精品解析：四川省眉山市仁寿县2024-2025学年高二下学期6月期末数学试题

23级高二下学期期末校校联考 数学试题 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知等比数列的前项和为，若公比，，则（ ） A. 49 B. 56 C. 63 D. 112 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式推导出与公比的关系，再结合已知条件求出的值. 【详解】∵，∴. 故选：B. 2. 已知等差数列中，，则（ ） A. 8 B. 4 C. 16 D. -4 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的性质求解. 【详解】解：由等差数列的性质知， 所以， 所以， 所以， 故选：B 3. 已知数列中，，若，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等比数列定义求出，利用构造法求出，再列式求解即得. 【详解】在数列中，由，得数列是首项为2，公比为2的等比数列，， 则，即， 因此数列是以为首项，为公差的等差数列. 则，即，由，得， 所以. 故选：B 4. 数列的通项公式为，那么“”是“为递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】当时，可得，知充分性成立；由数列单调性可知，从而得到，由此可得，知必要性不成立，由此可得结论. 【详解】当时，， 数列为递增数列，充分性成立； 当数列为递增数列时，， 恒成立，又， ，必要性不成立； “”是“为递增数列”的充分不必要条件. 故选：A. 5. 等比数列 共有 项，其和为 240，且奇数项的和比偶数项的和大 80，则公比 （ ） A. B. 2 C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合题意列方程组分别求出，，再由等比数列的性质求出结果即可. 【详解】设等比数列的奇数项的和、偶数项的和分别为，. 由题意可得 解得 所以． 故选：D. 6. 已知数列的通项公式为，则数列的前n项和（ ） A. 107 B. 1409 C. 1414 D. 112 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定的通项公式，利用分组求和法列式计算即可． 【详解】因为， 则． 故选：B． 7. 设和分别表示正实数的整数部分、小数部分，例如．已知数列满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据已知条件求出数列的前几项，找出数列的规律，再根据规律求出的值. 【详解】已知，因为，所以，. 根据，可得，化简得到. 因为，所以，. 同理可得. 通过前面的计算，可以发现数列的规律，（）. 当时，. 故选：C. 8. 已知等比数列的前项和为，，，数列满足：，且数列的前项和为，若对于任意的实数，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式和前项和公式求出公比，进而求得，则，结合裂项相消法求和可得，进而根据不等式恒成立的问题计算即可求解. 【详解】设等比数列的公比为，易知，由题意可得， 解得，则，， 所以， 则， 所以原不等式可转化为对任意的实数恒成立， 即恒成立，解得. 故选：D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知等比数列的公比为，前项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用题设等式进行等比数列的基本量运算，求得，代入公式即可一一判断. 【详解】依题，，解得故A错误，B正确； 则，，故C错误，D正确. 故选：BD. 10. 已知数列的通项公式，前项和为，则（ ） A. 数列为等差数列 B. ，使得 C. 当时，取得最小值 D. 数列的最大项的值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用给定的通项公式，结合等差数列定义、数列单调性、二次函数性质逐项求解判断. 【详解】对于A，由，得 ， ，数列为等差数列，A正确； 对于B，，，显然，B正确； 对于C，，当时，数列单调递减，， ， 当时，数列单调递减，，，C错误； 对于D，， 因，当时，取最小值， 当或时，，且当或时，取最小值3， 所以数列的最大项的值为，D正确. 故选：ABD. 11. 已知数列满足，，设其前项和为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用累加法求出数列的通项公式，可判断AB选项；利用并项求和法可判断C选项；利用裂项相消法可判断D选项. 【详解】因为，， 当时，， 也满足，故对任意的，， 对于A选项，，A对； 对于B选项，，B对； 对于C选项，因为， 所以， ，C错； 对于D选项，， 所以，，D对. 故选：ABD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等比数列的前项和为，若，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】首先判断公比，利用求和公式求出，再利用等比数列求和公式计算可得. 【详解】依题意可得等比数列的公比，则， 所以，即， 所以 . 故答案为： 13. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？现有这样一个相关的问题：将1到2025这2025个自然数中满足被3除余2且被5除余4的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列的项数是_____. 【答案】135 【解析】 【分析】根据“被3除余2且被5除余4的数”，可得这些数构成等差数列，然后根据等差数列通项公式结合范围计算求解可得结果． 【详解】被3除余2且被5除余4的数构成首项为14， 公差为15的等差数列，记为， 则， 令 ，解得． ∴将1到2025这2025个自然数中满足被3除余2且被5除余4的数按照从小到大的顺序排成一列， 构成一个数列，则该数列的项数是135． 故答案为：135． 14. 设数列的前n项和为，若数列与均为等比数列，且公比相等，则实数__________. 【答案】## 【解析】 【分析】设数列 的公比为q，由题设列出的前三项，利用公比相等建立方程组求出q，即可得答案. 【详解】设数列的公比为q， 由题意，，，， 所以，即， 所以，即，所以或， 当时，不是等比数列，不合题意； 当，时， 此时，， 故与均为等比数列，且公比相等且为，符合题意； 所以. 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设公差不为的等差数列的首项为，且成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）已知数列为正项数列，且，设数列的前项和为，求证：. 【答案】（1） （2） 由（1）得，又， 所以， 所以， 则 ． 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，则，根据等比中项的性质及等差数列通项公式得到方程，求出，即可求出通项公式； （2）由（1）得，即，从而得到，再利用裂项相消法计算可得. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，则， ，，成等比数列， 则，即， 将代入上式，解得或（舍去）． ； 【小问2详解】 略 16. 记等差数列的前n项和为，是各项均为正数的等比数列，若，，， （1）求与 （2）若数列满足，求的前n项和. 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，列出关于公差、公比的方程组，求解即可得通项公式. （2）利用分组求和法，结合等差、等比数列前n项和公式求解. 【小问1详解】 设数列的公差为d，数列的公比为q， 由，得，而，解得，， 所以， 【小问2详解】 由（1）得，，设数列的前n项和为， 则 17. 记为首项为4的数列的前n项和，且是以首项为3，公比为的等比数列. （1）求； （2）求数列的通项公式； （3）求数列的前n项和. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）应用等比数列的定义写出通项公式，即可得，进而求项； （2）利用关系求数列的通项公式； （3）由（2）得，再应用错位相减法、等比数列前n项和公式求和. 【小问1详解】 由题意，得，则，则 【小问2详解】 由（1），当时，则， 又满足上式，故 【小问3详解】 由（2），得，记的前n项和为， 所以①， 则②， ①②得，， 则，故数列的前n项和为 18. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，点E在线段上，满足，点F为的中点． （1）证明：平面； （2）若平面，求直线与平面所成角的正弦值； （3）在（2）的条件下，求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】（1） 取点M为的中点，连接， 因为点F为的中点，所以，， 又因为，， 又，则， 所以，， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取点M为的中点，连接，由已知可证得四边形为平行四边形，则，即可证得平面； （2）由已知可得平面平面，进而平面，则直线与平面所成角为，设，则，可得，即可求得直线与平面所成角的正弦值； （3）在（2）的条件下，建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，平面的一个法向量，则利用向量法求得平面与平面所成角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，平面，所以平面平面， 又，平面平面，所以平面， 所以直线与平面所成角为， 设，则， 因为，又， 所以，，， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 【小问3详解】 在（2）的条件下，以A为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，过点A作平行于的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， ，，，，， ，，，， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，所以， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，所以， 设平面与平面所成的角为，则， 所以平面与平面所成角的余弦值为． 19. 已知数列的前项和为满足，且，数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）若将数列中的所有项按原顺序依次插入数列中，组成一个新的数列：，在与之间插入项中的项，中之前（不包括）所有项的和记为.若.求使得成立的最大整数的值.（其中表示不超过的最大整数） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由条件结合等差数列通项公式求数列的通项公式，再由与关系求，由取求，当时，用替换，两式相除可得结论； （2）由（1）可得，等式两边同乘，两式相减可得，再利用错位相减法求结论； （3）由（1）结合等差数列等比数列求和公式求，再求，结合等差数列求和公式化简不等式求结论. 【小问1详解】 因为，所以是以为首项，为公差的等差数列. 所以. 当时， 又满足关系， 故. 数列，当时，， 当时，. 所以，； 【小问2详解】 由题可知 ① ② ①-②得. ③ ④ ③-④得 ； 【小问3详解】 依题意，数列中之前的所有项中包括项中的项， 设其和为，则 数列中之前的所有项中包括项中的项，设其和为，则 于是 所以， 当时， 当时，因为， 所以 ， 于是，，因此， 所以，， 所以，又， 所以，，， 得成立的最大整数的值为. 【点睛】关键点点睛：本题第二小问解决的关键在于利用错位相减法先求出，然后再次利用错位相减法求结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 23级高二下学期期末校校联考 数学试题 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知等比数列的前项和为，若公比，，则（ ） A. 49 B. 56 C. 63 D. 112 2. 已知等差数列中，，则（ ） A. 8 B. 4 C. 16 D. -4 3. 已知数列中，，若，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 4. 数列的通项公式为，那么“”是“为递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 等比数列 共有 项，其和为 240，且奇数项的和比偶数项的和大 80，则公比 （ ） A. B. 2 C. 1 D. 6. 已知数列的通项公式为，则数列的前n项和（ ） A. 107 B. 1409 C. 1414 D. 112 7. 设和分别表示正实数的整数部分、小数部分，例如．已知数列满足，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知等比数列的前项和为，，，数列满足：，且数列的前项和为，若对于任意的实数，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知等比数列的公比为，前项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知数列的通项公式，前项和为，则（ ） A. 数列为等差数列 B. ，使得 C. 当时，取得最小值 D. 数列的最大项的值为 11. 已知数列满足，，设其前项和为，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等比数列的前项和为，若，，则________． 13. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？现有这样一个相关的问题：将1到2025这2025个自然数中满足被3除余2且被5除余4的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列的项数是_____. 14. 设数列的前n项和为，若数列与均为等比数列，且公比相等，则实数__________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设公差不为的等差数列的首项为，且成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）已知数列为正项数列，且，设数列的前项和为，求证：. 16. 记等差数列的前n项和为，是各项均为正数的等比数列，若，，， （1）求与 （2）若数列满足，求的前n项和. 17. 记为首项为4的数列的前n项和，且是以首项为3，公比为的等比数列. （1）求； （2）求数列的通项公式； （3）求数列的前n项和. 18. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，点E在线段上，满足，点F为的中点． （1）证明：平面； （2）若平面，求直线与平面所成角的正弦值； （3）在（2）的条件下，求平面与平面所成角的余弦值． 19. 已知数列的前项和为满足，且，数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）若将数列中的所有项按原顺序依次插入数列中，组成一个新的数列：，在与之间插入项中的项，中之前（不包括）所有项的和记为.若.求使得成立的最大整数的值.（其中表示不超过的最大整数） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $