1.1集合的概念9题型分类（讲+练）-2025-2026学年《解题秘籍》高一数学暑假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册）

2025-2026学年《解题秘籍》高一数学暑假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 1.1集合的概念9题型分类 课程标准 学习目标 1.元素与集合 ① 理解元素与集合的概念，熟练常用数集的概念及其记法. ② 了解“属于”关系的意义. ③了解有限集、无限集、空集的意义. 2.集合的表示方法 掌握集合的常用表示方法(列举法、描述法及相互转化). 3.元素的性质 理解集合元素的三个性质：确定性、无序性、互异性. 1.通过集合语言的学习与运用，培养数学思维能力. 2.通过实例能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)来描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用. 知识点1 元素与集合的概念 1.元素与集合的概念 (1)一般地，我们把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示，把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示． (2)集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性. ①确定性 给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”． ②互异性 一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”． ③无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”． (3)只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的. 知识点2 元素与集合的关系 1.元素与集合的关系　 知识点 关系 概念 记法 读法 元素与集合 的关系 属于 如果 是集合A中的元素，就说a属于A a∈A “a属于A” 不属于 如果不是集合A中的元素，就说a不属于A aA “a不属于A” 2.元素与集合的关系只能是属于或不属于，有且仅有一种情况成立. 知识点3 常用数集及表示符号 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N*或N＋ Z Q R 知识点4 集合的表示方法 1列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法，一般可将集合表示为{a，b，c，…}. 注：列举法表示的集合的结构： 2.描述法 一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法，有时也用冒号或分号代替竖线，写成{x∈A：P(x)}或{x∈A；P(x)}. 注：描述法表示的集合的结构： （一） 1、集合概念的理解 (1)含义:集合是一个原始的不加定义的数学术语，像初中学过的点、直线一样，只能描述性说明. (2)对象:集合中的“对象”所指的范围非常广泛，现实生活中我们看到的听到的、触摸到的想到的各种各样的事物或一些抽象的符号等，都可以看作“对象”，即集合中的元素. (3)整体:集合是一个整体，即暗含“所有”“全部”“全体”的含义,因此一些对象一旦组成集合，那么这个集合就是这些对象的全体，而非个别对象. 2、判断一组对象是否为集合的三依据 (1)确定性：负责判断这组元素是否构成集合． (2)互异性：负责判断构成集合的元素的个数． (3)无序性：表示只要一个集合的元素确定，则这个集合也随之确定，与元素之间的排列顺序无关． 题型1：判断元素是否能构成集合 1．（2025高一·全国月考）所有的“高个子同学”能否构成一个集合？由此说明什么？ 2．（2025高一·湖南长沙月考）下列说法正确的是（ ） A．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合 B．联合国安理会常任理事国能组成一个集合 C．数组成的集合中有7个元素 D．由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为 3．（2025高一·全国月考）下列给出的对象中能构成集合的是（   ） A．著名物理家 B．很大的数 C．聪明的人 D．小于3的实数 4．（2025高一·贵州铜仁月考）下列各组对象中，能组成集合的有 （填序号）． ①所有的好人； ②平面上到原点的距离等于2的点； ③正三角形； ④比较小的正整数； ⑤满足不等式的的取值． 5．（2025高一·全国月考）下列各组对象的全体能构成集合的有（    ） （1）正方形的全体；（2）高一数学书中所有的难题；（3）平方后等于负数的数；（4）某校高一年级学生身高在1.7米的学生；（5）平面内到线段AB两端点距离相等的点的全体. A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型2：判断是否为同一集合 6．（2025高一·全国月考）集合与集合表示同一个集合吗？ 7．（2024高一·全国月考）下列四组中表示同一集合的为（    ） A．， B．， C．， D．， 8．（2025高一·山东滨州月考）有下列说法：其中正确的说法是（   ） （1）0与表示同一个集合 （2）由1，2，3组成的集合可表示为或； （3）方程的所有解的集合可表示为； （4）集合是有限集. A．（1）、（4） B．（1）、（3）、（4） C．（2） D．（3） 9．（2025高一·甘肃武威月考）下面四个说法中不正确的是（ ） A．10以内的质数组成的集合是； B．由2，3组成的集合可表示为或； C．方程的所有解组成的集合是； D．与表示同一个集合. 10．（2025高一·全国月考）（多选）下列说法中不正确的是（　　） A．集合中有两个元素 B．集合中没有元素 C． D．与是不同的集合 （二） 1、集合中的元素的性质及应用 元素与集合的关系有属于与不属于两种:元素a属于集合A,记作a∈A,读作“a属于集合A";元素a不属于集合A.记作a∉A,读作“a不属于集合A". (1)a∈A与aA取决于a是不是集合A中的元素，根据集合中元素的确定性，可知对任何a与A.在a∈A与aA这两种情况中必有一种且只有一种成立. (2)符号“∈”，“在”是表示元素与集合之间的关系的，不能用来表示集合与集合之间的关系，这一点千万要记准. (3)a与{a}的区别和联系:a表示一个元素,{a}表示一个集合，该集合只有一个元素a;它们之间的联系为. 2、元素与集合关系的判断 （1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可． （2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征． 3、 根据元素与集合的关系求参数 由集合中元素的特性求解字母取值(范围)的步骤 题型3：元素与集合关系的判断 11．（2025高一·全国月考）已知下面的两个实例： （1）用A表示高一（3）班全体学生组成的集合. （2）用a表示高一（3）班的一位同学，b表示高一（4）班的一位同学. 思考：那么a，b与集合A分别有什么关系? 12．（2025高一·江苏·假期作业）下列关系中，正确的有（　　） ①；② ；③；④. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 13．（2025高一·甘肃庆阳·期中）已知集合，则有（　　） A． B． C． D． 14．（25-26高一·全国月考）下列说法错误的是（   ） A．集合用列举法表示为 B．实数集可以表示为{为所有实数}或 C．能被4整除余3的所有自然数组成的集合用描述法可表示为 D．集合与是同一个集合 15．（2025·河南新乡模拟预测）已知非空数集M具有如下性质：①若，则；②若，则.下列说法中正确的有（    ）. A．. B．. C．若，则. D．若，则. 题型4：根据元素与集合的关系求参数 16．（2025高一·陕西渭南月考）若，的值为 . 17．（2025高一·江苏·假期作业）已知集合A含有两个元素a和a2，若2∈A，则实数a的值为 ． 18．（2025高一·全国月考）若，则a的值为 . 19．（2025高一·上海·假期作业）已知集合，若，则 ． 20．（25-26高一·全国月考）已知集合，则实数a的值为 ． 题型5：利用集合元素的互异性求参数 21．（2025高一·全国月考）由1，2，0，5，这些数组成的一个集合中有5个元素，这种说法正确吗？ 22．（2025高三·上海浦东新月考）集合中的三个元素分别表示某一个三角形的三边长度，那么这个三角形一定不是（　　） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 23．（2025·辽宁模拟预测）设集合.若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 24．（2025高一·江苏南通·期中）已知，则实数的值为（   ） A．0 B．1 C． D． （三） 用列举法表示集合 1.列举法表示的集合的种类 (1)元素个数少且有限时.全部列举:如1,2,3,4; (2)元素个数多且有限时，可以列举部分,中间用省略号表示，如“从1到1000的所有自然数”可以表示为1,2,3,...,1 000} ; (3)元素个数无限但有规律时，可类似于(2),如自然数集N可以表示为10,1,2,3.... 2.使用列举法表示集合时需注意 (1)元素之间用“,”而不用“、"隔开; (2)元素不重复，满足元素的互异性; (3)元素无顺序，满足元素的无序性; (4)对于含较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法.但是必须把元索间的规律表述清楚后才能用省略号. 注意（1）用列举法表示集合，要注意是数集还是点集. （2）列举法适合表示有限集，当集合中元素个数较少时，用列举法表示一目了然. 题型6：用列举法表示集合 25．（2025高一·北京月考）用列举法表示集合为 ． 26．（2025高三·上海月考）用列举法表示集合为 . 27．（2025高一·四川成都月考）用列举法表示下列集合： (1) (2) (3) 28．（2025·甘肃张掖模拟预测）方程组的解集是（    ） A．，或 B． C． D． （四） 用描述法表示集合 1.描述法的一般形式是,其中“x”是集合中元素的代表形式.例如用描述法表示方程的实数根为.如果从上下文的关系来看,是明确的，那么也可省略，只写其元素x.例如集合也可表示为. 2.描述法表示集合的条件 对于元素个数不确定且元素间无明显规律的集合，不能将它们一一列举出来，可以将集合中元素的共同特征描述出来，即采用描述法. 3.使用描述法时应注意以下几点 (1)写清楚该集合的代表元素，如数或点等; (2)说明该集合中元素的共同属性; (3)不能出现未被说明的字母; (4)所有描述的内容都要写在花括号内，用于描述的内容力求简洁、准确. 注：(1)用描述法表示集合时，一定要体现描述法的形式，不要漏写集合的代表元素及元素所具有的性质,且用“|”隔开. (2)当描述部分出现集合的代表元素以外的字母时，要对新字母说明其含义或指出其取值范围. 题型7：用描述法表示集合 29．（2025高一·全国·课前预习）用适当的方法表示下列集合． (1)； (2)； (3)平面直角坐标系中所有第二象限内的点． 30．（2025高一·全国月考）用适当的方法表示下列集合： (1)一年中有31天的月份的全体； (2)大于小于12.8的整数的全体； (3)梯形的全体构成的集合； (4)所有能被3整除的数的集合； 31．（2025高一·全国月考）用描述法表示下列集合： (1)平面直角坐标系中的x轴上的点组成的集合； (2)抛物线上的点组成的集合； (3)使函数有意义的实数x组成的集合． 32．（2025高一·全国月考）选择适当的方法表示下列集合，并指出哪些是有限集，哪些是无限集． (1)大于1且小于70的正整数构成的集合A； (2)小于8的质数组成的集合C； (3)方程的实数根组成的集合D； (4)函数图象上的所有点组成的集合E； (5)不等式 的解组成的集合F． （五） 集合表示法的综合应用 (1)若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键，如集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}中的元素就是所给方程的根，由此便把集合的元素个数问题转化为方程的根的个数问题． (2)在学习过程中要注意数学素养的培养，如等价转化思想和分类讨论的思想． 题型8：判断集合中元素的个数 33．（2025高一·全国月考）设由“我和我的祖国”中的所有汉字组成集合，则中的元素个数为 ． 34．（2025高一·全国月考）由构成的集合中，元素个数最多是 . 35．（2025高一·全国·单元测试）已知集合，则集合B中有 个元素． 36．（25-26高一·全国月考）已知集合，，记且.则 ， . 37．（25-26高一·全国月考）由实数及所组成的集合，最少含有 个元素，最多含有 个元素． 38．（2025高三·全国月考）已知集合，则集合中的元素的个数为（   ） A． B． C． D． 题型9：根据集合元素的个数求参数 39．（2025高一·上海浦东新月考）是单元素集，则实数的取值是 ． 40．（1.1集合的概念与表示课后习题训练——2025-2026学年高一学期数学北师大版（2019）必修第一册）已知集合中有两个元素，则实数满足的条件为 . 41．（2025高一·河北·期中）若集合恰有8个整数元素，写出a的一个值： ． 一、单选题 1．（25-26高一·全国月考）以下对象的全体不能构成集合的个数是（   ） （1）高一（1）班的高个子同学；        （2）所有的数学难题； （3）北京市中考分数580以上的同学；    （4）中国古代四大发明； （5）我国的大河流；                    （6）大于3的偶数． A．2 B．3 C．4 D．6 2．（2025高一·云南月考）下列各对象可以组成集合的是（    ） A．与非常接近的全体实数 B．北大附中云南实验学校学年度第二学期全体高一学生 C．高一年级视力比较好的同学 D．高一年级很有才华的老师 3．（2025高一·安徽合肥·期中）下列语言叙述中，能表示集合的是（    ） A．数轴上离原点距离很近的所有点 B．德育中学的全体高一学生 C．某高一年级全体视力差的学生 D．与大小相仿的所有三角形 4．（2025高一·江苏宿迁·期中）已知，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（2025高一·全国月考）下列关系正确的是（　　） A． B． C． D． 6．（25-26高一·全国月考）已知集合中只有一个元素，则实数a的所有可能值的乘积为（   ） A． B．-1 C．1 D． 7．（25-26高一·全国月考）已知集合，若且，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高一·全国月考）集合的另一种表示法是（   ） A． B． C． D． 9．（2025高三·云南昭通月考）设集合，若，则（   ） A． B． C． D． 10．（2025高二·宁夏银川·期中）下列说法正确的是（  ） A． B． C． D． 11．（2025高二·湖南·期中）已知集合，则的元素个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．0 12．（2025·四川成都模拟预测）现有、、、四个数，从这四个数中任取两个相加，可以得到多少个不同的数（    ） A． B． C． D． 13．（2025·新疆喀什模拟预测）已知集合，，则的元素个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 14．（2025高一·重庆北碚·期末）定义若则中元素个数为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 15．（2025高一·全国月考）若，则可用列举法将集合表示为（　　） A． B． C． D． 16．（2025高一·全国月考）集合用列举法表示为（    ） A． B． C． D． 17．（2025高一·河南商丘月考）已知集合的元素只有一个，则实数a的值为（    ） A． B．0 C．或0 D．无解 18．（2025高一·全国月考）由，，3组成的一个集合A，若A中元素个数不是2，则实数a的取值可以是（    ） A． B．1 C． D．2 19．（2024高三·全国月考）已知集合，且，则实数为（    ） A．2 B．3 C．0或3 D． 20．（25-26高一·全国月考）下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 21．（25-26高一·全国月考）设，，若集合，则，与集合的关系是（   ） A．， B．， C．， D．， 22．（2025高一·江苏南通·期中）已知，则实数的值为（   ） A．0 B．1 C． D． 23．（25-26高一·全国月考）集合，且，则有（   ） A． B． C． D．不属于中的任意一个 二、多选题 24．（2025高一·河北保定月考）下列用描述法表示的集合，正确的是（    ） A．奇数集可以表示为 B．“小于10的整数”构成的集合可以表示为 C．表示大于2的全体实数 D．不等式的解集表示为 25．（2025高一·四川泸州月考）已知集合，且，则的可能取值有（    ） A．1 B．－1 C．3 D．2 26．（2025高一·湖南邵阳月考）若对任意，，则称为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是（    ） A． B． C． D． 27．（25-26高一·全国月考）[多选题]已知集合，则下列四个元素中属于M的元素的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 28．（2025高一·上海长宁·期中）所有正奇数组成的集合用描述当表示为 ． 29．（2025高一·河南月考）已知集合，写出一个满足中有 8 个元素的的值 . 30．（2025高一·上海虹口·期中）集合中所有元素之和为，则实数 ． 31．（2025高一·全国月考）集合表示的是 . 32．（2025高一·四川月考）设集合，则用列举法表示集合A为 . 33．（2025高一·全国月考）数集中的元素a不能取的值是 . 34．（25-26高一·全国月考）已知集合，则实数a的值为 ． 四、解答题 35．（2025高一·江苏月考）用列举法表示下列集合： （1） 满足的x值组成的集合； （2） 方程x2＋x＋1＝0的根组成的集合； （3） 不大于15的正奇数组成的集合； （4） 不大于10的正偶数组成的集合． 36．（2025高一·江苏·假期作业）若集合中有2个元素，求k的取值范围． 37．（2025高一·黑龙江月考）已知集合，若，求实数a的取值集合． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2025-2026学年《解题秘籍》高一数学暑假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 1.1集合的概念9题型分类 课程标准 学习目标 1.元素与集合 ① 理解元素与集合的概念，熟练常用数集的概念及其记法. ② 了解“属于”关系的意义. ③了解有限集、无限集、空集的意义. 2.集合的表示方法 掌握集合的常用表示方法(列举法、描述法及相互转化). 3.元素的性质 理解集合元素的三个性质：确定性、无序性、互异性. 1.通过集合语言的学习与运用，培养数学思维能力. 2.通过实例能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)来描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用. 知识点1 元素与集合的概念 1.元素与集合的概念 (1)一般地，我们把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示，把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示． (2)集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性. ①确定性 给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”． ②互异性 一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”． ③无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”． (3)只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的. 知识点2 元素与集合的关系 1.元素与集合的关系　 知识点 关系 概念 记法 读法 元素与集合 的关系 属于 如果 是集合A中的元素，就说a属于A a∈A “a属于A” 不属于 如果不是集合A中的元素，就说a不属于A aA “a不属于A” 2.元素与集合的关系只能是属于或不属于，有且仅有一种情况成立. 知识点3 常用数集及表示符号 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N*或N＋ Z Q R 知识点4 集合的表示方法 1列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法，一般可将集合表示为{a，b，c，…}. 注：列举法表示的集合的结构： 2.描述法 一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法，有时也用冒号或分号代替竖线，写成{x∈A：P(x)}或{x∈A；P(x)}. 注：描述法表示的集合的结构： （一） 1、集合概念的理解 (1)含义:集合是一个原始的不加定义的数学术语，像初中学过的点、直线一样，只能描述性说明. (2)对象:集合中的“对象”所指的范围非常广泛，现实生活中我们看到的听到的、触摸到的想到的各种各样的事物或一些抽象的符号等，都可以看作“对象”，即集合中的元素. (3)整体:集合是一个整体，即暗含“所有”“全部”“全体”的含义,因此一些对象一旦组成集合，那么这个集合就是这些对象的全体，而非个别对象. 2、判断一组对象是否为集合的三依据 (1)确定性：负责判断这组元素是否构成集合． (2)互异性：负责判断构成集合的元素的个数． (3)无序性：表示只要一个集合的元素确定，则这个集合也随之确定，与元素之间的排列顺序无关． 题型1：判断元素是否能构成集合 1．（2025高一·全国月考）所有的“高个子同学”能否构成一个集合？由此说明什么？ 【答案】答案见解析 【解析】不能，其中的元素不确定 2．（2025高一·湖南长沙月考）下列说法正确的是（ ） A．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合 B．联合国安理会常任理事国能组成一个集合 C．数组成的集合中有7个元素 D．由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为 【答案】B 【分析】根据题意，利用集合的定义逐一判断，即可得到结果. 【解析】对于A，因为很喜欢足球的同学没有明确的标准，不符合集合的确定性，所以不能组成一个集合，故A错误； 对于B，因为联合国安理会常任理事国有明确的标准，符合集合的确定性，所以能组成一个集合，故B正确； 对于C，因为存在，所以组成的集合中不可能有7个元素，故C错误； 对于D，由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为，故D错误； 故选：B. 3．（2025高一·全国月考）下列给出的对象中能构成集合的是（   ） A．著名物理家 B．很大的数 C．聪明的人 D．小于3的实数 【答案】D 【分析】根据集合中元素的特性即可判断. 【解析】只有选项有明确的标准，能构成一个集合． 故选：. 4．（2025高一·贵州铜仁月考）下列各组对象中，能组成集合的有 （填序号）． ①所有的好人； ②平面上到原点的距离等于2的点； ③正三角形； ④比较小的正整数； ⑤满足不等式的的取值． 【答案】②③⑤ 【分析】根据集合元素的确定性即可得到答案. 【解析】①中“好人”，④中“比较小”不满足构成集合元素的确定性，而②③⑤满足集合元素的性质，故②③⑤正确， 故答案为：②③⑤. 5．（2025高一·全国月考）下列各组对象的全体能构成集合的有（    ） （1）正方形的全体；（2）高一数学书中所有的难题；（3）平方后等于负数的数；（4）某校高一年级学生身高在1.7米的学生；（5）平面内到线段AB两端点距离相等的点的全体. A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据集合中元素的确定性判断可得答案. 【解析】（1）（3）（4）（5）中的对象是确定的，可以组成集合，（2）中的对象是不确定的，不能组成集合. 故选：C. 题型2：判断是否为同一集合 6．（2025高一·全国月考）集合与集合表示同一个集合吗？ 【答案】答案见解析 【解析】是同一个集合．虽然两个集合的代表元素的符号（字母）不同，但实质上它们均表示大于3的所有实数，故表示同一个集合． 7．（2024高一·全国月考）下列四组中表示同一集合的为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据集合元素的性质逐一判断即可. 【解析】选项A：两个集合中元素对应的坐标不同，A错误； 选项B：集合中的元素具有无序性，两个集合是同一集合，B正确； 选项C：两个集合研究的对象不同，一个是点集，一个是数集，C错误； 选项D：是以0为元素的集合，是数字0，D错误. 故选：B 8．（2025高一·山东滨州月考）有下列说法：其中正确的说法是（   ） （1）0与表示同一个集合 （2）由1，2，3组成的集合可表示为或； （3）方程的所有解的集合可表示为； （4）集合是有限集. A．（1）、（4） B．（1）、（3）、（4） C．（2） D．（3） 【答案】C 【分析】利用集合的性质及相关概念判断各个命题即可得解. 【解析】对于（1），0是元素，不表示集合，为集合，二者不一样，（1）错误； 对于（2），由集合元素的无序性知，（2）正确； 对于（3），方程的所有解的集合可表示为，（3）错误； 对于（4），集合是无限集. 故选：C 9．（2025高一·甘肃武威月考）下面四个说法中不正确的是（ ） A．10以内的质数组成的集合是； B．由2，3组成的集合可表示为或； C．方程的所有解组成的集合是； D．与表示同一个集合. 【答案】CD 【分析】结合集合元素的特征检验各选项即可判断. 【解析】10以内的质数组成的集合是，故A正确； 由集合元素的无序性可知，2，3组成的集合可表示为或，故B正确； 根据集合的互异性可知，的所有解组成的集合是，故C错误； ：不含有任何元素的集合，：仅含有一个元素的集合，故D错误. 故选：CD. 10．（2025高一·全国月考）（多选）下列说法中不正确的是（　　） A．集合中有两个元素 B．集合中没有元素 C． D．与是不同的集合 【答案】BCD 【分析】利用集合的元素个数判断AB；利用元素与集合的关系判断B；利用集合的元素特性判断D. 【解析】对于A，，该集合中有两个元素，A正确； 对于B，集合中有一个元素0，B错误； 对于C，，则，C错误； 对于D，由集合中元素的无序性，知与是相同的集合，D错误. 故答案为：BCD （二） 1、集合中的元素的性质及应用 元素与集合的关系有属于与不属于两种:元素a属于集合A,记作a∈A,读作“a属于集合A";元素a不属于集合A.记作a∉A,读作“a不属于集合A". (1)a∈A与aA取决于a是不是集合A中的元素，根据集合中元素的确定性，可知对任何a与A.在a∈A与aA这两种情况中必有一种且只有一种成立. (2)符号“∈”，“在”是表示元素与集合之间的关系的，不能用来表示集合与集合之间的关系，这一点千万要记准. (3)a与{a}的区别和联系:a表示一个元素,{a}表示一个集合，该集合只有一个元素a;它们之间的联系为. 2、元素与集合关系的判断 （1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可． （2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征． 3、 根据元素与集合的关系求参数 由集合中元素的特性求解字母取值(范围)的步骤 题型3：元素与集合关系的判断 11．（2025高一·全国月考）已知下面的两个实例： （1）用A表示高一（3）班全体学生组成的集合. （2）用a表示高一（3）班的一位同学，b表示高一（4）班的一位同学. 思考：那么a，b与集合A分别有什么关系? 【答案】a是集合A中的元素，b不是集合A中的元素. 【分析】根据元素与集合的关系进行判断. 【解析】因为A表示高一（3）班全体学生组成的集合，a表示高一（3）班的一位同学，所以a是集合A中的元素； 因为b表示高一（4）班的一位同学，所以b不是集合A中的元素. 12．（2025高一·江苏·假期作业）下列关系中，正确的有（　　） ①；② ；③；④. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】判断数所在数域，得到正确答案. 【解析】为实数，①正确；是无理数，，②正确； 是自然数，③正确；，④错误， 故选：C 13．（2025高一·甘肃庆阳·期中）已知集合，则有（　　） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据集合的描述列举出集合中的元素即可逐项判断. 【解析】解：，所以，，，. 故选：AB. 14．（25-26高一·全国月考）下列说法错误的是（   ） A．集合用列举法表示为 B．实数集可以表示为{为所有实数}或 C．能被4整除余3的所有自然数组成的集合用描述法可表示为 D．集合与是同一个集合 【答案】BD 【分析】A选项，解方程，得到方程的解，故用列举法表示为，故A正确；B选项，表示实数集，实数集为错误表示，故B错误；C选项，根据描述法定义得到C正确；D选项，两集合一个为数集，一个为点集，D错误. 【解析】对于A，集合中只含有两个元素0和1， 所以用列举法表示为，故A正确； 对于B，因为花括号本身就具有所有的意义， 所以在描述内容中不能再出现“所有”这样的字眼， 另外表示实数集，实数集为错误表示，故B错误； 对于C，根据描述法表示集合可得集合为，故C正确； 对于D，集合为的取值集合，为数集， 集合表示抛物线上点的集合，为点集， 所以两个集合不是同一个集合，故D错误． 故选：BD 15．（2025·河南新乡模拟预测）已知非空数集M具有如下性质：①若，则；②若，则.下列说法中正确的有（    ）. A．. B．. C．若，则. D．若，则. 【答案】BC 【分析】用特殊值代入判断A，D，C,列举法根据性质性质①②，判断B. 【解析】对于，若，令，则，令，则，令，不存在，即，矛盾，所以，故错误， 对于，由于集合非空，取任意元素，根据性质①，得，再根据性质②，得，进而，故正确， 对于，因为，所以，因为，所以，故正确， 对于，若，则，故错误， 故选：. 题型4：根据元素与集合的关系求参数 16．（2025高一·陕西渭南月考）若，的值为 . 【答案】2 【分析】根据元素与集合的关系得出方程求解，结合集合中元素的互异性检验即可. 【解析】因为， 所以或3或， 当时，，此时集合中元素有1,3,1，不满足集合中元素的互异性，舍去； 当时，，此时集合中元素为1,3,1，不满足集合中元素的互异性，舍去； 当时，解得或（舍去），此时集合中元素为1,3,4，符合题意. 故答案为：2 17．（2025高一·江苏·假期作业）已知集合A含有两个元素a和a2，若2∈A，则实数a的值为 ． 【答案】或 【分析】根据元素与集合间的关系即可求解. 【解析】因为2∈A，所以或，即或. 故答案为：或 18．（2025高一·全国月考）若，则a的值为 . 【答案】 【分析】集合中的元素依次取，求出a值，利用集合元素的性质验证作答. 【解析】因为，则当，即，此时，矛盾， 若，解得，此时，，符合题意，即， 而，即， 所以a的值为. 故答案为： 19．（2025高一·上海·假期作业）已知集合，若，则 ． 【答案】3或 【分析】 根据，所以，然后根据集合的性质分别进行讨论验证即可． 【解析】 因为，所以，解得或，符合题意． 故答案为：3或． 20．（25-26高一·全国月考）已知集合，则实数a的值为 ． 【答案】或5 【分析】由元素与集合的关系建立方程，再由集合元素的互异性排除错误答案，即可得到结果. 【解析】依题意，当时，或． 若，则，符合题意； 若，则，对于集合B，不满足集合中元素的互异性，所以不符合． 当时，或． 若，则，对于集合A，不满足集合中元素的互异性，所以不符合； 若，则，，符合题意． 综上所述，a的值为或5． 故答案为：或5． 题型5：利用集合元素的互异性求参数 21．（2025高一·全国月考）由1，2，0，5，这些数组成的一个集合中有5个元素，这种说法正确吗？ 【答案】答案见解析 【分析】根据集合中的元素的互异性进行判断. 【解析】不正确. 因为集合中的元素是互异的，所以集合中只有4个不同元素1，3，0，5 . 22．（2025高三·上海浦东新月考）集合中的三个元素分别表示某一个三角形的三边长度，那么这个三角形一定不是（　　） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【分析】根据集合中元素的互异性可得答案. 【解析】根据集合中元素的互异性得， 故三角形一定不是等腰三角形. 故选：A. 23．（2025·辽宁模拟预测）设集合.若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据元素与集合的关系，求的取值范围. 【解析】因为，所以，所以. 故选：C 24．（2025高一·江苏南通·期中）已知，则实数的值为（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】讨论对应元素，结合集合中元素的互异性确定参数值即可. 【解析】若，显然时不符合集合元素的互异性； 若，不符合集合元素的互异性； 若或，不符合集合元素的互异性； 综上，. 故选：C （三） 用列举法表示集合 1.列举法表示的集合的种类 (1)元素个数少且有限时.全部列举:如1,2,3,4; (2)元素个数多且有限时，可以列举部分,中间用省略号表示，如“从1到1000的所有自然数”可以表示为1,2,3,...,1 000} ; (3)元素个数无限但有规律时，可类似于(2),如自然数集N可以表示为10,1,2,3.... 2.使用列举法表示集合时需注意 (1)元素之间用“,”而不用“、"隔开; (2)元素不重复，满足元素的互异性; (3)元素无顺序，满足元素的无序性; (4)对于含较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法.但是必须把元索间的规律表述清楚后才能用省略号. 注意（1）用列举法表示集合，要注意是数集还是点集. （2）列举法适合表示有限集，当集合中元素个数较少时，用列举法表示一目了然. 题型6：用列举法表示集合 25．（2025高一·北京月考）用列举法表示集合为 ． 【答案】 【分析】先解方程可得，进而求解即可. 【解析】由，则，即， 又，所以， 则. 故答案为：. 26．（2025高三·上海月考）用列举法表示集合为 . 【答案】 【分析】由题可得为小于40的完全平方数，据此可得答案. 【解析】因，又，则为小于40的完全平方数. 则，从而. 故答案为： 27．（2025高一·四川成都月考）用列举法表示下列集合： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）解一元二次方程即可求出结果； （2）根据已知条件和自然数的概念即可求出结果； （3）解一元二次方程即可求出结果. 【解析】（1）由可得：，所以. （2）. （3）. 28．（2025·甘肃张掖模拟预测）方程组的解集是（    ） A．，或 B． C． D． 【答案】D 【分析】解方程组，用集合表示即可判断. 【解析】由方程组，解得，所以该方程组的解集为， 而. 故选：D. （四） 用描述法表示集合 1.描述法的一般形式是,其中“x”是集合中元素的代表形式.例如用描述法表示方程的实数根为.如果从上下文的关系来看,是明确的，那么也可省略，只写其元素x.例如集合也可表示为. 2.描述法表示集合的条件 对于元素个数不确定且元素间无明显规律的集合，不能将它们一一列举出来，可以将集合中元素的共同特征描述出来，即采用描述法. 3.使用描述法时应注意以下几点 (1)写清楚该集合的代表元素，如数或点等; (2)说明该集合中元素的共同属性; (3)不能出现未被说明的字母; (4)所有描述的内容都要写在花括号内，用于描述的内容力求简洁、准确. 注：(1)用描述法表示集合时，一定要体现描述法的形式，不要漏写集合的代表元素及元素所具有的性质,且用“|”隔开. (2)当描述部分出现集合的代表元素以外的字母时，要对新字母说明其含义或指出其取值范围. 题型7：用描述法表示集合 29．（2025高一·全国·课前预习）用适当的方法表示下列集合． (1)； (2)； (3)平面直角坐标系中所有第二象限内的点． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）可以用列举法表示集合； （2）可以用列举法表示集合； （3）可以用描述法表示给出的集合. 【解析】（1），，， 或或 ． （2）且， ． ，即． ． （3）平面直角坐标系中所有第二象限内的点构成的集合可以表示为： 30．（2025高一·全国月考）用适当的方法表示下列集合： (1)一年中有31天的月份的全体； (2)大于小于12.8的整数的全体； (3)梯形的全体构成的集合； (4)所有能被3整除的数的集合； 【答案】(1){1月,3月,5月,7月,8月,10月,12月}． (2)． (3){a|a是梯形}或{梯形}． (4)． 【分析】（1）（2）利用列举法表示集合. （3）利用描述法或列举法表示集合. （4）利用描述法表示集合. 【解析】（1）一年中有31天的月份的全体为：{1月,3月,5月,7月,8月,10月,12月}. （2）大于小于12.8的整数的全体为：. （3）梯形的全体构成的集合为：{a|a是梯形}或{梯形}. （4）所有能被3整除的数的集合为：. 31．（2025高一·全国月考）用描述法表示下列集合： (1)平面直角坐标系中的x轴上的点组成的集合； (2)抛物线上的点组成的集合； (3)使函数有意义的实数x组成的集合． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）（2）（3）根据各项文字描述写出集合的描述形式即可. 【解析】（1）由x轴上的点的特征为，故集合为； （2）由点在抛物线上，故集合为； （3）由，则，故集合为. 32．（2025高一·全国月考）选择适当的方法表示下列集合，并指出哪些是有限集，哪些是无限集． (1)大于1且小于70的正整数构成的集合A； (2)小于8的质数组成的集合C； (3)方程的实数根组成的集合D； (4)函数图象上的所有点组成的集合E； (5)不等式 的解组成的集合F． 【答案】(1)，是有限集 (2)，是有限集 (3)，是有限集 (4)，是无限集 (5)，是无限集 【分析】（1）（2）（3）（4）（5）根据描述写出集合的描述形式，即可判断有限或无限. 【解析】（1）由大于1且小于70的正整数，则，故，是有限集； （2）因为小于8的质数有2，3，5，7，所以，是有限集． （3）方程的实数根为、，所以，是有限集． （4）由表示坐标系中的曲线，故，是无限集． （5）由，得，所以，是无限集． （五） 集合表示法的综合应用 (1)若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键，如集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}中的元素就是所给方程的根，由此便把集合的元素个数问题转化为方程的根的个数问题． (2)在学习过程中要注意数学素养的培养，如等价转化思想和分类讨论的思想． 题型8：判断集合中元素的个数 33．（2025高一·全国月考）设由“我和我的祖国”中的所有汉字组成集合，则中的元素个数为 ． 【答案】5 【分析】列举出集合中的元素，即可得出中的元素个数 【解析】解：由题意 中的元素分别为：我，和，的，祖，国，共5个元素， 故中的元素个数为5 故答案为：5. 34．（2025高一·全国月考）由构成的集合中，元素个数最多是 . 【答案】2 【分析】分与讨论即可求解. 【解析】当时，，此时元素个数为1； 当时，， 所以一定与或中的一个一致，此时元素个数为2. 所以由构成的集合中，元素个数最多是2个. 故答案为:2. 35．（2025高一·全国·单元测试）已知集合，则集合B中有 个元素． 【答案】6 【分析】由题意分类讨论x的取值，确定y的值，即可求得答案. 【解析】因为，所以． 当时，； 当时，或； 当时，． 故集合，即集合B中有6个元素， 故答案为：6 36．（25-26高一·全国月考）已知集合，，记且.则 ， . 【答案】 【解析】由及可得可能的取值有1，2，3，6，即，4，3，0，故.因为且，所以；又且，则. 37．（25-26高一·全国月考）由实数及所组成的集合，最少含有 个元素，最多含有 个元素． 【答案】 1 2 【分析】分、两种情况讨论，确定代数式的关系，即可确定集合的元素个数. 【解析】当时，各个式子都是； 当时，因为，，， 所以不论取何值，最多只能写成两种形式， 故集合中最少含有个元素，最多含有个元素． 故答案为：； 38．（2025高三·全国月考）已知集合，则集合中的元素的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由集合中的元素的特征，确定集合的元素即可. 【解析】当时，； 当时，； 当时，． 所以，共有个元素． 故选：C. 题型9：根据集合元素的个数求参数 39．（2025高一·上海浦东新月考）是单元素集，则实数的取值是 ． 【答案】0或 【分析】分和两种情况讨论计算即可. 【解析】当时, 符合题意; 当时, 只有一个根,所以, 即得,符合题意; 故答案为:0或. 40．（1.1集合的概念与表示课后习题训练——2025-2026学年高一学期数学北师大版（2019）必修第一册）已知集合中有两个元素，则实数满足的条件为 . 【答案】，且 【分析】根据集合的互异性，集合中有两个元素即为有两个不等实根，根据方程二次项系数不为0，判别式大于0即得. 【解析】由题意知有两个不等实根， 所以且， 解得，且. 故答案为：，且 41．（2025高一·河北·期中）若集合恰有8个整数元素，写出a的一个值： ． 【答案】7（答案不唯一，实数a满足即可） 【分析】由题意知区间长度大于7不大于9，据此求出集合中最小整数，得到集合中最大整数为10，建立不等式求解. 【解析】依题意可得，解得， 则． 所以集合的8个整数元素为, 所以，解得． 故答案为：7（答案不唯一）. 一、单选题 1．（25-26高一·全国月考）以下对象的全体不能构成集合的个数是（   ） （1）高一（1）班的高个子同学；        （2）所有的数学难题； （3）北京市中考分数580以上的同学；    （4）中国古代四大发明； （5）我国的大河流；                    （6）大于3的偶数． A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】由集合元素三要素逐个判断即可. 【解析】（1）（2）（5）的元素不确定，不能构成集合． （3）（4）（6）符合集合概念， 故选：B 2．（2025高一·云南月考）下列各对象可以组成集合的是（    ） A．与非常接近的全体实数 B．北大附中云南实验学校学年度第二学期全体高一学生 C．高一年级视力比较好的同学 D．高一年级很有才华的老师 【答案】B 【分析】由集合中元素的性质可直接得到结果. 【解析】对于ACD，集合中的元素具有确定性，但ACD中的元素不确定，故不能构成集合，ACD错误； B中的元素满足集合中元素的特点，可以构成集合，B正确. 故选：B. 3．（2025高一·安徽合肥·期中）下列语言叙述中，能表示集合的是（    ） A．数轴上离原点距离很近的所有点 B．德育中学的全体高一学生 C．某高一年级全体视力差的学生 D．与大小相仿的所有三角形 【答案】B 【分析】根据集合中元素的确定性逐个判断即可. 【解析】对A，数轴上离原点距离很近的所有点不满足集合中元素的确定性，故A错误； 对B，德育中学的全体高一学生满足集合中元素的确定性，故B正确； 对C，某高一年级全体视力差的学生不满足集合中元素的确定性，故C错误； 对D，与大小相仿的所有三角形不满足集合中元素的确定性，故D错误 故选：B 4．（2025高一·江苏宿迁·期中）已知，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由元素与集合关系的判断， 【解析】对于A，令，得，则，故A错误， 对于B，令，得，则，故B错误， 对于C，令，得，则，故C错误， 对于D，令，得，则，故D正确， 故选：D 5．（2025高一·全国月考）下列关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据元素与集合的关系，结合选择，逐项判定，即可求解. 【解析】由属于实数，所以A错误； 由是正整数集，因此，所以B错误； 由是有理数，所以C正确； 由于是无理数，是整数集，所以D错误. 故选：C. 6．（25-26高一·全国月考）已知集合中只有一个元素，则实数a的所有可能值的乘积为（   ） A． B．-1 C．1 D． 【答案】D 【分析】分、、三种情况讨论，若为一次方程则符合题意，若为二次方程只需即可. 【解析】若，则，符合题意； 若，则变为，显然不成立， 则，不符合题意； 当，即时，则， 解得（舍）或， 所以的所有可能值为，故所有可能值的乘积为． 故选：D 7．（25-26高一·全国月考）已知集合，若且，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据元素与集合的从属关系列式，可求实数m的取值范围. 【解析】由且，得，解得． 故选：A 8．（25-26高一·全国月考）集合的另一种表示法是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合中的限制条件，得到，，利用列举法表示集合即可做出判定. 【解析】因为，所以． 又因为，所以， 所以． 故选：B. 9．（2025高三·云南昭通月考）设集合，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由元素与集合的关系求出参数，求解方程从而得到集合. 【解析】，所以，时，， 解得或，即． 故选：D． 10．（2025高二·宁夏银川·期中）下列说法正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据的意义进行判断. 【解析】根据的意义,, 故选：C. 11．（2025高二·湖南·期中）已知集合，则的元素个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．0 【答案】B 【分析】根据题意求集合，即可判断元素个数. 【解析】由题意可得：， 可知有3个元素. 故选：B 12．（2025·四川成都模拟预测）现有、、、四个数，从这四个数中任取两个相加，可以得到多少个不同的数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将所得结果列举出来即可. 【解析】现有、、、四个数，从这四个数中任取两个相加，所得结果构成的集合为. 故选：A. 13．（2025·新疆喀什模拟预测）已知集合，，则的元素个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出集合即可. 【解析】集合，则， 所以集合C的元素个数为3个. 故选：C 14．（2025高一·重庆北碚·期末）定义若则中元素个数为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据新定义中运算的性质，求出集合中的元素即可. 【解析】因为且， 当时，可能为，此时的取值为：； 当时，可能为，此时的取值为：； 当时，可能为，此时的取值为：； 综上可知：，所以集合中元素个数为5， 故选：D. 15．（2025高一·全国月考）若，则可用列举法将集合表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据元素与集合的关系，以及集合的表示方法，即可求解. 【解析】因为集合是点集或数对构成的集合，其中均属于集合， 所以用列举法可表示为． 故选：D. 16．（2025高一·全国月考）集合用列举法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合的描述法得到集合的列举法. 【解析】∵， ∴． 又， ∴． 故选：A 17．（2025高一·河南商丘月考）已知集合的元素只有一个，则实数a的值为（    ） A． B．0 C．或0 D．无解 【答案】C 【分析】集合有一个元素，即方程有一解，分， 两种情况讨论，即可得解. 【解析】集合有一个元素，即方程有一解， 当时，，符合题意， 当时，有一解， 则，解得：， 综上可得：或， 故选：C. 18．（2025高一·全国月考）由，，3组成的一个集合A，若A中元素个数不是2，则实数a的取值可以是（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】由题意判断集合的元素个数，根据集合元素的互异性，可求得a的不可能取值，即得答案. 【解析】由题意由，，3组成的一个集合A，A中元素个数不是2， 因为无解，故由，，3组成的集合A的元素个数为3， 故，即，即a可取2， 即A，B，C错误，D正确， 故选：D 19．（2024高三·全国月考）已知集合，且，则实数为（    ） A．2 B．3 C．0或3 D． 【答案】B 【分析】由题意可得或，分类讨论，结合集合元素的互异性，即可求得答案. 【解析】因为且， 所以或， ①若，此时，不满足元素的互异性； ②若，解得或3， 当时不满足元素的互异性，当时，符合题意. 综上所述，. 故选：B 20．（25-26高一·全国月考）下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由几个数集的含义逐个判断即可. 【解析】，，正确， 因为是无理数，所以． 故选：C 21．（25-26高一·全国月考）设，，若集合，则，与集合的关系是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】化简，由中元素结构即可判断. 【解析】，， 对比集合中元素的系数可得，， 故选：A 22．（2025高一·江苏南通·期中）已知，则实数的值为（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】讨论对应元素，结合集合中元素的互异性确定参数值即可. 【解析】若，显然时不符合集合元素的互异性； 若，不符合集合元素的互异性； 若或，不符合集合元素的互异性； 综上，. 故选：C 23．（25-26高一·全国月考）集合，且，则有（   ） A． B． C． D．不属于中的任意一个 【答案】B 【解析】由题知P表示偶数集，Q表示奇数集，R表示所有被4除余1的整数，所以当时，则a为偶数，b为奇数，则一定为奇数． 二、多选题 24．（2025高一·河北保定月考）下列用描述法表示的集合，正确的是（    ） A．奇数集可以表示为 B．“小于10的整数”构成的集合可以表示为 C．表示大于2的全体实数 D．不等式的解集表示为 【答案】ACD 【分析】根据描述法的特点逐项分析即可. 【解析】对A，奇数集可以表示为，故A正确； 对B，“小于10的整数”构成的集合可以表示为，故B错误； 对C，表示大于2的全体实数，故C正确； 对D，不等式的解集表示为，故D正确. 故选：ACD. 25．（2025高一·四川泸州月考）已知集合，且，则的可能取值有（    ） A．1 B．－1 C．3 D．2 【答案】AC 【分析】根据元素与集合的关系，列式求解，即可得答案. 【解析】由题意知集合，且， 故当时，； 当时，，但是时，，违反集合元素的互异性， 故m的取值可为1，3， 故选：AC 26．（2025高一·湖南邵阳月考）若对任意，，则称为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据“影子关系”集合的定义逐项分析即可. 【解析】根据“影子关系”集合的定义， 可知，，为“影子关系”集合， 由，得或，当时，，故不是“影子关系”集合． 故选：ABD 27．（25-26高一·全国月考）[多选题]已知集合，则下列四个元素中属于M的元素的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由选项代入求解出，判断出是否为有理数，逐项判断即可. 【解析】当时，有，这与矛盾，故A不正确； 因为， 当时，有，都是有理数，所以B正确； 因为，当时，有都是有理数，所以C正确； 因为， 当时，有或，与矛盾，所以D不正确． 故选：BC. 三、填空题 28．（2025高一·上海长宁·期中）所有正奇数组成的集合用描述当表示为 ． 【答案】 【分析】根据正奇数的性质进行求解即可. 【解析】因为正奇数除以，余数为， 所以所有正奇数组成的集合用描述当表示为， 故答案为： 29．（2025高一·河南月考）已知集合，写出一个满足中有 8 个元素的的值 . 【答案】 【分析】给取值，再检验的值是否满足题意即得解. 【解析】解：的值可以是，满足. 要,所以 所以集合中有 8 个元素. 故答案为：6 30．（2025高一·上海虹口·期中）集合中所有元素之和为，则实数 ． 【答案】 【分析】由得，即可求解参数． 【解析】由得或 所以， ，当时，是方程的根，解得， 当时，若方程的一根为1，则，方程的另一根为4，不合题意； 若1不是方程的根，则方程两根，此时不满足，舍去. 故答案为：． 31．（2025高一·全国月考）集合表示的是 . 【答案】第三象限内点的集合 【分析】由集合中的不等式，解出的取值范围，确定点所在的区域. 【解析】由，解得，则集合表示的是第三象限内点的集合. 故答案为：第三象限内点的集合 32．（2025高一·四川月考）设集合，则用列举法表示集合A为 . 【答案】 【分析】根据自然数集与整数集的概念分析集合A中的元素即可. 【解析】要使，则可取，又，则可取， 故答案为：. 33．（2025高一·全国月考）数集中的元素a不能取的值是 . 【答案】0，1，2， 【分析】根据集合中的元素满足互异性即可列不等式求解. 【解析】由集合中的元素满足互异性可知，解得且且且 故答案为：0，1，2， 34．（25-26高一·全国月考）已知集合，则实数a的值为 ． 【答案】或5 【分析】由元素与集合的关系建立方程，再由集合元素的互异性排除错误答案，即可得到结果. 【解析】依题意，当时，或． 若，则，符合题意； 若，则，对于集合B，不满足集合中元素的互异性，所以不符合． 当时，或． 若，则，对于集合A，不满足集合中元素的互异性，所以不符合； 若，则，，符合题意． 综上所述，a的值为或5． 故答案为：或5． 四、解答题 35．（2025高一·江苏月考）用列举法表示下列集合： （1） 满足的x值组成的集合； （2） 方程x2＋x＋1＝0的根组成的集合； （3） 不大于15的正奇数组成的集合； （4） 不大于10的正偶数组成的集合． 【答案】答案见解析 【分析】根据列举法的定义逐一求解即可 【解析】（1）因为满足的x值组成有1，2，3，4，5，6，7， 所以满足的x值组成的集合为{1， 2， 3， 4， 5， 6， 7}． （2）因为方程x2＋x＋1＝0无解，所以方程x2＋x＋1＝0的根组成的集合为． （3）因为不大于15的正奇数有，1，3，5，7，9，11，13，15 ， 所以不大于15的正奇数组成的集合为{1， 3， 5， 7， 9， 11， 13， 15}． （4）因为不大于10的正偶数有2，4，6，8，10， 所以不大于10的正偶数组成的集合为{2， 4， 6， 8， 10}． 36．（2025高一·江苏·假期作业）若集合中有2个元素，求k的取值范围． 【答案】且． 【分析】根据一元二次方程根的情况即可由判别式求解. 【解析】由题意得且，解得且. 故实数k的取值范围为且． 37．（2025高一·黑龙江月考）已知集合，若，求实数a的取值集合． 【答案】 【分析】让集合中每个元素等于1，求出值，然后检验是否符合互异性即可得 【解析】解：因为，所以 ①若，解得，此时集合为，元素重复，所以不成立，即 ②若，解得或，当时，集合为，满足条件，即成立． 当时，集合为，元素重复，所以不成立，即 ③若，解得或，由①②知都不成立． 所以满足条件的实数的取值集合为 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$