北京市东城区2024-2025学年高一下学期期末统一检测数学试题

东城区2024一2025学年度第二学期期末统一检测 高一数学 2025.7 本试卷共6页，满分150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上， 在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项。 (1)若复数之满足(1十i)x=4i,则x= (A)√2 (B)2 (C)2√2 (D)4 (2)已知tan(a+孕)=-2，则tana= A-号 ®时 (C)1 (D)3 (3)已知向量a=(-1,2),b=(2,m),且a∥b,则m= (A)-4 (B)-1 (C)1 (D)4 (4)甲、乙两个袋子中分别装有标号为1,2,3,4的4个球，这些球除标号不同外没有其 他差别.分别从两个袋子中随机摸出一个球，则摸出的两个小球的标号相同的概率是 A是 (B)号 D (5)在△ABC中，若A=60°，a=√3，b=√2，则B的大小为 (A)30° (B)45 (C)60° (D)45°或135° (6)已知直线m,n,平面a,m⊥a,则“n⊥m”是“n∥a”的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 高一数学第1页（共6页） (7)已知函数f(x)=cos2x一sinx,则 (A)f(x)是奇函数 (B)f(x)在（受，x)上单调递增 (C)f(x)的最大值为2 (D)f(x)在[-π，π]内有5个零点 (8)在正方体ABCD-A1BCD1中，AB=1,P为侧面ADD1A1上一动点. 若PB=PD,则PC的长的最大值为 (A)2 (C)3 (D)5 (9)如图，四棱台的两底面是正方形，侧面是全等的等腰梯形.若该棱台的侧棱AA1=20, 下底面ABCD的边长为5，下底面所在平面与侧面所在平面的夹角的正弦值为 3 则上底面A1BCD1的边长为 (A)15 D (B)5+102 B (C)25 D (D)5+20√2 (10)在矩形ABCD中，∠ACB=30°，AB=1,AC,BD交于点O,P,Q分别为边AB, 边CD上的点，且关于点O中心对称，S为矩形ABCD所在平面内的动点， 满足O5-λOA+(1+)O市(0≤1≤1)，则S泸.S攻的取值范围是 (A[-,打 (B[-7,0] (C[o,2 (Dr,别 高一数学第2页（共6页） 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 (11)某校从参加语言测试的学生中随机抽取了100名，记录了他们的分数，将数据分成 6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并整理得到如下频 率分布直方图.若样本中分数低于60分的有15人，则图中数据a= 频率/组距↑ 0.030 0.025 0.020 0 V405060708090100分数 (I2)将函数y=six图象上的所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得 函数的图象向左平移个单位长度，得到函数y一f八)的图象，则f(x)= (13)已知向量a,b,若|a=√3，||=1，向量a与a十b的夹角为30°，则向量与的 夹角为 (14)在锐角△ABC中，若bsinC+csinB=4 asinBsinC,则∠A= 名的取值范围 是 (15)如图，正方体ABCD一A1B1CD的棱长为6，动点P在棱A1B上，Q为棱AD上 点，AQ=2DQ,点M在线段PC上，且满足BM⊥PC, (1)当P为AB中点时，异面直线AD1与CP所成角的 D C 大小为 (I)MQ的长的最小值是 高一数学第3页（共6页） 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 (16)(本小题14分) 已知函数f(x)=十n(w>0,lpl<受)，j(0)=一专，其图象相邻的 两个对称中心间的距离为受： (I)求w,p的值； (Ⅱ)若f(x)在区间[0，m]上有且只有一个零点，求m的取值范围. (17)(本小题13分) 某校学生会制定了本学期学生活动计划.为了解该校学生对活动计划是否支持，按照 高一、高二、高三三个年级进行分层随机抽样，获得数据如下表（单位：人）： 年级 支持 不支持 高一 70 20 高二 60 30 高三 20 100 假设所有学生对活动计划是否支持相互独立，用频率估计概率。 (I)分别估计该校高一年级学生支持活动计划的概率、该校学生支持活动计划的概率； (Ⅱ)从该校高一全体学生、高二全体学生、高三全体学生中各随机抽取1人，估计 这3人都支持活动计划的概率： (Ⅲ)已知该校高一(1)班至少有一半的学生支持活动计划.将该校学生支持活动计划的 概率估计值记为，除高一(1)班学生外该校其他学生支持活动计划的概率估计值 记为2.比较力与2的大小.（结论不要求证明） 高一数学第4页（共6页） (18)(本小题15分) 如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，E,M,N分别为BC,AB,AC的中点， 将△AMN沿MN翻折到△A,MN的位置，如图2. （I)求证：NE∥平面AMB; (Ⅱ)求证：MN⊥平面A,MB; (Ⅲ)在棱AC上是否存在点F,使得平面NEF⊥平面ABC?请说明理由. N E M 图1 图2 (19)(本小题13分) 已知△ABC的面积为9√5，a=6√3. (I)求bsinC; (Ⅱ)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一 确定，求AC边上中线的长， 条件①：sinA=32I 143 条件②：b=23； 条件③：(a+b+c)(a十b-c)=3ab. 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分 别解答，按第一个解答计分。 (20)(本小题15分) 如图，正四棱柱ABCD-AB,CD中，底面边长为1，侧棱长为2.P为棱CC上一动 点，平面BPD截正四棱柱所得截面交棱AA!于点Q. (I)求证：DQ∥BP; (Ⅱ)求四棱锥B1一BPDQ的体积： (Ⅲ)写出当CP的长为何值时，四边形BPDQ的周长最小，并求此时 平面BPD1与平面ABCD的夹角的正切值. 高一数学第5页（共6页） (21)(本小题15分) 已知n(2)为给定的正整数，平面向量组A由n个平面向量构成，即A:4,a2,·,a, 其中a1=(x1y1),a2=(x2),…,an=(xn,ya).若1，x2,…,x1,y,",yn均为非 负实数，则称A为非负平面向量组.记： ra(x)=x1十x2十…十xn,ra(y)=y1十y2十…十yn cA(1)=x1十y,ca(2)=x2十y2,…,c(n)=xn十yn 若b:等于a1在x轴上的投影向量或等于a1在y轴上的投影向量，b2等于a2在x 轴上的投影向量或等于a2在y轴上的投影向量，，b.等于an在x轴上的投影向量或 等于am在y轴上的投影向量，称平面向量组B:b,b2,,b.为A的一个投影向量组. (I)若a1=(1,0),a2=(3,2),写出ra(x),ra(y),cA(1)和ca(2)的值. (Ⅱ)当n=2时，对于任意非负平面向量组A,若cA(1)=ca(2)=1,求证：存在A的一 个投影向量组B,使得m(x)≤号，m()≤号 (Ⅲ)当n=27时，对于任意非负平面向量组A,若ca(1)=ca(2)=…=c(27)=1, 求证：存在A的一个投影向量组B,使得r(x)≤7，r(y)≤7. (考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效) 高一数学第6页（共6页）