3.1.1 函数的概念13题型分类（讲+练）-2025年《解题秘籍》高一数学暑假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册）

2025-2026学年《解题秘籍》高一数学暑假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 3.1.1 函数的概念13题型分类 课程标准 学习目标 ①函数的概念； ②了解函数的三要素； ③掌握简单函数的定义域； ④掌握求函数的值； ⑤掌握区间的写法. 通过本节课的学习，掌握函数概念及函数的三要素，会判断同一函数，会求简单函数的定义域及值域. 一、函数的概念 (1)函数的概念 函数的定义 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 函数的记法 y＝f(x)，x∈A 定义域 x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域 函数值 与x的值相对应的y值 值域 函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域，显然，值域是集合B的子集 (2)函数的三要素：定义域、对应关系、值域是函数的三要素，缺一不可． 二、区间的概念 (1)设a，b是两个实数，而且a<b.我们规定： ①满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a，b]； ②满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为(a，b)； ③满足不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a，b)，(a，b]. 这里的实数a与b都叫做相应区间的端点. 实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”． 满足x≥a，x>a，x≤b，x<b的实数x的集合，用区间分别表示为[a，＋∞)，(a，＋∞)，(－∞，b]，(－∞，b). (2)区间的几何表示 在用数轴表示区间时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点． 区间 数轴表示 [a，b] (a，b) [a，b) (a，b] (3)含“∞”的区间的几何表示 区间 数轴表示 [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，b] (－∞，b) 注意：(1)无穷大“∞”只是一个符号，而不是一个数，因而它不具备数的一些性质和运算法则． (2)以“－∞”或“＋∞”为区间一端时，这一端必须用小括号． 三、同一个函数的判定 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值相同，那么这两个函数是同一个函数． 四、常见函数的值域 (1)一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)的定义域为R，值域是R. (2)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定义域是R，当a>0时，值域为，当a<0时，值域为. （一） 函数关系的判断 1、判断一个对应关系是否是函数的两个条件 (1)A，B必须是非空数集． (2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与其对应． 对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系． 2、根据图形判断对应关系是否为函数的方法 (1)任取一条垂直于x轴的直线l. (2)在定义域内平行移动直线l. (3)若直线l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数，如图所示： 题型1：函数关系的判断 1．（2025高一·全国月考）下列表示函数图象的是（   ） A．   B．   C．   D．   2．（25-26高一·全国月考）如果记圆周率小数点后第n位上的数字为y，那么以下说法正确的为（   ） A．y不是n的函数 B．y是n的函数，定义域是 C．y是n的函数，值域是 D．y是n的函数，但该函数值域不确定 3．（2025·山东·模拟预测）下列图象中，能表示函数图象的是（    ）    A．①② B．②③ C．②④ D．①③ 4．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知集合，是的函数，且满足，则这样的函数的个数为（     ） A．31 B．33 C．41 D．133 （二） 求函数的定义域 求函数定义域的常用方法 (1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零． (2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零． (3)若f(x)是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合． (4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集． (5)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义． 注：求定义域时要将结果写成集合或区间形式. 题型2：求具体函数的定义域 5．（2025·全国）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 6．（2025高二·浙江温州·期末）若集合，则（   ） A． B． C． D． 7．（2025高一·河南周口·期中）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 8．（2025高一·全国月考）求下列函数的定义域． (1)； (2)； (3)； (4)． 9．（2025高二·广西梧州·期末）函数的定义域是 ． 10．（2025高一·全国月考）若，则 ． 题型3：求抽象函数的定义域 11．（2025高一·全国·周测）（1）已知函数的定义域为，求的定义域； （2）已知函数的定义域为，求的定义域. 12．（2025高一·江苏月考）（1）已知函数f(x)的定义域为[2，3]，求函数f(2x-3)的定义域； （2）已知函数f(2x-3)的定义域为[1，2]，求函数f(x)的定义域． 13．（2025高一·重庆南岸月考）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 14．（2025高二·天津河东月考）已知函数的定义域为，函数的定义域是 ． 15．（2025高二·天津静海月考）已知的定义域为，函数的定义域为 ． 16．（2025高一·河南漯河月考）已知函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 17．（2025高二·江苏无锡月考）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 题型4：实际问题中的定义域 18．（2025高一·四川成都·期中）一枚炮弹发射后，经过落到地面击中目标．炮弹的射高为，且炮弹距地面的高度（单位：）与时间（单位：）的关系为．该函数定义域为（    ） A． B． C． D． 19．（2025高一·重庆·期中）为应对疫情需要，某医院需要临时搭建一处面积为10000平方米的矩形隔离病区（图中大矩形），划分两个完全相同的长方形工作区域（图中两小矩形），分别为观察区和治疗区，根据防疫要求，为方便救护车出入所有内部通道（图中阴影区域）的宽度为6米. (1)设隔离病区的长x米，将工作区的面积表示为x的函数f（x），并求出定义域 (2)应该如何设计该隔离病区的长，才能使工作区域的总面积最大？ 20．（2025高一·山东烟台月考）如图，某小区有一块底边和高均为40m的锐角三角形空地，现规划在空地内种植一边长为x（单位：m）的矩形草坪（阴影部分），要求草坪面积不小于，则x的取值范围为 . 21．（2025高一·福建泉州月考）已知等腰三角形的周长为40，设其底边长为ycm，腰长为xcm.则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 题型5：已知函数定义域求参数 22．（2025高二·江西·期末）若函数的定义域为，则实数的取值范围是 . 23．（25-26高一·全国月考）若函数的定义域为，则实数a的取值范围是 ． 24．（2026高三·全国月考）已知函数的定义域是，则实数的取值范围是 ． 25．（2025高一·贵州毕节·期末）已知函数的定义域是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． （三） 已知自变量的值求函数值 函数求值的方法 ①求f(a)：已知f(x)时，只需用a替换f(x)中的x即得f(a)的值； ②求f(g(a))：已知f(x)与g(x)，求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则． 注：函数求值的关注点用来替换f(x)中x的数a必须是函数定义域内的值，否则函数无意义． 题型6：求函数值 26．（2025高二·江西南昌·期末）已知函数的定义域为，，则（   ） A．1 B． C． D． 27．（25-26高一·全国月考）已知定义在上的函数满足，则 ， ． 28．（2025高二·广东云浮·期末）若函数，则 ． 29．（25-26高一·全国月考）已知函数． (1)求的值； (2)求证：是定值； (3)求的值． 题型7：根据函数值求自变量或参数 30．（25-26高一·全国月考）已知函数，且，则实数 ． 31．（2025高一·辽宁辽阳·期中）已知函数，且，则（   ） A． B．3 C． D．17 32．（2025高一·全国月考）已知函数，，则（    ） A．或3 B．1或3 C． D．3 33．（2025高一·北京·期中）若函数和分别由下表给出： 1 2 3 4 2 3 4 1 1 2 3 4 2 1 4 3 满足的值是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 （四） 区间的应用 用区间表示数集的方法 (1)区间左端点值小于右端点值； (2)区间两端点之间用“，”隔开； (3)含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号； (4)以“－∞”“＋∞”为区间的一端时，这端必须用小括号． 注：区间是数集的另一种表示方法，但并不是任何数集都能用区间表示，如集合{0},Z,Q等就不能用区间表示. 题型8：集合与区间的转化 34．（25-26高一·上海·假期作业）下列叙述正确的是（　　） A．用区间可表示为 B．用区间可表示为 C．用集合可表示为 D．用集合可表示为 35．（2025高一·黑龙江哈尔滨·期中）已知区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 36．（25-26高一·全国月考）将数集用区间表示为 ． 37．（2025高一·全国月考）用区间表示下列数集. (1)； (2)； (3)； (4)； (5)或. 38．（2025高一·全国月考）将下列集合用区间以及数轴表示出来： (1)； (2)或； (3)且； (4). 39．（2025高一·湖南·期中）已知区间内有且仅有4个整数，则的取值范围为 . （五） 同一个函数的判定 判断两个函数为同一个函数的条件： (1)判断两个函数是同一个函数的准则是两个函数的定义域和对应关系分别相同．定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一个函数． (2)函数是两个实数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的．另外，在化简解析式时，必须是等价变形． 题型9：判断两个函数为同一个函数 40．（2025高一·河北承德月考）下列各组函数中，表示同一个函数的是（    ） A．y=x-1和y= B．y=x0和y=1 C．f(x)=x2和g(x)=(x+1)2 D．f(x)=和g(x)= 41．（2025高一·江苏月考）判断下列各组函数是否是同一个函数，并说明理由： （1），；    （2），，； （3），；        （4），. 42．（2025高一·全国月考）下列函数中哪个与函数是相同的函数？ （1）； （2）； （3）； （4）. 43．（2025高一·河北保定月考）下列各组函数表示同一函数的是（    ） A． B． C． D． 44．（2025高一·四川绵阳月考）下列表示是同一个函数的是（    ） A． B． C．， D． （六） 求函数的值域 求函数值域的原则及常用方法 (1)原则：①先确定相应的定义域；②再根据函数的具体形式及运算法则确定其值域． (2)常用方法 ①观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察法得到． ②配方法：是求“二次函数”类值域的基本方法． ③换元法：运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．对于f(x)＝ax＋b＋(其中a，b，c，d为常数，且ac≠0)型的函数常用换元法． ④分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域． 题型10：常见（一次，二次，反比例）函数的值域 45．（2025高一·上海月考）若集合，则 . 46．（25-26高一·全国月考）若函数的定义域为，则其值域为 ． 47．（2025高一·福建漳州月考）函数的值域 ． 48．（2025·陕西西安·模拟预测）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 49．（2025高二·江西南昌·期末）已知函数 ，则函数的值域为 ． 题型11：根式型函数的值域 50．（25-26高一·全国月考）（1）已知的定义域为，求的定义域． （2）求下列函数的值域： ①； ②． 51．（2025高三·全国月考）函数的值域为 ． 52．（2025高一·辽宁朝阳·期末）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 53．（2025高一·吉林四平月考）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 54．（2025高一·江苏无锡月考）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 55.（2024高三·全国月考）求函数的最值. 题型12：分式型函数的值域 56．（2025高二·广西南宁·期末）若，则函数的值域为 ． 57．（2025高一·全国月考）求下列函数的值域： (1)； (2)． 58．（2025高三·全国月考）函数的最大值为 ． 59．（2025高二·上海·期中）函数的值域是 . 60．（2025高三·山西月考）已知函数，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D．4 61．（2024高三·全国月考）函数的值域为 ． 题型13：已知函数的值域求参数 62．（2025高三·全国月考）已知函数的值域是，则 ， ． 63．（2025高一·上海月考）已知，若函数的值域为，则的取值范围是 ． 64．（2024高三·全国月考）已知函数的值域为，则k的取值范围是 ． 65．（2025高一·福建福州月考）已知函数的定义域是，值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 66．（2025高二·上海·期末）若函数的定义域与值域都是，则实数 ． 一、单选题 1．（2025高一·全国月考）函数的定义域是（   ） A． B． C．，且 D．，且 2．（2025高一·福建福州·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．（2025高一·河南周口·期中）下列四个图形中，不是以为自变量的函数的图象是（    ） A． B． C． D． 4．（2025高一·全国月考）函数的定义域是（    ） A． B．或 C．或 D． 5．（2025高一·浙江月考）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 6．（2025高一·陕西西安月考）给定的下列四个式子中，能确定是的函数的是（    ） A． B． C． D． 7．（2025高三·福建厦门月考）若函数的值域是，则此函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 8．（2025高一·贵州六盘水月考）下列各组中的两个函数为同一函数的是（    ） A． B． C． D． 9．（2025高一·浙江嘉兴月考）下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 10．（2025高一·贵州黔东南月考）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 11．（2025高二·河南商丘·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 12．（2025高一·吉林通化月考）函数定义在上，则函数图象与直线的交点个数有(    ) A．个 B．个 C．个 D．不能确定 13．（25-26高一·全国月考）已知函数，其中表示不超过x的最大整数，当时，下列函数中，其值域与的值域不相同的函数为（   ） A． B． C． D． 14．（25-26高一·全国月考）已知函数的定义域和值域均为，则下列说法错误的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数的定义域为 C．函数的值域为 D．函数的值域为 15．（2025高一·全国月考）已知函数的定义域为，值域为R，则（    ） A．函数的定义域为R B．函数的值域为R C．函数的定义域和值域都是R D．函数的定义域和值域都是R 二、多选题 16．（2025高一·广东广州月考）下列函数是同一函数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 17．（2025高一·安徽铜陵·期末）设，下列选项能表示从集合A到集合B的函数关系的是（    ） A．B．C． D． 18．（2025·新疆喀什·模拟预测）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 19．（2025高一·广东广州·期末）已知函数的定义域为，且当时，，则下列结论中一定正确的有（   ） A． B． C． D． 三、填空题 20．（2025高一·全国月考）下列各对函数中是同一个函数的是 (填序号)． ①与； ②与； ③与； ④与. 21．（2025高二·河北沧州月考）函数的定义域是 . 22．（2025高二·上海·期末）已知函数，若满足，则 ． 23．（2025高二·浙江丽水·期末）已知定义在上的函数的值域是，则函数的值域是 . 24．（2025高一·全国月考）已知函数的定义域是，则函数的定义域是 ． 25．（2025高一·江苏·单元测试）函数的值域为 ． 四、解答题 26．（2025高一·全国月考）试判断下列函数是否为同一函数. （1），； （2），； （3），； （4），. 27．（2025高一·全国·课堂例题）求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)，； (4)． 28．（2025高一·陕西渭南月考）求下列函数的定义域 (1) (2) 29．（2025高一·全国月考）已知函数的定义域为R，求实数k的取值范围． 30．（2025高一·浙江杭州·期中）求下列函数的值域： (1) (2) (3) 31．（2025高一·山西晋中·期中）（1）求下列函数的定义域： ①； ② （2）设，解关于的不等式. 32．（25-26高一·全国月考）（1）已知函数． ①若的定义域为，求实数m的值； ②若的定义域为，求实数m的取值范围． （2）已知函数的定义域是，求函数的定义域． （3）已知函数的定义域为，求函数的定义域． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2025-2026学年《解题秘籍》高一数学暑假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 3.1.1 函数的概念13题型分类 课程标准 学习目标 ①函数的概念； ②了解函数的三要素； ③掌握简单函数的定义域； ④掌握求函数的值； ⑤掌握区间的写法. 通过本节课的学习，掌握函数概念及函数的三要素，会判断同一函数，会求简单函数的定义域及值域. 一、函数的概念 (1)函数的概念 函数的定义 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 函数的记法 y＝f(x)，x∈A 定义域 x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域 函数值 与x的值相对应的y值 值域 函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域，显然，值域是集合B的子集 (2)函数的三要素：定义域、对应关系、值域是函数的三要素，缺一不可． 二、区间的概念 (1)设a，b是两个实数，而且a<b.我们规定： ①满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a，b]； ②满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为(a，b)； ③满足不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a，b)，(a，b]. 这里的实数a与b都叫做相应区间的端点. 实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”． 满足x≥a，x>a，x≤b，x<b的实数x的集合，用区间分别表示为[a，＋∞)，(a，＋∞)，(－∞，b]，(－∞，b). (2)区间的几何表示 在用数轴表示区间时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点． 区间 数轴表示 [a，b] (a，b) [a，b) (a，b] (3)含“∞”的区间的几何表示 区间 数轴表示 [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，b] (－∞，b) 注意：(1)无穷大“∞”只是一个符号，而不是一个数，因而它不具备数的一些性质和运算法则． (2)以“－∞”或“＋∞”为区间一端时，这一端必须用小括号． 三、同一个函数的判定 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值相同，那么这两个函数是同一个函数． 四、常见函数的值域 (1)一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)的定义域为R，值域是R. (2)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定义域是R，当a>0时，值域为，当a<0时，值域为. （一） 函数关系的判断 1、判断一个对应关系是否是函数的两个条件 (1)A，B必须是非空数集． (2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与其对应． 对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系． 2、根据图形判断对应关系是否为函数的方法 (1)任取一条垂直于x轴的直线l. (2)在定义域内平行移动直线l. (3)若直线l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数，如图所示： 题型1：函数关系的判断 1．（2025高一·全国月考）下列表示函数图象的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据函数的定义对图象一一判断即可. 【解析】在函数的基本概念中，自变量和因变量需要一一对应，且对于每个值，仅有一个值对应， 所以选项ABD均不符合. 故选：C. 2．（25-26高一·全国月考）如果记圆周率小数点后第n位上的数字为y，那么以下说法正确的为（   ） A．y不是n的函数 B．y是n的函数，定义域是 C．y是n的函数，值域是 D．y是n的函数，但该函数值域不确定 【答案】B 【解析】对于给定的任意一个n的值，显然有唯一的y值与之对应，所以y是n的函数，故A错误；n的取值为正整数，所以定义域是，故B正确；根据定义可知值域为，故C错误，D错误． 3．（2025·山东·模拟预测）下列图象中，能表示函数图象的是（    ）    A．①② B．②③ C．②④ D．①③ 【答案】D 【分析】根据函数的定义判断可得出结论. 【解析】解：∵一个只能对应一个，∴①③符合题意， 对于②中，当时，一个对应两个，不符合函数的定义； 对于④中，当时，一个对应两个，不符合函数的定义. 故选：D． 4．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知集合，是的函数，且满足，则这样的函数的个数为（     ） A．31 B．33 C．41 D．133 【答案】C 【分析】由知，且不能只，中至少还要有1个函数值等于1，然后进行分类列举即可. 【解析】因为，若，则，所以， 若仅，设，则， 所以函数不能仅有，在中至少还要有1个函数值等于1，具体分类如下： 1、若5个函数值都为1，此时共有1种情况； 2、若仅有4个函数值为1,又，4个中取3个函数值为1有种，另一个的取值有3种情况，此时共有种； 3、若仅有3个函数值为1，4个中取2个函数值为1有种，另外2个的取值有种，此时共有种； 4、若仅有2个函数值为1，4个中取1个函数值为1有种，另3个的取值有1种，此时有种情况； 综上共有， 故选：C. （二） 求函数的定义域 求函数定义域的常用方法 (1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零． (2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零． (3)若f(x)是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合． (4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集． (5)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义． 注：求定义域时要将结果写成集合或区间形式. 题型2：求具体函数的定义域 5．（2025·全国）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数有意义求解即可. 【解析】由，得， 所以函数的定义域为. 故选：C. 6．（2025高二·浙江温州·期末）若集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先化简求解集合、，再求即可. 【解析】因为集合，集合， 所以. 故选：C 7．（2025高一·河南周口·期中）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数表达式即可得出定义域. 【解析】由题意， 在中， 解得：且， 故选：D. 8．（2025高一·全国月考）求下列函数的定义域． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）（2）（3）（4）根据函数解析式有意义列不等式组求解即可. 【解析】（1）由题意，知，解得且且， ∴其定义域为． （2）由题意，知解得，∴其定义域为． （3）依题意，知，解得，且， ∴其定义域为． （4）由题意，知，解得，且，且， ∴其定义域为． 9．（2025高二·广西梧州·期末）函数的定义域是 ． 【答案】 【分析】由题意列出不等式即可求解. 【解析】由题意，解得且，所以函数的定义域是. 故答案为：. 10．（2025高一·全国月考）若，则 ． 【答案】－3 【分析】根据二次根式的被开方数不小于零，列不等式组求得，继而得，即可得解. 【解析】由题意可知：，解得：， ，． 故答案为：. 题型3：求抽象函数的定义域 11．（2025高一·全国·周测）（1）已知函数的定义域为，求的定义域； （2）已知函数的定义域为，求的定义域. 【答案】（1）{，或}；（2） 【分析】（1）根据的定义域列不等式求解x，即为的定义域； （2）由的定义域可得，求出的范围即为的定义域. 【解析】（1）的定义域为， 要使有意义，须使，即或， 函数的定义域为{，或}. （2）的定义域为，即其中的函数自变量的取值范围是， 令，，的定义域为， 函数的定义域为. 12．（2025高一·江苏月考）（1）已知函数f(x)的定义域为[2，3]，求函数f(2x-3)的定义域； （2）已知函数f(2x-3)的定义域为[1，2]，求函数f(x)的定义域． 【答案】（1）；（2）[-1，1]． 【分析】(1)根据复合函数的意义列出不等式组，求解即得； (2)根据复合函数的意义求出函数2x-3在区间[1，2]上的值域即可. 【解析】（1）因为函数f(x)的定义域为[2，3]，则在函数f(2x-3)中，有2≤2x-3≤3，解得， 所以函数f(2x-3)的定义域为； （2）因为函数f(2x-3)的定义域为[1，2]，即1≤x≤2，则2x∈[2，4]，2x-3∈[-1，1]， 所以f(x)的定义域为[-1，1]. 13．（2025高一·重庆南岸月考）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的定义域求出中的范围，结合分母不为，求出函数的定义域即可． 【解析】由题意得，解得， 又，解得， 故函数的定义域是 ． 故选：D． 14．（2025高二·天津河东月考）已知函数的定义域为，函数的定义域是 ． 【答案】 【分析】根据抽象函数的定义域求解. 【解析】因为函数的定义域为， 所以，所以， 对于函数，有， 即函数的定义域为. 故答案为： 15．（2025高二·天津静海月考）已知的定义域为，函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据题意列不等式组求函数的定义域. 【解析】要使函数有意义，须有： ，所以或. 所以所求函数的定义域为：. 故答案为： 16．（2025高一·河南漯河月考）已知函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合复合函数的定义域，建立使各个式子有意义的不等式求解可得. 【解析】由有意义，可得，解得. 要使函数有意义， 则，解得. 对函数，定义域为自变量的取值范围， 其中集合为非空数集， 所以函数的定义域为. 故A错误，D正确. 故选：D. 17．（2025高二·江苏无锡月考）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据的定义域以及分式中分母不为0和平方根式下大于0即可直接计算出结果. 【解析】因为函数的定义域为， 所以的定义域需满足： ，解得. 故选：D. 题型4：实际问题中的定义域 18．（2025高一·四川成都·期中）一枚炮弹发射后，经过落到地面击中目标．炮弹的射高为，且炮弹距地面的高度（单位：）与时间（单位：）的关系为．该函数定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据实际意义分析即可. 【解析】由题意可知，炮弹发射后共飞行了， 所以，即函数的定义域为. 故选：C 19．（2025高一·重庆·期中）为应对疫情需要，某医院需要临时搭建一处面积为10000平方米的矩形隔离病区（图中大矩形），划分两个完全相同的长方形工作区域（图中两小矩形），分别为观察区和治疗区，根据防疫要求，为方便救护车出入所有内部通道（图中阴影区域）的宽度为6米. (1)设隔离病区的长x米，将工作区的面积表示为x的函数f（x），并求出定义域 (2)应该如何设计该隔离病区的长，才能使工作区域的总面积最大？ 【答案】(1),定义域为； (2)米时面积最大 【分析】（1）根据题意，列出关系式即可；（2）根据基本不等式，即可求出最值. 【解析】（1）设隔离病区的长为x米，由面积为10000平方米，得宽为米， 由题意知，，解得， 所以，， 定义域为 （2）由（1）知，, 当且仅当，，即时，等号成立. 所以，当该隔离病区的长为，才能使工作区域的总面积最大. 20．（2025高一·山东烟台月考）如图，某小区有一块底边和高均为40m的锐角三角形空地，现规划在空地内种植一边长为x（单位：m）的矩形草坪（阴影部分），要求草坪面积不小于，则x的取值范围为 . 【答案】 【分析】由三角形相似得，再根据面积不小于，即可求得x的取值范围. 【解析】设矩形另一边的长为m， 由三角形相似得：，（）, 所以, 所以矩形草坪的面积， 解得：. 故答案为： 21．（2025高一·福建泉州月考）已知等腰三角形的周长为40，设其底边长为ycm，腰长为xcm.则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角形三边关系即可得到函数的定义域. 【解析】由题知：，， 根据三角形三边关系得到， 所以函数的定义域为. 故选：A 题型5：已知函数定义域求参数 22．（2025高二·江西·期末）若函数的定义域为，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题可得在上恒成立，利用数形结合思想列出不等式求解即得. 【解析】因函数的定义域为 则在内恒成立， 故需使，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 23．（25-26高一·全国月考）若函数的定义域为，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【解析】若函数的定义域为，则对任意恒成立．当时，不等式化为，恒成立；当时，需满足，解得．综上所述，实数a的取值范围是． 24．（2026高三·全国月考）已知函数的定义域是，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分析可知对任意实数都成立，分和两种情况，结合判别式列式求解. 【解析】由题意得对任意实数都成立， 当时，，符合题意； 当时，满足，解得； 综上所述，实数的取值范围为． 故答案为：． 25．（2025高一·贵州毕节·期末）已知函数的定义域是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将定义域是的问题转化为不等式恒成立，对是否为零进行分类讨论即可求得结果. 【解析】根据题意对于恒成立； 当时，显然成立，可得符合题意； 当时，若满足题意可得，解得； 当时，若满足题意可得，此时无解； 综上可得，的取值范围是. 故选：C （三） 已知自变量的值求函数值 函数求值的方法 ①求f(a)：已知f(x)时，只需用a替换f(x)中的x即得f(a)的值； ②求f(g(a))：已知f(x)与g(x)，求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则． 注：函数求值的关注点用来替换f(x)中x的数a必须是函数定义域内的值，否则函数无意义． 题型6：求函数值 26．（2025高二·江西南昌·期末）已知函数的定义域为，，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】借助赋值法，分别令及，可得求得答案. 【解析】令，得①； 令，得②， 由得. 故选：A. 27．（25-26高一·全国月考）已知定义在上的函数满足，则 ， ． 【答案】 1 【解析】因为，令，得，所以．令，得①，令，得②，，得，解得． 28．（2025高二·广东云浮·期末）若函数，则 ． 【答案】/ 【分析】令，则，代入计算即可求解. 【解析】令，则，则． 故答案为： 29．（25-26高一·全国月考）已知函数． (1)求的值； (2)求证：是定值； (3)求的值． 【答案】(1)1；1 (2)证明见解析 (3)1098 【解析】（1）解：因为， 所以， ． （2）证明：． （3）解：由（2）知，所以，所以． 题型7：根据函数值求自变量或参数 30．（25-26高一·全国月考）已知函数，且，则实数 ． 【答案】或4或 【解析】令，则，解得或0．由，得，解得．由得，解得或． 故答案为：或4或 31．（2025高一·辽宁辽阳·期中）已知函数，且，则（   ） A． B．3 C． D．17 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用赋值法代入计算得解. 【解析】函数，令，则，而， 所以. 故选：B 32．（2025高一·全国月考）已知函数，，则（    ） A．或3 B．1或3 C． D．3 【答案】D 【分析】根据题意，再用计算即可. 【解析】令，解得，则，则． 故选：D. 33．（2025高一·北京·期中）若函数和分别由下表给出： 1 2 3 4 2 3 4 1 1 2 3 4 2 1 4 3 满足的值是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】从外到内逐步求值． 【解析】根据题意，， 则，所以. 故选：B （四） 区间的应用 用区间表示数集的方法 (1)区间左端点值小于右端点值； (2)区间两端点之间用“，”隔开； (3)含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号； (4)以“－∞”“＋∞”为区间的一端时，这端必须用小括号． 注：区间是数集的另一种表示方法，但并不是任何数集都能用区间表示，如集合{0},Z,Q等就不能用区间表示. 题型8：集合与区间的转化 34．（25-26高一·上海·假期作业）下列叙述正确的是（　　） A．用区间可表示为 B．用区间可表示为 C．用集合可表示为 D．用集合可表示为 【答案】D 【分析】根据区间的概念逐项判断即可． 【解析】对于选项A，用区间可表示为，故A错误； 对于选项B，用区间可表示为，故B错误； 对于选项C，用集合可表示为，故C错误； 对于选项D，用集合可表示为，故D正确． 故选：D． 35．（2025高一·黑龙江哈尔滨·期中）已知区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据区间的定义，即可列式求解. 【解析】根据区间的定义，可知，得. 故选：A 36．（25-26高一·全国月考）将数集用区间表示为 ． 【答案】 【分析】由区间的定义可得. 【解析】由区间的定义可得，数集可表示为. 故答案为： 37．（2025高一·全国月考）用区间表示下列数集. (1)； (2)； (3)； (4)； (5)或. 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】根据集合与区间的关系求得正确答案. 【解析】（1）集合为，对应区间为. （2）集合为，对应区间为. （3）集合为，对应区间为. （4）集合为，对应区间为. （5）集合为或，对应区间为. 38．（2025高一·全国月考）将下列集合用区间以及数轴表示出来： (1)； (2)或； (3)且； (4). 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【分析】根据集合、区间以及数轴的知识确定正确答案. 【解析】（1）用区间表示为，用数轴表示如图：    （2）或用区间表示为，用数轴表示如图：    （3）且用区间表示为，用数轴表示如图:    （4）用区间表示为，用数轴表示如图：    39．（2025高一·湖南·期中）已知区间内有且仅有4个整数，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据题意，由条件可得区间长度为，然后分，以及讨论，分别计算，即可得到结果. 【解析】由题意可得，且区间中有4个整数， 易知任意区间的区间长度为， 当时，的区间长度为， 此时中不可能有4个整数； 当时，，其中含有4、5、6、7四个整数，符合题意； 当时，的区间长度大于3， 若的区间长度，即， 若是整数，则区间中含有4个整数， 根据可知，则， 此时，其中含有5、6、7、8四个整数，符合题意； 若不是整数，则区间中含有5、6、7、8四个整数， 则必须有且，解得； 若时，，其中含有5、6、7、8、9五个整数，不符合题意； 若时，的区间长度， 此时中有6、7、8、9这四个整数，故，即， 结合，得； 综上所述，或或. 故答案为：. （五） 同一个函数的判定 判断两个函数为同一个函数的条件： (1)判断两个函数是同一个函数的准则是两个函数的定义域和对应关系分别相同．定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一个函数． (2)函数是两个实数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的．另外，在化简解析式时，必须是等价变形． 题型9：判断两个函数为同一个函数 40．（2025高一·河北承德月考）下列各组函数中，表示同一个函数的是（    ） A．y=x-1和y= B．y=x0和y=1 C．f(x)=x2和g(x)=(x+1)2 D．f(x)=和g(x)= 【答案】D 【分析】利用同一函数的定义逐一分析各个选项即可判断作答. 【解析】对于A，函数y=x-1定义域是R，函数y=定义域是，A不是； 对于B，定义域是，函数y=1定义域是R，B不是； 对于C，和对应法则不同，C不是； 对于D，f(x)= 和g(x)=定义域都是，并且对应法则相同，D是. 故选：D 41．（2025高一·江苏月考）判断下列各组函数是否是同一个函数，并说明理由： （1），；    （2），，； （3），；        （4），. 【答案】答案见解析. 【分析】根据函数的三要素：定义域，对应关系，值域是否相同来判断即可. 【解析】（1）函数的定义域为R，的定义域为， 所以两者不是同一个函数. （2）函数的定义域为R，，的定义域为，定义域不同，所以两者不是同一个函数. （3）定义域，对应关系，值域均相同，所以两者是同一个函数. （4）定义域，对应关系，值域均相同，所以两者是同一个函数. 42．（2025高一·全国月考）下列函数中哪个与函数是相同的函数？ （1）； （2）； （3）； （4）. 【答案】（1）不是相同函数；（2）是相同函数；（3）不是相同函数；（4）不是相同函数. 【分析】根据同一函数的判定方法，逐项判定，即可求解. 【解析】（1）中，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同，所以不是相同的函数； （2）中，函数与的定义域与对应法则都相同，所以是相同的函数； （3）中，函数与的对应法则不同，所以是不是相同的函数； （4）中，函数与的定义域与对应法则都不相同，所以是不是相同的函数. 【点睛】本题主要考查了同一函数的概念及判定，其中解答中熟记同一函数的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 43．（2025高一·河北保定月考）下列各组函数表示同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用同一函数的定义，逐项分析判断. 【解析】对于A，的定义域为R，的定义域为，A不是； 对于B，的定义域均为R，且，B是； 对于C，的定义域为R，的定义域为，C不是； 对于D，的定义域为R，的定义域为，D不是. 故选：B 44．（2025高一·四川绵阳月考）下列表示是同一个函数的是（    ） A． B． C．， D． 【答案】C 【分析】根据定义域和对应法则是否相同逐项判断后可得正确的选项. 【解析】对于A，的定义域为，的定义域为， 故不是同一函数，故A错误； 对于B，的定义域为，的定义域为， 故不是同一函数，故B错误； 对于C，两个函数的定义域都为，且对应法则也相同，故两个函数为同一函数， 故C正确； 对于D，的定义域为，的定义域为， 故不是同一函数，故D错误； 故选：C. （六） 求函数的值域 求函数值域的原则及常用方法 (1)原则：①先确定相应的定义域；②再根据函数的具体形式及运算法则确定其值域． (2)常用方法 ①观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察法得到． ②配方法：是求“二次函数”类值域的基本方法． ③换元法：运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．对于f(x)＝ax＋b＋(其中a，b，c，d为常数，且ac≠0)型的函数常用换元法． ④分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域． 题型10：常见（一次，二次，反比例）函数的值域 45．（2025高一·上海月考）若集合，则 . 【答案】 【分析】根据题意分别求集合和集合，然后通过并集求解即可 【解析】由题意， 因为，所以， 因为，所以，即. 所以. 故答案为：. 46．（25-26高一·全国月考）若函数的定义域为，则其值域为 ． 【答案】 【解析】当时，；当时，；当时，；当时，．所以值域为． 47．（2025高一·福建漳州月考）函数的值域 ． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质求解即可. 【解析】函数的对称轴为，开口向下， 且时，；时，；时，， 则函数的最小值为0，最大值为4， 所以的值域为. 故答案为：. 48．（2025·陕西西安·模拟预测）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求得两函数的值域，利用交集的定义计算即可. 【解析】因为，所以，，所以， 所以. 故选：A. 49．（2025高二·江西南昌·期末）已知函数 ，则函数的值域为 ． 【答案】 【分析】根据二次函数以及根式可得，进而可得结果. 【解析】令，可得， 所以函数的定义域为 ， 因为，当且仅当时，等号成立， ，则， 所以函数的值域为. 故答案为：. 题型11：根式型函数的值域 50．（25-26高一·全国月考）（1）已知的定义域为，求的定义域． （2）求下列函数的值域： ①； ②． 【答案】（1） ；（2）① ；② ． 【解析】解：（1）在函数中，，则．因此在函数中，，解得，所以函数的定义域为． （2）①函数的定义域为，，当且仅当时，等号成立，所以函数的值域为． ②函数的定义域为，，当且仅当时，等号成立，所以函数的值域为． 51．（2025高三·全国月考）函数的值域为 ． 【答案】 【分析】首先求出函数的定义域，然后将函数平方，利用二次函数的性质即可求解． 【解析】由题意可得，解得，即函数定义域为， 则， 当时，取最小值0，故取到最大值4， 则函数的最大值为2； 当时，取最大值1，故取到最小值2， 则函数的最小值为； 故答案为：. 52．（2025高一·辽宁朝阳·期末）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】换元法，令，得到，从而得到函数值域. 【解析】令，则， 则， 故当时，取得最大值，最大值为， 所以的值域为. 故选：D 53．（2025高一·吉林四平月考）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出函数的定义域，将函数变形成，再结合二次函数值域求解. 【解析】函数中，，， 则 ， 而，因此， 所以函数的值域为. 故选：A 54．（2025高一·江苏无锡月考）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用换元法并根据二次函数性质计算可得结果. 【解析】令，则可得，即， 可得， 当时，取得最大值2，即； 所以其值域为. 故选：A 55.（2024高三·全国月考）求函数的最值. 【答案】最小值为，最大值为 【分析】将函数两边同时平方，然后利用二次函数的性质求值域即可. 【解析】由已知得函数的定义域为， 由可得， 又，所以， 可得， 又，可得， 所以函数的最小值为，最大值为. 题型12：分式型函数的值域 56．（2025高二·广西南宁·期末）若，则函数的值域为 ． 【答案】 【分析】化简函数解析式为，结合基本不等式可求得函数的值域. 【解析】因为，则， 所以 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的值域为. 故答案为：. 57．（2025高一·全国月考）求下列函数的值域： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别将，代入函数的解析式，求得相应的函数值，即可求解； （2）化简函数为，结合反比例函数的性质，即可求解. 【解析】（1）因为，代入求得，所以函数的值域为. （2）由函数，因为，可得， 所以函数的值域为． 58．（2025高三·全国月考）函数的最大值为 ． 【答案】/0.25 【分析】利用判别式法求函数值域即可. 【解析】原函数可以化简为在时有解， 当时，， 当不等于0时，， 解得且不等于0， 故所求最大值为. 故答案为：. 59．（2025高二·上海·期中）函数的值域是 . 【答案】且 【分析】求出给定函数的定义域，再利用分离常数法求出函数的值域. 【解析】函数中，，则且， 于是，由，得；由，得， 所以原函数的值域为且. 故答案为：且 60．（2025高三·山西月考）已知函数，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】D 【分析】由函数解析式得到，再通过换元结合基本不等式求解即可； 【解析】，， 所以， 设，由，可得：， 则，所以，，则 ，当且仅当，即，即时等号成立． 故选：D． 61．（2024高三·全国月考）函数的值域为 ． 【答案】 【分析】根据题意，由换元法，结合对勾函数的单调性，代入计算，即可得到结果. 【解析】， 令，则时，， ，函数在上单调递减， 若，则， 若，则， 故函数值域为． 故答案为：. 题型13：已知函数的值域求参数 62．（2025高三·全国月考）已知函数的值域是，则 ， ． 【答案】 3 【分析】首先将函数变形为，这个方程组有解，则判别式大于0，再由韦达定理即可求的结果. 【解析】将函数变形为． 当时，这个关于x的方程有解， 则，即． 由题设知，是方程的两个根， 根据韦达定理，得，， 解得，． 当时，，也满足题意． 故答案为：   63．（2025高一·上海月考）已知，若函数的值域为，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，求出函数值域包含的范围即可. 【解析】由函数的值域为，得函数值域包含， 则，解得， 所以的取值范围是. 故答案为： 64．（2024高三·全国月考）已知函数的值域为，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】问题等价于函数的值域包含，利用二次函数的性质求解即可. 【解析】函数的值域为，则函数的值域包含， ∴，且，解得． 故答案为：． 65．（2025高一·福建福州月考）已知函数的定义域是，值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合二次函数知识及题意画出图形，数形结合可得答案． 【解析】结合题意：函数 所以图象是开口向上的抛物线,其对称轴方程为， 所以，易知：， 由图可知,要使函数的定义域是，值域为， 则的取值范围是， 故选：B. 66．（2025高二·上海·期末）若函数的定义域与值域都是，则实数 ． 【答案】5 【分析】由题意得，解方程组可得的值. 【解析】函数的对称轴方程为， 所以函数在上为减函数， 又函数在上的值域也为， 则，即， 由①得：，代入②得：，解得：（舍），． 把代入得：． 故答案为：5． 一、单选题 1．（2025高一·全国月考）函数的定义域是（   ） A． B． C．，且 D．，且 【答案】C 【分析】根据给定的函数有意义，列出不等式求解作答即可. 【解析】由，解得 故定义域为且. 故选：C． 2．（2025高一·福建福州·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】使函数有意义解不等式即可. 【解析】要使函数有意义，则，即， 即函数的定义域为. 故选:A． 3．（2025高一·河南周口·期中）下列四个图形中，不是以为自变量的函数的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数定义作出判断. 【解析】根据函数定义，在定义域内，对于任意的，只能有唯一确定的与其对应，ABC满足要求， D选项，在定义域内对于，有两个确定的与其对应，D错误. 故选：D 4．（2025高一·全国月考）函数的定义域是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】由函数特征得到不等式，求出定义域. 【解析】由题意得且，即， 等价于，解得或， 故定义域为或. 故选：C 5．（2025高一·浙江月考）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分离参数后，利用二次函数的性质求解最值，即可结合不等式的性质求解. 【解析】由可得， 由于函数，所以， 故， 故选：B 6．（2025高一·陕西西安月考）给定的下列四个式子中，能确定是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的概念，依次判断各选项即可得答案. 【解析】解：对于A选项，对于的实数，都有，即有两个与之对应，故不满足函数的概念； 对于B选项，方程表示两个点，即对于，有与之对应，故不满足函数的概念； 对于C选项，满足的的解集为，故不满足函数研究的范围非空数集，故错误； 对于D选项，对于，有唯一的与对应，满足函数概念，故正确； 故选：D 7．（2025高三·福建厦门月考）若函数的值域是，则此函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分类讨论解不等式即可. 【解析】由函数的值域是， 所以当时，， 当时， 即，解得， 所以函数的定义域为：， 故选：D 8．（2025高一·贵州六盘水月考）下列各组中的两个函数为同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按函数相等的定义逐项判断即可. 【解析】A项：的定义域不包括，两个函数的定义域不同，所以是不同函数； B项：，即对应关系不同； C项：定义域都是实数集，对应关系都相同，是同一函数； D项：的定义域不包括，两个函数的定义域不同，所以是不同函数. 故选: C. 9．（2025高一·浙江嘉兴月考）下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】逐项判断函数值域，即可得到正确选项. 【解析】对于,，故A不正确；对于，，故B正确; 对于，故C不正确； 对于，，故D不正确； 故选：B 10．（2025高一·贵州黔东南月考）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，可得答案. 【解析】， ，， 从而可知函数的值域为. 故选：D. 11．（2025高二·河南商丘·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抽象函数的定义域的求解，结合具体函数单调性的求解即可. 【解析】因为函数的定义域为，所以的定义域为.又因为，即，所以函数的定义域为. 故选：C. 12．（2025高一·吉林通化月考）函数定义在上，则函数图象与直线的交点个数有(    ) A．个 B．个 C．个 D．不能确定 【答案】B 【分析】将函数图象与直线的交点个数转化为方程解得个数，然后根据函数的定义判断. 【解析】函数图象与直线的交点个数可以转化为方程解得个数，根据函数的定义可得方程只有一个解，所以函数图象与直线的交点个数为1个. 故选：B. 13．（25-26高一·全国月考）已知函数，其中表示不超过x的最大整数，当时，下列函数中，其值域与的值域不相同的函数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，的值域为．对于C，该函数的值域为． 14．（25-26高一·全国月考）已知函数的定义域和值域均为，则下列说法错误的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数的定义域为 C．函数的值域为 D．函数的值域为 【答案】D 【解析】函数中的x需满足，解得，故函数的定义域为，故A正确；函数中的x需满足，解得，故函数的定义域为，故B正确；函数和的值域都为，故C正确，D错误. 15．（2025高一·全国月考）已知函数的定义域为，值域为R，则（    ） A．函数的定义域为R B．函数的值域为R C．函数的定义域和值域都是R D．函数的定义域和值域都是R 【答案】B 【分析】对于A选项：根据抽象函数的定义域令，推出的定义域判断正误； 对于B选项：因为的值域为R，所以的值域为R，进而推导出的值域，判断正误； 对于C选项：令，求出函数的定义域，即可判断正误； 对于D选项：若函数的值域为R，则，即可判断正误； 【解析】对于A选项：令，可得，所以函数的定义域为，故A选项错误； 对于B选项：因为的值域为R，，所以的值域为R，可得函数的值域为R，故B选项正确； 对于C选项：令，得，所以函数的定义域为，故C选项错误； 对于D选项：若函数的值域为R，则，此时无法判断其定义域是否为R，故D选项错误. 故选：B 二、多选题 16．（2025高一·广东广州月考）下列函数是同一函数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】BC 【分析】根据函数相等的定义逐项判断即可. 【解析】对于A选项，函数的定义域为，函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，不是同一函数，A错； 对于B选项，函数、的定义域均为，且对应关系相同，这两个函数是同一函数，B对； 对于C选项，函数、的定义域均为，且， 这两个函数的对应关系相同，是同一函数，C对； 对于D选项，对于函数，有，解得，即函数的定义域为， 对于函数，有，解得或，即函数的定义域为， 这两个函数的定义域不同，不是同一函数，D错. 故选：BC. 17．（2025高一·安徽铜陵·期末）设，下列选项能表示从集合A到集合B的函数关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】从函数的定义出发，得到BC错误，AD正确. 【解析】对于数集A中的任意一个元素，在数集B中都有唯一确定的元素和其对应， 则满足从集合A到集合B的函数关系， 其中AD满足，B选项中自变量范围为，不是，B错误； C选项，因变量的取值范围是，不是的子集，C错误. 故选：AD 18．（2025·新疆喀什·模拟预测）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据的解析式，进行相关的运算判断各个选项即可. 【解析】对于A，，故A错误； 对于B，由，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，由选项C知，且， ，故D正确. 故选：BCD. 19．（2025高一·广东广州·期末）已知函数的定义域为，且当时，，则下列结论中一定正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由、，利用题目所给的函数性质，结合不等式的性质，逐渐递推即可判断. 【解析】因为当时，，所以，，故A正确； 又因为，则，故B正确； ，， ，， ，， ，， ，， ，，故D正确； 但没有足够条件判断C的正误. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用，，再利用题目所给的函数性质，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可. 三、填空题 20．（2025高一·全国月考）下列各对函数中是同一个函数的是 (填序号)． ①与； ②与； ③与； ④与. 【答案】②④ 【分析】根据函数定义的三要素即可判断. 【解析】①函数，函数的定义域为，两个函数的定义域不相同，不是同一个函数； ②与的定义域和对应关系相同，是同一个函数； ③与的对应关系不相同，不是同一个函数； ④与的定义域和对应关系相同，是同一个函数． 故答案为：②④ 21．（2025高二·河北沧州月考）函数的定义域是 . 【答案】 【分析】由题意，解不等式即可得解. 【解析】要使得函数有意义，需满足， 解得且，所以函数的定义域是. 故答案为：. 22．（2025高二·上海·期末）已知函数，若满足，则 ． 【答案】12 【分析】由题意得，进一步代入求值即可. 【解析】因为，且满足， 所以，解得， 所以． 故答案为：12． 23．（2025高二·浙江丽水·期末）已知定义在上的函数的值域是，则函数的值域是 . 【答案】 【分析】根据函数图象的关系，结合值域的定义分析即可 【解析】函数的图象向左平移3个单位得到的图象， 因此函数的值域为， 则函数的值域是. 故答案为：. 24．（2025高一·全国月考）已知函数的定义域是，则函数的定义域是 ． 【答案】 【分析】利用函数的定义，结合复合函数定义域求法即得. 【解析】因为函数的定义域为， 所以，则， 所以函数的定义域为， 故答案为：. 25．（2025高一·江苏·单元测试）函数的值域为 ． 【答案】 【分析】根据函数的单调性确定最值即可. 【解析】解：因为 ， 所以此函数的定义域为， 又因为是减函数， 当 当 所以值域为 故答案为：． 四、解答题 26．（2025高一·全国月考）试判断下列函数是否为同一函数. （1），； （2），； （3），； （4），. 【答案】（1）（2）（3）不同；（4）相同. 【分析】分别判断每组函数的定义域和对应关系是否相同. 【解析】（1）f(x)的定义域为{x|x≠0}，g(x)的定义域为R，定义域不同，所以不是同一函数； （2），，对应关系不同，所以不是同一函数； （3）显然对应关系不同，所以不是同一函数； （4）定义域和对应关系相同，所以是同一函数. 【点睛】本题考查相等函数的判断，主要考查函数的定义域和对应关系，属于基础题. 27．（2025高一·全国·课堂例题）求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)，； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】（1）根据给定的自变量值求出函数值即可. （2）利用二次根式的意义求出值域. （3）利用二次函数的性质求出值域. （4）利用分式函数，结合分离常数的思想求出值域. 【解析】（1），且，则． 所以函数的值域为. （2）函数的定义域为，由，得， 所以的值域为. （3）函数图象的对称轴为，而， 当时，，当时，， 所以函数的值域为． （4）函数的定义域为， ， 所以函数的值域为． 28．（2025高一·陕西渭南月考）求下列函数的定义域 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由解析式有意义可知，，联立求解即可； （2）由解析式有意义可知，，联立求解即可； 【解析】（1）解：由得且 所以函数的定义域为 （2）由，得， 即且 所以函数的定义域是. 29．（2025高一·全国月考）已知函数的定义域为R，求实数k的取值范围． 【答案】 【分析】根据在R上恒成立可求实数k的取值范围． 【解析】由题设可得在R上恒成立， 故或， 故， 故答案为：. 30．（2025高一·浙江杭州·期中）求下列函数的值域： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（3）根据题意结合基本不等式求值域； （2）换元令，结合二次函数求值域. 【解析】（1）因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的值域为. （2）令，则， 可得， 当时，等号成立， 所以函数的值域为. （3）因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 即，所以函数的值域为. 31．（2025高一·山西晋中·期中）（1）求下列函数的定义域： ①； ② （2）设，解关于的不等式. 【答案】（1）①；②（2）答案见解析 【分析】（1）①由求解即可；②由求解即可； （2）分类讨论，即可根据一元二次不等式的解的特征求解. 【解析】（1）①由，可得：且， 所以函数的定义域为：； ②由题意可得：解得：或， 所以函数的定义域为： （2） 当时，不等式可化为，解得，即原不等式的解集为. 当时，方程的两个根分别为1和， ①当时，解不等式得，即原不等式的解集为； ②当时，不等式无解，即原不等式的解集为；. ③当时，解不等式得，即原不等式的解集为：； ④当时，解不等式得或，即原不等式的解集为{或}. 综上: 当时，原不等式的解集为; 当时，原不等式的解集为; 当时，原不等式的解集为; 当时，原不等式的解集为; 当时，原不等式的解集为{或}; 32．（25-26高一·全国月考）（1）已知函数． ①若的定义域为，求实数m的值； ②若的定义域为，求实数m的取值范围． （2）已知函数的定义域是，求函数的定义域． （3）已知函数的定义域为，求函数的定义域． 【答案】（1）①②；（2）；（3）． 【解析】解：（1）①由题意得不等式的解集为，所以化简得解得．故实数m的值为． ②由题意得不等式在上恒成立．当时，或，若，则，符合题意；若，则，其定义域不是，不符合题意．当，即且时，则解得或．综上所述，m的取值范围是． （2）因为函数的定义域是，所以，解得，故函数的定义域是． （3）因为函数的定义域为），即，所以，即的定义域为． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$