精品解析：重庆市巴蜀中学2024-2025学年高一下学期强基期中测试数学试题

高 27 高一下强基期中测试题 一、单选题 1. 若A，B，C是△ABC的三个内角，且，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由正弦定理、三角形内角及余弦函数性质判断A、B；特殊值即可判断C、D. 【详解】由，则，而，则，A错； 由，结合余弦函数性质知：，B对； 对于，则，，C、D错； 故选：B 2. 在中，设角，，所对的边长分别为，，，且，，则面积的最大值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理将角化边，再由余弦定理求出，从而求出，由重要不等式求出的最大值，最后由面积公式计算可得. 【详解】因为， 由正弦定理可得，即，即， 所以，又，则， 又因为，，即， 所以，当且仅当时取得等号， 所以， 即面积的最大值为，当且仅当时取得. 故选：A． 3. 已知为单位向量，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】由，得，可得，由，当等号成立时可得最小值. 【详解】为单位向量，有，得， 由，得， 有，所以， ， ，，有， 则， 当且仅当与方向相反时“”成立， 如取时，可使“”成立. 所以. 故选：B． 【点睛】关键点点睛： 本题关键点是由已知条件得，这样就能得到. 4. 如图，在等腰直角三角形中，斜边，为线段上的动点（包含端点），为的中点．将线段绕着点旋转得到线段，则的最小值为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用转化法，将转化为或，进而求得的最小值. 【详解】解法一： 连接，则 ， 当时，最小，即， 结合，得的最小值为． 解法二（极化恒等式法）： 依题意，为线段的中点， 则 , 由于，，所以的最小值为． 故选:D 5. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则角B的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理的变形式以及基本不等式即可求解. 【详解】由题知，， 在中， ， 当且仅当时取等号， 又不是三角形的最大边，所以为锐角， 所以的取值范围是. 故选：B. 6. 在中，M为BC边上任意一点，N为线段AM上任意一点，若（，），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，，当时， 可得，从而有；当时，有，根据、、三点共线，可得，进而可得，从而即可求解. 【详解】解：由题意，设，， 当时，，所以， 所以，从而有； 当时，因为（，）， 所以，即， 因为、、三点共线，所以，即. 综上，的取值范围是. 故选：C. 7. 在平面四边形ABCD中，AB=1，AD=4，BC=CD=2，则四边形ABCD面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过余弦定理分别表示BD，从而找到角A，C的关系，将四边形的面积用角A，C表示，从而求得面积的最大值. 【详解】由余弦定理知：在中， 有 ， 在中， 有 ， 则， 由四边形的面积=三角形ABD的面积+三角形BCD的面积， 故 ， 在三角形中，易知，， ，当且仅当时等号成立， 此时， 故， 故选：A. 【点睛】方法点睛：四边形对角线是公共边，以之为连接点找到角与角的关系，把面积也化成角来表示，从而借助三角函数的最值来求得面积的最值. 8. 如图，是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形，若，，点M为线段上的动点，则的最大值为（ ） A. B. C. 6 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】利用平面向量的线性表示和数量积，转化为函数的最值问题求解. 【详解】根据题意可得，， 所以， 又因为， 所以,， 设,则， 所以， ， 所以 ， 令， 当单调递增，单调递减， 当，取最大值为. 故选：D 9. 在锐角三角形中，、、的对边分别为、、，且满足，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用余弦定理、正弦定理以及三角恒等变换化简得出，利用为锐角三角形求出角的取值范围，由正弦定理结合三角恒等变换可得出，利用二次函数的基本性质可求得的取值范围. 【详解】由余弦定理可得，整理可得， 由正弦定理可得 ， 因为、，则， 因为正弦函数在上单调递增，所以，，所以，， 则， 因为为锐角三角形，则，解得，则， 所以， ， 令，则函数在上为增函数， 故， 故选：D. （2020 高三强基计划） 10. 假设三角形三边长为连续的三个正整数，且该三角形的一个角是另一个角的两倍，则这个三角形的三边长为（ ） A. 4，5，6 B. 5，6，7 C. 6，7，8 D. 前三个答案都不对 【答案】A 【解析】 【分析】方法一：利用余弦定理结合余弦函数的单调性可得正确的选项， 方法二：利用二倍角的正弦公式结合整除性可得正确的选项. 【详解】解法一 设的三边长分别为，，，则， 于是． 不妨设，则根据余弦定理， 三个内角，，的余弦值分别为： ； ； ， 容易知道随着的增大，增大，，减小，于是角减小，角，角增大． 接下来验证有限的几个即可． 当时，， ， ， 不符合题意． 当时，， ， ， 不符合题意． 当时，， ，故，符合题意． 当时，由于角减小，角增大，必然有，不符合题意． 综上所述，这个三角形的三边长为4，5，6． 解法二 在中，，角，，所对的边分别为，，， 则根据正弦定理和余弦定理，， 即， 整理得． 由于，可得． 若，则，，此时，与已知矛盾， 或，，此时时，与已知矛盾， 所以，若，则，与为整数矛盾， 因此，，代入解得， 因此该三角形的三边长为4，5，6． 故选：A （2023 北京高三强基计划） 11. 已知O为的外心，，则（ ） A. 的最小值为，此时为直角三角形 B. 的最大值为，此时为直角三角形 C. 的最小值为，此时为等边三角形 D. 的最大值为，此时为等边三角形 【答案】D 【解析】 【分析】将题设中向量式转化为，故可根据三点共线及的几何意义可得其取值范围，故可得正确的选项. 【详解】若，则，，如图，点在外，此时为钝角三角形； 当时，如图，设直线交直线于点D，不失一般性，记， 由可得， 故可得. 若，如下图，，因，故； 若，如下图，，而， 当且仅当为等边三角形时取最小值. （因，由正弦定理，可得，此时，为等边三角形的高，其长为）， 故此时， 综上，的取值范围是． 当为等边三角形时，以取得最大值为， 故选：D. 12. 在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据余弦定理和的面积公式，结合题意求出、的值，再用表示，求出的取值范围，即可求出的取值范围． 【详解】因为的面积为， 所以， 中，由余弦定理得，， 则， 因为， 所以, 又，， 所以， 化简得， 解得或（不合题意，舍去）； 因为， 所以，， 所以， 因为， 所以， 又因为， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以，所以， 所以， 设，其中， 所以 ， 又， 所以时，取得最大值为， 时，，时，，且， 所以，即的取值范围是， 故选：D． 二、多选题 13. （多选）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且.以下命题正确的有（    ） A. 若，则M为的重心 B. 若M为的内心，则 C. 若，，M为的外心，则 D. 若M为的垂心，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，，作出辅助线，得到，，三点共线，同理可得为的重心；B选项，设内切圆半径为，将面积公式代入得到；C选项，设外接圆半径，由三角形面积公式求出三个三角形的面积，得到比值；D选项，得到，作出辅助线，由面积关系得到线段比，设，，，表示出，，，结合三角函数得到，进而求出余弦值. 【详解】对A选项，因为，所以， 取的中点，则，所以， 故，，三点共线，且， 同理，取中点，中点，可得，，三点共线，，，三点共线， 所以为的重心，A正确； 对B选项，若为的内心，可设内切圆半径为， 则，，， 所以， 即，B正确； 对C选项，若，，为的外心，则， 设的外接圆半径为，故，， ， 故，，， 所以，C错误； 对D选项，若为的垂心，， 则， 如图，，，，相交于点， 又， ，即， ，即， ，即， 设，，，则，，， 因为，， 所以，即， ，则，D正确； 故选：ABD. 14. 已知平面向量满足 则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 若 则 的最大值为 C. 若向量满足，则 的最大值是 D. 若向量满足，则 的最小值是2 【答案】ACD 【解析】 【分析】由向量垂直的数量积表示得出，然后把向量的模转化为数量积的运算后，分别利用二次函数知识，基本不等式可得选项AB中最值，从而判断AB，利用平面向量的几何意义，由圆的性质可得点轨迹是图中两段优弧，再由圆的性质可得所求距离的最值，判断CD． 【详解】对于A，由，得，， ， 因此当时，取得最小值，A正确； 对于B，由，得，则 ，当且仅当时等号成立，B错误； 对于CD，，，， 又，则， 作，，以为圆心，为半径作圆，如图， 当是圆的优弧上点时，即时，满足， 再作点关于直线的对称点，以为圆心，为半径作圆， 当是圆的优弧上点时，即时，也满足， 当不是这两段优弧上的点时，都不满足，即不满足， 是等边三角形，因此，两圆半径都是2， 由图可知即的最小值是2，最大值是，CD正确. 故选：ACD 15. 如图，的内角，所对的边分别为．若，且，是外一点，，则下列说法．正确的是（ ） A. 是等边三角形 B. 若，则四点共圆 C. 四边形面积最小值为 D. 四边形面积最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据正弦定理及三角恒等变换化简条件式可判定A，由余弦定理可判定B，设，由正弦定理结合三角函数的性质可判定C、D 【详解】由正弦定理， 得， ， 是等腰的底角，， 是等边三角形，A正确； 对于B，若四点共圆，则四边形对角互补，由A正确知， 但由于时，，∴B正确. 对于C、D，设，则 ，， 所以四边形ABCD的面积， ， ， ，四边形ABCD的面积， ∴C不正确，D正确； 故选：ABD 16. 在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的外接圆的面积为 B. 若，且有两解，则b的取值范围为 C. 若，且为锐角三角形，则c的取值范围为 D. 若，且，O为的内心，则的面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】先由正弦定理得到，选项A，求出，进而由正弦定理得到的外接圆的半径和表面积；B选项，又余弦定理得到，将其看做关于的二次方程，结合方程有两正解，得到不等式，求出b的取值范围；C选项，由正弦定理结合得到，再根据为锐角三角形得到，从而得到c的取值范围；D选项，由正弦定理得到，，结合三角恒等变换得到，从而得到，，，由求出，由直角三角形性质得到内切圆半径，进而求出的面积. 【详解】因为，所以由正弦定理，得， 即 ， 因为，所以，且，所以. 选项A：若，则，所以的外接圆的直径 ， 所以， 所以的外接圆的面积为，选项A正确； 选项B：由余弦定理得， 将此式看作关于的二次方程，由题意得此方程有两个正解， 故 ，解得b，所以选项B错误； 选项C：由正弦定理，得 ，即， 因为，所以， 因为为锐角三角形，所以 ，即，所以， 所以，故选项C正确； 选项D：因为，由正弦定理得， 因为，所以， 所以由正弦定理，得，即， 所以， 即，所以， 所以， 又因为，所以，故，，解得 ， 因为，所以， 即是直角三角形，所以内切圆的半径为， 所以的面积为，选项D正确. 故选：ACD. 【点睛】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题， 常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案； ②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法； ③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值. 三、填空题 17. 已知三角形ABC中，点G、O分别是的重心和外心，且，，则边的长为________. 【答案】6 【解析】 【分析】由数量积的定义得出外心满足性质：，，由中线向量性质，再由数量积的运算得出，利用平方后求得，即，然后由直角三角形性质得长． 【详解】如图，延长交于，连接，作于，则分别是的中点， ， 同理， ， ， ， 又， 即，， 所以，即， 所以， 故答案为：6． 18. 设，为单位向量，满足，，，设，的夹角为，则的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量模的平方等于向量的平方化简条件得，再根据向量夹角公式求函数关系式，根据函数单调性求最值. 【详解】， ， ， . 故答案为：. 【点睛】本题考查利用模求向量数量积、利用向量数量积求向量夹角、利用函数单调性求最值，考查综合分析求解能力，属中档题. 19. 在中，点是上的点，平分面积是面积的2倍，且，则实数的取值范围为________；若的面积为1，当最短时，______. 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】过作交延长线于，由题设易得、、，在△中应用三边关系求的取值范围，若，由三角形面积公式得，且得，进而可得，应用余弦定理得到关于的表达式，结合其范围求最小时对应值即可. 【详解】由面积是面积的2倍，即， 如上图，过作交延长线于，又平分， 所以，即，且，故， 若，又，则且，， △中，，可得，故； 由角平分线性质知：，则， 若，则， 又，即，则，故， 所以，可得， 由， 令，则， 所以时，即，此时，即. 故答案为：，. 【点睛】关键点点睛：注意过作交延长线于，应用三角形三边关系求参数范围，根据已知条件得到关于的表达式是求最值的关键. 20. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，且，则实数的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】由两角和的正切公式化简可得，再根据三角形形状以及正弦、余弦定理可限定出，将参数表示成再利用函数单调性即可求得其范围. 【详解】在中，由可得, 又因为， 所以，即 则， 所以可得，由正弦定理得． 又可知．又为锐角三角形，所以， 由余弦定理得．所以， 即，所以， 解得． 又，所以． 又因为，所以， 即． 令，则，则． 因为在上单调递增，又，， 所以实数的取值范围为． 故答案为： 【点睛】方法点睛：求解解三角形综合问题时一般会综合考虑三角恒等变换、正弦定理、余弦定理等公式的灵活运用，再结合基本不等式或者通过构造函数利用导数和函数的单调性等求出参数取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高 27 高一下强基期中测试题 一、单选题 1. 若A，B，C是△ABC的三个内角，且，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 在中，设角，，所对的边长分别为，，，且，，则面积的最大值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 3. 已知为单位向量，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 6 4. 如图，在等腰直角三角形中，斜边，为线段上的动点（包含端点），为的中点．将线段绕着点旋转得到线段，则的最小值为（　　） A. B. C. D. 5. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则角B的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 在中，M为BC边上任意一点，N为线段AM上任意一点，若（，），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 在平面四边形ABCD中，AB=1，AD=4，BC=CD=2，则四边形ABCD面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形，若，，点M为线段上的动点，则的最大值为（ ） A. B. C. 6 D. 10 9. 在锐角三角形中，、、的对边分别为、、，且满足，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. （2020 高三强基计划） 10. 假设三角形三边长为连续的三个正整数，且该三角形的一个角是另一个角的两倍，则这个三角形的三边长为（ ） A. 4，5，6 B. 5，6，7 C. 6，7，8 D. 前三个答案都不对 （2023 北京高三强基计划） 11. 已知O为的外心，，则（ ） A. 的最小值为，此时为直角三角形 B. 的最大值为，此时为直角三角形 C. 的最小值为，此时为等边三角形 D. 的最大值为，此时为等边三角形 12. 在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 13. （多选）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且.以下命题正确的有（    ） A. 若，则M为的重心 B. 若M为的内心，则 C. 若，，M为的外心，则 D. 若M为的垂心，，则 14. 已知平面向量满足 则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 若 则 的最大值为 C. 若向量满足，则 的最大值是 D. 若向量满足，则 的最小值是2 15. 如图，的内角，所对的边分别为．若，且，是外一点，，则下列说法．正确的是（ ） A. 是等边三角形 B. 若，则四点共圆 C. 四边形面积最小值为 D. 四边形面积最大值为 16. 在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的外接圆的面积为 B. 若，且有两解，则b的取值范围为 C. 若，且为锐角三角形，则c的取值范围为 D. 若，且，O为的内心，则的面积为 三、填空题 17. 已知三角形ABC中，点G、O分别是的重心和外心，且，，则边的长为________. 18. 设，为单位向量，满足，，，设，的夹角为，则的最小值为_______． 19. 在中，点是上的点，平分面积是面积的2倍，且，则实数的取值范围为________；若的面积为1，当最短时，______. 20. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，且，则实数的取值范围为________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $