第3章 代数式（复习讲义）数学苏科版2024七年级上册

第三章 代数式（复习讲义） ①理解现实情境中字母表示数的意义；会用字母表示一些简单问题中的运算、数量及关系，形成符号意识；； ②借助实际情境理解代数式的意义；能分析具体问题中的数量关系，并用代数式表示； ③会用直接代入法和整体代入法求代数式的值； ④理解单项式、多项式、单项式的系数、次数、多项式的项、多项式的次数、整式的概念； ⑤掌握同类项的概念及合并同类项的法则；掌握去括号的法则；能进行整式的加减运算及化简求值。 知识点 重点归纳 常见易错点 代数式 1.代数式：用运算符号把数和字母链接而成的式子叫做代数式。 单独一个数或一个字母也是代数式 例如：2、等都是代数式。 2.代数式的书写有以下要求： （1）数与字母相乘或字母与字母相乘，乘号通常用“· ”代替或者省略不写； （2）除法运算中，用分数线代替除号“÷”； （3）数字1或-1作为数字系数时，“1”通常省略； （3）带分数一般写成假分数； （4）代数式后面带有单位的，要用括号括起来。 3.代数式的值：一般地，用数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫作代数式的值。 当字母取不同的值时，代数式的值一般也不同； 一个代数式中有多个不同的字母时，字母和其所取的数值要对应． 4.代数式的值求法： 方法1：直接带入法：把字母用对应的数值代替，然后进行计算； 方法2：整体代入法：已知条件中给的如果不是字母的值，而是方程或其他形式，一般都需要采用整体代入法，首先将所求代数式变形，变成含有所给条件的形式，然后再代入求值。 考试中通常考整体代入的较多 同类项 1.同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项． 2．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项． 合并同类项法则简记：系数相加减，其它都不变． 正确理解同类项的概念，要深入理解“两相同，两无关”： “两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同； “两无关”是指：①与系数无关； ②与字母的顺序无关． 所有的常数项都是同类项． 去括号法则 1.去括号法则：去括号就是用括号外的数乘括号内的每一项，再把所得的积相加。 （1）括号前面是“+”，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里各项的符号都不改变； （2）括号前面是“-”，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变． 2.添括号法则： （1）添括号后，括号前面是“+”，括号内各项的符号都不改变； （2）添括号后，括号前面是“-”，括号内各项的符号都要改变． 无论是去括号，还是添括号，要注意“-”对括号的影响，这是最容易犯的错误。 单项式 1.单项式的概念：数与字母的乘积，叫作单项式； （1）数与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子； （2）单独的一个数； （3）单独的一个字母 单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算． 例如：或也是单项式，但分母中含有字母的不可以，如不是单项式，因为它不能写成数字与字母的乘积形式． 2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数． （1）圆周率π是常数．单项式中出现π时，算作系数； （2）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写； （3）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如：写成． 3.单项式的次数：单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． （1）没有写指数的字母，实际上指数是1，请勿遗漏； （2）计算单项式的次数时，数字上的指数不能算． 多项式 1.多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式． 注意：这里说的“和”是代数和，意思是包括加法和减法。 2. 多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项． （1）多项式的每一项包括它前面的符号； （2）多项式含有几项，就叫几项式． 3. 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数． 多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数，不要与单项式的次数混淆． 整式 整式的概念：单项式与多项式统称为整式． （1）整式包括单项式、多项式两种，也就是说一个式子如果时整式，那它要么是单项式，要么时多项式；如果一个式子是单项式，或是多项式，那它一定是整式． （2）分母中含有字母的式子一定不是整式，更不可能是单项式或多项式． 整式的加减 整式的加减运算法则：几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项． （1）整式加减的一般步骤是： ①先去括号；②再合并同类项． （2）两个整式相加减时，“减数”一定要用括号“装”起来． （3）整式加减的最后结果的检查： 要合并到不能再合并为止； 一般按照某一字母的降幂或升幂排列；不能出现带分数． 题型一 代数式的书写规范 【例1】有下列各式：下列代数式中，符合代数式书写要求的有（     ） （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-1】学完代数式内容后，下列各式书写规范的是（   ） A．个 B． C． D． 【变式1-2】下列代数式符合书写要求的是（　　） A．.. B． C． D． 【变式1-3】下列各式符合代数式书写规范的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-4】下列式子，符合书写规范的是（　　） A． B．人 C． D． 题型二 代数式的实际意义 【例2】．用字母表示的代数式是具有一定意义的，下列赋予实际意义的例子中错误的是（   ） A．若a表示一个正方形的边长，则表示这个正方形的周长 B．若工程队平均每天铺设管道长度a千米，则表示这工程队4天完成的工作量 C．若一个两位数的十位数字是4，个位数字a，则表示这个两位数 D．若汽车行驶速度是a千米/小时，则表示这辆汽车行驶4小时的路程 【变式2-1】惠安科山上的小天台宛如一颗明珠镶嵌其间，成为众多游客的打卡圣地．国庆假期第一天游客人，第二天游客人数是第一天游客人数的倍还少人，则代数式“”表示的意义是（    ） A．第一天比第二天多的游客人数 B．第二天比第一天多的游客人数 C．这两天所有游客人数 D．第二天游客人数 【变式2-2】“腹有诗书气自华，最是书香能放远．”为鼓励和推广全民阅读活动，某书店开展促销活动，促销方法是将原价为元的一批图书以元的价格出售，下列说法中能正确表达这批图书的促销方法的是(　　) A．在原价的基础上打折后再减去元 B．在原价的基础上打折后再减去元 C．在原价的基础上减去元后再打折 D．在原价的基础上减去元后再打折 【变式2-3】甲、乙两人赋予实际意义如下，则判断正确的是（   ） 甲：若等边三角形的边长为，则表示等边三角形的周长； 乙：若苹果的单价为元/千克，则表示千克梨的金额． A．甲、乙都对 B．只有甲对 C．只有乙对 D．甲、乙都错 【变式2-4】某商店举办促销活动，促销的方法是将原价为元的衣服以元出售，则下列关于代数式的含义描述正确的是（   ） A．原价加上4元后再打7折 B．原价打7折后再加上4元 C．原价加上4元后再打3折 D．原价打3折后再加上4元 题型三 单项式和多项式的概念 【例3】．下列说法正确的是（   ） A．单项式m既没有系数也没有次数 B．系数是，次数是2次 C．多项式的项是 D．是整式 【变式3-1】下列说法正确的是（   ） A．的系数是 B．的系数是1 C．的次数是6次 D．是二次三项式 【变式3-2】下列说法正确的是（   ） A．的系数是 B．的次数是6次 C．是多项式 D．的常数项为1 【变式3-3】下列说法正确的是（   ） A．多项式的二次项是 B．单项式的次数是 C．不是整式 D．多项式是三次三项式 【变式3-4】下列说法错误的是（   ） A．的次数是3 B．2是单项式 C．是二次二项式 D．多项式的常数项为 题型四 同类项的判断 【例4】．下列式子中，的同类项是（   ） A． B． C．2 D． 【变式4-1】下列说法正确的是（　　） A．与是同类项 B．与是同类项 C．与同类项 D．与是同类项 【变式4-2】下列单项式中，与是同类项的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】下列各组式子中为同类项的是（   ） A．x与y B．与 C．与 D．与 【变式4-4】下列各选项中是同类项的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 题型五 同类项的合并法则 【例5】．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】下列各式运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式5-3】下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-4】下面计算正确的是（       ） A． B． C． D． 题型六 去括号法则 【例6】．去括号应得（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】下列各式化简后与不相等的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】下列式子变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-4】下列去括号结果正确的是（   ） A． B． C． D． 题型七 整式的化简求值 【例7】．先化简，再求值 其中， 【变式7-1】（1） 化简：； （2）先化简，再求值： ，其中． 【变式7-2】化简 (1)化简： (2)先化简后求值：，其中． 【变式7-3】先化简，再求值 (1)其中 (2)已知，求代数式的值 【变式7-4】先化简，再求值：，其中x、y满足． 题型八 整式的无关型问题 【例8】．已知代数式合并同类项后不含，项，求的值． 【变式8-1】【阅读理解】已知，若F的值和x的取值无关，则，．所以当时，和x的取值无关． 【知识应用】已知，． (1)用含m，n，x的式子表示； (2)若的值和x的取值无关，求的值． 【变式8-2】（1）先化简，再求值：，其中与互为相反数． （2）若关于、的多项式不含二次项，求的值． 【变式8-3】已知代数式，． (1)求的值； (2)若的值与y的取值无关，求x的值． 【变式8-4】某同学做一道数学题，已知两个多项式A、B，其中，试求．这位同学把误看成，结果求出的答案为． (1)请你替这位同学求出的正确答案； (2)若的值与x的取值无关，求y的值． 基础巩固通关测 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．学习第三章“代数式”的内容后，下列各式符合代数式书写规范的是（   ） A． B． C．个 D． 2．下列关于“代数式”的意义有如下叙述： ①的4倍与的和是； ②小明以的速度走了4min，再以的速度走了2min，小明一共走了； ③小华买了2kg苹果和4kg橘子，已知苹果的单价为元，橘子的单价为元，小华一共花费元． 其中正确的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 3．若，则（   ） A．11 B．13 C．15 D．17 4．下列式子中，的同类项是（   ） A． B． C．2 D． 5．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 6．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 7．下列结论中，正确的是（   ） A．单项式的系数是，次数是 B．单项式的次数是，没有系数 C．单项式的系数是，次数是 D．多项式是四次三项式 8．若多项式与多项式的和是一个单项式，则与的关系是（   ） A． B． C． D． 9．若关于，的多项式不含项，则k的值为（   ） A． B． C． D． 10．观察下面图形，它们是由按一定规律排列的小黑点组成，则第n个图小黑点数量的代数式为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 11．联系实际背景，说明代数式的意义 ． 12．当时，代数式的值为 ． 13．单项式与是同类项，则的值为 ． 14．计算： ． 15．去括号填空： ． 16．若一个多项式加上，结果是，则这个多项式为 ． 17． 的系数是 ，次数是 ． 18．多项式的常数项是 ，次数是 ． 19．若多项式是一个关于x，y的三次三项式，则m的值为 ． 20．有一道题目是一个多项式减，小强误当成了加法计算，结果得到，那么正确的结果应该是 ． 三、解答题（本大题共5小题，共40分） 21．（本题6分）下列各式是一些不规范的书写，请将规范写法写在横线处： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)米． 22．（4分）写出下列代数式表示的实际意义： (1)一个等边三角形的边长为a，一个正方形的边长为b，则表示 ___________； (2)若苹果每千克p元，橘子每千克q元，则代数式表示 ___________． 23．（10分）计算： (1) (2) 24．（10分）化简求值 (1)化简求值：，其中． (2)已知与是同类项，求多项式的值． 25．（10分）已知代数式，． (1)求的值； (2)若的值与y的取值无关，求x的值． 能力提升进阶练 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列代数式中符合书写要求的是（   ） A． B． C． D．元 2．若x表示某件物品的原价，则表示的意义是（    ） A．该物品打1折后的售价 B．该物品价格上涨后的售价 C．该物品打9折后的售价 D．该物品价格上涨后的售价 3．若，则代数式的值为（   ） A．5 B．1 C．0 D． 4．小明用火柴棒摆正方形，图1用了4根火柴棒，图2用了7根火柴棒，图3用了10根火柴棒，……，照此规律摆下去，图n要用火柴棒的根数为（   ） A． B． C． D． 5．下列单项式中是同类项的是（   ） A．与 B．与 C．3与 D．与 6．下列各式中，计算正确的是（   ） A． B． C． D． 7．下列式子变形正确的是（   ） A． B． C． D． 8．已知有理数a、b、c在数轴上的位置如图，化简的值为（    ） A． B． C．a D． 9．下列说法错误的是（   ） A．的次数是3 B．2是单项式 C．是二次二项式 D．多项式的常数项为 10．在学习了整式的加减后，老师给出下面这道课堂练习题：选择的一个值，求的值.学生甲、乙、丙、丁对此题说法错误的是：（   ） A．甲说：“当时，原式．” B．乙说：“当时，原式．” C．丙说：“当时，原式．” D．丁说：“当取1或时，原式的值都是．” 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 11．请设计具体情境，解释代数式的意义： ． 12．已知，则代数式的值为 ． 13．已知和是同类项，则 ，此时的值为 ． 14．请写出一个能与合并成一项的单项式： ． 15．已知，那么的值为 ． 16．若一个多项式加上，结果是，则这个多项式为 ． 17．用四个如图①所示的长为a，宽为b的长方形，拼成一个如图②所示的图形，则图②中小正方形的边长为 ；大正方形的周长比小正方形的周长大 ． 18．定义计算“”，对于两个有理数，，有，例如：，则 ， ． 19．写出一个只含有字母，且系数为的次单项式是 ． 20．定义：若，则称a与b是关于1的平衡数． （1）3与 是关于1的平衡数，与 是关于1的平衡数．（用含x的代数式表示） （2）若，，判断a与b是否是关于1的平衡数 （填是与否） 三、解答题（本大题共5小题，共60分） 21．（本题8分）化简： (1) (2) 22．（本题16分）化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 23．（本题12分）先化简，再求值： (1)，其中与互为相反数； (2)已知，求的值． 24．（本题12分）某位同学做一道题：已知两个多项式，求的值．他误将看成，求得结果为，已知． (1)求多项式； (2)求的值，其中． 25．（本题12分）阅读材料：我们知道，，类似的，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． (1)【简单应用】 ①已知，则_____； ②已知，求的值； (2)【拓展提高】 已知，，求式子的值． 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 代数式（复习讲义） ①理解现实情境中字母表示数的意义；会用字母表示一些简单问题中的运算、数量及关系，形成符号意识；； ②借助实际情境理解代数式的意义；能分析具体问题中的数量关系，并用代数式表示； ③会用直接代入法和整体代入法求代数式的值； ④理解单项式、多项式、单项式的系数、次数、多项式的项、多项式的次数、整式的概念； ⑤掌握同类项的概念及合并同类项的法则；掌握去括号的法则；能进行整式的加减运算及化简求值。 知识点 重点归纳 常见易错点 代数式 1.代数式：用运算符号把数和字母链接而成的式子叫做代数式。 单独一个数或一个字母也是代数式 例如：2、等都是代数式。 2.代数式的书写有以下要求： （1）数与字母相乘或字母与字母相乘，乘号通常用“· ”代替或者省略不写； （2）除法运算中，用分数线代替除号“÷”； （3）数字1或-1作为数字系数时，“1”通常省略； （3）带分数一般写成假分数； （4）代数式后面带有单位的，要用括号括起来。 3.代数式的值：一般地，用数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫作代数式的值。 当字母取不同的值时，代数式的值一般也不同； 一个代数式中有多个不同的字母时，字母和其所取的数值要对应． 4.代数式的值求法： 方法1：直接带入法：把字母用对应的数值代替，然后进行计算； 方法2：整体代入法：已知条件中给的如果不是字母的值，而是方程或其他形式，一般都需要采用整体代入法，首先将所求代数式变形，变成含有所给条件的形式，然后再代入求值。 考试中通常考整体代入的较多 同类项 1.同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项． 2．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项． 合并同类项法则简记：系数相加减，其它都不变． 正确理解同类项的概念，要深入理解“两相同，两无关”： “两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同； “两无关”是指：①与系数无关； ②与字母的顺序无关． 所有的常数项都是同类项． 去括号法则 1.去括号法则：去括号就是用括号外的数乘括号内的每一项，再把所得的积相加。 （1）括号前面是“+”，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里各项的符号都不改变； （2）括号前面是“-”，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变． 2.添括号法则： （1）添括号后，括号前面是“+”，括号内各项的符号都不改变； （2）添括号后，括号前面是“-”，括号内各项的符号都要改变． 无论是去括号，还是添括号，要注意“-”对括号的影响，这是最容易犯的错误。 单项式 1.单项式的概念：数与字母的乘积，叫作单项式； （1）数与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子； （2）单独的一个数； （3）单独的一个字母 单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算． 例如：或也是单项式，但分母中含有字母的不可以，如不是单项式，因为它不能写成数字与字母的乘积形式． 2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数． （1）圆周率π是常数．单项式中出现π时，算作系数； （2）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写； （3）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如：写成． 3.单项式的次数：单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． （1）没有写指数的字母，实际上指数是1，请勿遗漏； （2）计算单项式的次数时，数字上的指数不能算． 多项式 1.多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式． 注意：这里说的“和”是代数和，意思是包括加法和减法。 2. 多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项． （1）多项式的每一项包括它前面的符号； （2）多项式含有几项，就叫几项式． 3. 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数． 多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数，不要与单项式的次数混淆． 整式 整式的概念：单项式与多项式统称为整式． （1）整式包括单项式、多项式两种，也就是说一个式子如果时整式，那它要么是单项式，要么时多项式；如果一个式子是单项式，或是多项式，那它一定是整式． （2）分母中含有字母的式子一定不是整式，更不可能是单项式或多项式． 整式的加减 整式的加减运算法则：几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项． （1）整式加减的一般步骤是： ①先去括号；②再合并同类项． （2）两个整式相加减时，“减数”一定要用括号“装”起来． （3）整式加减的最后结果的检查： 要合并到不能再合并为止； 一般按照某一字母的降幂或升幂排列；不能出现带分数． 题型一 代数式的书写规范 【例1】有下列各式：下列代数式中，符合代数式书写要求的有（     ） （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】代数式书写方法 【分析】本题考查代数式的写法，根据在含有字母的式子中如果出现乘号“”，通常将乘号写作“”或省略不写，解题的关键是正确理解代数式的书写要求，数字与字母相乘时，数字写在字母前． 【详解】解：（1）应书写成，书写形式不规范，不符合题意； （2）应书写成，书写形式不规范，不符合题意； （3）书写形式规范，符合题意； （4）书写形式规范，符合题意； （5）应书写成，书写形式不规范，不符合题意； （6）应书写成，书写形式不规范，不符合题意； （7）应书写成，，书写形式不规范，不符合题意； ∴符合书写要求的有2个， 故选：B． 【变式1-1】学完代数式内容后，下列各式书写规范的是（   ） A．个 B． C． D． 【答案】C 【知识点】代数式书写方法 【分析】本题考查了代数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“•”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式．根据代数式的书写要求判断各项即可． 【详解】解：多项式后面有单位时，多项式必须用小括号括起来，因此个书写错误，故A错误； 代数式中不能出现乘号且数字在前，因此书写错误，故B错误； 符合书写要求，故C正确； 应该为，故D错误． 故选：C． 【变式1-2】下列代数式符合书写要求的是（　　） A．.. B． C． D． 【答案】D 【知识点】代数式书写方法 【分析】本题考查代数式的书写习惯，根据代数式的书写要求判断各项，掌握代数式的书写习惯是解题的关键． 【详解】解：选项A正确的书写格式是，故此选项不符合题意； 选项B正确的书写格式是，故此选项不符合题意； 选项C正确的书写格式是，故此选项不符合题意； 选项D正确，故此选项符合题意． 故选：D． 【变式1-3】下列各式符合代数式书写规范的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】代数式书写方法 【分析】本题考查了代数式的书写规则，能够根据代数式书写的标准规则对各项进行分析，得出答案是解题的关键．根据代数式的书写规则，数字应在字母前面，分数不能为带分数，不能出现除号，对各项的代数式进行判定，即可求出答案． 【详解】解：A.正确的书写格式为，故此选项不符合题意；     B. 正确的书写格式为，故此选项不符合题意；     C. 书写正确，故此选项符合题意；     D. 正确的书写格式为，故此选项不符合题意； 故选：C． 【变式1-4】下列式子，符合书写规范的是（　　） A． B．人 C． D． 【答案】A 【知识点】代数式书写方法 【分析】本题考查了代数式书写方法，熟练掌握代数式书写方法是解题的关键：（1）数与字母，字母与字母相乘，乘号可以省略，数字与数字相乘，乘号不能省略，数字要写在前面；（2）带分数与字母相乘一定要写成假分数；（3）在含有字母的除法中，一般不用“”号，而写成分数的形式；（4）式子后面有单位时，和差形式的代数式要在单位前把代数式括起来． 根据代数式书写方法逐项分析判断即可． 【详解】解：A. ，符合代数式书写格式，故选项符合题意； B. 人，式子后面有单位时，和差形式的代数式要在单位前把代数式括起来，不符合代数式书写格式，故选项不符合题意； C. ，字母与数字相乘，乘号应该省略，数字要写在前面，不符合代数式书写格式，故选项不符合题意； D. ，带分数与字母相乘一定要写成假分数，不符合代数式书写格式，故选项不符合题意； 故选：． 题型二 代数式的实际意义 【例2】．用字母表示的代数式是具有一定意义的，下列赋予实际意义的例子中错误的是（   ） A．若a表示一个正方形的边长，则表示这个正方形的周长 B．若工程队平均每天铺设管道长度a千米，则表示这工程队4天完成的工作量 C．若一个两位数的十位数字是4，个位数字a，则表示这个两位数 D．若汽车行驶速度是a千米/小时，则表示这辆汽车行驶4小时的路程 【答案】C 【知识点】代数式表示的实际意义 【分析】本题考查代数式，根据题意列代数式是解题的关键． 逐项列代数式，能用表示的即正确，否则就是错误的． 【详解】解：A、若a表示一个正方形的边长，则表示这个正方形的周长，正确，故此选项不符合题意； B、若工程队平均每天铺设管道长度a千米，则表示这工程队4天完成的工作量，正确，故此选项不符合题意； C、若一个两位数的十位数字是4，个位数字a，则表示这个两位数，原说法，故此选项符合题意； D、若汽车行驶速度是a千米/小时，则表示这辆汽车行驶4小时的路程，故此选项不符合题意． 故选：C． 【变式2-1】惠安科山上的小天台宛如一颗明珠镶嵌其间，成为众多游客的打卡圣地．国庆假期第一天游客人，第二天游客人数是第一天游客人数的倍还少人，则代数式“”表示的意义是（    ） A．第一天比第二天多的游客人数 B．第二天比第一天多的游客人数 C．这两天所有游客人数 D．第二天游客人数 【答案】B 【知识点】代数式表示的实际意义 【分析】本题考查代数式的实际意义，熟练掌握代数式的实际意义是解题的关键． 用含的代数式将第二天游客人数表示出来，第二天游客人数减第一天游客人数即得代数式“”，从而可判断它的意义． 【详解】解：根据题意，第二天游客人数是人， 则第二天比第一天多的游客人数（人）， ∴代数式“”表示的意义是第二天比第一天多的游客人数． 故选：B． 【变式2-2】“腹有诗书气自华，最是书香能放远．”为鼓励和推广全民阅读活动，某书店开展促销活动，促销方法是将原价为元的一批图书以元的价格出售，下列说法中能正确表达这批图书的促销方法的是(　　) A．在原价的基础上打折后再减去元 B．在原价的基础上打折后再减去元 C．在原价的基础上减去元后再打折 D．在原价的基础上减去元后再打折 【答案】C 【知识点】代数式表示的实际意义 【分析】本题考查代数式的意义，熟练掌握其实际意义是解题的关键．根据代数式的实际意义即可求得答案． 【详解】解：由题意可得将原价为元的一批图书以元的价格出售表示的意义为在原价的基础上减去元后再打折， 故选：C． 【变式2-3】甲、乙两人赋予实际意义如下，则判断正确的是（   ） 甲：若等边三角形的边长为，则表示等边三角形的周长； 乙：若苹果的单价为元/千克，则表示千克梨的金额． A．甲、乙都对 B．只有甲对 C．只有乙对 D．甲、乙都错 【答案】B 【知识点】代数式表示的实际意义 【分析】本题考查了代数式的意义，正确理解代数式的意义是解题关键； 根据甲乙的说法列出代数式，即可求解． 【详解】解：甲：若等边三角形的边长为，则表示等边三角形的周长，说法正确； 乙：若苹果的单价为元/千克，则表示3千克梨的金额，说法不正确． 故只有甲对； 故选：B 【变式2-4】某商店举办促销活动，促销的方法是将原价为元的衣服以元出售，则下列关于代数式的含义描述正确的是（   ） A．原价加上4元后再打7折 B．原价打7折后再加上4元 C．原价加上4元后再打3折 D．原价打3折后再加上4元 【答案】B 【知识点】代数式表示的实际意义 【分析】本题考查代数式表示的意义，表示原价，得到表示在原价打7折的基础上加4元，进行判断即可． 【详解】解：由题意，代数式的含义为原价打7折后再加上4元； 故选B． 题型三 单项式和多项式的概念 【例3】．下列说法正确的是（   ） A．单项式m既没有系数也没有次数 B．系数是，次数是2次 C．多项式的项是 D．是整式 【答案】D 【知识点】多项式的项、项数或次数、整式的判断、单项式的系数、次数 【分析】本题考查单项式的系数和次数、多项式的项以及整式的定义．逐一分析各选项是否符合相关概念即可． 【详解】解：A． 单项式的系数为1，次数为1，原说法错误； B． 的系数是，次数是和的指数之和，原说法错误； C． 多项式的项应为、、，原选项未正确标注项的符号，错误； D． 可拆分为，属于多项式，是整式，正确． 故选：D． 【变式3-1】下列说法正确的是（   ） A．的系数是 B．的系数是1 C．的次数是6次 D．是二次三项式 【答案】D 【知识点】单项式的系数、次数、多项式的项、项数或次数 【分析】本题主要考查了单项式和多项式，熟练掌握定义是解题的关键；直接利用单项式的次数与系数、多项式的项数与次数确定方法分别分析得出答案． 【详解】A．单项式的系数是，而非，故错误，该选项不符合题意； B．多项式中，项的系数是1，但题目未指明具体项的系数，故错误，该选项不符合题意； C．单项式的次数为字母指数之和，即的次数为，而非6，故错误，该选项不符合题意； D．多项式由（一次项）、（二次项）和（常数项）组成，最高次数为2，且有三项，是二次三项式，故正确，该选项符合题意； 故选：D． 【变式3-2】下列说法正确的是（   ） A．的系数是 B．的次数是6次 C．是多项式 D．的常数项为1 【答案】C 【知识点】单项式的系数、次数、多项式的项、项数或次数 【分析】本题主要考查了单项式的系数与次数，多项式的项以及定义，根据单项式的系数与次数，多项式的项以及定义依次逐项判断即可． 【详解】解：A．的系数是，此选项错误，不符合题意； B．的次数是4次，此选项错误，不符合题意； C．是多项式，此选项正确，符合题意；     D．的常数项是，此选项正确，符合题意；     故选：C． 【变式3-3】下列说法正确的是（   ） A．多项式的二次项是 B．单项式的次数是 C．不是整式 D．多项式是三次三项式 【答案】A 【知识点】整式的判断、单项式的系数、次数、多项式的项、项数或次数 【分析】本题考查了多项式、单项式和整式，根据多项式的概念、单项式次数的定义以及整式的定义逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：、多项式的二次项是，该选项说法正确，符合题意； 、单项式的次数是，该选项说法错误，不合题意； 、是整式，该选项说法错误，不合题意； 、多项式是二次三项式，该选项说法错误，不合题意； 故选：． 【变式3-4】下列说法错误的是（   ） A．的次数是3 B．2是单项式 C．是二次二项式 D．多项式的常数项为 【答案】A 【知识点】单项式的系数、次数、多项式的项、项数或次数 【分析】本题主要考查了单项式及多项式的相关概念，熟练掌握和运用单项式及多项式的相关概念是解决本题的关键．根据单项式：“数字与字母的乘积，单个数字，字母也是单项式”，次数：“所有字母的指数和”，多项式的项数：“单项式的个数”，次数：“最高项的次数”，常数项：“不含字母的项”，进行判断即可． 【详解】解：A．的次数是2，故该说法错误，符合题意； B．2是单项式，故该说法正确，不符合题意； C．是二次二项式，故该说法正确，不符合题意； D．多项式的常数项为，故该说法正确，不符合题意． 故选：A． 题型四 同类项的判断 【例4】．下列式子中，的同类项是（   ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【知识点】同类项的判断 【分析】本题考查的是同类项的定义，解题的关键在于掌握判断同类项的依据． 根据同类项的定义：所含字母相同，相同字母的次数相同，逐项判断，即可解题． 【详解】解：根据同类项的定义可知，的同类项是， 故选：D． 【变式4-1】下列说法正确的是（　　） A．与是同类项 B．与是同类项 C．与同类项 D．与是同类项 【答案】D 【知识点】同类项的判断 【分析】本题考查同类项的定义，同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同．根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同），据此即可判断． 【详解】解：A、与所含字母不同，错误，不符合题意； B、不是整式，错误，不符合题意； C、与相同字母的次数不同，错误，不符合题意； D、与是同类项正确，符合题意． 故选：D． 【变式4-2】下列单项式中，与是同类项的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】同类项的判断 【分析】本题考查同类项的定义，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项． 【详解】解：A、相同字母的指数不相同，不是同类项； B、相同字母的指数不相同，不是同类项； C、符合同类项的定义，是同类项； D、相同字母的指数不相同，不是同类项； 故选：C． 【变式4-3】下列各组式子中为同类项的是（   ） A．x与y B．与 C．与 D．与 【答案】C 【知识点】同类项的判断 【分析】本题考查同类项的定义，同类项定义中的两个“相同”：所含字母相同；相同字母的指数相同，是易混点，还有注意同类项定义中隐含的两个“无关”：①与字母的顺序无关；②与系数无关． 根据同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，逐项判定即可． 【详解】解：A、与字母不同不是同类项，故此选项不符合题意； B、与相同字母的指数不相同，不是同类项，故此选项不符合题意； C、与所含字母相同且相同字母的指数也相同，是同类项，故此选项符合题意； D、与所含字母不全相同，不是同类项，故此选项不符合题意； 故选：C． 【变式4-4】下列各选项中是同类项的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【知识点】同类项的判断 【分析】本题考查了同类项，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项，据此判断即可求解，掌握同类项的定义是解题的关键． 【详解】解：、和相同字母的指数不同，不是同类项，该选项不合题意； 、和所含字母不同，不是同类项，该选项不合题意； 、和是同类项，该选项符合题意； 、和所含字母不同，不是同类项，该选项不合题意； 故选：． 题型五 同类项的合并法则 【例5】．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】合并同类项 【分析】本题考查了整式的加减．如果两个单项式所含的字母相同，并且相同字母的指数也相同，那么这两个单项式为同类项，可以进行合并，逐项判断即可． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项符合题意； D、与不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意； 故选：C． 【变式5-1】下列各式运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】合并同类项 【分析】本题主要考查合并同类项，掌握同类项的概念和合并同类项的法则是解题的关键． 根据合并同类项的法则逐一进行判断即可． 【详解】A．不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；     B．，故此选项符合题意； C．，故此选项不符合题意；     D．不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；     故选：B． 【变式5-2】下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】合并同类项 【分析】本题考查了合并同类项，解题关键是能判断两项是否是同类项． 根据合并同类项法则，对四个式子逐一计算后作出判断． 【详解】解：，故A错误； ，故B正确； ，故C错误； 中没有同类项，不能合并，故D错误， 故选：B ． 【变式5-3】下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】合并同类项 【分析】本题考查了合并同类项，掌握合并同类项法则是解答本题的关键． 合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．据此判断即可． 【详解】解：A、，写法正确，符合题意； B、，原写法错误，不符合题意； C、，原写法错误，不符合题意； D、与不是同类项，不能合并，原写法错误，不符合题意； 故选：A． 【变式5-4】下面计算正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】合并同类项 【分析】本题主要考查了合并同类项，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．根据合并同类项的结果，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、，故本选项正确，符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、和不是同类项，无法合并，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项错误，不符合题意； 故选：A． 题型六 去括号法则 【例6】．去括号应得（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】去括号 【分析】本题考查去括号法则的应用，当括号前是负号时，去掉括号后，括号内的每一项都要改变符号；根据括号前是负号时的法则去括号即可． 【详解】解：； 故选：A． 【变式6-1】下列各式化简后与不相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】去括号 【分析】本题考查了去括号，根据去括号法则逐一化简即可判断求解，掌握去括号法则是解题的关键． 【详解】解： 、，与原式相等，不合题意； 、，与原式相等，不合题意； 、，与原式相等，不合题意； 、，与原式不相等，符合题意； 故选：． 【变式6-2】下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】去括号 【分析】本题主要考查了去括号，去括号时，先把括号前面的系数的绝对值与括号内的每一项都相乘，当括号前是“”时，把括号和它前面的“”去掉，括号内的各项都不改变符号，当括号前是“”时，把括号和它前面的“”去掉，括号内的各项都改变符号，据此求解即可． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 【变式6-3】下列式子变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】去括号、添括号 【分析】本题考查了去括号和添括号，根据去括号和添括号法则运算即可判断求解，掌握去括号和添括号法则是解题的关键． 【详解】解：、，该选项变形错误，不合题意； 、，该选项变形错误，不合题意； 、，该选项变形错误，不合题意； 、，该选项变形正确，符合题意； 故选：． 【变式6-4】下列去括号结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】去括号 【分析】本题主要考查了去括号，去括号时，先把括号前面的系数的绝对值与括号内的每一项都相乘，当括号前是“”时，把括号和它前面的“”去掉，括号内的各项都不改变符号，当括号前是“”时，把括号和它前面的“”去掉，括号内的各项都改变符号，据此求解即可． 【详解】解：A、，原式去括号错误，不符合题意； B、，原式去括号错误，不符合题意； C、，原式去括号错误，不符合题意； D、，原式去括号正确，符合题意； 故选：D． 题型七 整式的化简求值 【例7】．先化简，再求值 其中， 【答案】 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查了整式的加减，利用去括号：括号前是负数去括号都变号，括号前是正数去括号不变号是解题关键． 根据去括号、合并同类项，可化简整式，根据代数式求值，可得答案． 【详解】原式 当，时，原式． 【变式7-1】（1） 化简：； （2）先化简，再求值： ，其中． 【答案】（1）；（2）；7 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】此题主要考查了整式的加减及化简求值，正确合并同类项是解题关键． （1）直接合并同类项得出答案 （2）将原式合并同类项后代入数值计算即可． 【详解】解：（1）原式                              ；       （2）原式 当时， 原式 ． 【变式7-2】化简 (1)化简： (2)先化简后求值：，其中． 【答案】(1) (2)， 【知识点】合并同类项、整式的加减中的化简求值 【分析】本题主要考查了合并同类项，整式的化简求值，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）合并同类项时，只对同类项的系数进行加减计算，字母和字母的指数保持不变，据此求解即可； （2）先去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 当时，原式． 【变式7-3】先化简，再求值 (1)其中 (2)已知，求代数式的值 【答案】(1)， (2) 【知识点】整式的加减中的化简求值、绝对值非负性 【分析】本题考查整式加减运算中的化简求值： （1）去括号，合并同类项后，代值计算即可； （2）根据非负性求出的值，将代数式去括号，合并同类项后，代值计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； 当时，原式； （2）∵ ∴， ∴， ∴ ． 【变式7-4】先化简，再求值：，其中x、y满足． 【答案】， 【知识点】绝对值非负性、整式的加减中的化简求值 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，非负数的性质，正确计算是解题的关键．先去括号，然后合并同类项化简，再根据非负数的性质求出x、y的值，最后代值计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴原式． 题型八 整式的无关型问题 【例8】．已知代数式合并同类项后不含，项，求的值． 【答案】 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、整式加减中的无关型问题、合并同类项 【分析】本题考查的是合并同类项，代数式求值的有关知识，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 首先合并同类项，然后求出，最后再代入计算即可． 【详解】解：原式， 由题意，得， 解得， 所以． 【变式8-1】【阅读理解】已知，若F的值和x的取值无关，则，．所以当时，和x的取值无关． 【知识应用】已知，． (1)用含m，n，x的式子表示； (2)若的值和x的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】整式的加减运算、整式加减中的无关型问题 【分析】本题主要考查整式的加减，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）运用合并同类项法则进行计算即可； （2）判断，，求出的值，再代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：∵，且的值和的取值无关， ∴，． ∴，． ∴． 【变式8-2】（1）先化简，再求值：，其中与互为相反数． （2）若关于、的多项式不含二次项，求的值． 【答案】（1），；（2） 【知识点】整式的加减中的化简求值、整式加减中的无关型问题 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，整式加减中的无关型问题，熟知整式的加减计算法则是解题的关键． （1）先去括号，然后合并同类项化简，再根据非负性的性质求出x、y的值，最后代值计算即可得到答案； （2）先把原多项式合并同类项，再根据不含二次项，即二次项的系数为0求出m、n的值，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：（1） ， ∵与互为相反数， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴原式； （2） ， ∵关于、的多项式不含二次项， ∴， ∴， ∴． 【变式8-3】已知代数式，． (1)求的值； (2)若的值与y的取值无关，求x的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】整式加减中的无关型问题 【分析】本题考查了整式加减中的无关型问题，熟练掌握整式加减的运算法则是解题的关键． （1）利用整式加减的运算法则计算即可； （2）由（1）得，，结合题意得，解出的值即可得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：由（1）得，， 的值与y的取值无关， ， 解得：， x的值为． 【变式8-4】某同学做一道数学题，已知两个多项式A、B，其中，试求．这位同学把误看成，结果求出的答案为． (1)请你替这位同学求出的正确答案； (2)若的值与x的取值无关，求y的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】整式的加减运算、整式加减中的无关型问题 【分析】本题考查的是整式的加减，熟知整式加减的实质是去括号、合并同类项是解答此题的关键． （1）根据列出代数式，去括号合并同类项即可； （2）先根据列出代数式，去括号合并同类项求出结果，再根据的值与x的取值无关，得出，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ； （2） ， 的值与x的取值无关， ， 基础巩固通关测 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．学习第三章“代数式”的内容后，下列各式符合代数式书写规范的是（   ） A． B． C．个 D． 【答案】A 【知识点】代数式书写方法 【分析】本题主要考查了代数式的书写，根据代数式书写形式的要求判断即可． 【详解】因为书写规范，所以A符合题意； 因为B应该书写为，所以B不符合题意； 因为C应该书写为个，所以C不符合题意； 因为D应该书写为，所以D不符合题意． 故选：A． 2．下列关于“代数式”的意义有如下叙述： ①的4倍与的和是； ②小明以的速度走了4min，再以的速度走了2min，小明一共走了； ③小华买了2kg苹果和4kg橘子，已知苹果的单价为元，橘子的单价为元，小华一共花费元． 其中正确的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【知识点】代数式表示的实际意义 【分析】此题考查了代数式的实际意义，解题的关键是掌握代数式的意义以及性质．根据代数式的意义分别对三个叙述进行判断即可． 【详解】解：①的4倍与的和是，故此项不符合同意； ②小明以的速度走了，再以的速度走了，小明一共走了，故此项符合题意； ③小华买了苹果和橘子，已知苹果的单价为元，橘子的单价为元，小华一共花费元，故此项不符合同意； 综上分析可知：正确的个数为1个． 故选：C． 3．若，则（   ） A．11 B．13 C．15 D．17 【答案】B 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题主要考查了已知式子的值，求代数式的值，由，得出，将整理变形，最后代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 4．下列式子中，的同类项是（   ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【知识点】同类项的判断 【分析】本题考查的是同类项的定义，解题的关键在于掌握判断同类项的依据． 根据同类项的定义：所含字母相同，相同字母的次数相同，逐项判断，即可解题． 【详解】解：根据同类项的定义可知，的同类项是， 故选：D． 5．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】合并同类项 【分析】本题考查了合并同类项，根据合并同类项的方法进行求解各项，进而做出判断即可． 【详解】解：A、与不是同类项，不可以合并，故错误，不符合题意； B、，故错误，不符合题意； C、，故错误，不符合题意； D、，正确，符合题意， 故选：D． 6．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】去括号、合并同类项 【分析】本题考查了去括号，合并同类项，掌握去括号，合并同类项的运算法则是解题的关键． 根据去括号，合并同类项逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. 与不是同类项，不能相加运算，故此选项不符合题意；     B. ，原计算错误，故此选项不符合题意； C.     ，原计算错误，故此选项不符合题意； D. ，原计算正确，故此选项符合题意； 故选：D． 7．下列结论中，正确的是（   ） A．单项式的系数是，次数是 B．单项式的次数是，没有系数 C．单项式的系数是，次数是 D．多项式是四次三项式 【答案】C 【知识点】多项式的项、项数或次数、单项式的系数、次数 【分析】本题考查了单项式的系数和次数，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，单项式中所有字母的指数之和叫做单项式的次数；多项式是由几个单项式的和组成的，每一个单项式叫做多项式的一个项，多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．解决本题的关键是根据单项式的项数、次数的定义进行判断． 【详解】解：A选项：单项式的系数是，次数是，故A选项错误； B选项：单项式的次数是，系数是，故B选项错误； C选项：单项式的系数是，次数是，故C选项正确； D选项：多项式共有项，这项的最高次数是，这是一个二次三项式，故D选项错误． 故选：C ． 8．若多项式与多项式的和是一个单项式，则与的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】整式的加减运算 【分析】此题考查了整式的加减运算，单项式的概念，解题的关键是掌握整式加减运算法则以及单项式的概念． 根据题意进行整式的加法即可求出答案． 【详解】解：由题意可得： ， ∵多项式与多项式的和是一个单项式， ∴， 故选：A． 9．若关于，的多项式不含项，则k的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】整式加减中的无关型问题 【分析】根据不含项即含项的系数为0，据此求解即可， 本题考查了整式加减中的无关型问题，根据在多项式中不含哪一项，则哪一项的系数为0，由此建立方程，解方程即可求得待定系数的值． 【详解】解：依题意， ∵关于，的多项式不含项， ∴， ∴， 故选B． 10．观察下面图形，它们是由按一定规律排列的小黑点组成，则第n个图小黑点数量的代数式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题考查图形类规律探究，观察图形可知，后一个图形比前一个图形多4个小黑点，进而求出第n个图小黑点数量的代数式即可． 【详解】解：观察图形可知，第1个图形有1个小黑点，后一个图形比前一个图形多4个小黑点， ∴第n个图小黑点数量的代数式为； 故选D． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 11．联系实际背景，说明代数式的意义 ． 【答案】6个边长为a的正方形的面积之和（答案不唯一） 【知识点】代数式表示的实际意义 【分析】本题考查了代数式的实际意义，解题的关键是理解代数式所表示的实际意义；因此此题可根据代数式进行求解即可 【详解】解：代数式的意义可表示为6个边长为a的正方形的面积之和（答案不唯一，合理即可）； 故答案为：6个边长为a的正方形的面积之和（答案不唯一，合理即可） ． 12．当时，代数式的值为 ． 【答案】5 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了代数式求值，直接将代入计算即可． 【详解】解：当时， 则代数式， 故答案为：． 13．单项式与是同类项，则的值为 ． 【答案】4 【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值 【分析】本题考查根据同类项求代数式的值，根据同类项的定义，得到，进而得到，再求和即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴； 故答案为：4． 14．计算： ． 【答案】 【知识点】合并同类项 【分析】本题考查合并同类项，根据合并同类项的法则进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为：． 15．去括号填空： ． 【答案】 【知识点】去括号 【分析】本题考查了去括号．熟练掌握去括号法则是解答本题的关键．如果括号外的因数是正数，去掉括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去掉括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反． 根据去括号法则将式子可以写成省略括号的形式，本题得以解决． 【详解】解：． 故答案为：． 16．若一个多项式加上，结果是，则这个多项式为 ． 【答案】 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题考查整式的加减运算．根据题意“一个多项式加上，结果是”，进行列出式子：，再去括号合并同类项即可． 【详解】解：依题意这个多项式为： ， 故答案为：． 17． 的系数是 ，次数是 ． 【答案】 4 【知识点】单项式的系数、次数 【分析】本题考查单项式的系数及次数，根据单项式中的数字因数是系数，所有字母的指数的和是次数即可解答． 【详解】解： 的系数是，次数是4． 故答案为：，4 18．多项式的常数项是 ，次数是 ． 【答案】 5 【知识点】多项式的项、项数或次数 【分析】本题考查了多项式的次数和常数项，熟记“次数最高的项的次数即为该多项式的次数”“不含字母的项称为常数项”．由此即可得出答案． 【详解】解：多项式的常数项是，次数是5； 故答案为：；5． 19．若多项式是一个关于x，y的三次三项式，则m的值为 ． 【答案】或 【知识点】多项式的项、项数或次数、多项式系数、指数中字母求值 【分析】本题主要考查了多项式，熟练掌握一个多项式有几项就叫几项式，次数最高的项的次数是几就叫几次多项式是解题的关键． 根据题意得到，或，求出或，即可得到答案． 【详解】解：多项式是一个关于x，y的三次三项式， ，或， 或， 故答案为：或． 20．有一道题目是一个多项式减，小强误当成了加法计算，结果得到，那么正确的结果应该是 ． 【答案】 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题考查了整式的加减运算，根据题意，先求出这个多项式，再把这个多项式减，得到结果即可，熟练掌握整式加减运算法则是解题的关键． 【详解】解：设这个多项式为， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共5小题，共40分） 21．（本题6分）下列各式是一些不规范的书写，请将规范写法写在横线处： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)米． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6)米 【知识点】代数式书写方法 【分析】本题考查了代数式．解题的关键是掌握代数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式，1通常省略不写；(4)多项式后带单位时，这个多项式要加括号．根据代数式的书写格式解答即可． 【详解】（1）解：应写作：；(数字与数字的乘法用“”) 故答案为：； （2）解：应写作：，(带分数要化成假分数) 故答案为：； （3）解：应写作：，(数字因式写在前面) 故答案为：； （4）解：应写作：，(除法写成分数形式) 故答案为：； （5）解：应写作：，(乘法中1省略不写) 故答案为：； （6）解：米应写作：米，(多项式后带单位要加括号) 故答案为：米． 22．（4分）写出下列代数式表示的实际意义： (1)一个等边三角形的边长为a，一个正方形的边长为b，则表示 ___________； (2)若苹果每千克p元，橘子每千克q元，则代数式表示 ___________． 【答案】(1)三角形和正方形周长的和 (2)用50元买苹果6千克和橘子4千克剩余的钱 【知识点】代数式表示的实际意义 【分析】此题主要考查了代数式的意义，解题的关键是正确理解文字语言中的关键词，从而明确其中的运算关系． （1）根据等边三角形的周长公式和正方形的周长公式即可得出答案； （2）苹果每千克p元，橘子每千克q元，根据苹果6千克，买橘子4千克，可得买苹果和橘子共花了元，由此可得实际意义． 【详解】（1）解：表示三角形和正方形周长的和； 故答案为：三角形和正方形周长的和． （2）解：表示用50元买苹果6千克和橘子4千克剩余的钱． 故答案为：用50元买苹果6千克和橘子4千克剩余的钱． 23．（10分）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题考查了整式加减混合运算，掌握整式加减混合运算步骤是解题的关键． （1）进行整式加减运算，即可求解； （2）先去括号，再进行整式加减运算，即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 24．（10分）化简求值 (1)化简求值：，其中． 【答案】(1)， (2) 【知识点】同类项的判断、整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查同类项的概念以及整式的化简求值，解题的关键是掌握同类项定义和整式加减运算法则． （1）先通过合并同类项化简式子，再代入的值计算． （2）先根据同类项定义求出、的值，再代入多项式求值． 【详解】（1）解： 把代入，可得： 原式 ； (2)已知与是同类项，求多项式的值． （2）解：已知与是同类项，所以， 把代入， 原式 ． 25．（10分）已知代数式，． (1)求的值； (2)若的值与y的取值无关，求x的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】整式加减中的无关型问题 【分析】本题考查了整式加减中的无关型问题，熟练掌握整式加减的运算法则是解题的关键． （1）利用整式加减的运算法则计算即可； （2）由（1）得，，结合题意得，解出的值即可得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：由（1）得，， 的值与y的取值无关， ， 解得：， x的值为． 能力提升进阶练 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列代数式中符合书写要求的是（   ） A． B． C． D．元 【答案】D 【知识点】代数式书写方法 【分析】本题考查代数式的书写规则．解题的关键是掌握代数式的书写规则：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写，带分数要写成假分数的形式．根据代数式的书写要求判断各项． 【详解】解：A、带分数应写成假分数，原书写错误，不符合题意； B、当系数是或时，省略不写，原书写错误，不符合题意； C、在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写，原书写错误，不符合题意； D、原书写正确，符合题意； 故选：D． 2．若x表示某件物品的原价，则表示的意义是（    ） A．该物品打1折后的售价 B．该物品价格上涨后的售价 C．该物品打9折后的售价 D．该物品价格上涨后的售价 【答案】C 【知识点】列代数式、代数式表示的实际意义、 折扣问题 【分析】本题考查了代数式，理解和打折的含义是解题关键． 根据表示该物品价格下降即可得结论． 【详解】解：， 表示， A．打1折意味着售价是原价的10%，即 ，与 不符，故该选项不符合题意； B．价格上涨意味着售价是原价的，即，与 不符，故该选项不符合题意；． C．该物品打9折后的售价．打9折意味着售价是原价的，即 ，与 符合，故该选项符合题意； D．该物品价格上涨后的售价．价格上涨90%意味着售价是原价的，即 1.9x，与 不符，故该选项不符合题意． 故选：C． 3．若，则代数式的值为（   ） A．5 B．1 C．0 D． 【答案】A 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查代数式求值，根据，得到，整体代入法进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选A． 4．小明用火柴棒摆正方形，图1用了4根火柴棒，图2用了7根火柴棒，图3用了10根火柴棒，……，照此规律摆下去，图n要用火柴棒的根数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题考查用代数式表示图形的规律，根据已知图形找出变化规律，利用规律列代数式即可． 【详解】解：摆1个正方形，需要4根火柴，可以写成； 摆2个正方形，需要7根火柴，可以写成； 摆3个正方形，需要10根火柴，可以写成； …… 以此类推，图n要用火柴棒的根数为． 故选C． 5．下列单项式中是同类项的是（   ） A．与 B．与 C．3与 D．与 【答案】A 【知识点】同类项的判断 【分析】本题主要考查了同类项定义，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．根据同类项的定义逐项进行判断即可． 【详解】解：A、与，所含字母相同，相同字母的指数相同，是同类项，故A符合题意； B、与，所含字母不同，不是同类项，故B不符合题意； C、与，所含字母不同，不是同类项，故C不符合题意； D、与，所含字母相同，相同字母的指数不同，不是同类项，故D不符合题意． 故选：A． 6．下列各式中，计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】合并同类项、同类项的判断 【分析】本题考查了同类项的定义，合并同类项，根据含有相同字母并且相同的字母的指数也相同的项称为同类项，不是同类项不能进行合并，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、不是同类项，不能合并，故不符合题意； B、不是同类项，不能合并，故不符合题意； C、不是同类项，不能合并，故不符合题意； D、，故符合题意； 故选：D 7．下列式子变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】去括号、添括号 【分析】本题考查了去括号和添括号，根据去括号和添括号法则运算即可判断求解，掌握去括号和添括号法则是解题的关键． 【详解】解：、，该选项变形错误，不合题意； 、，该选项变形错误，不合题意； 、，该选项变形错误，不合题意； 、，该选项变形正确，符合题意； 故选：． 8．已知有理数a、b、c在数轴上的位置如图，化简的值为（    ） A． B． C．a D． 【答案】B 【知识点】整式的加减运算、利用数轴比较有理数的大小、根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题考查了数轴，绝对值，去括号，合并同类项，解题的关键是判断出． 由图可知，，然后确定各项的符号，去掉绝对值号，计算答案． 【详解】解：由图可知， ∴，， ∴ ． 故选：B． 9．下列说法错误的是（   ） A．的次数是3 B．2是单项式 C．是二次二项式 D．多项式的常数项为 【答案】A 【知识点】单项式的系数、次数、多项式的项、项数或次数 【分析】本题主要考查了单项式及多项式的相关概念，熟练掌握和运用单项式及多项式的相关概念是解决本题的关键．根据单项式：“数字与字母的乘积，单个数字，字母也是单项式”，次数：“所有字母的指数和”，多项式的项数：“单项式的个数”，次数：“最高项的次数”，常数项：“不含字母的项”，进行判断即可． 【详解】解：A．的次数是2，故该说法错误，符合题意； B．2是单项式，故该说法正确，不符合题意； C．是二次二项式，故该说法正确，不符合题意； D．多项式的常数项为，故该说法正确，不符合题意． 故选：A． 10．在学习了整式的加减后，老师给出下面这道课堂练习题：选择的一个值，求的值.学生甲、乙、丙、丁对此题说法错误的是：（   ） A．甲说：“当时，原式．” B．乙说：“当时，原式．” C．丙说：“当时，原式．” D．丁说：“当取1或时，原式的值都是．” 【答案】A 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查了整式的加减运算和代数式求值，本题先将化简为，然后再逐一核对选项，即可求解． 【详解】解： ， A、甲说：“当时，原式”，错误，原式应该，符合题意； B、 乙说：“当时，原式”，正确，不符合题意； C、丙说：“当时，原式”， 正确，不符合题意； D、丁说：“当取1或时，原式的值都是”，正确，不符合题意； 故选：A． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 11．请设计具体情境，解释代数式的意义： ． 【答案】3个边长为的正方形的面积之和为（答案不唯一） 【知识点】代数式表示的实际意义 【分析】此题考查了代数式的实际意义，当给代数式中的字母赋予不同的意义时，整个代数式表示的意义就会不同，因此本题没有固定答案；已知边长为的正方形的面积为，则3个边长为的正方形的面积之和为． 【详解】解：例如，3个边长为的正方形的面积之和为， 故答案为：3个边长为的正方形的面积之和为．（答案不唯一） 12．已知，则代数式的值为 ． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了已知式子的值求代数式的值，先由得，再处理，得，把代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 故答案为：． 13．已知和是同类项，则 ，此时的值为 ． 【答案】 2 13 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、已知同类项求指数中字母或代数式的值 【分析】本题考查同类项定义及去绝对值，解题的关键是根据字母及字母指数都相同的项列式解出x的值．然后代入去绝对值即可得到答案． 【详解】解：∵和是同类项， ∴， 将代入得， ， 故答案为：2，． 14．请写出一个能与合并成一项的单项式： ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】合并同类项 【分析】此题主要考查了同类项，直接利用合并同类项法则判断得出答案．正确掌握同类项才可以合并是解题关键． 【详解】解：只有同类型才能合并， 故一个能与合并成一项的单项式为， 故答案为：（答案不唯一）． 15．已知，那么的值为 ． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、去括号、添括号 【分析】本题主要考查了代数式求值、去括号、添括号等知识点，将原式变形成是解题的关键． 先运用去括号、添括号将原式变形成，然后将已知等式代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：． 16．若一个多项式加上，结果是，则这个多项式为 ． 【答案】 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题考查整式的加减运算．根据题意“一个多项式加上，结果是”，进行列出式子：，再去括号合并同类项即可． 【详解】解：依题意这个多项式为： ， 故答案为：． 17．用四个如图①所示的长为a，宽为b的长方形，拼成一个如图②所示的图形，则图②中小正方形的边长为 ；大正方形的周长比小正方形的周长大 ． 【答案】 / 【知识点】列代数式、整式的加减运算 【分析】本题主要考查了列代数式，整式的加减计算，根据题意结合图形可得图②中小正方形的边长为，大正方形边长为，据此求出两个正方形的周长，进而求出周长差即可得到答案． 【详解】解：由题意得，图②中小正方形的边长为，大正方形边长为， ∴小正方形的周长为，大正方形的周长为， ， ∴大正方形的周长比小正方形的周长大， 故答案为：，． 18．定义计算“”，对于两个有理数，，有，例如：，则 ， ． 【答案】 / 【知识点】有理数四则混合运算、整式的加减运算 【分析】本题考查新定义下的有理数的四则混合运算、整式的加减运算，理解新定义运算法则是解答的关键．根据新定义法则，结合有理数和整式的相关运算法则求解即可． 【详解】解：， ∵ ， ∴ ． 故答案为：，． 19．写出一个只含有字母，且系数为的次单项式是 ． 【答案】或 （写一个即可） 【知识点】单项式的系数、次数 【分析】此题考查了单项式有关概念，根据单项式系数、次数的定义即可求解，解题的关键是需灵活掌握单项式的系数和次数的定义，单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 【详解】解：和是一个只含有字母，且系数为的次单项式， 故答案为：或（写一个即可）． 20．定义：若，则称a与b是关于1的平衡数． （1）3与 是关于1的平衡数，与 是关于1的平衡数．（用含x的代数式表示） （2）若，，判断a与b是否是关于1的平衡数 （填是与否） 【答案】 否 【知识点】整式加减的应用、列代数式 【分析】本题以新定义为载体，主要考查了整式的加减，正确理解新定义、熟练掌握整式加减运算的法则是解题的关键； （1）根据平衡数的定义列式计算即可； （2）根据平衡数的定义计算的值是否等于2即可作出判断． 【详解】解：（1）根据题意，3关于1的平衡数是， 关于1的平衡数是， 故答案为：，； （2）因为 ， 所以a与b不是关于1的平衡数； 故答案为：否． 三、解答题（本大题共5小题，共60分） 21．（本题8分）化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】合并同类项 【分析】本题考查了合并同类项法则，解题关键是掌握合并同类项法则． （1）利用合并同类项法则计算； （2）利用合并同类项法则计算． 【详解】（1）解： ； （2） ． 22．（本题16分）化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，熟知整式的加减计算法则是解题的关键． （1）先去括号，然后合并同类项即可得到答案； （2）先去括号，然后合并同类项即可得到答案； （3）根据合并同类项的计算法则求解即可； （4）先去括号，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 23．（本题12分）先化简，再求值： (1)，其中与互为相反数； (2)已知，求的值． 【答案】(1)，1 (2) 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，非负数的性质，熟知整式的加减计算法则是解题的关键． （1）先去括号，然后合并同类项化简，根据相反数的定义和非负数的性质求出的值，再代值计算即可得到答案； （2）先去括号，然后合并同类项化简，再利用整体代入法代值计算即可． 【详解】（1）解： ， ∵和互为相反数， ∴， ∵， ∴，， ∴，， 当，时，原式． （2）解： ， ∵， ∴原式． 24．（本题12分）某位同学做一道题：已知两个多项式，求的值．他误将看成，求得结果为，已知． (1)求多项式； (2)求的值，其中． 【答案】(1) (2)13 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查了整式的加减，熟练掌握整式加减运算的运算方法是解题关键 ． （1）根据题意可知，再减去即可求出的式子； （2）利用先去括号再合并同类项的方法计算即可． 【详解】（1）解：由题意可知：，， ； （2），， ， 当时， 原式． 25．（本题12分）阅读材料：我们知道，，类似的，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． (1)【简单应用】 ①已知，则_____； ②已知，求的值； (2)【拓展提高】 已知，，求式子的值． 【答案】(1)①2025；② (2) 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查了整式的加减-化简求值，代数式求值，掌握整式的加减-化简求值的运算法则以及整体代入思想是关键． （1）①把看成一个整体进行化简，再代入值计算即可； ②把看成一个整体进行化简，再代入值计算即可； （2）将代数式变形为，再化为，再将，整体代入计算即可． 【详解】（1）解：①∵， ， 故答案为： 2025； ②， ． （2）解：∵， ． 2 / 51 学科网（北京）股份有限公司 $$