 3 4 P A. B. C. D. 7. 已知甲、乙、丙、丁、戊、戌共6名同学进行信息技术比赛，决出第一名到第六名的名次（不含并列名次）．比赛结束后，甲和乙去询问成绩，老师对甲说：“你不是第一名．”对乙说：“你不是最后一名．”从这两个回答分析，6人的名次排列的不同方法的种数为（ ） A. 450 B. 480 C. 504 D. 618 8. 已知复数，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的上四分位数为18 B. 若一系列样本点的经验回归方程为，则其中样本点的残差为 C. 设A，B均为概率不为0的随机事件，若，则 D. 若某组数据的频率分布直方图是单峰不对称的，且在左边“拖尾”，则该组数据的平均数大于中位数 10. 已知随机变量，则（ ） A. B. C. 函数在上单调递增的概率为 D. 函数有零点的概率为 11. 已知函数和的图象在第一象限的交点为A，轴，垂足为．如图，当时，和的图象组成的曲线可形象的称为“锦鲤曲线”，则（ ） A. “锦鲤曲线”关于直线对称 B. 三角形的面积不超过 C. 当时， D. 恰有两条不同的直线被“锦鲤曲线”截得的弦长为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 曲线的焦点坐标为______． 13. 学校有A，B两家餐厅，刘同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐，如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8.刘同学第2天去A餐厅用餐的概率为________． 14. 在等比数列中，若，则______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在中，角、、所对的边分别为、、，且． （1）求角； （2）若，三角形的面积为．求． 16. 近期，我国国产大模型深度求索（）在人工智能领域取得了重大技术突破，为行业的发展提供了新的可能性．为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某市需要了解性别因素是否对学生体育锻炼的经常性有影响，采用简单随机抽样的方法抽取1000名学生，利用整理得到下表数据： 单位：人 性别 锻炼 不经常 经常 女生 50 350 男生 200 400 （1）根据以上数据，依据小概率值的独立性检验，能否据此推断该市女生和男生在体育锻炼的经常性方面存在差异？ （2）从这600名男生中按锻炼的经常性等比例分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人（不放回）调查其锻炼的情况，用X表示这2人中经常锻炼的人数，求X的分布列及数学期望． 附：，其中． 17. 如图，在四面体中，平面平面，． （1）求证：； （2），，，求二面角的大小． 18. 已知椭圆：的长轴长为4，离心率，过E的右焦点F且不与y轴垂直的直线与椭圆E相交于A，B两点． （1）求E的标准方程； （2）若点，设直线的斜率分别为，求证：； （3）若点C，D分别为E的左、右顶点，直线与的交点为Q，求点Q的轨迹方程． 19. 已知函数，其中． （1）当时，求函数在上的最小值； （2）若在上恒成立，求m的取值范围； （3）为求积符号，．求证对于所有正整数n，均有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年邵阳市高二联考试题卷 数学 本试卷共4页，19个小题．满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡上“贴条形码区”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 4．保持答题卡的整洁．考试结束后，只交答题卡，试题卷自行保存． 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的解法，求得，得到或，结合集合补集的运算，即可求解. 【详解】由不等式，解得，即， 则或，所以. 故选：A. 2. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，利用基本初等函数的导数公式，即可求解. 【详解】由函数，可得. 故选：D. 3. 已知，且，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，利用共线向量的坐标表示，求得，结合向量的坐标运算，即可求解. 【详解】由向量，因为，可得，解得， 即，所以. 故选：A. 4. 已知某市高中男生的身高X（单位：）近似服从正态分布，则从该市随机抽取一名高中男生，其身高位于到之间的概率约为（ ） 参考数据： A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正态分布的原则，计算概率即可. 【详解】由题意知， 则， 故选：B. 5. 的展开式中的系数为（ ） A. B. 4 C. 20 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项式的展开式，求出特定项的系数. 【详解】由题意得的展开式为， 当时； 当时，； 则含的项为， 故选：B. 6. 已知随机变量X的分布列如表，则的值为（ ） X 1 2 3 4 P A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由公式求出期望值，再由公式求出方差，最后利用公式求解即可. 【详解】因为， ， ， 所以. 故选：C 7. 已知甲、乙、丙、丁、戊、戌共6名同学进行信息技术比赛，决出第一名到第六名的名次（不含并列名次）．比赛结束后，甲和乙去询问成绩，老师对甲说：“你不是第一名．”对乙说：“你不是最后一名．”从这两个回答分析，6人的名次排列的不同方法的种数为（ ） A. 450 B. 480 C. 504 D. 618 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，可分为甲不是最后一名和不是第一名也不是最后一名，两种情况讨论，结合排列数公式，即可求解. 【详解】由题意，若甲是最后一名，有种不同的方法； 若甲不是第一名也不是最后一名，则， 所以6人的名次排列的不同方法的种数为中不同的排列方法. 故选：C. 8. 已知复数，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数模长的定义，求出的等量关系，根据换元法和基本不等式，求出代数式的最小值. 【详解】由题意得．令， 则，则, ． 当且仅当，即时等号成立； ． 故答案：A. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的上四分位数为18 B. 若一系列样本点的经验回归方程为，则其中样本点的残差为 C. 设A，B均为概率不为0的随机事件，若，则 D. 若某组数据的频率分布直方图是单峰不对称的，且在左边“拖尾”，则该组数据的平均数大于中位数 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项：首先确定上四分位数（0.75）的位置，然后将数据按从小到大的顺序排列取出在该位置上的数据即为上四分位数；B选项：残差值为实际值减预测值；C选项：由题意知，代入条件概率公式即可得解；D选项：数据分布偏左，根据平均数及中位数的概念进行判断即可. 【详解】而，所以该组数据的上四分位数为从小到大排列的第8位数据：18，A正确； 当时，，则残差，B错误； 因为，所以，，C正确； 由题意知数据分布偏左，导致平均数受极端值影响会偏小， 而中位数是按顺序排列的一组数据中居于中间位置的数， 受极端值影响小，所以该组数据的平均数小于中位数，D错误. 故选：AC 10. 已知随机变量，则（ ） A. B. C. 函数在上单调递增的概率为 D. 函数有零点的概率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据二项分布的期望公式，可得判定A正确；根据，可判定B不正确；根据二次函数的性质，求得，结合独立重复试验的概率公式，可判定C正确；根据二次函数零点的形式，求得，结合独立重复试验的概率公式，可判定D正确； 【详解】对于A，由随机变量，则，所以A正确； 对于B，由，所以B不正确； 对于C，函数，故函数图象开口向上，且对称轴为直线， 令且，解得， 所以函数在上单调递增的概率为，所以C正确； 对于D，函数有零点，则满足， 即，解得，所以， 所以，所以D正确. 故选：ACD. 11. 已知函数和的图象在第一象限的交点为A，轴，垂足为．如图，当时，和的图象组成的曲线可形象的称为“锦鲤曲线”，则（ ） A. “锦鲤曲线”关于直线对称 B. 三角形的面积不超过 C. 当时， D. 恰有两条不同的直线被“锦鲤曲线”截得的弦长为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据反函数的定义和求法，可判定A正确；联立方程组，转化为，设函数，求得，得到函数的单调性，得到使，且，结合三角形的面积公式，可判定B正确；转化为时，，结合函数的图象，可判定C错误；设直线与“锦鲤曲线”分别交于M，N两点，求得弦长，得到存在一条直线被“锦鲤曲线”截得的弦长为，再由B项，得到的极大值为，可判定D正确. 【详解】对于A中，由，可得，则， 所以函数与互为反函数， 所以“锦鲤曲线”关于直线对称，所以A选项正确； 对于B中，由，可得，即， 设，可得， 令，可得，令，得． 所以在上单调递减，在上单调递增， 又由， 所以使，根据题意，可得， 所以，所以B选项正确； 对于C中，由当时，，转化为时，， 由图象得，当时，函数的图象恒在直线的上方，所以C选项错误； 对于D中，设直线与“锦鲤曲线”分别交于M，N两点， 则弦长， 显然时，一定存在一条直线被“锦鲤曲线”截得的弦长为， 当时，记， 由B知，当时，的极小值为，所以的极大值为， 所以，当时，存在一条直线被“锦鲤曲线”截得的弦长为，所以D正确. 故选：ABD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 曲线的焦点坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】将曲线方程转化为抛物线的标准方程，求出焦点坐标. 【详解】由题意得，则，变形得，则焦点坐标. 故答案为：. 13. 学校有A，B两家餐厅，刘同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐，如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8.刘同学第2天去A餐厅用餐的概率为________． 【答案】## 【解析】 【分析】应用全概率公式计算求解即可. 【详解】学校有A，B两家餐厅，刘同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐， 如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为； 如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为. 刘同学第2天去A餐厅用餐的概率为． 故答案为： 14. 在等比数列中，若，则______． 【答案】128 【解析】 【分析】利用等比数列的性质可求出、，进而求出，再次利用等比数列的性质进行求解即可. 【详解】，， 又，， 又． 考虑最后结果为正，不妨设每项均为正数，，． 故答案为：128 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在中，角、、所对的边分别为、、，且． （1）求角； （2）若，三角形的面积为．求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理、两角和的正弦公式化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）由三角形的面积公式可求出的值，再利用余弦定理可求出的值，即可求出的值. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理得： ， 所以． 由，得，所以． 因为，故． 【小问2详解】 由已知及（1）的结论得，， 则，即． 由余弦定理可得， 即，即， 所以， 故. 16. 近期，我国国产大模型深度求索（）在人工智能领域取得了重大技术突破，为行业的发展提供了新的可能性．为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某市需要了解性别因素是否对学生体育锻炼的经常性有影响，采用简单随机抽样的方法抽取1000名学生，利用整理得到下表数据： 单位：人 性别 锻炼 不经常 经常 女生 50 350 男生 200 400 （1）根据以上数据，依据小概率值的独立性检验，能否据此推断该市女生和男生在体育锻炼的经常性方面存在差异？ （2）从这600名男生中按锻炼的经常性等比例分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人（不放回）调查其锻炼的情况，用X表示这2人中经常锻炼的人数，求X的分布列及数学期望． 附：，其中． 【答案】（1）有差异 （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）写出零假设并将表格整理为列联表，相应值代入公式求出，判断与临界值的大小从而得出结论. （2）确定抽样比，求出需抽取的不经常锻炼与经常锻炼男生人数，根据超几何分布的概率公式求出分布列及期望. 【小问1详解】 零假设为：女生和男生在体育锻炼的经常性方面没有差异． 将所给数据进行整理，得到列联表如下： 锻炼 合计 性别 不经常 经常 女生 50 350 400 男生 200 400 600 合计 250 750 1000 根据列联表中的数据，经计算得到 ． 根据小概率的独立性检验，推断不成立．即认为女生和男生在体育锻炼的经常性方面有差异． 【小问2详解】 抽样比为：，则不经常锻炼的男生抽取2人，经常锻炼的男生抽取4人， 由题意可知，X的所有可能的取值为0，1，2． ， 的分布列为 X 0 1 2 P ． 17. 如图，在四面体中，平面平面，． （1）求证：； （2），，，求二面角的大小． 【答案】（1）证明：平面平面，平面平面， 又，平面，平面， 又平面，． （2） 【解析】 【分析】（1）由面面垂直的性质定理可得出平面，再利用线面垂直的性质可证得结论成立； （2）取的中点为，的中点为，连接，推导出平面，，然后以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角的大小. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点为，由，， 平面平面，平面平面，平面， 平面． 取的中点为，连接，则，，． 以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系． 因为，，， 则， ， 所以、、、， 则， ， 由（1）得平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为，则， 取，则．于是， 显然，二面角为锐角，二面角的大小为． 18. 已知椭圆：的长轴长为4，离心率，过E的右焦点F且不与y轴垂直的直线与椭圆E相交于A，B两点． （1）求E的标准方程； （2）若点，设直线的斜率分别为，求证：； （3）若点C，D分别为E的左、右顶点，直线与的交点为Q，求点Q的轨迹方程． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用椭圆的几何性质，列出方程组，结合，求得的值，即可求得椭圆的标准方程； （2）设直线的方程为，联立方程组，得到，结合直线斜率公式，进行化简，即可求解； （3）设点，得到直线和的方程为和，消去y得，结合，求得，即可求解. 【小问1详解】 解：由椭圆的长轴长为4，离心率， 可得，解得，又由，可得， 所以椭圆E的标准方程为． 【小问2详解】 解：由题意知，直线的斜率不为0，不妨设直线的方程为， 且，联立方程组，整理得， 则有且， 故． 【小问3详解】 解：设点，由题意知点A和点B均不在x轴上，所以， 则直线的方程为，① 直线的方程为，② 由①②消去y得， 即， 又由，代入可得， 解得，所以点点的轨迹方程是. 19. 已知函数，其中． （1）当时，求函数在上的最小值； （2）若在上恒成立，求m的取值范围； （3）为求积符号，．求证对于所有正整数n，均有． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）因根据题意，求得，令，得到，得到函数的单调性，进而求得其最小值； （2）由，分和，两种情况讨论，得到函数单调性，进而得到m的取值范围； （3）转化为证明，设函数，得到，求得的单调性，得到恒成立，由（2）知，进而证得结论. 【小问1详解】 解：因为，可得，则， 令，可得，又因为，所以， 当时，，单调递增，当时，单调递减， 又由，所以． 【小问2详解】 解：由， 当时，恒成立， 所以在上单调递减，所以， 故时，在上恒成立； 当时，设，则在上单调递减， 且，，使， 当时，，即，所以在上单调递增； 所以时，，与恒成立矛盾，故不合题意， 综上所述，实数m的取值范围为． 【小问3详解】 证明：要证， 只需证， 设，则， 所以在上单调递减，， 当时，恒成立． 又由时，，由（2）知， 所以， 所以， 所以，证毕． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $