精品解析：宁夏银川市永宁县第二中学2024-2025学年高二下学期期末考试数学试卷

永宁县第二中学2024-2025学年第二学期期末考试 高二年级数学试卷 命题老师：祁红菊 、庞萍、周娟 审核人： 时间：120分钟 满分: 150分 我是一名永宁县第二中学的学生，为维护考试的公平、公正，我愿意用诚实守信的行为，以自己的人品、人格担保做出如下承诺：遵守学校考试管理规定，独立完成试卷的内容，考试过程中不偷看、抄袭或有意让他人抄袭；不交头接耳、传递答案，尊重监考教师. 第Ⅰ卷 选择题（共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 是虚数单位，复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 3. （ ） A. B. C. 0 D. 4. 在 的展开式中，的系数为（ ） A. -40 B. 40 C. -80 D. 80 5. 某工厂为了研究某种产品的产量x（吨）与所需某种原材料的质量y（吨）的相关性，在生产过程中收集了4组对应数据，如表所示． x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 m 根据表中数据，得出y关于x的回归直线方程为．据此计算出在样本处的随机误差为，则表中m的值为（ ） A. 4.5 B. 4.2 C. 4.8 D. 5 6. 已知随机变量X服从正态分布，且，则（ ） A. 0.24 B. 0.38 C. 0.12 D. 0.44 7. 已知函数的导函数为，的图象如图所示，则（    ） A. B. C. D. 8. 先后两次掷一枚质地均匀的正方体骰子（六个面分别标记为），记事件“第一次掷出的点数小于4”，事件“两次点数之和大于4”，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错得0分）. 9. 曲线y=f(x)=x3在点P处的切线斜率k=3，则点P的坐标是（ ） A. (1，1) B. (-1，-1) C. (-2，-8) D. (2，8) 10. 若随机变量服从两点分布，其中，，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 下列选项正确的是（ ） A. 相关系数r越大，成对样本数据的线性相关程度越强 B. 已知y关于x的回归方程为，则样本点的残差为 C. 根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其经验回归方程为，若其中一个散点坐标为，则 D. 若经验回归方程为，则当变量x增加1个单位时，平均增加3个单位 第Ⅱ卷非选择题（共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）. 12. 某班有男生27人，女生18人，按照性别进行分层，用分层随机抽样的方法从该班抽取5人参加跑步接力赛，则男生被抽取的人数为______ 13. 一批产品共有件，其中件正品，件次品，现从件产品中一次性抽取件，设抽取出的件产品中次品数为，则 ___________ 14. 4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列个数有_________种． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤）. 15. 由某种设备的使用年限（年）与所支出的维修费（万元）的数据资料算得如下结果，，，，.（回归直线方程是：，其中，） （1）求所支出的维修费关于使用年限的经验回归方程； （2）①判断变量与之间是正相关还是负相关； ②当使用年限为年时，试估计支出的维修费是多少？ 16. 函数 （1）求在点处的切线方程. （2）求的单调区间. 17. 甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表： 准点班次数 未准点班次数 合计 A 240 260 B 30 合计 500 （1）将上述列联表补充完整. （2）根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率； （3）能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？ 附：. 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 18. 某市为争创“文明城市”，现对城市的主要路口进行“文明骑车”的道路监管，为了解市民对该项目的满意度，分别从不同地区随机抽取了200名市民对该项目进行评分，绘制如下频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值，并计算这200名市民评分的平均值； （2）用频率作为概率的估计值，现从该城市市民中随机抽取4人进一步了解情况，用表示抽到的评分在90分以上的人数，求的分布列及数学期望. 19. 已知函数，且. （1）求的值； （2）若函数在上的最大值为20，求函数在上的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永宁县第二中学2024-2025学年第二学期期末考试 高二年级数学试卷 命题老师：祁红菊 、庞萍、周娟 审核人： 时间：120分钟 满分: 150分 我是一名永宁县第二中学的学生，为维护考试的公平、公正，我愿意用诚实守信的行为，以自己的人品、人格担保做出如下承诺：遵守学校考试管理规定，独立完成试卷的内容，考试过程中不偷看、抄袭或有意让他人抄袭；不交头接耳、传递答案，尊重监考教师. 第Ⅰ卷 选择题（共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 是虚数单位，复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】求得对应的坐标，由此得出正确选项. 【详解】复数对应的坐标为，在第三象限. 故选：C. 2. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据补集的定义求解即可． 【详解】因为集合，集合， 所以． 故选：C 3. （ ） A. B. C. 0 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由基本函数的导数公式即可求解. 【详解】， 故选：C 4. 在 的展开式中，的系数为（ ） A. -40 B. 40 C. -80 D. 80 【答案】C 【解析】 【详解】展开式中含的项为：， 所以的系数为. 5. 某工厂为了研究某种产品的产量x（吨）与所需某种原材料的质量y（吨）的相关性，在生产过程中收集了4组对应数据，如表所示． x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 m 根据表中数据，得出y关于x的回归直线方程为．据此计算出在样本处的随机误差为，则表中m的值为（ ） A. 4.5 B. 4.2 C. 4.8 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件求出，再运用回归直线经过样本中心可解. 【详解】根据题意可得，在样本处，，则，解得． 由题表可知，． 因为回归直线过样本点的中心， 所以．故，解得． 故选：A． 6. 已知随机变量X服从正态分布，且，则（ ） A. 0.24 B. 0.38 C. 0.12 D. 0.44 【答案】B 【解析】 【分析】利用正态分布的对称性求解即可. 【详解】根据题意可得． 故选：B. 7. 已知函数的导函数为，的图象如图所示，则（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数的几何意义，结合图象即可求解. 【详解】根据导数的几何意义，结合图象可得， 所以. 故选：A. 8. 先后两次掷一枚质地均匀的正方体骰子（六个面分别标记为），记事件“第一次掷出的点数小于4”，事件“两次点数之和大于4”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用条件概率公式即可求得的值. 【详解】由题意可知， 事件与事件同时发生， 有共12种可能， ，所以. 故选：B. 二、多选题（本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错得0分）. 9. 曲线y=f(x)=x3在点P处的切线斜率k=3，则点P的坐标是（ ） A. (1，1) B. (-1，-1) C. (-2，-8) D. (2，8) 【答案】AB 【解析】 【分析】设出点P的坐标，再对函数f(x)求导，利用导数的几何意义即可作答. 【详解】点P在曲线f(x)=x3上，设，而， 由导数的几何意义得，即，解得， 所以点P的坐标是(1，1)或(-1，-1). 故选：AB 10. 若随机变量服从两点分布，其中，，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据随机变量服从两点分布推出，根据公式先计算出、，由此分别计算四个选项得出结果． 【详解】随机变量服从两点分布，其中，， ， ， 在A中，，故A正确； 在B中，，故B正确； 在C中，，故C错误； 在D中，，故D正确． 故选：ABD． 11. 下列选项正确的是（ ） A. 相关系数r越大，成对样本数据的线性相关程度越强 B. 已知y关于x的回归方程为，则样本点的残差为 C. 根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其经验回归方程为，若其中一个散点坐标为，则 D. 若经验回归方程为，则当变量x增加1个单位时，平均增加3个单位 【答案】BD 【解析】 【分析】根据相关系数、残差及经验回归方程的知识逐项判断即可. 【详解】对于A，的值越大，相关性越强，故A错误； 对于B，由可得：，所以残差为：，故B正确； 对于C，散点不一定满足回归方程，不能直接代入方程，故C错误； 对于D，经验回归方程为，变量x增加1个单位时，平均增加3个单位，故D正确． 故选：BD． 第Ⅱ卷非选择题（共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）. 12. 某班有男生27人，女生18人，按照性别进行分层，用分层随机抽样的方法从该班抽取5人参加跑步接力赛，则男生被抽取的人数为______ 【答案】3 【解析】 【分析】根据分层抽样定义，求出抽样比计算可得结果. 【详解】易知抽样比为，所以男生被抽取的人数为. 故答案为：3 13. 一批产品共有件，其中件正品，件次品，现从件产品中一次性抽取件，设抽取出的件产品中次品数为，则 ___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据超几何分布求概率公式计算即可求解. 【详解】由题意根据超几何分布的概率公式，可知. 故答案为： 14. 4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列个数有_________种． 【答案】288 【解析】 【分析】先选家长作队尾和队首，再排中间四人即可. 【详解】先选两位家长排在首尾有种排法；再排对中的四人有种排法， 故有种排法. 故答案为：288 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤）. 15. 由某种设备的使用年限（年）与所支出的维修费（万元）的数据资料算得如下结果，，，，.（回归直线方程是：，其中，） （1）求所支出的维修费关于使用年限的经验回归方程； （2）①判断变量与之间是正相关还是负相关； ②当使用年限为年时，试估计支出的维修费是多少？ 【答案】（1） （2）①正相关；②万元 【解析】 【分析】（1）利用最小二乘估计可求得经验回归方程； （2）①由知变量与正相关；②将代入经验回归方程即可得到结果. 【小问1详解】 ，， 所求经验回归方程为：； 【小问2详解】 ①由（1）知：，与之间是正相关关系； ②当时，， 即当使用年限为年时，支出的维修费是万元. 16. 函数 （1）求在点处的切线方程. （2）求的单调区间. 【答案】（1） （2）单调递增区间是，单调递减区间是 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求得切线斜率，继而由点斜式求得切线方程； （2）利用导函数的符号确定原函数的单调区间即可. 【小问1详解】 因， 则， 又，即切点为， 故在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 因的定义域为， 令 得 ，令 得， 故得的单调递增区间是，单调递减区间是. 17. 甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表： 准点班次数 未准点班次数 合计 A 240 260 B 30 合计 500 （1）将上述列联表补充完整. （2）根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率； （3）能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？ 附：. 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 【答案】（1） 列联表如下： 准点班次数 未准点班次数 合计 A 240 20 260 B 210 30 240 合计 450 50 500 （2）公司的长途客车准点的概率为，公司的长途客车准点的概率为； （3）有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关； 【解析】 【分析】（1）根据表格数据直接求解； （2）由概率定义直接代入数据计算即可； （3）提出零假设，计算出卡方的值并进行比较即可得出结论. 【小问1详解】 依题意可知，列联表如下： 准点班次数 未准点班次数 合计 A 240 20 260 B 210 30 240 合计 450 50 500 【小问2详解】根据（1）中表格数据可知， 估计公司的长途客车准点的概率为； 估计公司的长途客车准点的概率为； 【小问3详解】 零假设为：甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司无关； 易知，显然， 所以根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 故有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关. 18. 某市为争创“文明城市”，现对城市的主要路口进行“文明骑车”的道路监管，为了解市民对该项目的满意度，分别从不同地区随机抽取了200名市民对该项目进行评分，绘制如下频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值，并计算这200名市民评分的平均值； （2）用频率作为概率的估计值，现从该城市市民中随机抽取4人进一步了解情况，用表示抽到的评分在90分以上的人数，求的分布列及数学期望. 【答案】（1）；平均分为分 （2）分布列为： 0 1 2 3 4 期望为1【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图频率之和为1计算即可；（2）根据二项分布概率公式计算列的分布列，数学期望计算即可. 【小问1详解】 由频率分布直方图知，， 由，解得， （分）. 【小问2详解】 评分在90分以上的频率为，用频率作为概率的估计值，现从该城市中随机抽取4人可以看成二项分布，, 的所有可能取值为0，1，2，3，4， ， ， ， ， ， 所以X的分布列为： 0 1 2 3 4 . 19. 已知函数，且. （1）求的值； （2）若函数在上的最大值为20，求函数在上的最小值. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】 （1）先对函数求导，然后由，列出关于的方程组，解方程组可求出的值； （2）由函数在上的最大值为20，求出的值，然后由函数的单调性求函数在上的最小值. 【详解】解：（1）因为，所以， 因为, 所以, 解得 所以. （2）由（1）可知，则， 令，得, 和的变化情况如下表： 2 0 极小值 因为， 所以函数在上的最大值为, 所以，解得, 所以, 由上面可知在上单调递增，在上单调递减； 又因为， 所以函数在上的最小值为. 【点睛】此题考查利用导数求函数的极值和最值，属于基础题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $