专题2.6 指数运算与对数运算讲义+巩固训练-2026届高三数学一轮复习

专题2.6 指数运算与对数运算 题型1 根式的运算 4 题型2 分数指数幂的化简与求值 7 题型3 对数的运算性质及换底公式的应用 10 题型4 指数对数运算的实际应用 13 高考真题演练 18 知识点一 根式 1.根式的定义：式子叫作根式，这里叫作根指数，叫作被开方数. 2.根式的性质：(1)(，且当为奇数时，，当为偶数时，). (2) 知识点二 指数幂 1.整数指数幂 (1)正整数指数幂：一般地，叫作的次幂，叫作幂的底数，叫作幂的指数，并且规定； 在中，是正整数，因此通常又把它称为正整数指数幂. (2)零指数幂： (3)负整数指数幂：规定，叫作负整数指数幂 (4)整数指数幂的运算性质：() (1)； (2)； (3) (4)； (5) 2.有理数指数幂 (1)正数的正分数指数幂：我们规定，正数的正分数指数幂的意义是于是，在条件下，根式都可以写成分数指数幂的形式. (2)正数的负分数指数幂：正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定， (3)的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义. (4)有理数指数幂的运算性质： 整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数r，s，均有以下的运算性质. (1)； (2)； (3)； (4)； 知识点三 无理数指数幂及实数指数幂 1.无理数指数幂 一般地，无理数指数幂(，是无理数)是一个确定的实数.这样，我们就将指数幂 中指数x 的取值范围从整数逐步拓展到了实数. 2.实数指数幂的运算性质 整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂. 知识点四 对数的概念 1．对数的定义：一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数. 2．常用对数与自然对数 (1)常用对数：通常将以10为底的对数叫作常用对数，并把记为. (2)自然对数：在科技、经济以及社会生活中经常使用以无理数为底数的对数，以为底的对数称为自然对数，并把记为. 3．对数式与指数式的关系 对数是由指数转化而来，则底数、指数或对数、幂或真数的范围不变，只是位置和名称发生了变换． 4．对数的基本性质 (1)负数和0没有对数. (2)1的对数等于0，即.因为，所以. (3)底数的对数等于1，即因为，所以. (4)对数恒等式因为，所以，将代入，即得. (5)因为，所以，将代入，即得. 知识点五 对数的运算性质 如果，且，，，那么 (1);(两个正数的积的对数等于这两个正数的对数的和) (2);(两个正数的商的对数等于这两个正数的对数的差) (3).(指数幂的对数等于底数的对数的指数倍) 对数运算中的常见公式及推广 (1); (2); (3); (4)可推广为 . 知识点六 对数的换底公式 1．换底公式： 换底公式的证明(对数的定义和指数、对数的互化)： 已知,且；； 设，可化为指数式，两边同时取以为底的对数，得. 把代入上式得. 因为，所以，则 2．常用的对数换底公式，其中，且且且 (1) (2) (3) 题型1 根式的运算 1．（2024·河南·三模）若，则化简的结果是（    ） A． B． C． D． 2．（多选）若，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D．1 3．求下列各式的值； (1)； (2)． 4．已知是方程的两根，求的值． 5． ，求 ． 6．（2024·广东·模拟预测）若，则 ． 题型2 分数指数幂的化简与求值 7．用分数指数幂表示下列各式： (1)； (2)； (3)． 8．（2023·山东·模拟预测）计算： (1)； (2) 9．计算下列各式： (1)； (2)． 10．计算或化简． (1)化简：； (2)计算：； (3)已知，求的值． 11．（多选）（2025高三·全国·专题练习）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D．若，则． 题型3 对数的运算性质及换底公式的应用 12．（2024·上海·三模）若正实数、满足，则的最小值为 ． 13．（2025·北京大兴·三模）已知，则的值为（   ） A．15 B． C． D． 14．（2025·天津河北·模拟预测）已知，，则可以表示为（    ） A． B． C． D． 15．（多选）下列等式成立的是（　　） A． B． C． D． 16．（1）； （2）. 17．求下列各式的值. (1)； (2)； (3). 18．已知正实数满足． (1)①试用以k为底的一个对数表示； ②若，求实数m的值； (2)若不等式恒成立，求实数t的最大值． 题型4 指数对数运算的实际应用 19．（2025·广东汕头·模拟预测）某食品保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：℃）满足函数关系（，为常数）若该食品在的保鲜时间是168小时，在的保鲜时间是42小时，则该食品在的保鲜时间是（    ） A．21小时 B．22小时 C．23小时 D．24小时 20．（2025·北京房山·一模）自然界中，大多数生物存在着世代重叠现象，它们在生活史中会持续不断地繁殖后代，且有时不同的世代能在同一时间进行繁殖.假定某类生物的生长发育不受密度制约时，其增长符合模型：，其中为种群起始个体数量，为增长系数，为时刻的种群个体数量.当时，种群个体数量是起始个体数量的2倍.若，则（    ） A．300 B．450 C．600 D．750 21．（2025·江西·二模）遗忘曲线是由德国心理学家艾宾浩斯研究发现的，它描述了人类大脑对新事物遗忘的规律.某同学根据自己记忆100个英语新单词的经历，用画图软件拟合了自己的遗忘曲线，得到其记忆率（记住的单词个数占总单词数的百分比）与初次记忆经过的时间（单位：小时）的函数关系式为，当记住的单词仅剩25个时，则离初次记忆经过了（    ）（参考数据：） A．100小时 B．300小时 C．1000小时 D．3000小时 22．（2025·陕西汉中·三模）声音的强弱可以用声波的能流密度来计算，叫做声强.通常人耳能听到声音的最小声强为（瓦/平方米）.在某特殊介质的实验中对于一个声音的声强，用声强与比值的常用对数来表示声强的“声强级数”，即，则“声强级数8”的声强是“声强级数6”的声强的（   ） A．2倍 B．20倍 C．100倍 D．1000倍 23．（2025·北京·三模）香农定理作为通信理论的基石，在现代通信中有着广泛的应用，它给出了信道容量和信噪比及信道带宽的关系，即其中是信道容量，单位bps；为信道带宽，单位Hz；代表接收信号的信噪比，为无量纲单位.军事战术电台采用跳频扩频（FHSS）技术，通过每秒切换数千次频率将信道带宽由5MHz扩展至100MHz，为了将敌方干扰效率降低90%以上，需将信道容量由17.3Mbps提高至593Mbps，依据香农定理，则大约需将信号的信噪比提升至原来的（   ）倍.（参考数据：，） A．5 B．6 C．7 D．8 24．（2025·陕西咸阳·模拟预测）“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等物理声学作用，激起水波，形成涌泉.声音越大，涌起的泉水越高.已知听到的声强与标准声强（约为，单位：）之比的常用对数称作声强的声强级，记作（贝尔），即，取贝尔的十倍作为响度的常用单位，简称为分贝.已知某处“喊泉”的声音响度（分贝）与喷出的泉水高度（米）满足关系式，现知同学用喇叭大喝一声激起的涌泉最高高度为2米，若同学用喇叭大喝一声的声强大约为不用喇叭大喝一声的声强的10倍，则同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为（   ） A．1.75米 B．1.5米 C．1.25米 D．1米 25．（2025·北京海淀·三模）历史上，在5月27日曾有多次地震记录．例如：2006年5月27日，印尼爪哇发生里氏6.3级地震，2024年5月27日，四川木里县发生里氏5.0级地震，经过科学家的研究发现，地震时释放出来的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为．印尼爪哇地震所释放出来的能量约是四川木里地震的（    ）倍．（精确到1．参考数据：） A．87 B．88 C．89 D．90 一、单选题 1．（2020·全国I卷·高考真题）设，则（    ） A． B． C． D． 2．（2022·浙江·高考真题）已知，则（    ） A．25 B．5 C． D． 3．（2021·天津·高考真题）若，则（    ） A． B． C．1 D． 4．（2022·天津·高考真题）化简（         ） A．1 B． C．2 D． 5．（2020·全国III卷·高考真题）已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（    ） A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b 6．（2019·北京·高考真题）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D． 7．（2020·山东·高考真题）基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （    ） A．1.2天 B．1.8天 C．2.5天 D．3.5天 8．（2025·北京·高考真题）一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间（单位：h），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（   ） A．2h B．4h C．20h D．40h 9．（2022·北京·高考真题）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是．下列结论中正确的是（    ） A．当，时，二氧化碳处于液态 B．当，时，二氧化碳处于气态 C．当，时，二氧化碳处于超临界状态 D．当，时，二氧化碳处于超临界状态 10．（2020·全国III卷·高考真题）Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（    ）（ln19≈3） A．60 B．63 C．66 D．69 11．（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 12．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离 声压级 燃油汽车 10 混合动力汽车 10 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（    ）． A． B． C． D． 三、填空题 13．（2017·全国·高考真题） ． 14．（2024·全国甲卷·高考真题）已知且，则 ． 15．（2016·浙江·高考真题）已知a＞b＞1.若logab+logba=，ab=ba，则a= ，b= . 四、解答题 16．（2022·上海·高考真题） (1)若将函数图像向下移后，图像经过，求实数a，m的值. (2)若且，求解不等式. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.6 指数运算与对数运算 基础巩固 一、单选题 1．（2025·河南新乡·二模）（    ） A．16 B． C．32 D． 2．（2025·山西临汾·三模）已知，，则（   ） A．3 B．1 C． D． 3．（2025·河南·模拟预测）已知且，则（    ） A． B． C． D． 4．已知，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024·广东佛山·模拟预测）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 6．若，则的值约为（    ） A．1.322 B．1.410 C．1.507 D．1.669 7．（2025·四川乐山·三模）已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 8．（2025·浙江嘉兴·二模）若实数满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 9．数学家欧拉研究调和级数得到了以下的结果：当较大时，（，常数）．利用以上公式，可以估算的值为（    ） A． B． C． D． 10．（2025·贵州黔东南·三模）在人工智能芯片的性能测试中，若芯片处理数据的错误率E与芯片的运算速度v（单位：）满足函数关系，则当芯片处理数据的运算速度为时，芯片处理数据的错误率约为（参考数据：）（   ） A． B． C． D． 二、多选题 11．下列判断正确的有（    ） A． B．（其中） C． D．（其中，） 12．若a，b，c都是正数，且则（    ） A． B． C． D． 13．已知，则实数满足（     ） A． B． C． D． 三、填空题 14．（2025·安徽·三模）已知，则 . 15．（2025·江西萍乡·三模）已知，则 . 16．计算：= . 17．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知正实数满足，则 ． 四、解答题 18．计算下列各式的值： (1)； (2) (3)； (4)． 19．已知. (1)分别求和； (2)若，且，求. 20．《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》指出：数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养．对数运算与指数幂运算是两类重要的运算.18世纪，瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，并进一步指出：对数源出于指数．然而对数的发明先于指数，这成为数学史上的珍闻． (1)试利用对数运算性质计算的值； (2)已知为正数，若，求的值； (3)定义：一个自然数的数位的个数，叫做位数，例如23的位数是2，2024的位数是4．试判断的位数．（注） 能力提升 21．（2025·吉林·模拟预测）满足条件，且的一组为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 22．（多选）（2025·安徽六安·模拟预测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 23．（多选）已知，则a，b满足的关系是（    ）． A． B． C． D． 24．若实数、、满足，，则的最小值是 . 25．（2024·山东青岛·一模）地震震级根据地震仪记录的地震波振幅来测定，一般采用里氏震级标准.里氏震级的计算公式为（其中常数是距震中100公里处接收到的0级地震的地震波的最大振幅，是指我们关注的这次地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅）.地震的能量（单位：焦耳）是指当地震发生时，以地震波的形式放出的能量.已知，其中为地震震级.下列说法正确的是（   ）. A．若地震震级增加1级，则最大振幅增加到原来的100倍 B．若地震震级增加1级，则放出的能量增加到原来的10倍 C．若最大振幅增加到原来的10倍，则放出的能量也增加到原来的倍 D．若最大振幅增加到原来的10倍，则放出的能量增加到原来的1000倍 26．（2025·湖南长沙·模拟预测）深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中M表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，E表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.6，衰减速度为16，且当训练迭代轮数为16时，学习率衰减为0.48，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（    ） （参考数据：） A．75 B．77 C．79 D．81 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.6 指数运算与对数运算 题型1 根式的运算 4 题型2 分数指数幂的化简与求值 7 题型3 对数的运算性质及换底公式的应用 10 题型4 指数对数运算的实际应用 13 高考真题演练 18 知识点一 根式 1.根式的定义：式子叫作根式，这里叫作根指数，叫作被开方数. 2.根式的性质：(1)(，且当为奇数时，，当为偶数时，). (2) 知识点二 指数幂 1.整数指数幂 (1)正整数指数幂：一般地，叫作的次幂，叫作幂的底数，叫作幂的指数，并且规定； 在中，是正整数，因此通常又把它称为正整数指数幂. (2)零指数幂： (3)负整数指数幂：规定，叫作负整数指数幂 (4)整数指数幂的运算性质：() (1)； (2)； (3) (4)； (5) 2.有理数指数幂 (1)正数的正分数指数幂：我们规定，正数的正分数指数幂的意义是于是，在条件下，根式都可以写成分数指数幂的形式. (2)正数的负分数指数幂：正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定， (3)的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义. (4)有理数指数幂的运算性质： 整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数r，s，均有以下的运算性质. (1)； (2)； (3)； (4)； 知识点三 无理数指数幂及实数指数幂 1.无理数指数幂 一般地，无理数指数幂(，是无理数)是一个确定的实数.这样，我们就将指数幂 中指数x 的取值范围从整数逐步拓展到了实数. 2.实数指数幂的运算性质 整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂. 知识点四 对数的概念 1．对数的定义：一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数. 2．常用对数与自然对数 (1)常用对数：通常将以10为底的对数叫作常用对数，并把记为. (2)自然对数：在科技、经济以及社会生活中经常使用以无理数为底数的对数，以为底的对数称为自然对数，并把记为. 3．对数式与指数式的关系 对数是由指数转化而来，则底数、指数或对数、幂或真数的范围不变，只是位置和名称发生了变换． 4．对数的基本性质 (1)负数和0没有对数. (2)1的对数等于0，即.因为，所以. (3)底数的对数等于1，即因为，所以. (4)对数恒等式因为，所以，将代入，即得. (5)因为，所以，将代入，即得. 知识点五 对数的运算性质 如果，且，，，那么 (1);(两个正数的积的对数等于这两个正数的对数的和) (2);(两个正数的商的对数等于这两个正数的对数的差) (3).(指数幂的对数等于底数的对数的指数倍) 对数运算中的常见公式及推广 (1); (2); (3); (4)可推广为 . 知识点六 对数的换底公式 1．换底公式： 换底公式的证明(对数的定义和指数、对数的互化)： 已知,且；； 设，可化为指数式，两边同时取以为底的对数，得. 把代入上式得. 因为，所以，则 2．常用的对数换底公式，其中，且且且 (1) (2) (3) 题型1 根式的运算 1．（2024·河南·三模）若，则化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根式的化简求值、指数幂的化简、求值、对数的运算 【分析】根据指数运算法则和对数运算法则化简求值即可. 【详解】由，，可知， . 故选：B 2．（多选）若，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D．1 【答案】ABC 【知识点】根式的化简求值 【分析】应用根式的运算即可. 【详解】，则，解得． 故选：ABC 3．求下列各式的值； (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】根式的化简求值 【分析】分析：（1）利用 进行化简，求得答案； （2）先将式子和化成完全平方式，再化简，即得答案. 【详解】（1）= ． （2）原式= 因为，所以， 当，即时， 当，即时，, 所以. 4．已知是方程的两根，求的值． 【答案】 【知识点】根式的化简求值 【详解】解：由题意，得．又，而，所以．所以 5． ，求 ． 【答案】 【知识点】根式的化简求值 【分析】通过根式的化简与运算即可得出结论. 【详解】法一：因为，，所以. 法二：. 故答案为： 6．（2024·广东·模拟预测）若，则 ． 【答案】 【知识点】根式的化简求值 【分析】分和两种情况分类计算. 【详解】当时，， 当时，. 故答案为： 题型2 分数指数幂的化简与求值 7．用分数指数幂表示下列各式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】指数幂的运算、分数指数幂与根式的互化、指数幂的化简、求值 【分析】应用指数幂运算律计算求解； 【详解】（1） （2）因为，， 所以 ． （3）因为，， 所以 ． 8．（2023·山东·模拟预测）计算： (1)； (2) 【答案】(1)1 (2) 【知识点】指数幂的化简、求值、分数指数幂与根式的互化、根式的化简求值 【分析】（1）利用根式与指数幂运算法则计算即可得出结果； （2）由根式与分数指数幂的互化，计算化简即可得出答案. 【详解】（1）原式 （2）由根式与分数指数幂互化运算可得， 9．计算下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】指数幂的运算、指数幂的化简、求值 【分析】（1）利用指数运算性质即可得出； （2）利用指数运算性质即可得出. 【详解】（1）原式． （2）原式 ． 10．计算或化简． (1)化简：； (2)计算：； (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】指数幂的运算、分数指数幂与根式的互化、指数幂的化简、求值 【分析】（1）（2）利用指数幂的运算性质可化简所求代数式； （3）利用平方关系可求出、，再利用立方和公式可求得所求代数式的值. 【详解】（1）原式. （2）原式. （3）对两边平方，得，可得， 再对两边平方，得，所以，， 所以，. 则. 11．（多选）（2025高三�全国�专题练习）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D．若，则． 【答案】BD 【知识点】指数幂的运算、分数指数幂与根式的互化、指数幂的化简、求值 【分析】由指数幂的运算性质对选项一一计算即可得出答案. 【详解】对于A，，A错误； 对于B． ，B正确； 对于C，原式 ，C错误； 对于D，当时，，得， 由，得， 所以，D正确． 故选：BD. 题型3 对数的运算性质及换底公式的应用 12．（2024·上海·三模）若正实数、满足，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】对数的运算、基本不等式求和的最小值 【分析】根据对数的运算公式，求出实数、满足的等量关系，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】由题意得，可得， 由对数性质可知，根据基本不等式可知，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为4. 故答案为：4. 13．（2025·北京大兴·三模）已知，则的值为（   ） A．15 B． C． D． 【答案】C 【知识点】指数幂的运算、指数式与对数式的互化、对数的运算 【分析】结合指数与对数的转化及指数运算性质即可求解. 【详解】因为，所以， 又，所以. 故选：C. 14．（2025·天津河北·模拟预测）已知，，则可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】对数的运算 【分析】结合对数运算性质即可得解． 【详解】由对数运算性质可得， 故选：D． 15．（多选）下列等式成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】对数的运算、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】根据对数的运算性质计算逐项计算. 【详解】，A成立； ，B不成立； ，C成立； ，D不成立. 故选：AC 16．（1）； （2）. 【答案】（1）；（2）1 【知识点】对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】（1）运用对数运算公式及换底公式计算即可. （2）运用完全平方公式及对数运算公式计算即可. 【详解】（1） （2）原式 17．求下列各式的值. (1)；(2)；(3). 【答案】(1) (2)1 (3)52 【知识点】对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】（1）（2）（3）利用对数的运算性质结合换底公式求解即可. 【详解】（1）原式 . （2）原式. （3）法一：原式 . 法二：原式 . 18．已知正实数满足． (1)①试用以k为底的一个对数表示； ②若，求实数m的值； (2)若不等式恒成立，求实数t的最大值． 【答案】(1)①；② (2) 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【详解】解：（1）①因为，所以，所以． ②因为，且，所以，解得． （2）由不等式，得，所以t的最大值． 题型4 指数对数运算的实际应用 19．（2025·广东汕头·模拟预测）某食品保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：℃）满足函数关系（，为常数）若该食品在的保鲜时间是168小时，在的保鲜时间是42小时，则该食品在的保鲜时间是（    ） A．21小时 B．22小时 C．23小时 D．24小时 【答案】A 【知识点】指数幂的运算、指数函数模型的应用（2） 【分析】根据已知条件，结合指数函数的公式，即可求解. 【详解】当时，，当时，， 所以，； 当时，. 故选：A. 20．（2025·北京房山·一模）自然界中，大多数生物存在着世代重叠现象，它们在生活史中会持续不断地繁殖后代，且有时不同的世代能在同一时间进行繁殖.假定某类生物的生长发育不受密度制约时，其增长符合模型：，其中为种群起始个体数量，为增长系数，为时刻的种群个体数量.当时，种群个体数量是起始个体数量的2倍.若，则（    ） A．300 B．450 C．600 D．750 【答案】C 【知识点】指数幂的化简、求值、指数函数模型的应用（2） 【分析】根据已知函数模型计算得出，再结合指数运算计算求解. 【详解】因为模型：，其中为种群起始个体数量，为增长系数， 因为当时，种群个体数量是起始个体数量的2倍. 所以，所以， 若，则. 故选：C. 21．（2025·江西·二模）遗忘曲线是由德国心理学家艾宾浩斯研究发现的，它描述了人类大脑对新事物遗忘的规律.某同学根据自己记忆100个英语新单词的经历，用画图软件拟合了自己的遗忘曲线，得到其记忆率（记住的单词个数占总单词数的百分比）与初次记忆经过的时间（单位：小时）的函数关系式为，当记住的单词仅剩25个时，则离初次记忆经过了（    ）（参考数据：） A．100小时 B．300小时 C．1000小时 D．3000小时 【答案】C 【知识点】对数的运算、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】利用对数性质求解指数方程可得答案. 【详解】由题意得，所以，即， 两边同时取以10为底的对数，得，所以. 故选：C. 22．（2025·陕西汉中·三模）声音的强弱可以用声波的能流密度来计算，叫做声强.通常人耳能听到声音的最小声强为（瓦/平方米）.在某特殊介质的实验中对于一个声音的声强，用声强与比值的常用对数来表示声强的“声强级数”，即，则“声强级数8”的声强是“声强级数6”的声强的（   ） A．2倍 B．20倍 C．100倍 D．1000倍 【答案】C 【知识点】对数的运算、对数的运算性质的应用 【分析】根据已知条件分别求出“声强级数”和“声强级数”对应的声强，再计算它们的倍数关系. 【详解】当时，代入声强级数公式可得. 可将上式变形为. 那么，解得. 当时，代入声强级数公式可得. 则，可得，解得. . 故“声强级数”的声强是“声强级数”的声强的100倍. 故选：C. 23．（2025·北京·三模）香农定理作为通信理论的基石，在现代通信中有着广泛的应用，它给出了信道容量和信噪比及信道带宽的关系，即其中是信道容量，单位bps；为信道带宽，单位Hz；代表接收信号的信噪比，为无量纲单位.军事战术电台采用跳频扩频（FHSS）技术，通过每秒切换数千次频率将信道带宽由5MHz扩展至100MHz，为了将敌方干扰效率降低90%以上，需将信道容量由17.3Mbps提高至593Mbps，依据香农定理，则大约需将信号的信噪比提升至原来的（   ）倍.（参考数据：，） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算性质的应用、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】依据香农定理，结合题中数据代入计算即可. 【详解】设原始状态信道容量为，提升后信道容量为， 由题意可得，即，解得， 同理，即，解得， 所以大约需将信号的信噪比提升至原来的6倍. 故选：B 24．（2025·陕西咸阳·模拟预测）“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等物理声学作用，激起水波，形成涌泉.声音越大，涌起的泉水越高.已知听到的声强与标准声强（约为，单位：）之比的常用对数称作声强的声强级，记作（贝尔），即，取贝尔的十倍作为响度的常用单位，简称为分贝.已知某处“喊泉”的声音响度（分贝）与喷出的泉水高度（米）满足关系式，现知同学用喇叭大喝一声激起的涌泉最高高度为2米，若同学用喇叭大喝一声的声强大约为不用喇叭大喝一声的声强的10倍，则同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为（   ） A．1.75米 B．1.5米 C．1.25米 D．1米 【答案】A 【知识点】对数的运算、对数的运算性质的应用、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】设同学不用喇叭时的声强为，喷出泉水高度为，则同学用喇叭时的声强为，喷出泉水高度为2米.由题意知及，联立方程组，结合对数的运算性质即可求解. 【详解】设同学不用喇叭时的声强为，喷出泉水高度为，则同学用喇叭时的声强为，喷出泉水高度为2米. 由题意知，，即①. 又，即，即②. 由可得，解得. 故选：A. 25．（2025·北京海淀·三模）历史上，在5月27日曾有多次地震记录．例如：2006年5月27日，印尼爪哇发生里氏6.3级地震，2024年5月27日，四川木里县发生里氏5.0级地震，经过科学家的研究发现，地震时释放出来的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为．印尼爪哇地震所释放出来的能量约是四川木里地震的（    ）倍．（精确到1．参考数据：） A．87 B．88 C．89 D．90 【答案】C. 【知识点】对数的运算性质的应用、对数函数单调性的应用 【分析】设印尼地震的能量 ，震级，四川地震的能量 ，震级，利用对数计算 的值，根据参考数据，利用对数函数的单调性估计得到答案. 【详解】设印尼地震的能量 ，震级，四川地震的能量 ，震级. 因为地震时释放出来的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为， 所以， 且， 所以， 根据精确度要求精确到1，所以， 故选：C. 一、单选题 1．（2020·全国I卷·高考真题）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】指数幂的运算、指数式与对数式的互化 【分析】根据已知等式，利用指数对数运算性质即可得解 【详解】由可得，所以， 所以有， 故选：B. 【点睛】本题考查的是有关指对式的运算的问题，涉及到的知识点有对数的运算法则，指数的运算法则，属于基础题目. 2．（2022·浙江·高考真题）已知，则（    ） A．25 B．5 C． D． 【答案】C 【知识点】指数幂的化简、求值、指数式与对数式的互化、对数的运算性质的应用 【分析】根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出． 【详解】因为，，即，所以． 故选：C. 3．（2021·天津·高考真题）若，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【知识点】运用换底公式化简计算 【分析】由已知表示出，再由换底公式可求. 【详解】，， . 故选：C. 4．（2022·天津·高考真题）化简（         ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【知识点】对数的运算、对数的运算性质的应用 【分析】根据对数的性质可求代数式的值. 【详解】原式 ， 故选：C 5．（2020·全国III卷·高考真题）已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（    ） A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b 【答案】A 【知识点】运用换底公式化简计算、比较对数式的大小 【分析】由题意可得、、，利用作商法以及基本不等式可得出、的大小关系，由，得，结合可得出，由，得，结合，可得出，综合可得出、、的大小关系. 【详解】由题意可知、、，，； 由，得，由，得，，可得； 由，得，由，得，，可得. 综上所述，. 故选：A. 【点睛】本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题. 6．（2019·北京·高考真题）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D． 【答案】A 【知识点】对数的运算 【解析】由题意得到关于的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值. 【详解】两颗星的星等与亮度满足,令, . 故选A. 【点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及指数对数运算. 7．（2020·山东·高考真题）基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （    ） A．1.2天 B．1.8天 C．2.5天 D．3.5天 【答案】B 【知识点】对数的运算性质的应用、指数函数模型的应用（2）、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】根据题意可得，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，根据，解得即可得结果. 【详解】因为，，，所以，所以， 设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天， 则，所以，所以， 所以天. 故选：B. 【点睛】本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题. 8．（2025·北京·高考真题）一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间（单位：h），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（   ） A．2h B．4h C．20h D．40h 【答案】B 【知识点】对数的运算性质的应用、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】由题给条件列出不同训练数据量时所需的时间，结合对数的运算性质即可求解. 【详解】设当N取个单位、个单位、个单位时所需时间分别为, 由题意，， ， ， 因为，所以， 所以， 所以当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加4小时. 故选：B. 9．（2022·北京·高考真题）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是．下列结论中正确的是（    ） A．当，时，二氧化碳处于液态 B．当，时，二氧化碳处于气态 C．当，时，二氧化碳处于超临界状态 D．当，时，二氧化碳处于超临界状态 【答案】D 【知识点】对数的运算、根据折线统计图解决实际问题 【分析】根据与的关系图可得正确的选项. 【详解】当，时，，此时二氧化碳处于固态，故A错误. 当，时，，此时二氧化碳处于液态，故B错误. 当，时，与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，对应的是非超临界状态，故C错误. 当，时，因, 故此时二氧化碳处于超临界状态，故D正确. 故选：D 10．（2020·全国III卷·高考真题）Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（    ）（ln19≈3） A．60 B．63 C．66 D．69 【答案】C 【知识点】指数式与对数式的互化 【分析】将代入函数结合求得即可得解. 【详解】，所以，则， 所以，，解得. 故选：C. 【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题. 11．（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】比较指数幂的大小、指数式与对数式的互化 【分析】根据题意分析可得，消去即可求解. 【详解】由题意得，则，即，所以. 故选：D. 二、多选题 12．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离 声压级 燃油汽车 10 混合动力汽车 10 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】对数的运算性质的应用、对数函数模型的应用（2）、由对数函数的单调性解不等式 【分析】根据题意可知，结合对数运算逐项分析判断. 【详解】由题意可知：， 对于选项A：可得， 因为，则，即， 所以且，可得，故A正确； 对于选项B：可得， 因为，则，即， 所以且，可得， 当且仅当时，等号成立，故B错误； 对于选项C：因为，即， 可得，即，故C正确； 对于选项D：由选项A可知：， 且，则， 即，可得，且，所以，故D正确； 故选：ACD. 三、填空题 13．（2017·全国·高考真题） ． 【答案】2 【知识点】运用换底公式化简计算 【分析】利用换底公式直接求解即可. 【详解】. 故答案为：2. 14．（2024·全国甲卷·高考真题）已知且，则 ． 【答案】64 【知识点】对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】将利用换底公式转化成来表示即可求解. 【详解】由题，整理得， 或，又， 所以，故 故答案为：64. 15．（2016·浙江·高考真题）已知a＞b＞1.若logab+logba=，ab=ba，则a= ，b= . 【答案】 【知识点】指数幂的运算、对数的运算 【详解】试题分析：设，因为， 因此 指数运算，对数运算． 在解方程时，要注意，若没注意到，方程的根有两个，由于增根导致错误 四、解答题 16．（2022·上海·高考真题） (1)若将函数图像向下移后，图像经过，求实数a，m的值. (2)若且，求解不等式. 【答案】(1) (2)答案见解析. 【知识点】对数的运算、求对数型复合函数的定义域、由对数函数的单调性解不等式 【分析】（1）由题知，再根据题意得，解方程即可得答案； （2）根据题意，结合对数函数的单调性将不等式转化为的解集，再分类讨论求解即可. 【详解】（1）解：函数的定义域满足，即， 所以，要使函数的定义域非空，则，即. 若将函数图像向下移后得到的解析式为： ，. 所以在函数的图像上，即， 解得：， 所以， （2）解：由题知， , , 因为函数在上单调递增， 所以等价于，展开整理得：， 所以，不等式的解集为的解， 所以，当时，不等式的解为； 当时，不等式的解为. 综上，当时，不等式的解为；当时，不等式的解为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.6 指数运算与对数运算 基础巩固 一、单选题 1．（2025·河南新乡·二模）（    ） A．16 B． C．32 D． 【答案】A 【知识点】指数幂的化简、求值 【分析】应用指数幂运算的性质化简求值. 【详解】由. 故选：A 2．（2025·山西临汾·三模）已知，，则（   ） A．3 B．1 C． D． 【答案】B 【知识点】指数幂的运算、对数的运算 【分析】根据指数，对数的运算性质即可求解. 【详解】由，可得，， 则， 故选：B 3．（2025·河南·模拟预测）已知且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】指数幂的化简、求值、对数的运算性质的应用 【分析】根据指数运算性质和对数运算性质逐项判断即可. 【详解】由题意得A项中的和C项中的的值无法确定， 对于B，，对于D，． 故选：D 4．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算、对数的运算 【分析】根据对数的运算性质以及换底公式，进行化简，可得答案. 【详解】由得， 故 ， 故选：C 5．（2024·广东佛山·模拟预测）已知，，，则（    ） A． B． C． D． E．均不是 【答案】D 【知识点】对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】运用对数运算公式计算即可. 【详解】由题意知，，，， 因为，， 所以由换底公式可得，， 又因为（）， 所以， 所以由换底公式可得. 故选：D. 6．若，则的值约为（    ） A．1.322 B．1.410 C．1.507 D．1.669 【答案】A 【知识点】对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】利用指对互化与换底公式即可得解. 【详解】因为， 所以. 故选：A. 7．（2025·四川乐山·三模）已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】指数幂的运算、指数式与对数式的互化 【分析】根据指数式与对数式的互化以及指数幂的运算性质计算即可. 【详解】由可得，又因为， 所以， 故选：B. 8．（2025·浙江嘉兴·二模）若实数满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求二次函数的值域或最值、指数幂的运算 【分析】由指数运算可得，再由二次函数可得的最大值. 【详解】因为，所以即， 故即，当且仅当时等号成立， 故的最大值为， 故选：D. 9．数学家欧拉研究调和级数得到了以下的结果：当较大时，（，常数）．利用以上公式，可以估算的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】对数的运算性质的应用 【分析】依题意可得，，两式相减，根据对数的运算法则计算可得. 【详解】依题意可得， ， 两式相减可得. 故选：B 10．（2025·贵州黔东南·三模）在人工智能芯片的性能测试中，若芯片处理数据的错误率E与芯片的运算速度v（单位：）满足函数关系，则当芯片处理数据的运算速度为时，芯片处理数据的错误率约为（参考数据：）（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】对数的运算、对数的运算性质的应用 【分析】由，代入数据即可求解. 【详解】当， 则 . 故选：B 二、多选题 11．下列判断正确的有（    ） A． B．（其中） C． D．（其中，） 【答案】BCD 【知识点】指数幂的化简、求值、根式的化简求值、分数指数幂与根式的互化 【分析】根据根式的性质判断A，根据分数指数幂的运算性质判断B，C，D. 【详解】对于选项A，，A错误； 对于选项B，因为，所以，B正确； 对于选项C，，C正确； 对于选项D，因为，，所以，D正确； 故选：BCD. 12．若a，b，c都是正数，且则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【知识点】对数的运算、运用换底公式化简计算、基本不等式求和的最小值 【分析】设，得到， ， ，再逐项判断. 【详解】解：设， 则，， ，， ，， 所以， ，因为，所以，则等号不成立， 所以，则， 因为，所以， 故选：BCD 13．已知，则实数满足（     ） A． B． C． D． 【答案】AD 【知识点】对数的运算性质的应用、由基本不等式证明不等关系、运用换底公式化简计算 【分析】把指数式改写为对数式，再结合对数运算法则、换底公式变形，利用基本不等式判断各选项． 【详解】因为，所以，， ，， 易知，所以，A正确； ，C错； 显然，， ，B错； ，D正确． 故选：AD． 三、填空题 14．（2025·安徽·三模）已知，则 . 【答案】 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算 【分析】根据对数的运算公式,解对数方程,依据对数的性质求答案. 【详解】由题意得，，故. 故答案为: . 15．（2025·江西萍乡·三模）已知，则 . 【答案】 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算 【分析】利用对数的运算法则计算即可求解. 【详解】依题意，，故. 故答案为：. 16．计算：= . 【答案】3 【知识点】指数幂的化简、求值、对数的运算性质的应用、分数指数幂与根式的互化、对数的运算 【分析】根据指数与对数运算性质化简求值即可. 【详解】原式 ． 故答案为：. 17．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知正实数满足，则 ． 【答案】15 【知识点】对数的运算、对数的运算性质的应用 【分析】由题意得，由此即可得解. 【详解】因为，则． 故答案为：15. 四、解答题 18．计算下列各式的值： (1)； (2) (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】指数幂的运算、对数的运算 【分析】（1）（3）利用指数的运算性质化简可得所求代数式的值； （2）（4）利用对数的运算性质化简可得所求代数式的值. 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式． （4）解：原式. 19．已知. (1)分别求和； (2)若，且，求. 【答案】(1)， (2) 【知识点】指数幂的化简、求值、对数的运算性质的应用、指数式与对数式的互化、运用换底公式化简计算 【分析】（1）利用指数运算法则和对数运算法则计算出答案； （2）将指数式化为对数式，结合换底公式求出，结合得到方程，求出答案. 【详解】（1） ， ； （2）因为，所以， 由换底公式得， 则， 由于，故， 所以. 20．《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》指出：数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养．对数运算与指数幂运算是两类重要的运算.18世纪，瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，并进一步指出：对数源出于指数．然而对数的发明先于指数，这成为数学史上的珍闻． (1)试利用对数运算性质计算的值； (2)已知为正数，若，求的值； (3)定义：一个自然数的数位的个数，叫做位数，例如23的位数是2，2024的位数是4．试判断的位数．（注） 【答案】(1) (2) (3)610 【知识点】指数式与对数式的互化、运用换底公式化简计算、对数的运算性质的应用 【分析】（1）利用对数的运算性质计算即可； （2）令，则，根据对数与指数的互化可得，利用对数的换底公式化简原式即可； （3）利用对数的运算性质可得，结合位数的定义即可得出结果. 【详解】（1）原式； （2）由题意知，令，则， 所以， 所以； （3）设，则，又， 所以， 所以，则， 所以的位数为610． 五、能力提升 21．（2025·吉林·模拟预测）满足条件，且的一组为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算 【分析】由指数转对数，结合对数的运算逐个判断即可. 【详解】设，，，， ，， 结合选项，ABC不符合，D符合， 故选：D． 22．（多选）（2025·安徽六安·模拟预测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】指数式与对数式的互化、运用换底公式化简计算、对数的运算性质的应用、比较对数式的大小 【分析】利用对数式与指数式的互化，换底公式，对数的运算性质和对数函数的单调性逐一判断即可. 【详解】对于A，，因，则，故A正确； 对于B，由，，可得，则，故，故B正确； 对于C，由B项可得，则，故C错误； 对于D，因，故D正确. 故选：ABD. 23．（多选）已知，则a，b满足的关系是（    ）． A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】指数式与对数式的互化、运用换底公式化简计算、基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】根据指数式与对数式的互化求出，分别取倒数，从而可判断A，再根据基本不等式中的整体代换即可判断B，分别将的值代入，结合基本不等式级式即可判断D. 【详解】因为，所以， 则， 所以，所以，故A正确； 因为， 又，所以，故B正确； 对于C，由， 得 ，故C错误； 对于D，由， 得由 ，且， 则，故D正确. 故选：ABD. 24．若实数、、满足，，则的最小值是 . 【答案】 【知识点】基本（均值）不等式的应用 【分析】由基本不等式求得，化简即可求解. 【详解】由可得：， 即，当且仅当，即时取等号， 由， 可得：，又由得：， 所以，因为， 所以，当且仅当取等号， 故答案为： 25．（2024·山东青岛·一模）地震震级根据地震仪记录的地震波振幅来测定，一般采用里氏震级标准.里氏震级的计算公式为（其中常数是距震中100公里处接收到的0级地震的地震波的最大振幅，是指我们关注的这次地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅）.地震的能量（单位：焦耳）是指当地震发生时，以地震波的形式放出的能量.已知，其中为地震震级.下列说法正确的是（   ）. A．若地震震级增加1级，则最大振幅增加到原来的100倍 B．若地震震级增加1级，则放出的能量增加到原来的10倍 C．若最大振幅增加到原来的10倍，则放出的能量也增加到原来的倍 D．若最大振幅增加到原来的10倍，则放出的能量增加到原来的1000倍 【答案】C 【知识点】指数幂的运算、对数的运算性质的应用 【分析】本题首先要读懂公式，然后根据题意合理代入数据进行对数运算对选项进行一一检验即可得到答案. 【详解】因为，所以，故A错误； 因为，所以错误； 因为， 所以， 所以C正确，D错误. 故选：C. 26．（2025·湖南长沙·模拟预测）深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中M表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，E表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.6，衰减速度为16，且当训练迭代轮数为16时，学习率衰减为0.48，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（    ） （参考数据：） A．75 B．77 C．79 D．81 【答案】C 【知识点】利用给定函数模型解决实际问题、对数的运算 【分析】根据已知模型结合指对数转化计算求解. 【详解】根据题意得该指数衰减的学习率模型为， 当时，，代入得，解得， 当学习率衰减到0.2以下（不含0.2）时，， 则，即， 则， 所以所需的训练迭代轮数至少为79． 故选：C. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$